¨Ubungen zu Logik und Künstliche Intelligenz mit Musterlösungen1

Heilbronn, den 9.4.2010
Prof. Dr. V. Stahl
WS 10/11
Übungen zu Logik und Künstliche Intelligenz
mit Musterlösungen1
Blatt 3
Aufgabe 1. Welche der folgenden Aussagen sind wahr?
{6, −2, 0} ⊆ {0, 6, −2, 4}
{5} ∈ {{5}}
{5} ⊆ {{5}}
∅∈∅
∅⊆∅
Lösung von Aufgabe 1.
{6, −2, 0} ⊆ {0, 6, −2, 4}
ist wahr
{5} ∈ {{5}}
ist wahr
{5} ⊆ {{5}}
ist falsch
∅∈∅
ist falsch
∅⊆∅
ist wahr
Aufgabe 2. Welche Aussagen sind wahr? Finden Sie für die falschen Aussagen
ein Gegenbeispiel.
• Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element.
• Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein größtes Element.
• Jede nichtleere endliche Teilmenge von N hat ein größtes Element.
• Jede nichtleere Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen hat
ein kleinstes Element.
Lösung von Aufgabe 2.
• Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein kleinstes Element ist wahr.
• Jede nichtleere Teilmenge von N hat ein größtes Element ist falsch.
Die Menge der geraden natürlichen Zahlen ist eine Teilmenge von N
aber es gibt keine größte gerade natürliche Zahl.
• Jede nichtleere endliche Teilmenge von N hat ein größtes Element ist
wahr.
1 Bitte geben Sie die Lösungen nicht weiter – Ihre Nachfolger sollen auch die Chance haben,
die Aufgaben selbständig rauszukriegen.
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• Jede nichtleere Teilmenge der Menge der positiven reellen Zahlen hat
ein kleinstes Element ist falsch. Z.B. die Menge
{x | x ∈ R, x > 2}
ist eine Teilmenge der positiven reellen Zahlen, hat aber kein kleinstes
Element.
Aufgabe 3. Formen Sie die prädikatenlogische Formel
¬∀x (x ∈ R → (x > 3 → x < 5))
schrittweise äquivalent so um, dass kein Allquantor und kein wenn–dann
Symbol mehr darin vorkommt. Ist die Formel wahr?
Lösung von Aufgabe 3.
¬∀x (x ∈ R → (x > 3 → x < 5))
∃x ¬(x ∈ R → (x > 3 → x < 5))
∃x ¬(x 6∈ R ∨ (x > 3 → x < 5))
∃x (x ∈ R ∧ ¬(x > 3 → x < 5))
∃x (x ∈ R ∧ ¬(x ≤ 3 ∨ x < 5))
∃x (x ∈ R ∧ (x > 3 ∧ x ≥ 5))
Die Formel ist wahr.
Aufgabe 4. Übersetzen Sie folgende Aussagen in die Sprache der Prädikatenlogik.
(1) Steine sind nicht sterblich.
(2) Snoopy ist kein Stein.
(3) Snoopy ist sterblich.
Hinweis: Verwenden Sie in den Formeln die Prädikate (oder Mengen)
“Stein” und “Sterblich”. Lässt sich Aussage (3) aus (1) und (2) beweisen?
Lösung von Aufgabe 4.
(1) ∀x Stein(x) → ¬Sterblich(x)
(2) ¬Stein(Snoopy)
(3) Sterblich(Snoopy)
Aussage (3) folgt nicht logisch aus (1) und (2) und lässt sich daher nicht
beweisen.
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Aufgabe 5. Der Beweis dass 1 = 2 ist, sieht wie folgt aus:
• Zu zeigen:
1 = 2.
• Multiplikation mit Null auf beiden Seiten liefert
0 = 0.
Diese Aussage ist offensichtlich wahr, also ist 1 = 2 bewiesen.
Überlegen Sie sich an welcher Stelle ein falscher Beweisschritt gemacht
wurde. Hinweis: Es liegt nicht daran, dass man “mit Null nicht multiplizieren darf”. Tatsächlich ist die Aussage
1=2→0=0
wahr, was man anhand einer Wahrheitstabelle leicht verifizieren kann.
Lösung von Aufgabe 5. Der entscheidende Fehler beim Beweis ist, dass die
zu zeigende Aussage als Annahme genommen wurde. Im Beweis wurde
1 = 2 angenommen und daraus die wahre Aussage 0 = 0 abgeleitet. Dies
bedeutet natürlich nicht, dass 1 = 2 wahr ist.
Wenn man aus der Annahme 0 = 0 ableiten könnte dass 1 = 2 ist, dann
wäre in der Tat 1 = 2 bewiesen.
Aufgabe 6. Gegeben ist die Aussage:
wenn ich denke, dann denke ich nicht.
Lässt sich hieraus schließen, dass
•
•
•
•
ich denke
ich nicht denke
keins von beidem
beides?
Geben Sie eine logische Begründung für Ihre Antwort.
Lösung von Aufgabe 6. Sei F die Aussage
ich denke.
Die Aussage “wenn ich denke, dann denke ich nicht” lässt sich in der
Sprache der Aussagenlogik formulieren durch
F → ¬F.
Aussagenlogische Umformung ergibt
¬F ∨ ¬F
was äquivalent ist zu ¬F . Aus der Aussage folgt somit, dass ich nicht
denke.
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