Vorlesung 3a

Die
Ebene der
komplexen Zahlen
1
Punkte in der Ebene entsprechen Zahlenpaaren:
z = (x, y)
x und y sind die (kartesischen) Koordinaten von z
2
z = (x, y)
y
x
3
Zahlenpaare addiert man komponentenweise:
z2 = (x2, y2)
z = z1 + z2
z = (x1 + x2, y1 + y2)
z1 = (x1, y1)
“Parallelogrammregel”
4
Einen Punkt z der Ebene kann man festlegen
nicht nur durch seine Koordinaten (x, y),
sondern auch durch
Radius und Winkel:
5
(0, 1)
z
r
(0, 0)
θ
(1, 0)
Der Winkel θ wird gemessen
als Länge entlang des Einheitskreises.
6
z=
ˆ [r, θ]
Statt Radius und Winkel
sagt man auch:
Betrag und Argument von z
und spricht von der Polardarstellung von z.
7
Man schreibt für Betrag und Argument von z:
r =: |z|,
θ =: arg(z).
8
Wir definieren eine Multiplikation von Zahlenpaaren
(die so genannte komplexe Multiplikation)
“geometrisch”:
z1z2 : =
ˆ [r1r2, θ1 + θ2]
Beträge werden multipliziert
Argumente werden addiert
9
(0, 1)
z2
r
r2
θ2 θ
1
(0, 0)
z1
r1
(1, 0)
10
z1 · z2
(0, 1)
z2
r = r1r2
r2
θ = θ1 + θ2
z1
r1
θ2 θ
1
(0, 0)
(1, 0)
11
Argumente werden addiert
modulo 2π,
z. B. für θ1 = θ2 = π :
θ1 + θ2 = 2π ≡ 0.
12
(2, 0)(3, 0) = (6, 0)
Die Beträge sind
2 bzw. 3,
die Winkel sind
Null.
13
(2, 0)(−3, 0) = (−6, 0)
Die Beträge sind
2 bzw. 3,
die Winkel sind
0 bzw. π.
14
(x, 0)(c, 0) = (xc, 0)
Die Beträge sind
|x| bzw. |c|,
die Winkel sind (je nach Vorzeichen)
0 oder π.
15
(x, 0)(c, 0) = (xc, 0)
Man kann also die “horizontale Achse”
{(c, 0) | c ∈ R}
auch hinsichtlich der “neuen Multiplikation” mit der
reellen Zahlengeraden R identifizieren
(und hinsichtlich der Addition sowieso).
16
(1, 0)(x, y) = (x, y)
(x, y)(c, 0) = (cx, cy)
Die Multiplikation mit (c, 0) entspricht also
einer “Streckung” mit dem Faktor c.
17
Man kann die x-Achse
{(c, 0) | c ∈ R}
mit der reellen Zahlengeraden R identifizieren:
(x, y)(c, 0) = (cx, cy) =: c(x, y).
(c, 0) =
ˆ c
18
(0, 1)(0, 1) = (−1, 0)
(0, 1) =: i
2
i
:= i i = −1
19
(x, y) = x(1, 0) + y(0, 1) =
ˆ x + iy
C := {z = x + iy|x, y ∈ R}
heißt Menge der komplexen Zahlen.
x heißt Realteil, y heißt Imaginärteil
der komplexen Zahl z = x + iy
x =: Re(z),
y =: Im(z)
20
Komplexe Multiplikation “algebraisch”:
(x1 + iy1)(x2 + iy2)
= x1x2 + i2y1y2 + i(x1y2 + y1x2)
= x1x2−y1y2 + i(x1y2 + y1x2)
Ausmultiplizieren und i2 durch −1 ersetzen!
21
Beim Umrechnen zwischen der
Polardarstellung z =
ˆ [r, θ]
und der
(x, y)-Koordinatendarstellung z = x + iy
kommen sin(θ) und cos(θ) ins Spiel:
22
(0, 1)
z = (x, y)
r
y = r sin θ
θ
(0, 0)
x = r cos θ
23
z = x + iy
x = r cos θ,
y = r sin θ
z = r (cos θ + i sin θ)
r=
s
2
2
x +y
= |z|
24
z̄ := x − iy =
ˆ [r, −θ]
z̄ heißt die zu z
konjugiert komplexe Zahl.
25
i
z = x + iy
r
y
θ
0
x
−y
z̄ = x − iy
26
z=
ˆ [r, θ],
2
zz̄ =
ˆ [r , θ
z̄ =
ˆ [r, −θ]
− θ] =
zz̄ =
2
[r , 0]
2
|z|
(x + iy)(x − iy) = x2 + y 2
27
(x + iy)(x − iy) = x2 + y 2
Der Kehrwert (die Reziproke)
der komplexen Zahl x + iy ist also
x − iy
1
= 2
x + iy
x + y2
z̄
1
= 2
z
|z|
28
Das Bilden der konjugiert Komplexen
vertauscht mit dem Multiplizieren:
z1 z2 = z1 z2
Denn:
z1 =
ˆ [r1, θ1],
z2 =
ˆ [r2, θ2]
z1 z2 =
ˆ [r1r2, θ1 + θ2]
z1 z2 =
ˆ [r1r2, −(θ1 + θ2)]
29
Die komplexe Exponentialfunktion
bekommt man wie im Reellen
durch die unendliche Summe
z3
z4
z2
z
e := 1 + z + + + + ...,
2!
3!
4!
z∈C
30
Wie im Reellen hat ez
die fundamentale Eigenschaft
ez1+z2 = ez1ez2
Der Funktionswert der Summe
ist das (komplexe) Produkt der Funktionswerte.
31
z
+z
1
2
e
=
z
z
1
e e 2
Für t ∈ R ergibt sich:
|eit|2 = eit eit = eite−it = eit−it = e0 = 1
(Wegen ez = ez ist eit = e−it )
32
|eit|2 = 1,
t∈R
Also führt die Abbildung
1 t2 − i 1 t3 + 1 t4 + i 1 t5 − ...
t 7→ eit = 1 + it − 2!
3!
4!
5!
die reelle Achse in den (komplexen) Einheitskreis über.
Und es gilt für kleine ∆t:
ei∆t = 1 + i∆t + o(∆t).
33
i
1 + i∆t
= ei∆t + o(∆t)
0
1
Die Multiplikation mit 1 + i∆t entspricht
für kleines ∆t “fast” einer Drehung um den Winkel ∆t.
34
Die Multiplikation mit 1 + i dt = ei dt
entspricht genau einer Drehung um den Winkel dt.
Die Multiplikation mit ei 2dt
entspricht einer Drehung um den Winkel 2 dt.
...
Die Multiplikation mit eit
entspricht einer Drehung um den Winkel t.
35
i
eit
t
sin t
0
cos t
1
eit = cos t + i sin t
36
eit = cos t + i sin t
Formel von Euler
37
Mit der Formel von Euler findet man die Reihendarstellungen
von sin(t) und cos(t)
in der Reihendarstellung von ez wieder:
eit
(it)3
(it)4
(it)5
(it)6
(it)2
+
+
+
+
+ ...
= 1 + it +
2!
3!
4!
5!
6!
3
4
5
6
2
t
t
t
t
t
−i +
+i −
− ...
eit = 1 + it −
2!
3!
4!
5! 6!
t4 t6
t5
t2
t3
+
−
+ ... + i(t −
+
− ...)
e =1−
2!
4! 6!
3!
5!
it
= cos(t) + i sin(t).
38
1 = e0
39
i = eiπ/2
1
40
−1 = eiπ
1
41
1
−i = ei3π/2
42
1 = ei2π
43
Die Abbildung
t 7→ eit
wickelt die reelle Achse unendlich oft um den Einheitskreis!
44
Von der Eulerformel zu den Additionsformeln für sin und cos:
cos(nt) + i sin(nt) = eint = (eit)n = (cos(t) + i sin(t))n
Speziell für n = 2:
cos(2t) + i sin(2t)
= cos2(t) + 2i cos(t) sin(t) + i2 sin2(t)
Vergleich von Real-und Imaginärteil ergibt:
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t),
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t).
45
Von der Eulerformel zu den Additionsformeln für sin und cos:
cos(nt) + i sin(nt) = eint = (eit)n = (cos(t) + i sin(t))n
Speziell für n = 2:
cos(2t) + i sin(2t)
= cos2(t) + 2i cos(t) sin(2t) + i2 sin2(t)
Vergleich von Real-und Imaginärteil ergibt:
cos(2t) = cos2(t) − sin2(t),
sin(2t) = 2 sin(t) cos(t).
46
Analog:
cos(t1 + t2) + i sin(t1 + t2)
= ei(t1+t2)
= eit1 eit2
= (cos(t1) + i sin(t1)) · (cos(t2) + i sin(t2))
= cos(t1) cos(t2) − sin(t1) sin(t2)
+i(sin(t1) cos(t2) + cos(t1) sin(t2))
47
Die Polardarstellung
z=
ˆ [r, θ]
kann man jetzt so schreiben:
z=
iθ
re
48
(0, 1)
z
r
(0, 0)
θ
(1, 0)
49
Die Gleichung z n = 1 hat n Lösungen:
z = 1, w, w2, w3, ..., wn−1
mit
w = ei2π/n.
Diese heißen die n-ten Einheitswurzeln;
sie sind die Ecken eines regelmäßigen n-Ecks.
50
z5 = 1
w
w2
16
w3
w4
51
Man kann in C nicht nur aus Eins,
sondern aus beliebigen Zahlen Wurzeln ziehen!
Beispiel: Quadratwurzeln reeller Zahlen:
z 2 = a,
a∈R
52
−2
2
4
53
−1
1
54
1 1
−2
2
1
4
55
56
1
−4
i
2
− 2i
57
i
−1
−i
58
2i
−4
−2i
59
Beispiel: Lösungen quadratischer Gleichungen
mit reellen Koeffizienten:
z 2 + pz + q = 0
2
2
p
p
z 2 + pz +
=
−q
4
4
p
z+
2
!2
p2
−q
=
4
p
z+ =±
2
v
u 2
up
t
4
−q
60
Wir rekapitulieren:
Der Raum der komplexen Zahlen
C
besteht aus den Zahlenpaaren
(x, y),
x, y ∈ R,
ausgestattet mit der
komponentenweisen Addition
(x1, y1) + (x2, y2) = (x1 + y1, x2 + y2)
und der komplexen Multiplikation
(x1, y1)(x2, y2) := (x1x2 − y1y2, x1y2 + y1x2)
61
Man denkt sich die reelle Zahlengerade
als x-Achse“ in C eingebettet:
”
R=
ˆ {(x, 0) | x ∈ R} ⊆ C
und man schreibt
(x, y) =: x + iy
62
(x = Re (z))
x heißt Realteil
und
y heißt Imaginärteil
(y =Im (z))
der komplexen Zahl
z = x + iy
Der Betrag von z ist
|z| :=
q
x2 + y 2
63
Formel von Euler:
eit = cos t + i sin t
64
z=
ˆ [r, θ]
Die Multiplikation einer komplexen Zahl mit
z = reiθ = r(cos θ + i sin θ)
entspricht einer Streckung mit r
(Multiplikation des Betrags mit dem Faktor r)
und einer Drehung um θ
(Addition von θ im Winkel)
65