Arithmetik - Fachbereich Mathematik und Informatik

Berechenbarkeit,
Beweisbarkeit
Arithmetik
Inhalt
1.
2.
3.
Die Arithmetik
n
n
n
Sprache
Axiome
Induktionsschema
Definierbarkeit
n
n
n
n
Komposition
Gödelsche β-Funktion
Chinesischer Restsatz
Definierbarkeit der rek.
Funktionen
Die Gödelschen Sätze
n
n
n
n
Fixpunktsatz
Erster Unvollständigkeitssatz
Zweiter Unvollständigkeitssatz
Goodstein-Folgen
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Inhalt
1.
2.
3.
Die Arithmetik
n
n
n
Sprache
Axiome
Induktionsschema
Definierbarkeit
n
n
n
n
Komposition
Gödelsche β-Funktion
Chinesischer Restsatz
Definierbarkeit der rek.
Funktionen
Die Gödelschen Sätze
n
n
n
n
Fixpunktsatz
Erster Unvollständigkeitssatz
Zweiter Unvollständigkeitssatz
Goodstein-Folgen
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Arithmetik
Die Zahlentheorie beschäftigt sich mit der Datenstruktur
N = ( N ; 0N, +1N , +N, ¤N ; =N )
Dabei ist N die Menge der natürlichen Zahlen,
+1N(n) := n+1
+N und ¤N sind Addition und Multiplikation,
=N die Gleichheit auf N.
Die Signatur von N ist ΣN = ( 0, s, +, * ; = ) mit
0 nullstellig
s einstellig
+, *, = zweistellig
Eine alternative Struktur mit dieser Signatur wäre z.B.
B = ({ 0, 1 }, 0B, sB, +B, ¤B ; =B) wobei
0B := 0
sB(x) := :B(x)
+B(x,y)
:= x ©B y
¤B(x,y)
:= x ÆB y
1
0
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Die logische Sprache der Arithmetik
n
Die Sprache L(ΣN) ist
Terme :
PL1-Formeln :
Term
:
|
|
|
|
|
x,
0
s ( Term )
Term + Term
Term * Term
( Term )
Expr
: Term = Term
| ¬ Expr | ? | >
| Expr ∧ Expr | Expr ∨ Expr
| Expr ! Expr | Expr $ Expr
| ∃ x. Expr | ∀ x. Expr
für jedes x 2 Var
Atomare Audrücke
für jedes x 2 Var
Eine arithmetische Formel ist eine PL1-Formel aus L(ΣN)
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Interessante Formeln in L(ΣN)
n
Abkürzungen
¨
n
Interessante Formeln
¨
¨
¨
n
:= 9n. x + n = y
:= 9n. x ¤ n = y
:= 8n. n|x ) n· 1
Goldbach := 8n. 9x 9y. Prim(x) Æ Prim(y) Æ 2¤n=x+y
Keine Aussage, keine Formel
¨
n
x·y
x|y
Prim(x)
Interessante Aussage
¨
n
1 := s(0), 2 := s(s(0)), …
Fermat
:= 8n. ( 9x. 9y. 9z. xn+yn=zn ) ! n · 2.
Aber kann man eine „äquivalente“ Formel formulieren ?
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Semantik
n
Sei v : Var → N eine beliebige Belegung in N.
Wert ² eines
Terms t unter
v heiße v(t)
Wann ist eine
Formel wahr
²N f
v(0)
= 0N
v(s(x))
= v(x)+1
, falls x Variable
v( t1 + t2 ) = v( t1 ) + v( t2 )
v( t1 * t2 ) = v( t1 ) ¤ v( t2 )
v( ( t ) )
= v(t)
²N
²N
²N
²N
²N
²N
t1=t2
:f
f1 Æ f2
f1 Ç f2
8x . f
9x . f
:, für alle Belegungen v gilt v(t1 ) = v(t2 ).
:, nicht ² f
:, ² f1 und ² f2
:, ² f1 oder ² f2
:, es gibt ein n 2 N mit ² f(x/n)
:, für alle n 2 N gilt ² f(x/n).
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Axiome der Arithmetik
n
Um wahre Aussagen von N beweisen zu können,
brauchen wir Axiome und Schlussregeln
Was wäre zum Beispiel mit folgenden
Axiome der Logik erster Stufe.
n
∀x.
∀x.∀y.
¬s(x) = 0
s(x) = s(y) ⇒ x = y
∀x.
∀x. ∀y.
x+0=x
x + s(y) = s(x + y)
∀x.
∀x. ∀y.
x*0=0
x * s(y) = (x * y) + x
Freiheitsaxiome:
Jede Zahl außer 0 hat
eindeutigen Vorgänger
Definition
der Addition
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Axiome reichen nicht aus
n
In N gilt z.B.
N£N
s(2,3)=(3,4)
(linOrd) 8 x. 8 y. (9 z. x+z=y Ç y+z=x)
n
aber das ist aus den Axiomen nicht herleitbar,
denn es gibt Strukturen, die die Axiome erfüllen,
nicht aber (linOrd).
¨
s(s(0))
s(0)
0
Beispiel: N£N mit komponentenweisen Operationen:
n
n
n
n
0N£N = (0 N,0 N)
sN£N(n1,n2) = (sN(n1),sN(n2))
(n1 ,n2) +N£N (m1 ,m2) = (n1 +N m1,n2 +N m2)
(n1 ,n2) ¤N£N (m1 ,m2) = (n1 ¤N m1,n2 ¤N m2)
erfüllt die Axiome
¨
n
Aber x=(2,3), y=(3,2) und erfüllt nicht (linOrd)
Also ist (linOrd) nicht aus den Axiomen herleitbar
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Probleme mit Addition
n
Lässt sich aus den Axiomen herleuiten: 8x. 0+x = x ?
¨
¨
¨
n
Metatheorem :
¨
¨
n
0+0 = 0 p
0+s(0) = s(0+0) = s(0) p
0+s(s(0)) = s(0+s(0))=s(s(0)) p
Für jedes n=s(s(…s(0)…)) können wir zeigen
0+n=n
Wir können aber nicht zeigen:
8n. 0+n=n
Analog
¨
¨
8x. x+n=n+x für jedes n der Form s(s(…s(0)…))
aber nicht 8x. 8y. x+y=y+x
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Induktionsschema
n
Jede nat. Zahl soll Nachfolger der 0 sein
¨
n
Wie soll man das ausdrücken ?
8 n. ( n=0 Ç n= s(0) Ç n=s(s(0)) Ç … )
unendlich lange Formel, nicht möglich in L(ΣN)
Stattdessen Induktionsschema
Schema, weil mit jeder beliebigen Formel φ(x)
instanziierbar
¨ φ(x) heißt Induktionshypothese
¨
Für jede Formel φ(x) mit einer freien Variablen x :
φ(0) ,
8k. ( φ(k) ! φ(k+1) )
Induktionsschema
8x.φ(x)
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Beweiskalkül für nat. Zahlen
n
Wir setzen
¨
Die Sprache L(ΣN)
¨
Ein Beweiskalkül für die Prädikatenlogik
n
n
¨
Die 6 Axiome für die natürlichen Zahlen
n
n
¨
n
z.B. Nat. Herleitung (klassisch)
oder Hilbert Kalkül (klassisch)
Freiheit
Definition von Addition und Multiplikation
Das Induktionsschema als zusätzliche Beweisregel
Wir schreiben
`N ψ
falls man damit eine Aussage ψ 2 L(ΣN) herleiten kann
Wir werden aber die Herleitung aber nicht explizit durchführen !
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Inhalt
1.
2.
3.
Die Arithmetik
n
n
n
Sprache
Axiome
Induktionsschema
Definierbarkeit
n
n
n
n
Komposition
Gödelsche β-Funktion
Chinesischer Restsatz
Definierbarkeit der rek.
Funktionen
Die Gödelschen Sätze
n
n
n
n
Fixpunktsatz
Erster Unvollständigkeitssatz
Zweiter Unvollständigkeitssatz
Goodstein-Folgen
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Definierbarkeit
Eine Relation R µ Nk ist (arithmetisch) definierbar, falls es eine
arithmetische Formel F(x1 ,...,xk) gibt, so daß für alle a1 ,...,ak ∈ N gilt:
R(a1 ,...,an )
,
`N F(a1 ,..., an ).
Die folgenden Relationen sind definierbar
(x1 · x2)
:= 9 n.(x1 + n = x2 )
(x1 < x2 ) := 9 n. x1 + s(n) = x2
(x1 | x2 ) := 9 n. (x1 ¤ n = x2 )
Prim(x) := 8 n. ( n|x ! x=n Ç x · 1) )
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Definierbarkeit von Funktionen
n
Eine partielle Funktion f:: Nk → N ist definierbar, falls es eine Formel
F(x1 ,...,xk , y) gibt, so daß für alle a1 ,...,ak, b ∈ N gilt:
f(a1 ,...,an ) = b , `N F(a1 ,..., an ,b).
Die grundlegenden arithmetischen Funktionen sind definierbar
Add(x1 ,x2 ,y) := ( y = x1+x2 )
Sub(x1,x2 ,y) := Add(x2,y,x1) ∨ (∀ r . ¬Add(x2 ,r,x1 ) ∧ y=0 )
Mit der Abkürzung
a<b
für
∃ r . ¬(r=0) ∧ (b = a +r)
Div(x1 ,x2 ,y) := ∃ r. ( r < x2 ) ∧ (x1 = y ¤ x2 + r)
Mod(x1 ,x2 ,y) := ∃ k. ( y < x2 ) ∧ (x1 = k ¤ x2 + y)
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Komposition von Funktionen
Seien fi :: Nk→ N, für i=1,…,k sowie g :: Nm →Nat definierbar
durch die Formeln
Fi(x1,…,xk,y) bzw. G(x1,…,xm,y)
dann definiert
∃z1,…,9 zm. (F1(x1,…,xk, z1) Æ … Æ Fm(x1,…,xk,zm) Æ G(z1,…,zm,y) )
die Komposition g(f1….,fm)
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Paare und Komponentenzugriffe definierbar
n
Die Paarbildung mit ihren Zugriffsfunktionen ist definierbar.
Paarbildung
pair(a,b) = (a+b)¤(a+b+1)/2 + a
ist definierbar.
maxGauss(n) = max{k | k¤(k+1)/2 ≤ n }
wird definiert durch
MaxGauss(n,k) ⇔ ( k¤(k+1)/2 ≤ n ) ∧ ¬∃ z. (k < z) ∧ z¤(z+1)/2 ≤ n ).
Analog sind definierbar
snd(n) := n - σ(n)¤(σ(n) +1)/2
fst(n) := σ(n) - snd(n)
durch Relation Snd(n,z)
durch Relation First(n,z)
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Schwierigkeiten
Bei dem Versuch, die Exponentiation zu definieren, treten Schwierigkeiten auf:
exp(x,y,z) :⇔ (y=0 ∧ 1=z) ∨ ∃u.(y=s(u) ∧ exp (x,u,v) ∧ v¤x=z )
Nicht erlaubt, da die noch zu definierende Relation bereits benutzt wird.
exp(x,y,z) :⇔ ∃u1. ... ∃uy. (u1=x ∧ ∀i. 0 ≤ i ∧ i ≤ n ⇒ ui+1 = x*ui ∧ uy = z.)
Nicht erlaubt, da die Anzahl der Quantoren nicht fest ist, sondern von y abhängt.
Ist exp(x,y,z) definierbar ?
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Der Gödelsche Trick
n
Codiere Folge n1,…,nk 2 N* in eine Zahl n = <n1,…,nk> 2 N
Codiere Zugriffsfunktionen n[i]
n
Aus
n
9 k. 9n1. … .9 nk. P(n1,…) Æ … Æ P(nk,…)
wird
n
9 k. 9n. 8 i. i · k ) P(n[i],…)
exp(x,y,z) :⇔ ∃u1. ... ∃uy. (u1=x ∧ ∀i. 0 ≤ i ∧ i ≤ n ⇒ ui+1 = x¤ui ∧ uy = z.)
:⇔ ∃u. ( u[1]=x ∧ u[y] = z. Æ 8 i. ( i ·y ) u[i+1] = x¤u[i] ))
n
Aber: Ist n[i] definierbar ?
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Der chinesische Restsatz
Liefert Methode, beliebige Folgen natürlicher Zahlen
in einer einzigen natürliche Zahl zu kodieren.
Satz: Seien b1,b2, ..., bn∈N-{0} paarweise teilerfremd. Zu jeder Folge (k1, k2, ... , kn )∈ Nn
mit ki < bi gibt es genau ein a < b1⋅b2⋅ ... ⋅bn, das simultan alle folgenden Kongruenzen löst:
a mod b1 = k1
a mod b2 = k2
...
a mod bn = kn
Beweis: Sei m = b1¢b2¢... ¢bn ,
Betrachte
A = { 0, ... , m-1 },
Bi = {0 , . . . , bi-1 },
f : A → B1×B2× ... ×Bn mit f(x) = ( x mod b1, x mod b2, ... , x mod bn )
1. f ist injektiv:
2. f ist bijektiv:
f(a) = f(b) impliziert bi | a-b für alle i, also m | a-b.
Wegen -m < a-b < m folgt a-b=0, also a=b.
Klar, weil f injektiv und |A| = |B1×B2× ... ×Bn |
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Die Gödelsche β-Funktion
Satz : Für jede Zahlenfolge <n1,...,nk> gibt es Zahlen a, b ∈ N mit
a mod 1+1¢b = n1
a mod 1+2¢b = n2
...
a mod 1+k¢b = nk
Beweis: Sei b := (max{k,n1,...,nk }) ! . Die Zahlen bi = 1 + i¢b für i = 1, ..., k sind
paarweise teilerfremd. (Ein Primteiler p von bi und bj müsste auch bi - bj = (i - j)¤b
teilen. Wegen der Wahl von b müsste p dann auch b teilen. Weil p auch bi = 1+ i¤b
teilt, folgt p=1. )
Nun gilt auch ni < bi für jedes i, somit liefert die vorige Formulierung des
chinesischen Restsatzes ein a mit ni = a mod bi = a mod (1+i¤b).
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Kodierung und Dekodierung von Folgen
n
Nach dem vorigen Satz läßt sich jede Folge <n1,...,nk> durch zwei
Zahlen a,b kodieren. Die Dekodierung erfolgt mit der
Gödelschen β-Funktion
β : Nat3 → Nat mit β(a,b,i) := a mod (1+i*b).
β ist definierbar. Schaltet man noch eine Kodierung pair nach, so läßt
sich jede Folge <n1,...,nk> durch eine einzige Zahl n = pair(a,b) kodieren.
Die Dekodierung erfolgt als
n[ i ] := β( fst(n), snd(n), i ).
Folgerung: f(n,i) = n[i] ist definierbar.
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Definierbarkeit der p.r. Funktionen
n
Satz: Jede primitiv rekursive Funktion ist definierbar.
Basisfunktionen:
Klar.
Komposition :
Bereits gezeigt
Primitive Rekursion (Beispielhaft für bel. f : Nat2 → Nat).
Sei f(x,y) mittels g und h durch primitive Rekursion definiert.
Für g und h gebe es bereits arithmetisch definierte Prädikate
G(x,z) bzw. H(x1,x2,x3 ,z), so dass
g(x) = z , G(x,z) und
h(x1,x2,x3) = z , H(x1, x2, x3, z).
Wir müssen nun ein Prädikat F(x,y,z) definieren mit
f(x,y) = z ⇔ F(x,y,z).
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Definierbarkeit primitiver Rekursion
Aus den Definitionsgleichungen
f(0,y)
f(n+1,y)
= g(y)
= h(f(n,y),n,y)
gewinnt man f(k,y) in k Schritten:
f(k,y)
= h(f(k-1,y),k-1,y)
= h(h(f(k-2,y),k-2,y),k-1,y)
= ...
= h(h( ... (h(f(0,y),0,y), ... , k-2,y) k-1,y)
= h(h( ... (h(g(y),0,y), ..., k-2,y), k-1,y)
Evaluiert wird von innen nach aussen, es entstehen
Zwischenergebnisse z0, ..., zk mit
z0 = g(y)=f(0,y), z1 = h(z0,0,y)=f(1,y), . . . , zk = h(zk-1,k-1,y)=f(k,y)
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Definierbarkeit primitiver Rekursion
z0 = g(y)=f(0,y), z1 = h(z0,0,y)=f(1,y), . . . , zk = h(zk-1,k-1,y)=f(k,y)
Der erste Versuch, dies arithmetisch zu definieren ist noch nicht korrekt:
F(k,y,z) : ⇔ ∃ z0, ... ,zk-1. G(y,z0),
H(z0,0,y, z1),
...,
H(zk-1,k-1,y,z).
Gödel’s Trick: Kodiere <z0,...,zk-1> in einer Zahl n:
F(k,y,z) : ⇔ ∃n.
G(y, n[0]),
H(n[0],0,y, n[1]),
...,
H(n[k-1],k-1,y,z).
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Definierbarkeit primitiver Rekursion
Bisher:
F(k,y,z) : ⇔ ∃n.
G(y, n[0]),
H(n[0],0,y, n[1]),
...,
H(n[k-1],k-1,y,z).
Jetzt noch die “ . . . “ eliminieren :
F(k,y,z) : ⇔
∃ n . G(y, n[0]) ∧ n[k] = z ∧
∀ i. 0 ≤ i < k ⇒ H( n[i], i, y, n[i +1]).
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µ−Rekursion
µ(f)(x1,…,xk) :=
n
min{ n | f(n,x1,…,xk) = 0 } falls ∀ k ≤ n. f(k,x1,…,xk) ≠⊥
⊥
sonst.
f :: Nk+1! N sei definierbar durch F(x0,…,xk,y).
Dann ist µ(f)(x1,…,xk) definierbar durch
¨
Mf(x1,…,xn,y) , F(y,x1,…,xk,0) Æ 8y‘·y. 9z≠0. F(y,x1,…,xk,z)
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Inhalt
1.
2.
3.
Die Arithmetik
n
n
n
Sprache
Axiome
Induktionsschema
Definierbarkeit
n
n
n
n
Komposition
Gödelsche β-Funktion
Chinesischer Restsatz
Definierbarkeit der rek.
Funktionen
Die Gödelschen Sätze
n
n
n
n
Fixpunktsatz
Erster Unvollständigkeitssatz
Zweiter Unvollständigkeitssatz
Goodstein-Folgen
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Truth is elusive
In diesem Kapitel zeigen wir u.A.
n
n
Sei Truth die Menge aller wahren Aussagen der Arithmetik
¨
egal ob Truth µ ASCII∗ , als Menge von Strings
¨
oder Truth µ N via einer (Binär)codierung
¨
Falsity = { φ 2 L(N) j φ Aussage, ²N :φ} = { :φ 2 L(N) j φ Aussage, 2N φ}
Es gibt keine Methode
¨
Truth aufzuzählen
¨
ein rekursives (Beweis)System zu konstruieren, das genau Truth beweist
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Gödelisierung von Formeln
n
Repräsentiere arithmetische Formel φ durch eine Zahl pφq 2 N
n
Computer machen das täglich:
¨
Jede Formel φ kann man als String “ φ“ hinschreiben
und anschließend den String als als Binärzahl pφq codieren
n
n
Für φ = Goldbachsche Vermutung, z.B.
pφq = ASCII(„forall x in nat. exist p1,p2.
Prim(p1)andPrim(p2).p1+p2=x+x“) =
= 100101000101110110101010101101000100101111… ∈ N
n
¨
pφq ! φ erledigt ein Parser
¨
Egal, ob wir mit φ oder mit pφq arbeiten
Jede Formel φ 2 L(ΣN) können wir als Element pφq 2 N codieren
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Wahrheit ist unentscheidbar
n
Satz: (Church, Gödel): Die Menge Truth µ ASCII* aller
wahren arithmetischen Ausagen ist nicht entscheidbar.
Beweis : Sei A µ N irgendeine Menge, die aufzählbar ist, aber nicht entscheidbar.
Die folgende Funktion ist auf jeden Fall berechenbar :
χA(x) = if (x 2 A) then 1 else ?.
χA ist daher arithmetisch definierbar durch eine Formel FA(x,y) und
n∈A
⇔ χA(n) = 1
⇔ ²N FA(n,1)
⇔ FA(n,1) ∈ Truth
Wäre also Truth entscheidbar, dann wäre auch A entscheidbar.
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Wahrheit ist nicht aufzählbar
Für jede Aussage φ gilt :
ASCII*
L(N)
ss
th
Au
ru
T
Wäre also Truth aufzählbar,
dann wäre auch Falsity aufzählbar
und somit Truth entscheidbar
ag
e
n
²N φ gdw. 2 :φ
ity
als
F
Hilbert‘s Traum geplatzt
Ein Beweissystem für eine Menge von Aussagen A ⊆ G* besteht aus
- einer aufzählbaren Teilmenge B ⊆ Γ*
- einer surjektiven totalen berechenbaren Funktion F : B → A
Ein Beweissystem für A heißt vollständig, falls für jedes a ∈ A ein b ∈ B
existiert mit F(b)=a.
Gödelscher Unvollständigkeitssatz:
Es
Esgibt
gibtkein
keinvollständiges
vollständigesBeweissystem
Beweissystemfür
fürdie
dieArithmetik.
Arithmetik.
Beweis: Da B aufzählbar und F total und berechenbar, folgt, daß A
aufzählbar ist. Die Menge aller wahren Aussagen der Arithmetik kann
aber nicht aufzählbar sein, sie wäre nämlich automatisch entscheidbar.
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Diagonalisierung
n
Jetzt kommt wieder Cantor‘s Trick:
¨
¨
n
n
Angenommen θ(x) ist Formel mit genau einer freien Variablen
Betrachte die Aussage θ(pθ(x)q) und codiere wieder …
Die Diagonalfunktion
d(n) = if ( n = pθ(x)q ) then pθ(pθ(x)q)q ! else 0
ist total und berechenbar, sogar p.r.
Begründung
Gegeben n, stellt der Parser fest, ob n eine Formel θ(x) codiert.
Wenn ja, setze pθ(x)q für x ein und codiere wieder.
¨ Das lässt sich sogar mit einer p.r. Funktion ausführen
¨
n
Also ist d definierbar, d.h. es gibt eine Formel D(x,z)
so dass für alle n, k 2 N gilt:
d(n) = k , `N D(n,k)
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Fixpunktsatz
n
Gödelscher Fixpunktsatz: Für jede Formel ψ(x) mit
einer freien Variablen gibt es eine Aussage θ, so dass gilt:
`N θ $ ψ(pθq)
¨
Beweis: Sei die Diagonalfunktion
n
d(n) = if(n=pφq) then pφ(pφq)q else 0
durch D(x,y) definiert
¨
¨
Wähle β(x) := 8 z.(D(x,z)! ψ(z)), dann gilt
`N
β(pβq)
$
$
$
$
8z.(D(pβq,z) ! ψ(z))
8z.(d(pβq)=z ! ψ(z))
8z.(pβ(pβq)q=z ! ψ(z))
ψ(pβ(pβq)q).
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Wahrheit ≠ Beweisbarkeit
1. Gödelscher Unvollständigkeitsatz:
Jeder konsistente Beweiskalkül für die Arithmetik
erlaubt eine arithmetische Aussage θ,
die wahr ist, aber nicht beweisbar.
Beweis: (Genauso wie Formeln können wir auch Beweise codieren).
Sei
¨
¨
Proof(p,q) :, p = p∆q und q = pφq und ∆ ist ein Beweis von φ.
Provable(q) :, q = pφq und 9p. Proof(p,pφq)
Proof(x,y) ist entscheidbar
¨
¨
¨
Einen Beweis muss man überprüfen können
Also ist Proof(x,y) definierbar
Also ist Provable(x) definierbar
Wegen Fixpunktsatz:
¨
¨
Die Formel ψ(x) = :Provable(x) hat einen Fixpunkt θ
` :Provable(pθq) $ θ
Wäre θ falsch in N, dann wäre Provable(pθq), wahr, also 9p. Proof(p,pθq),
also gäbe es einen Beweis von θ und der Beweiskalkül wäre inkonsistent.
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Konsistenz
n
Ein Beweiskalkül ist inkonsistent , wenn man z.B. 0=1 darin
beweisen kann.
¨
n
Äquivalent: Wenn man eine Aussage und ihre Negation zeigen kann
Dass ein Kalkül konsistent ist, kann man als Formel ausdrücken:
Con := :9p. Proof(p,p0=1q)
n
Con ist also eine arithmetische Aussage.
n
Kann man sie beweisen ?
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2. Unvollständigkeitssatz
n
2. Gödelscher Unvollständigkeitsatz:
Ein konsistenter Kalkül (der stark genug ist, die Arithmetik zu
formalisieren) kann seine eigene Konsistenz nicht beweisen.
n
Beweis: Gödel‘s erstes Theorem liefert ein wahres θ mit
n
Wenn der Beweiskalkül konsistent ist, folgt, dass
` θ $ :Provable(pθq)
Con ! :Provable(pθq)
Man kann – mit etwas Aufwand – sogar zeigen, dass
` Con ! :Provable(pθq)
Wäre Con beweisbar, also
`N Con
so hätte man durch Abtrennung
` N : Provable(pθq)
Wegen obigem würde folgen
`Nθ
was dem ersten Unvollständigkeitssatz widerspräche.
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Speed-up theorem
n
n
Der Fixpunktsatz hat viele Konsequenzen , z.B.:
Speed-up Theorem: Sei f eine beliebige totale berechenbare Funktion.
Dann gibt es eine wahre Aussage θ so dass der kürzeste Beweis von θ
länger ist, als f(pθq).
Beweis:
B := { pφq 2 N | kein Beweis von φ ist kürzer als f( pφq ) }
ist entscheidbar. (Gegeben n2N, stelle fest ob n = pφq für ein φ. Wenn ja,
decodiere n zu φ. Prüfe alle Strings der Länge · f(n) nach, ob sie einen
Beweis für φ darstellen.)
Es gibt also eine Formel ψ(x) mit n2 B , `N ψ(n).
ψ hat einen Fixpunkt, also eine Aussage θ mit
`N θ $ ψ(pθq)
Wäre θ falsch, so gäbe es keinen Beweis, erst recht keinen kürzer f(pθq),
also wäre pθq 2 B also wäre ψ(pθq) wahr, also wäre θ wahr.
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Geht es konkreter ?
n
Die Gödelsche Aussage θ mit
`N θ $ :Provable(pθq)
ist sehr komplex
n
Gibt es verständlichere Beispiele?
n
Ja:
¨
¨
Paris-Harrington Satz
Terminierung der Goodstein-Folge
© H. Peter Gumm, Philipps-Universität Marburg
Goodstein-Folgen
Jede Zahl n lässt sich in Basis k ausdrücken
z.B. für n=42 und k=2:
42 = 25 + 23 + 2
Erbliche k-Repräsentation von n verlangt, dass auch die Exponenten
und der deren Exponenten, etc., in Basis k geschrieben werden
Goodstein-Algorithmus
Starte mit n.
¨
¨
k = 2;
While (n ≠ 0){
n
n
n
¨
}
n
r = erbliche Repräsentation von n in Basis k
r = r[k/k+1] // Ersetze k durch (k+1)
n = Wert(r)-1
n’ = 7625597484987 + 81 + 3 - 1 = 7625597485066
k = k+1 // Erhöhe die Basis
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Zwei Goodstein-Folgen
n = 3:
3 =2+1,
3 =3+1-1,
3 =4-1=3,
2 =3-1,
1 =2-1,
0 =1-1.
n = 4:
4
=22,
26
=33-1 = 2*32 + 2*3 + 2
41
=2*42 + 2*4+1
60
=2*52 + 2*5
83
= 2*62 +6+5
109
= 2*72 +7+4
…
3 · 2402653210 1,
402653209
3
·
2
…
Schritte konstant
3 · 2402653210 1,
…
0
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Satz von Goodstein
1.
Für alle n konvergiert die Goodsteinfolge zu n=0,
¨
2.
M.a.W.: Für jedes n stoppt der Algorithmus mit n=0
Der Satz von Goodstein lässt sich nicht in PA
(Peano-Arithmetik) beweisen
¨
siehe: http://www.u.arizona.edu/~miller/thesis/thesis.html
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Wahr ohne Beweis ?
n
Wie kann man wissen, dass etwas wahr ist, wenn man es nicht beweisen kann ?
n
Nicht in der Logik erster Stufe, sondern in der Logik zweiter Stufe
n
Induktionsschema reicht nicht aus, um N zu charakterisieren
n
Induktionsaxiom – zweiter Stufe benötigt
n
Zweite Stufe: Man darf auch über Teilmengen quantifizieren
8 Sµ N. 02S Æ 8 k2 N. ( k2S ! k+12S)
S=N
n
Induktionsschema der PL1 ist Spezialfall. Setze S = { n2 N j φ(n) }
n
In der Logik 2. Stufe ist N bis auf Isomorphie eindeutig beschreibbar
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