Einstichprobenprobleme

Klassifikation von Signifikanztests
Nach Verteilungsannahmen:
verteilungsabhängig: parametrischer [parametric] Test
verteilungsunabhängig: nichtparametrischer
[non-parametric] Test
Bei parametrischen Tests werden im Modell
Voraussetzungen über die Verteilung des interessierenden
Merkmals in der Grundgesamtheit gemacht
(z.B. Normalverteilung) und Hypothesen über Parameter
dieser Verteilung getestet. Bei nichtparametrischen Tests
wird dagegen keine spezielle Verteilung vorausgesetzt (aber
ggf. Voraussetzungen wie: stetige Verteilung).
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Nichtparametrische Tests
– sind i.a. weniger mächtig als parametrische, d.h.
Unterschiede (Abweichungen von der Nullhypothese)
werden seltener aufgedeckt (H0 wird seltener abgelehnt),
– erfordern jedoch schwächere Voraussetzungen im Modell
(bei Ablehnung H0 von ist eine Aussage über die
Population zuverlässiger).
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Nach der Anzahl der Stichproben:
eine Stichprobe: Einstichprobenproblem
zwei Stichproben: Zweistichprobenproblem
k Stichproben: Mehrstichprobenproblem (k ≥ 2)
Nach der Art der Erhebung der Stichproben:
abhängige (gepaarte [paired samle], verbundene)
Stichproben
unabhängige [independent] Stichproben
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Abhängige (gepaarte, verbundene) Stichproben:
An jedem Objekt (Probanden) werden mehrere Merkmale
untersucht. Damit betrachten wir 2 (oder mehr) Zufallsvariablen über der gleichen Grundgesamtheit gemeinsam.
(X1 , Y1 ), . . . , (Xn , Yn ) zwei verbundene Stichproben vom
Umfang n
Beispiele:
– Blutdruck von PatientInnen vor und nach der Behandlung
mit einem Medikament
– Einkommen einer Person in den Jahren 2003, 2004, 2005
– Bildung und Einkommen einer Person
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Unabhängige Stichproben:
An jedem Objekt (Probanden) wird nur ein Merkmal
untersucht. Untersucht werden verschiedene, disjunkte (sich
nicht überschneidende) Gruppen von Probanden (z.B. zwei
Gruppen mit n1 und n2 Mitgliedern) aus verschiedenen
Schichten der Grundgesamtheit (Subpopulationen).
Gesamte Stichprobe mit Stichprobenumfang n1 + n2 :
(X1 , . . . , Xn1 , Y1 , . . . , Yn2 )
Geschichtete Stichproben:
1. Schicht mit Stichprobenumfang n1 : (X1 , . . . , Xn1 )
2. Schicht mit Stichprobenumfang n2 : (Y1 , . . . , Yn2 )
Die beiden geschichteten Stichproben sind unabhängig.
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Beispiele:
– Blutdruck von PatientInnen aus zwei unterschiedlich
behandelten Gruppen mit unterschiedlichen Personen
– Einkommen von Männern, Einkommen von Frauen
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Einstichprobenprobleme
Einfacher t–Test (t–Test bei einer Stichprobe)
siehe Einführungsbeispiel [t-test, Student´s test ]
Binomialtest (Test einer Wahrscheinlichkeit)
[testing about a population proportion]
Anliegen: Sei A ein zufälliges Ereignis mit unbekannter
Wahrscheinlichkeit P (A) = ϑ, ϑ ∈ [0, 1]. Überprüfung einer
Hypothese über diese Wahrscheinlichkeit ϑ anhand von n
unabhängigen Versuchen und der daraus ermittelten
absoluten Häufigkeit des Eintretens von A.
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Die mathematische Stichprobe
(X1 , X2 , . . . , Xn )
beschreibt, in welchen der n Versuche das Ereignis A
eingetreten ist (Bernoulli–Schema):
Xi =



 1,
falls A im i–ten Versuch eintritt


 0,
falls A im i–ten Versuch nicht eintritt
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Hypothesen:
H0 : ϑ = ϑ0
HA : ϑ 6= ϑ0
(1)
HA : ϑ < ϑ0
(2)
HA : ϑ > ϑ0
(3)
Testgröße:
T
=
n
X
Xi
i=1
(absolute Häufigkeit des Eintretens von A)
Unter H0 ist T binomialverteilt mit den Parametern n und ϑ0 .
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p–Wert:
p=
X
P (T = k)
bei (1)
k∈{0,...,n} mit
P (T =k)≤P (T =t)
p = P (T ≤ t) =
t
X
P (T = k)
bei (2)
P (T = k)
bei (3)
k=0
p = P (T ≥ t) =
n
X
k=t
Entscheidungsregel:
Ablehnung von H0 , falls p ≤ α.
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SPSS berechnet bei Anwendung des Binomialtest die
Überschreitungswahrscheinlichkeit für die zweiseitige
Alternativhypothese (1) nur im Spezialfall ϑ0 = 1/2.
In diesem Fall ergeben sich auf Grund der Symmetrie der
Verteilung die p–Werte für die einseitigen Alternativen durch
halbieren des p–Wertes für die zweiseitige Alternative.
Für ϑ0 6= 1/2 gibt SPSS nur die p–Werte für eine der
einseitigen Alternativen aus, und zwar
– im Fall t/n < ϑ0 für die Alternative (2) und
– im Fall t/n > ϑ0 für die Alternative (3).
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Für große n (n > 30) werden die Überschreitungswahrscheinlichkeiten nicht exakt mit Hilfe der Binomialverteilung
berechnet, sondern näherungsweise mit Hilfe der
Normalverteilung (Zentraler Grenzwertsatz).
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Beispiel:
Im Beispiel Verkehrsmittel (n = 100) wurde 53 mal PKW als
Verkehrsmittel angegeben. Also ist t = 53. Beim Test der
Nullhypothese H0 : ϑ = ϑ0 = 0.4 gegen die
Alternativhypothese HA : ϑ > ϑ0 = 0.4 errechnet SPSS (nach
(3)) die Überschreitungswahrscheinlichkeit
P100
p = P (T ≥ 53) = k=53 P (T = k) = 0.006. Bei einem
gewählten Signifikanzniveau von α = 0.05 wird die
Nullhypothese also abgelehnt.
Bemerkung: Für dieses Beispiel hatten wir für den Anteil in
der Grundgesamtheit das Konfidenzintervall [0.432, 0.628]
zum Konfidenzniveau 0.95 = 1 − 0.05 berechnet.
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χ2 –Anpassungstest [goodness of fit test]
Anliegen: Nichtparametrischer Test zum Überprüfen der
(parametrischen) Modellannahme, dass eine gegebene
konkrete Stichprobe (x1 , x2 , . . . , xn ) aus einer
Grundgesamtheit mit einer bestimmten Verteilung FX = F0
stammt. Dabei bezeichnet FX die Verteilung des
interessierenden Merkmales X in der Grundgesamtheit.
Der Test wird z.B. auch zum Prüfen von Voraussetzungen für
andere (parametrische) Tests verwendet.
Hypothesen:
H0 : FX = F0
HA : FX 6= F0
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Vorgehen: Falls keine kategorialen Daten vorliegen,
zunächst Klasseneinteilung für die Daten in k Klassen
(vgl. Histogramme)
Ki = (ai , ai+1 ]
pi = P0 (X ∈ Ki ) = F0 (ai+1 ) − F0 (ai )
Hi
:
absolute Klassenhäufigkeit
Dann ist npi die theoretische, unter der Nullhypothese
erwartete Häufigkeit und Hi die beobachtete Häufigkeit der
i–ten Klasse.
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Testgröße:
T =
k
X
(Hi − npi )2
npi
i=1
Unter H0 ist T asymptotisch, d.h. näherungsweise für
hinreichend große Stichproben, χ2 –verteilt mit k − 1
Freiheitsgraden.
Enthält F0 noch r unbekannte Parameter (z.B. Normalverteilung r = 2: falls Erwartungswert µ und Varianz σ 2
unbekannt), so sind diese aus der Stichprobe, basierend auf
der Klasseneinteilung, zu schätzen. Die χ2 –Verteilung besitzt
dann k − r − 1 Freiheitsgrade.
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p–Wert:
p = P (T ≥ t)
Entscheidungsregel:
Ablehnung von H0 , falls p ≤ α.
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Achtung:
– Beim Testen von Modellannahmen will man eigentlich H0
annehmen, dann bleibt der i.a. unbekannte Fehler 2. Art.
– Mit genügend großen Datenmengen sollte jede
Modellannahme widerlegbar sein.
– Man sollte also zunächst gute Gründe für die
Modellannahme haben und will sich mit dem Test lediglich
vor Fehlinterpretationen schützen.
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Bemerkungen:
– Für die Asymptotik, also für eine gute Näherung durch die
χ2 –Verteilung, Klasseneinteilung so, dass npi ≥ 5 gilt; also
ggf. Klassen zusammenfassen, Randklassen beachten.
– SPSS bietet auch die Möglichkeit, exakte
Überschreitungswahrscheinlichkeiten zu berechnen.
– Klasseneinteilung willkürlich, Möglichkeit zur
Manipulation (vgl. Histogramme)
– Für sehr große n fast immer Ablehnung von H0 .
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Kolmogorov–Smirnov–Test
Anliegen: wie beim χ2 –Anpassungstest
Voraussetzungen:
Verteilungsfunktion FX von X
– ist stetig und
– unter H0 vollständig bekannt (keine Parameter zu
schätzen)
Hypothesen:
H0 : FX = F0
HA : FX 6= F0
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Testgröße:
T = sup |Fn (x) − F0 (x) |
x∈R
(größte Abweichung der empirischen Verteilungsfunktion Fn
von F0 )
Unter H0 ist T Kolmogorov–verteilt mit n Freiheitsgraden.
p–Wert:
p = P (T ≥ t)
Entscheidungsregel:
Ablehnung von H0 , falls p ≤ α.
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Bemerkungen:
– Test ist von Hand praktisch nicht durchführbar →
Computer.
– Sind Parameter zu schätzen → Korrektur der p–Werte
(z.B: Lilliefors–Test für Test auf Normalverteilung)
– Für den Test auf Normalverteilung existieren bessere
spezielle Tests (z.B. Shapiro–Wilk–Test)
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