isobar

Wärmemenge:
Thermische Energie kann nicht mehr beliebig in andere Energieformen
umgewandelt werden.
Sie kann aber unter gewissen Voraussetzungen von einem Körper auf
einen Anderen übertragen werden.
Dabei bezeichnet man sie als Wärmemenge ΔQ
Ändert ein Körper seine Temperatur um ΔT, dann hat er die Wärmemenge
ΔQ = C ΔT
aufgenommen (ΔT positiv) bzw. abgegeben (ΔT negativ).
38
Innere Energie:
Die gesamte in einem Körper gespeicherte Energie bezeichnet man als
Innere Energie U des Körpers.
1. Hauptsatz der Thermodynamik
Die Änderung der Inneren Energie eines Körpers setzt sich zusammen aus
der zugeführten Wärmemenge und der am Körper geleisteten Arbeit ΔW.
ΔU = ΔQ + ΔW
Der Erste Hauptsatz ist ein Energieerhaltungssatz
39
Zustandsfunktion:
Man ändere den Zustand eines Systems vom Zustand A nach Zustand B,
so langsam, dass immer thermodynamisches Gleichgewicht herrscht.
Dann hängt die dabei zugeführte Wärmemenge ΔQ von der Vorgehensweise
bei der Zustandsänderung ab (Wegabhängigkeit von ΔQ ).
Auch die aufgewendete Arbeit ΔW hängt vom Weg ab.
Die Änderung der Inneren Energie ΔU hängt aber nur vom Startpunkt
(Zustand A) und vom Endpunkt (Zustand B) ab (wegunabhängig).
U nennt man deshalb eine Zustandsfunktion
Differentielle Schreibweise des ersten Hauptsatzes:
dU = δ Q + δ W
40
Anwendung des 1. Hauptsatzes auf ideale Gase
Die Innere Energie bei idealen Gasen hängt nicht vom Volumen ab, sondern
nur von der Temperatur, da nur kinetische Energie der Teilchen relevant ist.
Isochore Erwärmung:
Erwärmung bei konstantem Volumen.
Es wird keine mechanische Arbeit geleistet:
δ W = − p dV = 0
Die zugeführte Wärmemenge geht vollständig in innere Energie über:
dU = δ Q = CV dT
Isobare Erwärmung:
Erwärmung bei konstantem Druck.
Das Gas dehnt sich aus und leistet dabei Volumenarbeit.
Die am Gas geleistete Arbeit ist also negativ
δ W = − p dV
41
Ein Teil der zugeführten Wärmemenge wird für die Volumenarbeit
benützt, der Rest geht in innere Energie über.
Um die gleiche Temperaturerhöhung zu erzielen muss also eine größere
Wärmemenge zugeführt werden.
δ Q = C p dT
Cp : Wärmekapazität bei konstantem Druck
Die Innere Energie hängt nur von der Temperatur ab, also
dU = CV dT = C p dT − p dV
daraus folgt:
⎛ ∂V ⎞
C p − CV = p ⎜
⎟
⎝ ∂T ⎠ p
Index p bedeutet Ableitung bei konstantem Druck
Aus der Zustandsgleichung idealer Gase pV = RT folgt (1 mol):
R
C p − CV = p = R
p
42
Die molare Wärmekapazität bei konstantem Druck ist wie erwartet größer:
3
5
C p = CV + R = R + R = R
2
2
C p = CV + R =
bei atomaren Gasen
5
7
R+R= R
2
2
bei zweiatomigen Molekülen
Adiabatische Erwärmung:
Erwärmung ohne Zu-/Abfuhr einer Wärmemenge durch Verkleinerung
des Volumens (Kompression).
Es wird keine Wärmemenge zu-/abgeführt:
δQ =0
Aus dem 1. Hauptsatz folgt:
dU = δ W = − p dV
Wegen der Änderung der inneren Energie ändert sich die Temperatur
CV dT = − p dV
43
Druck, Temperatur und Volumen ändern sich bei dem Prozess
Es muss integriert werden vom Zustand {T0,V0} zum Zustand {T,V}
Mit der Zustandsgleichung (für 1 mol)
T
p (V ) = R
V
erhält man
dV
CV dT = − R T
V
T
V
dT '
dV '
⇒ CV ∫
+R ∫
=0
T'
V'
T0
V0
⇒
⎛V ⎞
T
ln + ln⎜⎜ ⎟⎟
T0
⎝ V0 ⎠
R
CV
=0
dT
dV
+R
=0
T
V
⇒
CV
⇒
V
T
CV ln + R ln = 0
V0
T0
⇒
⎛ T ⎞⎛ V ⎞
⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟
⎝ T0 ⎠ ⎝ V0 ⎠
R
CV
=1
44
Setzt man für die Gaskonstante R = Cp-CV und führt den
Adiabatenexponent κ = Cp / CV ein erhält man
κ −1
T V κ −1 = T0 V0
= const
oder mit der Zustandsgleichung T = pV/R
pV κ −1 p0V0 κ −1
V =
V0 = const
R
R
⇒
p V κ = const
Die Gleichung gibt den Zusammenhang zwischen Druck und Volumen
bei adiabatischer Zustandsänderung an.
Für Gase aus Atomen ist
κ = 1.666
Für Gase aus zweiatomigen Molekülen ist
κ = 1.4
κ=
f +2
f
45
Versuch: Messung des Adiabatenexponenten κ
Eine Kugel schwingt in einer Röhre auf dem „Luftpolster“
Druckänderungen sind so schnell, dass sie adiabatisch sind.
x
Bei einer Verschiebung um x aus der Ruhelage
ändert sich das Volumen um
ΔV = A x
A: Querschnittsfläche Rohr
Für den Druck gilt:
p V κ = const ⇒
p = const ⋅ V −κ
dp
const ⋅ V −κ
−κ −1
= −κ ⋅ const ⋅ V
= −κ
dV
V
κp
κp
dp
Δp ≈
ΔV = −
ΔV = −
Ax
V
V
dV
45b
Die Kraft auf die Kugel ist
F = AΔp = −
κp
V
A2 x
Mit Newton‘s Aktionsprinzip ergibt sich die Schwingungsgleichung
d2 x
κp 2
=−
A x
2
mV
dt
1
23
=ω 2
Die Kugel schwingt mit der Schwingungsdauer
mV
ts = 2π
κ p A2
Daraus ergibt sich der Adiabatenexponent
4π 2mV
κ= 2 2
ts p A
m = 16.5 g = 0.0165 kg
V = 10 liter = 0.01 m3
p = 1010 mbar
= 101000 Pa
A = 2.01 10-4 m2
ts = 1.07 s
κ = 1.394
45c
Darstellung der Zustandsänderungen
Zustandsfläche idealer Gase:
Durch die Zustandsgleichung (Stoffmenge = 1 mol)
pV = R T
wird eine Fläche im 3-dimensionalen Raum der Zustandsvariablen p,V, T
festgelegt.
p
Zustandsfläche
Zustandsänderung
von A nach B
p
A
T
T
B
V
V
Zustände das Gases (im Gleichgewicht) sind nur auf dieser Fläche möglich
46
Wegen der Vereinfachung der Darstellung zeichnet man oft zweidimensionale
Projektionen von Zustandsänderungen:
P [bar]
T = 500K
T = 400K
T = 300K
T = 200K
T = 100K
Isotherme Zustandsänderung
dargestellt für verschiedene
Temperaturen
V [Liter]
P [bar]
Adiabatische Zustandsänderung
dargestellt für verschiedene
Ausgangszustände.
Beachte: Temperatur ändert sich
auf jeder Kurve
V [Liter]
47
P [bar]
V = 10 Liter
V = 20 Liter
V = 30 Liter
V = 40 Liter
V = 50 Liter
Isochore Zustandsänderung
dargestellt für verschiedene
Volumen
T [K]
V [Liter]
p = 1 bar
p = 2 bar
p = 3 bar
p = 4 bar
p = 5 bar
Isobare Zustandsänderung
dargestellt für verschiedene
Drücke
T [K]
48
Zustandsänderungen sind auf verschiedenen Wegen möglich.
Dabei werden unterschiedliche Wärmemengen ausgetauscht und
unterschiedlich viel Arbeit verrichtet
Zustandsänderung
von A nach B
p
A
dU = δ Q1 + δ W1
T
B
dU = δ Q2 + δ W2
V
Geht man den einen Weg von A nach B hin und den anderen Weg zurück,
kann Wärme in Arbeit umgewandelt werden.
→ Kreisprozess
0 = δ Q1 + δ W1 − δ Q2 − δ W2
49
Wärmekraftmaschinen:
Carnotscher Kreisprozess
p
(1)
(4)
(2)
(3)
V
Isotherm bei T1
Adiabatische Abkülung
Isotherm bei T2
Adiabatisch Erwärmung
50
Schritt (1):
Die Temperatur bleibt konstant (isotherm): dU = 0
Aus dem 1. Hauptsatz folgt:
δ Q = p dV
Die aus dem Reservoir aufgenommene
p
Wärmemenge wird vollständig in
(1)
mechanische Arbeit umgewandelt.
ΔQ1 = − ΔW1
=
VB
∫ p dV
VA
VB
V
VA
VB
= R T1 ln
VA
Gas verrichtet
mechanische Arbeit
51
Schritt (2):
Kein Austausch von Wärmemenge (adiabatisch):
δQ =0
Adiabatische Abkühlung von T1 auf T2
Aus dem 1. Hauptsatz folgt:
ΔU = CV (T2 − T1 ) = Δ W2
p
Innere Energie wird in mechanische
Arbeit umgewandelt.
(2)
VB VC
V
Gas verrichtet
mechanische Arbeit
T1
T2
52
Schritt (3):
Die Temperatur bleibt konstant (isotherm): dU = 0
Aus dem 1. Hauptsatz folgt:
δ Q = p dV
Am Gas verrichtete Arbeit wird vollständig
als Wärmemenge an das kalte Reservoir
p
abgegeben
(3)
ΔQ3 = − ΔW3
=
VD
∫ p dV
VD
VC
V
VC
VD
= R T2 ln
VC
Am Gas verrichtet
mechanische Arbeit
53
Schritt (4):
Kein Austausch von Wärmemenge (adiabatisch):
δQ =0
Adiabatische Erwärmung von T2 auf T1
Aus dem 1. Hauptsatz folgt:
ΔU = CV (T1 − T2 ) = Δ W4
p
Die am Gas verrichtete mechanische Arbeit
wird in innere Energie umgewandelt.
(4)
VA
VD
V
Am Gas verrichtet
mechanische Arbeit
T1
T2
54
Bilanz für einen Zyklus
ΔW
Wärmeenergie wurde in mechanische
Energie umgewandelt.
Zusätzlich ist Wärmemenge vom heißen
ΔQ
zum kalten Reservoir geflossen.
ΔWZyklus
VD
VB
= − R T1 ln + CV (T2 − T1 ) − R T2 ln
+ CV (T1 − T2 )
VC
VA
(1)
(2)
(3)
(4)
Bei Schritt (2) und (4) gelten die Beziehungen
T1 VB
κ −1
κ −1
T1 VA
= T2 VC
κ −1
= T2 VD
κ −1
⇒
VB VC
=
VA VD
Es folgt
ΔWZyklus
VA
= R (T1 − T2 ) ln
VB
55
Die bei dem Zyklus insgesamt aus dem heißen Reservoir aufgenommene
Wärmemenge ist
VB
ΔQ1 = R T1 ln
VA
Der Wirkungsgrad η des Carnotschen Kreisprozesses ist:
abgegebene Arbeit dividiert durch aufgenommene Wärmemenge
η=
− ΔWZyklus
ΔQ1
T1 − T2
=
T1
Der Wirkungsgrad ist umso höher, je größer die Temperaturdifferenz
zwischen den beiden Reservoiren ist.
Bei einem Kreisprozess kann aber nie die gesamte Wärmemenge in
mechanische Energie umgewandelt.
Bei Schritt (1) war dies möglich, bei einem Kreisprozess ist es nicht möglich.
56
Zweiter Hauptsatz der Thermodynamik:
Es gibt keine periodisch arbeitende Maschine, die nichts weiter bewirkt
als Abkühlung eines Wärmereserviors und Leistung mechanischer Arbeit.
(Perpetuum Mobile zweiter Art)
Thomson 1851
Beim Carnot-Prozess z.B. wird neben der Leistung von mechanischer Arbeit
zusätzlich Wärmemenge vom heißen zum kalten Reservoir verschoben.
57
ΔW
Optimaler Wirkungsgrad
Der Carnotsche Kreisprozess ist reversibel.
Man kann die Maschine rückwärts laufen lassen.
→ Wärmepumpe
ΔQ
Gäbe es eine Maschine mit höherem Wirkungsgrad als die Carnotsche,
dann könnte die eine Arbeit leisten und die Zweite Wärme hochpumpen.
Diese Konstruktion wäre eine Perpetuum
Mobile zweiter Art
ΔQ
η1
Folgerung:
Es gibt keine Maschine mit einem höheren
Wirkungsgrad als dem Carnotschen.
In der Praxis wird der optimale Wirkungsgrad
nicht erreicht.
η2
ΔQ
58
Andere Wärmekraftmaschinen:
p
(1)
(4)
Stirling-Motor
(2)
(3)
V
Isotherm bei T1
Isochore Abkühlung
Isotherm bei T2
Isochore Erwärmung
59
Wirkungsgrad des Stirling-Motors
Isotherm bei T1
ΔQ1 = − ΔW1
=
VB
∫ p dV
VA
V
= R T1 ln B
VA
Isochore Abkühlung
ΔQ2 = CV (T2 − T1 )
ΔW2 = 0
Isotherm bei T2
ΔQ3 = − ΔW3
=
Isochore Erwärmung
ΔQ4 = CV (T1 − T2 )
VA
ΔW4 = 0
∫ p dV
VB
= R T2 ln
VA
VB
59b
Bilanz für den Zyklus beim Stirling-Motor:
Die insgesamt am System geleistete Arbeit ist
ΔWZyklus
VA
VB
= − R T1 ln + 0 − R T2 ln + 0
VB
VA
(1)
(2)
(3)
ΔW
(4)
Es folgt:
ΔWZyklus
VA
= R (T1 − T2 ) ln
VB
Die insgesamt aufgenommene Wärmemenge ist
ΔQisotherm
ΔQisochor
VB
ΔQ = R T1 ln + CV (T1 − T2 )
VA
größer als beim Carnot-Prozess.
Damit ist der Wirkungsgrad kleiner als beim Carnot-Prozess.
59c
Stirling-Motor als Kältemaschine
Bei den isothermen Prozessen kehren sich die Vorzeichen um.
(Ebenso wie beim Carnot-Prozess)
Bei den isochoren Zustandsänderungen findet ein Wärmefluss vom
warmen zum kalten Reservoir statt.
Dieser Wärmefluss ist der Wärmepumpe entgegengerichtet und
verringert den Wirkungsgrad auch hier.
ΔW
Der Gesamtprozess ist also nicht reversibel.
Beim Carnot-Prozess ist das zusätzliche ΔQ = 0,
da die Änderungen adiabatisch sind.
Deshalb hat der Carnot-Prozess den optimalen
Wirkungsgrad.
ΔQisotherm
ΔQisochor
59d