Didaktik der Stochastik - Didaktik der Mathematik (Sekundarstufen)

Didaktik der Stochastik
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.1
Inhaltsverzeichnis
Didaktik der Stochastik
Jürgen Roth
1
Ziele und Inhalte
2
Beschreibende Statistik
3
Wahrscheinlichkeitsrechnung
4
Beurteilende Statistik
Didaktik der Stochastik
3.2
Didaktik der Stochastik
Kapitel 3:
Wahrscheinlichkeitsrechnung
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.3
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
Jürgen Roth
3.1
Experimente
3.2
Stochastik und Tabellenkalkulation
3.3
Grundbegriffe für diskrete
Zufallsexperimente
3.4
Was ist Wahrscheinlichkeit?
3.5
Mehrstufige Zufallsexperimente
3.6
Kombinatorik
3.7
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Didaktik der Stochastik
3.4
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.1 Experimente
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.5
Noten würfeln?
Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 2004, S. 49ff
Häufigkeit
1
Jürgen Roth
2
3
4
5
Didaktik der Stochastik
6
Zensur
3.6
Noten würfeln?
Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 2004, S. 49ff
3
Jürgen Roth
4
5
6
7
8
9
10
11 12
13 14 15 16 17 18
Didaktik der Stochastik
Augensumme
3.7
Noten würfeln? –
Normalverteilung
www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/gauss/geldschein.html
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.8
Noten würfeln? –
Normalverteilung
Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 2004, S. 43
70
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.9
Noten würfeln – reale
Ergebnisse
Eikenbusch & Leuders: Lehrer-Kursbuch Statistik. Cornelsen Scriptor, 2004, S. 49ff
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.10
Zufallsgeräte
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.11
Würfeln mit einem
LEGO-Stein
1
4
6
3
Jürgen Roth
5
Didaktik der Stochastik
2
3.12
Würfeln mit einem
LEGO-Stein
www.juergen-roth.de/excel/stochastik/legosteinwuerfel_versuchsauswertung.xls
H: absolute Häufigkeit
kH: kumulierte absolute Häufigkeit
h: relative Häufigkeit
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.13
Würfeln mit einem
LEGO-Stein
www.juergen-roth.de/excel/stochastik/legosteinwuerfel_versuchsauswertung.xls
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.14
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.2 Stochastik und
Tabellenkalkulation
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.15
Stochastik und
Tabellenkalkulation
Darstellende Statistik
Diagramme
dynamische Variation
Zufallsexperimente
auswerten
simulieren
Vierfeldertafeln (vgl. 3.7 Bedingte Wahrscheinlichkeit)
Baumdiagramme
Wahrscheinlichkeitsverteilungen
realisieren
variieren (Abhängigkeit von den Parametern)
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.16
Stochastik und
Tabellenkalkulation
Mittelwerte
Modalwert
Median
arithmetisches Mittel
geometrisches Mittel
Mittelwerte
Modalwert()
Median()
Mittelwert()
Geomittel()
Streuungsmaße
Spannweite
Quartilsabstand
mittlere lineare Abweichung
Varianz
Streuungsmaße
Max() – Min()
Quartile( ;3) – Quartile( ;1)
Mittelabw()
Varianzen() GG
bzw. Varianz() SP
Stabwn() GG bzw. Stabw() SP
Standardabweichung
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.17
Stochastik und
Tabellenkalkulation
Zufallszahl aus [0;1[
Zufallszahl()
Zufallszahl aus einem Bereich
Zufallsbereich(von; bis)
ganze Zahlen (Excel 2007)
Wenn, dann, sonst
Wenn(Bedingung; dann;
sonst)
Anzahl bestimmen
Anzahl(Bereich)
Anzahl eines best. Wertes
Zählenwenn(Bereich;Wert)
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
Taste F9
3.18
Stochastik und
Tabellenkalkulation
http://de.wikipedia.org/wiki/Geburtstagsparadoxon – http://www.juergen-roth.de/excel/stochastik/geburtstagsparadoxon.xls
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.19
Stochastik und
Tabellenkalkulation
www.juergen-roth.de/excel/stochastik/Simulation_wuerfeln_mit_einem_Wuerfel.xls
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.20
Stochastik und
Tabellenkalkulation
www.juergen-roth.de/excel/stochastik/Simulation_wuerfeln_mit_einem_LEGO_Wuerfel.xls
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.21
Stochastik und
Tabellenkalkulation
http://www.juergen-roth.de/excel/stochastik/noten.xls
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.22
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.3 Grundbegriffe für diskrete
Zufallsexperimente
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.23
Beispiel: Würfeln
mit zwei Würfeln
Begriff
Beispiel
 = {(1,1); (1,2); (2,1); (1,3); (2,2); (3,1); (1,4); (2,3); (3,2);
Ergebnismenge
(4,1); (1,5); (2,4); (3,3); (4,2); (5,1); (1,6); (2,5); (3,4); (4,3);
(5,2); (6,1); (2,6); (3,5); (4,4); (5,3); (6,2); (3,6); (4,5); (5,4);
(6,3); (4,6); (5,5); (6,4); (5,6); (6,5); (6,6)}
Ereignis
E(„Augensumme 4“) = {(1,3); (2,2); (3,1)}  
Ereignismenge
Potenzmenge () := Alle Teilmengen von 
Elementarereignis
{(6,4)}  
Sicheres Ereignis
E(„Augensumme (AS) größer 1“) = 
Unmögliches
Ereignis
E(„AS 1“) =  = { }
Unvereinbare
Ereignisse
{(1,1)}, {(6,6)}   mit {(1,1)}  {(6,6)} = 
Gegenereignis
Ē(„AS kleiner 12“) := \E(„AS kleiner 12“) = {(6,6)}
Und-Ereignis
E(„Mindestens eine 3“)  E(„AS 4“) = {(1,3); (3,1)}
Oder-Ereignis
E(„AS 3“)  E(„AS 11“) = {(1,2); (2,1); (5,6); (6,5)}
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.24
Grundbegriffe
Begriff
Definition
Ergebnismenge eines
diskreten Zufallsexperiments
Menge  aller Ergebnisse
eines Zufallsexperiments
Ereignis
Teilmenge E  
Ereignismenge
Potenzmenge ()
Elementarereignis
Einelementige Teilmenge {}  
Sicheres Ereignis
E=
Unmögliches Ereignis
E=
Unvereinbare Ereignisse
E1, E2   mit E1  E2 = 
Gegenereignis des Ereignisses E
Ē := \E , das Komplement von E
Und-Ereignis zweier Ereignisse E1, E2
Durchschnitt E1  E2
Oder-Ereignis zweier Ereignisse E1, E2
Vereinigung E1  E2
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.25
Ergebnisraum vergröbern
und verfeinern
Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 1997, S. 14
Aus einer Urne mit zwei roten und
drei schwarzen Kugeln wird zweimal
nacheinander gezogen.
Mögliche Ergebnismengen (-räume):
Die Reihenfolge der gezogenen Kugeln
interessiert.
1 = {(r,r); (r,s); (s,r); (s,s)}
r
s
s
r
s
Es interessiert nur die Farbe der gezogenen
Kugeln, aber nicht deren Reihenfolge.
2 = {rr; rs; ss}
Anmerkung: Ein weiteres Kriterium für die Art der Darstellung eines
Ergebnisraumes kann die Frage sein, ob die resultierenden
Elementarereignisse gleichwahrscheinlich sein sollen oder nicht.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.26
Ergebnisraum vergröbern
und verfeinern
Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 1997, S. 14
r
s
Jürgen Roth
r
r
r
r
r
s
s
r
r
s
Didaktik der Stochastik
s
r
s
s s
s s
3.27
Verknüpfung von Ereignissen
Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 1997, S. 27
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.28
Verknüpfung von Ereignissen
Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 1997, S. 27
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.29
Rechengesetze der
Mengenalgebra
Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 1997, S. 28
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.30
Rechengesetze der
Mengenalgebra
Feuerpfeil, Heigl: Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik N, Leistungskurs. Bayerischer Schulbuchverlag, München, 1997, S. 28
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.31
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 129
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.32
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 129
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.33
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.4 Was ist Wahrscheinlichkeit?
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.34
Subjektive Wahrscheinlichkeit
intuitives Empfinden
subjektives Vertrauen
Beispiele:
GAU – Größter anzunehmender Unfall
Wie wahrscheinlich ist ein GAU?
Bayern München – Schalke 04
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass Schalke 04 gewinnt?
Schalke-Fan
0
1
In der Praxis wird häufig eine Wahrscheinlichkeit angegeben (Medien, Versicherungen), ohne die Möglichkeit, sich auf Erfahrungswerte oder Berechnungen
stützen zu können. Einschätzungen von Experten sind subjektiv und können sehr
danebenliegen, sind aber dennoch wertvoll, da Experten alle verfügbaren
Informationen einbeziehen und ihre Einschätzung auch revidieren können, wenn
neue Informationen vorliegen.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.35
Frequentistische
Wahrscheinlichkeit
relative Häufigkeit als Schätzwert für
die objektive Wahrscheinlichkeit
Empirisches Gesetz der großen Zahlen:
Mit wachsender Anzahl der Versuche
stabilisiert sich die relative Häufigkeit
eines beobachteten Ereignisses.
Beispiel:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit fällt
bei diesem „Lego-Würfel“ die sechs?
Im Jahr 1919 hatte Richard Edler von Mises die Idee
die Wahrscheinlichkeit P(E) eines Ereignisses über den
Grenzwert der relativen Häufigkeit hn(E) des Ereignisses
für n  ∞ (n: Anzahl der Versuche) zu definieren.
Dies musste allerdings scheitern.
(Es gibt kein nε ab dem hn(E) immer in einer ε-Umgebung von P(E) liegt!)
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.36
Frequentistische
Wahrscheinlichkeit
Problem: Es gibt kein nε ab dem hn(E) immer in
einer ε-Umgebung von P(E) liegt!
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.37
Eigenschaften der
relativen Häufigkeit
Bei m-maliger Durchführung eines Zufallsexperiments mit
Ergebnismenge  gilt für die relativen Häufigkeiten:
(1) Für alle E   gilt:
0  hm(E)  1
Nichtnegativität
(2) hm()  0 und hm()  1
Normiertheit
(3) Für alle E   gilt:
hm(Ē)  1 – hm(E)
(4) Für alle E1, E2   mit E1  E2   gilt:
hm(E1  E2)  hm(E1) + hm(E2) Additivität
(5) Für alle E   gilt:
hm(E1  E2)  hm(E1) + hm(E2) – hm(E1  E2)
Speziell gilt:
hm(E)  E hm({}) und hm()   hm({})  1
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.38
Laplace-Wahrscheinlichkeit
Laplace-Annahme: Alle Elementarereignisse sind gleich wahrscheinlich.
E Anzahl der Elemente von E " günstige"

P( E ) : 
 Anzahl der Elemente von  " mögliche"
Beispiel:
Mit welcher Wahrscheinlichkeit
fällt beim Spielwürfel die sechs?
?
Beim Werfen einer normalen Münze räumt man dem Auftreten von Kopf
und von Zahl aus Symmetriegründen gleiche Chancen ein. Diese Idee
geht auf den französischen Mathematiker und Physiker Pierre Simon
Laplace (1749-1827) zurück, der darauf aufbauend Regeln für das
Gewinnen von Wahrscheinlichkeiten für bestimmte Zufallsexperimente
(Laplace-Experimente) aufstellte. Seine 1812 veröffentlichte Theorie
„Analytique des Probabilités“ fasste das stochastische Wissen seiner Zeit
zusammen und baute die Wahrscheinlichkeitstheorie maßgeblich aus.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.39
Eigenschaften der LaplaceWahrscheinlichkeit
Für Ereignisse eines Laplace-Experiments mit endlicher
Ergebnismenge   {1, …, n} gilt:
(1) Für alle E   gilt:
0  P(E)  1
Nichtnegativität
(2) P()  0 und P()  1
Normiertheit
(3) Für alle E   gilt:
P(Ē)  1 – P(E)
(4) Für alle E1, E2   mit E1  E2   gilt:
P(E1  E2)  P(E1) + P(E2)
Additivität
(5) Für alle E   gilt:
P(E1  E2)  P(E1) + P(E2) – P(E1  E2)
Speziell gilt:
P(E)  E P({}) und P()   P({})  1
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.40
Axiomatische
Wahrscheinlichkeit
Axiomensystem von Kolmogorov im endlichen Fall
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (, P) ist ein Paar
bestehend aus einer nichtleeren endlichen Menge
  {1, …, n} und einer Funktion P: ()  R
mit den Eigenschaften
(1) Für alle E   gilt:
P(E)  0
Nichtnegativität
(2) P()  1
Normiertheit
(3) Für alle E1, E2   mit E1  E2   gilt:
P(E1  E2)  P(E1) + P(E2)
Additivität
Alexander Kolmogorov (1903-1987) hat in seinem Buch „Grundbegriffe
der Wahrscheinlichkeitsrechnung“ (1933) die Wahrscheinlichkeit als
normiertes Maß definiert. (vgl. Maße wie Länge, Volumen, …)
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.41
Eigenschaften einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (, P) gilt:
a) P()  0
b) Für alle E   gilt:
P(E)  1
c) Für alle E   gilt:
P (E) = 1  P(E)
d) Für alle E1, E2   gilt:
P(E1  E2)  P(E1) + P(E2) – P(E1  E2)
e) Speziell gilt:
|E|
P(E)  E P({})   P({i})  1
i 1
P()   P({})   P({i})  1
||
i 1
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.42
Eigenschaften einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Für einen endlichen Wahrscheinlichkeitsraum (, P) gilt:
a) P()  0
(2)
Beweis:
( 3)
(2)
1  P()  P(  )  P( ) + P( )  1 + P()
 P( )  0
#
b) Für alle E   gilt: P(E)  1
c) Für alle E   gilt: P(E)  1  P(E)
(2 )
Beweis:
( 3)
(1)
1  P()  P(E  E )  P(E) + P(E)  P(E)
 P(E)  1 und
P (E )  1  P(E)
#
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.43
Eigenschaften einer
Wahrscheinlichkeitsverteilung
d) Für alle E1, E2   gilt:
E1
E2
P( E1 E2 )
 P(E1) + P(E2 )  P(E1  E2 )
http://juergen-roth.de/dynageo/venn_diagramm/
Beweis:
P( E1 E2 )
 P(E1\ E2  (E1  E2 )  E2 \ E1 )
(3 )
 P( E 1 \ E 2 ) + P ( E1  E 2 ) + P( E 2 \ E 1 )
 P( E1\ E2 ) + P( E1 E2 ) + P( E2 \ E1 ) + P( E1 E2 )  P( E1 E2 )
(3 )
 P(E1) + P(E2 )  P(E1  E2 )
Jürgen Roth
#
Didaktik der Stochastik
3.44
Axiomatische
Wahrscheinlichkeit
Axiomensystem von Kolmogorov
im abzählbar unendlichen Fall
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (, P) ist ein Paar
bestehend aus einer nichtleeren abzählbaren Menge
  {1, 2, 3, …} und einer Funktion P: ()  R
(Wahrscheinlichkeitsverteilung) mit den Eigenschaften
(1) Für alle E   gilt:
P(E)  0
Nichtnegativität
(2) P()  1
Normiertheit
(3) Für abzählbar viele paarweise disjunkte Ei   gilt:
  
P U Ei   P(Ei)
 i 1  i 1
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
σ-Additivität
3.45
Axiomatische
Wahrscheinlichkeit
Axiomensystem von Kolmogorov (allgemein)
Ein Wahrscheinlichkeitsraum (, , P) ist ein Tripel
bestehend aus einer nichtleeren Menge , einer
σ-Algebra  von Teilmengen von  und einer
Funktion P:   [0; 1] (Wahrscheinlichkeitsverteilung)
mit den Eigenschaften
(1) Für alle E   gilt:
P(E)  0
Nichtnegativität
(2) P()  1
Normiertheit
(3) Für abzählbar viele paarweise disjunkte Ei   gilt:
  
P U Ei   P(Ei)
 i 1  i 1
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
σ-Additivität
3.46
Perspektiven bzgl.
Wahrscheinlichkeit
Büchter, Hußmann, Leuders & Prediger: Den Zufall im Griff – Stochastische Vorstellungen fördern. In: Praxis der Mathematik
in der Schule, 47. Jg., August 2005, Heft 4, S. 1-7
Fachliche Perspektive
Lernerperspektive
Aufmerksamkeit
auf lange Sicht
Aufmerksamkeit
auf Einzel-Ergebnis
Beispiel:Würfeln mit 2 Würfeln
Möglichkeiten zählen
Beispiel:Würfeln mit 2 Würfeln
Bedeutsamkeitsansatz
„Ich habe mich für die 7 entschieden,
weil es hier sechs Möglichkeiten gibt.
Bei den anderen gibt es nur fünf oder
noch weniger Möglichkeiten …“
(Je mehr Möglichkeiten, desto größer
ist die Wahrscheinlichkeit.)
„Ich habe im zweiten Spiel
mehrmals die 8 geworfen und weiß
auch warum. Ich bin am 16. 8.
geboren.“
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.47
Leitideen für den
Stochastikunterricht
Büchter, Hußmann, Leuders & Prediger: Den Zufall im Griff – Stochastische Vorstellungen fördern.
In: Praxis der Mathematik in der Schule, 47. Jg., August 2005, Heft 4, S. 1-7
Alltagsvorstellungen ernst nehmen und
zum Ausgangspunkt des Lernens machen
erfordert Situationen die dies ermöglichen
Erfahrungsmöglichkeiten durch Experimente schaffen
Erfahrungen aus Experimenten systematisch reflektieren
mitgebrachte Vorstellungen überdenken
individuelle & fachliche Vorstellungen gegenüberstellen
Ursachen für Diskrepanzen finden
notwendige Perspektivwechsel explizit machen
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.48
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 130
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.49
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 130
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.50
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.5 Mehrstufige
Zufallsexperimente
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.51
Chinesische
Würfel
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.52
Chinesische
Würfel
2
3
1
3
2
A
6
1
2
1
2
1
2
1
2
1
5
1
5
1
3
Gewinner: A
1
3
B
1
6
A
1
6
A
B
Der Würfel A gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von gegen
3
den Würfel B.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.53
Pfadregeln beim
Baumdiagramm
Produktregel
Die Wahrscheinlichkeit eines
Ergebnisses ist gleich dem Produkt
der Wahrscheinlichkeiten entlang
1
des zugehörigen Pfades im
2
Baumdiagramm.
Summenregel
1
Die Wahrscheinlichkeit eines
1
Ereignisses ist gleich der Summe 3
der Wahrscheinlichkeiten aller
A
Pfade, die für dieses Ereignis
günstig sind.
2
3
1
3
2
A
6
1
2
1
2
1
2
5
1
5
1
3
B
1
6
A
1
6
A
B
Gewinner
Verzweigungsregel
Die Summe der Wahrscheinlichkeiten an den Ästen, die
von einem Verzweigungspunkt ausgehen ist immer 1.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.54
Chinesische
Würfel
Der Würfel A gewinnt mit
einer Wahrscheinlichkeit
2
von 3 gegen den Würfel B.
1
1
1
5
5
5
2
A
A
A
B
B
B
2
A
A
A
B
B
B
2
A
A
A
B
B
B
2
A
A
A
B
B
B
6
A
A
A
A
A
A
6
A
A
A
A
A
A
24
P(Würfel A gewinnt) = 36
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.55
Chinesische
Würfel
1
2
1
2
1
B
5
1
3
2
3
1
3
2
3
0
4
0
4
1
6
Gewinner: B
1
3
C
1
6
B
1
3
B
C
Der Würfel B gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von 3 gegen
den Würfel C.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.56
Chinesische
Würfel
Der Würfel B gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von 3 gegen
den Würfel C.
0
0
4
4
4
4
1
B
B
C
C
C
C
1
B
B
C
C
C
C
1
B
B
C
C
C
C
5
B
B
B
B
B
B
5
B
B
B
B
B
B
5
B
B
B
B
B
B
24
P(Würfel B gewinnt) = 36
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.57
Chinesische
Würfel
1
3
2
3
4
C
3
3
D
1
3
D
2
3
C
0
1
Gewinner:
1
Der Würfel C gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von 3 gegen
den Würfel D.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.58
Chinesische
Würfel
Der Würfel C gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von 3 gegen
den Würfel D.
3
3
3
3
3
3
0
D
D
D
D
D
D
0
D
D
D
D
D
D
4
C
C
C
C
C
C
4
C
C
C
C
C
C
4
C
C
C
C
C
C
4
C
C
C
C
C
C
24
P(Würfel C gewinnt) = 36
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.59
Chinesische
Würfel
1
D
3
2
3
Gewinner:
1
3
2
6
2
3
D
1
3
A
A
Der Würfel D gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von 3 gegen
den Würfel A.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.60
Chinesische
Würfel
Der Würfel D gewinnt mit einer
2
Wahrscheinlichkeit von 3 gegen
den Würfel A.
2
2
2
2
6
6
3
D
D
D
D
A
A
3
D
D
D
D
A
A
3
D
D
D
D
A
A
3
D
D
D
D
A
A
3
D
D
D
D
A
A
3
D
D
D
D
A
A
24
P(Würfel D gewinnt) = 36
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.61
Chinesische
Würfel
„gewinnt gegen mit Wahrscheinlichkeit 2/3“
• Die Relation „gewinnt gegen mit Wahrscheinlichkeit
2/3“ ist auf der Menge dieser Würfel nicht transitiv.
• Man findet zu jedem Würfel einen „besseren“.
• Der Spieler der die zweite Wahl hat ist im Vorteil!
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.62
Chinesische
Würfel
A
B
C
D
A
–
𝟐
𝟑
𝟓
𝟗
𝟏
𝟑
B
𝟏
𝟑
–
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
C
𝟒
𝟗
𝟏
𝟑
–
𝟐
𝟑
D
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
–
Tabelleneinträge:
• Wahrscheinlichkeit, dass Zeile
gegen Spalte gewinnt.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.63
Chinesische
Würfel
Neues Spiel:
Die beiden Spieler wählen
je einen Würfel aus und spielen
anschließend fünf Runden.
Gewonnen hat der Spieler, der
die meisten Runden gewonnen
hat.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der mit dem
„besseren“ bzw. der mit
dem „schlechteren“ Würfel
gewinnt?
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.64
Chinesische
Würfel
p
2
p=–
3
P(„A gewinnt“)
A
5
=
1–p
p
n=5
k 3
A
p
B
1–p
A
p
B
1–p
( ) p  (1 – p)
64
81
1–p
=
A
5
k
5–k
k
 0,79
B
1–p
p
A
p
B
1
1–p = –
3
B
1–p
A
p
B
1–p
A
B
p
1–p p
1–p p
1–p p
1–p
p
1–p p
1–p
p
1–p p
1–p
A
B
B
B
B
A
B
B
A
B
B
A
A
A
A
A
A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B A B
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.65
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 130
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.66
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 131
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.67
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 132
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.68
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 132
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.69
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.6 Kombinatorik
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.70
Zählprinzipien
Hefendehl-Hebeker & Törner: Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik.
In: Didaktik der Mathematik, 12(1984)4, S. 245-262
Produktregel
fundamentales Zählprinzip
Summenregel
Regel des getrennten Abzählens
Prinzip der Schäfer
Hilfsstrategien zum Prinzip der Schäfer
Einführung & Rücknahme
von Anordnungen
Einführung & Rücknahme
von Unterscheidungen
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.71
Zahlenschloss
Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem Zahlenschloss eine
vierstellige Zahl aus den Ziffern 1 bis 6 zu bilden?
Zählprinzip:
1. Stelle: 6 Möglichkeiten
2. Stelle: 6 Möglichkeiten
3. Stelle: 6 Möglichkeiten
4. Stelle: 6 Möglichkeiten
Anzahl der Möglichkeiten:
6 ∙ 6 ∙ 6 ∙ 6 = 64 = 1296
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.72
Gemischtes Eis
Wie viele Möglichkeiten gibt es aus sieben Eissorten ein
gemischtes Eis mit drei verschiedenen Kugeln
zusammenzustellen?
Zählprinzip:
1. Kugel: 7 Möglichkeiten
2. Kugel: 6 Möglichkeiten
3. Kugel: 5 Möglichkeiten
Anzahl der Möglichkeiten:
7∙6∙5=
Jürgen Roth
7!
7−3 !
= 2010
Didaktik der Stochastik
3.73
Pferderennen
𝑛
𝑛!
≔
𝑘
𝑛 − 𝑘 ! ∙ 𝑛!
Wie viele Möglichkeiten gibt es beim Pferderennen eine
Teilmenge der drei erstplatzierten Pferde aus der Menge
der 15 startenden Pferde auszuwählen?
Zählprinzip:
1. Pferd: 15 Möglichkeiten
2. Pferd: 14 Möglichkeiten
3. Pferd: 13 Möglichkeiten
Die Permutationen
der drei Plätze
dürfen nur einmal
gezählt werden!
Anzahl der Möglichkeiten:
15!
15
15 ∙ 14 ∙ 13
=
=
= 455
15 − 3 ! ∙ 3!
3
3!
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.74
Beispiel
Wie viele verschiedene „Worte“ mit zehn Buchstaben kann
man aus den Buchstaben des Wortes „Missisippi“ bilden?
Anzahl der möglichen Anordnungen von
zehn Buchstaben auf zehn Stellen:
10 · 9 · 8 · 7 · 6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1 = 10!
Dabei wurden aber alle Vertauschungsmöglichkeiten
für die vier i (4!), die drei s (3!) und die zwei p (2!)
mitgezählt. Da diese nicht unterscheidbar sind und
folglich nicht zu verschiedenen „Worten“ führen,
ergibt sich als Lösung der Aufgabe:
10!
3628800
= 12600
=
4! ∙ 3! ∙ 2!
24 ∙ 6 ∙ 2
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.75
Zellenproblem
Auf wie viele Arten kann man 𝑘
nicht unterscheidbare Kugeln auf 𝑛
Zellen verteilen, wenn eine Zelle bis
zu 𝑘 Kugeln aufnehmen kann?
Beispiel: 3 Kugeln und 3 Zellen
Drei Zellen können durch zwei
Trennstriche realisiert werden.
Kugeln & Trennstriche benötigen
zusammen fünf Plätze.
Verteilung der Kugeln durch Platznummer der Trennstriche bestimmt
Anzahl der Auswahlmöglichkeiten
der zwei Trennstrichplätze aus den
fünf Plätzen:
3+3−1
3+2
5
𝑘+𝑛−1
=
=
= 10
=
2
2
2
𝑘
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.76
Kombinatorik: Überblick
Beachtung der
Reihenfolge
ohne Beachtung
Auswahl von k Elementen aus einer n-Menge
der Reihenfolge
Bsp.: Auswahl von 2 Elementen aus der 3-Menge {1; 2; 3}
mit
mit
Wiederholung
Wiederholung
>
k-Tupel (k =
< n)
(1|1) (1|2) (1|3)
(2|1) (2|2) (2|3)
(3|1) (3|2) (3|3)
>
k-Kombination (k =
< n)
Anzahl
k
n
Anzahl
 n + k  1


k


ohne
ohne
Wiederholung
Wiederholung
k-Permutation (k  n)
(1|2) (1|3)
(2|1)
(2|3)
(3|1) (3|2)
Jürgen Roth
(1;1) (1;2) (1;3)
(2;2) (2;3)
(3;3)
k-Teilmengen (k  n)
Anzahl
n!
(n – k)!
Didaktik der Stochastik
{1;2} {1;3}
{2;3}
Anzahl
n!
(n – k)! · k!
n
= 
k
3.77
Referatsthemen
Hefendehl-Hebeker & Törner: Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik.
In: Didaktik der Mathematik, 12(1984)4, S. 245-262
Die Schüler Tobias, Alexander und Stefan erhalten je eines von fünf zum
Referat anstehenden Büchern. Auf wie viele Arten ist eine solche
Verteilung möglich?
Ansatz 1: Stufung über die Personen
Verteilungsprozess in drei Stufen, entsprechend den drei
Personen, wobei nacheinander 5, 4 bzw. 3 Bücher zur Verfügung
stehen.
 Anzahl der Möglichkeiten:
𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟔𝟎
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.78
Referatsthemen
Hefendehl-Hebeker & Törner: Über Schwierigkeiten bei der Behandlung der Kombinatorik.
In: Didaktik der Mathematik, 12(1984)4, S. 245-262
Die Schüler Tobias, Alexander und Stefan erhalten je eines von fünf
zum Referat anstehenden Büchern. Auf wie viele Arten ist eine solche
Verteilung möglich?
Ansatz 2: Stufung über die Bücher
1. Buch wird verteilt  3 mögliche Adressaten
2. Buch wird verteilt  2 mögliche Adressaten
3. Buch wird verteilt  1 möglicher Adressat
Verteilungsvorgang ist mangels weiterem Adressat beendet.
 Anzahl der Möglichkeiten:
𝟑 ∙ 𝟐 ∙ 𝟏 = 𝟔
𝟓
Problem: Es wurden nur 3 Bücher verteilt, die erst
𝟑
aus den fünf Büchern ausgewählt werden müssen!
 Anzahl der Möglichkeiten:
Jürgen Roth
𝟓
𝟑
Didaktik der Stochastik
∙ 𝟑! = 𝟓 ∙ 𝟒 ∙ 𝟑 = 𝟔𝟎
3.79
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 133
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.80
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 133
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.81
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 133
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.82
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 134
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.83
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 134
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.84
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 134
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.85
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 135
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.86
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 135
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.87
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 135
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.88
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 136
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.89
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 136
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.90
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 137
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.91
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 137
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.92
Schulbücher
Vogel et al. (Hrsg.): Formel 10 Bayern. Buchner & Klett, Bamberg, Stuttgart, 2002, S. 135
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.93
Chinesische
Würfel
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für
jeden der Würfel, dass er gewinnt, wenn
alle vier Würfel geworfen werden?
2
3
2
1
2
6
1
2
1
1
3
1
3
1
P(„A gewinnt“) = 3
5
2
3
0
1
P(„B gewinnt“) = 3
4
P(„C gewinnt“) = 2
9
1
3
P(„D gewinnt“) =
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
1
9
3.94
Chinesische
Würfel
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.95
Didaktik der Stochastik – Kapitel 3: Wahrscheinlichkeitsrechnung
3.7 Bedingte
Wahrscheinlichkeit
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.96
Umfrage
Tomlinson & Quinn: Bedingte Wahrscheinlichkeit verstehen. In: Stochastik in der Schule, 18(1998)3, S. 27-40
Linda ist eine 31 Jahre alt und Single.
Sie unterhält sich gerne über Themen wie Abrüstung
oder Gleichberechtigung. Welche der folgenden
Behauptungen ist dann eher wahrscheinlich?
A) Linda ist Bankkauffrau.
B) Linda ist Bankkauffrau und aktiv
in der feministischen Bewegung.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.97
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Gardner: The Unschooled Mind. Basic Books, New York, 1991
Intuitive Urteile wie beim „Linda“-Problem
sind nach Gardner (1991) mit optischen Täuschungen
vergleichbar und unvermeidbar
können durch Metakognition (z. B. den bewussten Gebrauch
von mathematischen Werkzeugen) überwunden werden
Solches „sekundäres Denken“ muss entwickelt werden.
Geeignete Aktivitäten:
Experimentieren und Spiele durchführen
Computersimulationen einsetzen
graphische Darstellungen nutzen
Ziel: Intuitives Verständnis für mathem. Argumente aufbauen
verbessert die Fähigkeit rational zu denken
hilft stochastische Situationen zu beurteilen
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.98
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Bender, P.: Grundvorstellungen & Grundverständnisse für den Stochastikunterricht.
In: Stochastik in der Schule, 17 (1997) 1, S. 8-33
Beispiel:
Es werden nacheinander zwei
Karten aus einem verdeckten
Kartenstapel mit 32 Karten
gezogen.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die zweite Karte ein As ist unter
der Bedingung, dass die erste Karte
ein Bube ist?
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
dass die erste Karte ein As ist unter
der Bedingung, dass die zweite Karte
ein Bube ist?
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.99
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit 𝑃(𝐴|𝐵)
ist die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis 𝐴,
wenn man weiß, dass 𝐵 eingetreten ist.
ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des
Ereignisses 𝐴 unter der Bedingung, dass das
Ereignis 𝐵 (bereits) eingetreten ist.
Sprechweise
Der senkrechte Strich ist als „unter der Bedingung/Voraussetzung“
zu lesen.
Man sagt auch, 𝑃(𝐴|𝐵) ist „die Wahrscheinlichkeit
für 𝐴 unter der Bedingung 𝐵“.
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.100
Unabhängige Ereignisse
Beispiele
Die Wahrscheinlichkeit für Regen ist unabhängig
von unseren Wünschen.
Die Zahl der Leute, die mit einem Regenschirm aus dem
Haus gehen ist abhängig von der Wettervorhersage.
Zwei Ereignisse A und B sind (stochastisch) unabhängig, wenn
sie sich in Hinblick auf die Wahrscheinlichkeit
ihres Eintretens nicht beeinflussen.
𝑃(𝐴) = 𝑃(𝐴|𝐵) bzw. 𝑃(𝐵) = 𝑃(𝐵|𝐴)
𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵)
Definition
Zwei Ereignisse 𝐴 und 𝐵 heißen (stochastisch) unabhängig,
wenn gilt 𝑃(𝐴 𝐵) = 𝑃(𝐴) ∙ 𝑃(𝐵).
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.101
Stochastische Unabhängigkeit
Beispiele
w
s
Aus einer Urne mit zwei weißen und drei schwarzen
s
Kugeln wird zweimal hintereinander eine Kugel gezogen.
Vor jedem Zug wird sorgfältig gemischt.
Mit Zurücklegen:
Legt man die Kugel nach dem ersten Ziehen wieder zurück,
so sind die Ereignisse 𝑆1: „Schwarz beim ersten Zug“ und
𝑆2: „Schwarz beim zweiten Zug“ voneinander unabhängig.
Ohne Zurücklegen:
Legt man die Kugel nach dem ersten Ziehen nicht zurück, so sind
die Ereignisse 𝑆1: „Schwarz beim ersten Zug“ und 𝑆2: „Schwarz
beim zweiten Zug“ voneinander abhängig.
s
w
Hinweis:
Baumdiagramme zeichnen!
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.102
Ziehen mit Zurücklegen
1. Zug
𝑆1: Schwarz beim
ersten Zug
𝑆2: Schwarz beim
zweiten Zug
2. Zug 𝑃 𝑆  𝑆 =
1
2
s
9
25
w
6
25
3
5
s
6
25
2
5
w
4
25
3
5
w s
s
s w
s
𝑃 𝑆1 =
3
5
2
5
2
5
𝑆1  𝑆2: Schwarz beim
ersten und beim
zweiten Zug
Jürgen Roth
𝑃 𝑆2
9
6
=
+
25 25
15 3
=
=
25 5
w
Didaktik der Stochastik
𝑃(𝑆1  𝑆2)
= 𝑃(𝑆1) · 𝑃(𝑆2)
3.103
Ziehen ohne Zurücklegen
1. Zug
𝑆1: Schwarz beim
ersten Zug
𝑆2: Schwarz beim
zweiten Zug
2. Zug
𝑃(𝑆1  𝑆2) =
s
3
10
w
3
10
3
4
s
3
10
1
4
w
1
10
2
4
w s
s
s w
s
𝑃 𝑆1 =
3
5
2
4
2
5
𝑆1  𝑆2: Schwarz beim
ersten und beim
zweiten Zug
Jürgen Roth
𝑃 𝑆2
3
3
=
+
10 10
6
3
=
=
10 5
w
Didaktik der Stochastik
𝑃(𝑆1  𝑆2)
≠ 𝑃(𝑆1) · 𝑃(𝑆2)
3.104
Beispiel: Würfeln mit
einem Würfel
Es wird einmal mit einem fairen Würfel gewürfelt.
Dabei interessieren folgende Ereignisse bzgl. der Augenzahl:
X: „Gerade Zahl“
Y: „Zahl größer als 2“
Z: „Primzahl“
Sind diese Ereignisse abhängig oder unabhängig voneinander?
Wie kann die Wahrscheinlichkeit bestimmt werden, dass
X und Y,
Y und Z bzw.
X und Z
gleichzeitig eintreten? Gesucht sind also die
Wahrscheinlichkeiten P(X  Y), P(Y  Z) und P(X  Z).
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.105
Beispiel: Würfeln mit
einem Würfel
Tomlinson, S. & Quinn, R.: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen. In: Stochastik in der Schule, 18 (1998) 3, S. 27-40
Y
XY
X
X
Y
2
4
2
4
3
6
3
6
5
1
5
1
2
4
2
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
1
5
1
5
1
2
4
2
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
1
5
1
5
1
X: „Gerade Zahl“
XY
P(Y ) 
2
3
1
3
1
1
P(X  Y ) 
3
6
 P(X) · P(Y )
P(X ) 
1
2
P(X  Y ) 
P(X ) 
1
2
P(X  Y ) 
Y: „Zahl größer als 2“
P(Y ) 
1
1
P(X  Y ) 
3
6
Z: „Primzahl“
unabhängig
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.106
Beispiel: Würfeln mit
einem Würfel
Tomlinson, S. & Quinn, R.: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen. In: Stochastik in der Schule, 18 (1998) 3, S. 27-40
Z
YZ
Y
Y
Z
2
4
2
4
3
6
3
6
5
1
5
1
2
4
2
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
1
5
1
5
1
2
4
2
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
1
5
1
5
1
X: „Gerade Zahl“
YZ
P(Z ) 
1
2
P(Z ) 
1
2
1
1
P(Y  Z ) 
3
3
 P(Y) · P(Z )
P(Y ) 
2
3
P(Y  Z ) 
P(Y ) 
1
3
P(Y  Z ) 
Y: „Zahl größer als 2“
1
1
P(Y  Z ) 
6
6
Z: „Primzahl“
unabhängig
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.107
Beispiel: Würfeln mit
einem Würfel
Tomlinson, S. & Quinn, R.: Bedingte Wahrscheinlichkeit Verstehen. In: Stochastik in der Schule, 18 (1998) 3, S. 27-40
Z
XZ
X
X
Z
2
4
2
4
3
6
3
6
5
1
5
1
2
4
2
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
1
5
1
5
1
2
4
2
4
2
4
3
6
3
6
3
6
5
1
5
1
5
1
X: „Gerade Zahl“
XZ
P(Z ) 
1
2
1
2
1
1
P(X  Z ) 
3
6
 P(X) · P(Z )
P(X ) 
1
2
P(X  Z ) 
P(X ) 
1
2
P(X  Z ) 
Y: „Zahl größer als 2“
P(Z ) 
1
1
P(X  Z ) 
3
6
Z: „Primzahl“
abhängig
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.108
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
P( X  Z )
|
(
)
PZ X =
=
P( X )
X: „Gerade Zahl“
=
1
3
2
4
3
6
2
4
5
1
3
6 P( X  Z )
5
1
Z
X
Z: „Primzahl“
2
4
3
6
5
1
2
4
3
6
5
1
X
2
4
3
6
5
Jürgen Roth
1
6
1
2
1
Didaktik der Stochastik
Z
2
4
3
6 P( X  Z )
5
1
P( X  Z )
|
(
)
PZ X =
=
P( X )
2
6
1
2
=
2
3
3.109
Bedingte
Wahrscheinlichkeit
X: „Gerade Zahl“
Z: „Primzahl“
1
P( Z  X ) = 6
1
3
Z
1
2
2
3
5
2
3
5
4
6
1
4
6
1
P(Z | X )
1
=
3
2
3
2
3
5
4
6
1
X
2
3
5
1
P( Z  X ) = 3
4
6
1
4
6
1
2
3
1
2
2
3
5
1
P( Z  X ) = 3
1
2
2
3
2
3
5
4
6
1
Z
Jürgen Roth
2
3
5
2
3
5
4
6
1
2
3
2
3
5
1
P( Z  X ) = 6
1
3
2
3
5
4
6
1
Didaktik der Stochastik
1
3
4
6
1
4
6
1
1
2
X
3.110
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Ein alter Mann wird Zeuge eines Autounfalls mit Fahrerflucht und
berichtet, dass das flüchtende Auto ein blaues Taxi gewesen sei
(Behauptung b). Es gibt zwei Taxiunternehmen in der Stadt, die 15
blaue (B) bzw. 85 grüne (G) Taxen hat. In der Verhandlung wird die
Sehfähigkeit des Mannes geprüft und man bekommt heraus, dass er
in 80 % der Fälle die richtige Farbe zuordnen kann, d. h.
P(b|B) = P(g|G) = 0,8.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass wirklich ein blaues Taxi in
den Unfall verwickelt war?
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.111
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(b|B)
= 0,8
b
P(Bb) = 0,12
B
B
b
P(B) = 0,15
0,2
P(G) = 0,85
0,2
g
P(Bg) = 0,03
B
b
P(Gb) = 0,17
G
G
P( B  b )
P( b )
0,12
= 0,41
=
0,29
P(B | b ) =
Jürgen Roth
P(B | b )
= 0,41
0,29
0,71
g
0,8
g
P(Gg) = 0,68
G P(b) = P(Bb) + P(Gb)
= 0,12 + 0,17 = 0,29
Didaktik der Stochastik
3.112
Bedingte Wahrscheinlichkeit
P(B|A)
B
P(BA)
A
P(A|B)
A
P(A)
P(B|A)
B
B
P(BA)
P(B)
A
P(A|B)
P(A|B)
P(A)
P(B|A)
B
P(BA)
A
A
P(B|A)
Jürgen Roth
P(B)
B
B
P(BA)
Didaktik der Stochastik
P(A|B)
A
3.113
Totale Wahrscheinlichkeit
und die Formel von Bayes
P(B|A)
P(A | B )
P(BA)
A
A
P( B  A )
=
P( B )
P(A)
P(B|A)
P(A|B)
B
B
P(BA)
P(B)
A
P(A|B)
P(A) ∙ P(B|A)
=
P(BA) + P(BA)
=
B
P(A)
P(B|A)
B
P(BA)
A
A
P(B|A)
P(A) ∙ P(B|A)
P(A|B)
P(B)
B
B
P(BA)
A
P(A|B)
P(A) ∙ P(B|A) + P(A) ∙ P(B|A)
Für Ω = A  A und B  Ω gilt:
Totale Wahrscheinlichkeit von B:
P( B) = P(A) ∙ P(B|A) + P(A) ∙ P(B|A)
Formel von Bayes: P(A | B) =
Jürgen Roth
P(A) ∙ P(B|A)
P(A) ∙ P(B|A) + P(A) ∙ P(B|A)
Didaktik der Stochastik
3.114
Totale Wahrscheinlichkeit
und die Formel von Bayes
Seien A1, A2, … , An paarweise
disjunkte Teilmengen von Ω
mit A1  A2  …  An = Ω,
dann gilt für jedes Ereignis
B  Ω:
A5
B
Satz von der
totalen Wahrscheinlichkeit
A1B
A2B
n
P(B ) =
 P(B | A )  P(A )
i
A5B
A1
i
i 1
A2
A4
A4B
A3B
A3
Ω
Satz von Bayes
P( A i | B ) 
P(B | A i )  P( A i )
n
 P(B | A )  P(A )
i
i
i 1
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.115
Ärztliche Diagnosen
medizinische Tests
Pinkernell: Test positiv – Diagnose negativ. Medizin. Testergebnisse richtig interpretieren. In: Mathematik lehren 138, 2006, S. 50-55
Für die Mammographie als Diagnose-Methode für Brustkrebs
sind folgende auf Grund von quantitativen Untersuchungen
geschätzten Wahrscheinlichkeiten bekannt:
1% der weiblichen Bevölkerung einer bestimmten
Altersgruppe hat Brustkrebs. (Basisrate)
Die Sensitivität der Mammographie beträgt 80%.
(Hat eine Patientin Brustkrebs, so kommt es in
80% der Fälle auch zu einer positiven Diagnose.)
Die Spezifität der Mammographie beträgt 90%.
(Hat eine Patientin keinen Brustkrebs, so kommt es
in 90% der Fälle auch zu einer negative Diagnose.)
Wie viel Prozent der bei einer Mammographie positiv
getesteten Patientinnen sind tatsächlich krank?
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.116
Fachbegriffe bei
medizinische Tests
Pinkernell: Test positiv – Diagnose negativ. Medizin. Testergebnisse richtig interpretieren. In: Mathematik lehren 138, 2006, S. 50-55
Prävalenz
Anteil der Erkrankten
in der Bevölkerung
auch: Verbreitung
Sensitivität
eines Tests
Wahrscheinlichkeit, dass
ein erkrankter Mensch
positiv getestet wird
auch: Empfindlichkeit,
Richtigpositiv-Rate
Spezifität
eines Tests
Wahrscheinlichkeit, dass
ein gesunder Mensch
negativ getestet wird
auch: Richtignegativ-Rate
Wahrscheinlichkeit, dass
Positiver
ein positiv getesteter
Vorhersagewert
Mensch tatsächlich
(ppV) eines Tests
erkrankt ist
auch: positive predictive
Value (ppV), positiver
Prädiktionswert, Relevanz
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.117
Vierfeldertafel zu
medizinische Tests
Pinkernell: Test positiv – Diagnose negativ. Medizin. Testergebnisse richtig interpretieren. In: Mathematik lehren 138, 2006, S. 50-55
http://www.juergen-roth.de/excel/stochastik/vierfeldertafel_zu_medizinischen_tests.xls
Jürgen Roth
Didaktik der Stochastik
3.118