Schwerpunkt Finanzen Johann Wolfgang Goethe Universität, Frankfurt (Main) Prof. Dr. Mark Wahrenburg Dipl.-Ökonom Hergen Frerichs Finanzwirtschaft 2 Teil 1: Forwards, Optionen, Minimum Variance Hedge 3-stündige Vorlesung mit Übung im SS 2002 Finanzwirtschaft Wahrenburg 1 Gliederung • • • • • • • Termingeschäfte Optionen Prorfolioanalyse und Minimum Variance Hedge Anleihebewertung Floaters und Swaps Zinsrisikomanagement Unternehmensbewertung Finanzwirtschaft Wahrenburg 2 1 Internet • http://www.finance.uni-frankfurt.de/ Lehre Finanzwirtschaft 2 • Inhalte: • Termine und Räume • Folien, Übungsaufgaben • Literaturangaben Finanzwirtschaft Wahrenburg 3 Literatur: Auswahl im Semesterapparat der FBB • • • • • • Benninga, Simon Z. und O. Sarig: Corporate Finance; McGraw-Hill; 1997. • • • Hull, John C.: Options, Futures & other Derivatives; Prentice-Hall, 2000. • Sharpe, William F. und G. J. Alexander, J. V. Bailey: Investments; Prentice-Hall, 6th Ed 1998. • Spremann, Klaus, Wirtschaft, Investition und Finanzierung. 5., Aufl.. – Muenchen, Oldenbourg, 1996. Benninga, Simon Z.: Financial Modeling; The MIT-Press; 1999. Damodaran, Aswath: Investment Valuation; John Wiley & Sons, 1996. Drukarczyk, Jochen: Unternehmensbewertung; Vahlen, 1998. Fabozzi, Frank J.: Bond markets, analysis and strategies; Prentice-Hall, 1996. Grinblatt, Mark und Sheridan Titman: Financial Markets and Corporate Strategy, McGraw-Hill, 1998. Mandl, Gerwald: Unternehmensbewertung; Ueberreuter, 1997. Ross, Stephen A. und R.W. Westerfield, B.D. Jordan: Fundamentals of Corporate Finance; 5th Ed., 2000. Finanzwirtschaft Wahrenburg 4 2 Termingeschäfte Forwards und Futures Vertiefungsstudium Finanzwirtschaft Prof. Dr. Mark Wahrenburg SS 2001 21.05.2002 5 Anwendungsgebiete für Derivate • • • • • Hedging Spekulation Arbitrage Financial Engineering Reduktion von Transaktionskosten Finanzwirtschaft Wahrenburg 6 3 Der Wert von Derivaten kann abgeleitet werden aus dem Wert des Underlyings Underlyings von Derivaten • Wertpapiere Aktien, Anleihen • Andere Finanzvariablen Beispiel: - Verkauf - 10 Wertpapiere xyz - Laufzeit: 1.4.2004 - Preis 100 Є Wechselkurse, Zinssätze, • Makroökonomische Variablen Inflationsrate, ... • Rohstoffpreise Rohölpreis, Strompreis,... • Weitere Wetter, BSP, Versicherungsschäden,... Finanzwirtschaft Wahrenburg 7 Alle Derivate haben Settlement in der Zukunft 2 Hauptgruppen: 1. Verträge ohne Optionalität Forwards, Futures, Swaps kein Wahlrecht, ob Lieferung stattfindet oder nicht 2. Optionen Plain vanilla options, exotische optionen Eine Partei kann wählen, ob Settlement stattfinden soll (physische Lieferung oder Settlement in Cash) Finanzwirtschaft Wahrenburg 8 4 Überblick Termingeschäfte nicht börsenmäßig organisiert Forwards börsenmäßig organisiert Futures auf Waren Commodity Futures auf Währungen Währungs-Futures auf Finanzinstrumente Financial Futures auf Zinsinstrumente Zins-Futures auf Aktienindizes Aktienindex-Futures Finanzwirtschaft Wahrenburg 9 Forwards: Direkte Termingeschäfte = Vereinbarung, heute geschlossen (in t): • zu kaufen/verkaufen • an einem zukünftigen Tag T • zum Preis Ft,T • Der Käufer ist „long“, der Verkäufer ist „short“ Hohes Erfüllungsrisiko ( Finanzwirtschaft Wahrenburg Kreditrisiko bei Insolvenz) 10 5 Physische Lieferung versus Cash Settlement • In liquiden Märkten ist Cash Settlement eine einfache und äquivalente Alternative zur Lieferung des Underlying • Beispiel Devisentermingeschäft Bank A kauft 1 Mio $ zum Terminkurs 1,3 Є /$ Dollarkurs am Settlementtag: 1,1 Є /$ - Physisches Settlement: Bank A erhält 1 Mio $, zahlt 1,3 Mio. Є - Cash Settlement: Bank A zahlt Differenzbetrag: 1,3 Mio. Є - 1 Mio. $ * 1,1 Є = 200 000 Є Finanzwirtschaft Wahrenburg 11 Wert von Forwards • Wert bei Abschluß: null (per Konvention) • Wert während Laufzeit ???? • Wert am Laufzeitende: (ST – Ft,T) bzw. - (ST – Ft,T) Finanzwirtschaft Wahrenburg 12 6 Pay Off einer LONG Forward Position Beispiel: Kauf 1 Unze Gold für 400 $ Pay Off = ST - 400 $400 Gewinn, wenn Goldpreis in T größer als vereinbarter Terminpreis ST (Goldpreis am Laufzeitende) Finanzwirtschaft Wahrenburg 13 Pay Off einer SHORT Forward Position Beispiel: Kauf 1 Unze Gold für 400 $ Pay Off = 400 - ST ST (Goldpreis am Laufzeitende) $400 Gewinn, wenn Goldpreis in T kleiner als vereinbarter Terminpreis Finanzwirtschaft Wahrenburg 14 7 Einsatz von Forwards zum Hedging Beispiel: - Landwirt kauft 500 Kälber für je 1000 Є - Aufzuchtkosten: je 800 Є - Verkauf in T zum Spotkurs ST Gewinn ohne Hedge π = 500 * (ST - 1800) Hedge mit Shortposition auf 500 Rinder risikoloser Gewinn in Höhe von π = 500 * (ST - 1800) + 500 * (Ft,T - ST ) = 500 * (Ft,T - 1800) Finanzwirtschaft Wahrenburg 15 Bewertung von Forwards während Laufzeit Bewertung über No-Arbitrage-Bedingung: Zwei äquivalente Alternativen: 1. Long Forward über 1 t Heizöl für Lieferung in 1 Jahr zum Terminpreis von Ft,T Pay Off: ST - Ft,T in einem Jahr 2. Kauf 1 t Heizöl heute, Lagerung des Öls, Kreditfinanziert Pay Off: ST - St*(1+r) in einem Jahr St*(1+r) = Ft,T Finanzwirtschaft Wahrenburg „arbitragefreier Terminkurs“ 16 8 Bewertung von Forwards während Laufzeit ff. No-Arbitrage-Bewertung von Short Position Zwei äquivalente Alternativen: 1. Short Forward über 1 t Heizöl für Lieferung in 1 Jahr zum Terminpreis von Ft,T Pay Off: Ft,T - ST in einem Jahr 2. - Verkauf 1 t Heizöl heute (Leerverkauf von Öl) - Anlage des Erlöses zum sicheren Zins - Rückkauf des Heizöls in 1 Jahr (Auflösung der Short Position) Pay Off: St*(1+r) - ST in einem Jahr St*(1+r) = Ft,T Finanzwirtschaft Wahrenburg 17 Wie funktioniert Leerverkauf (Shortposition) von Wertpapieren in der Praxis? • Bank „leiht“ die Wertpapiere von anderem Kunden und verkauft sie am Markt • Bei Auflösung der Shortposition Wertpapier am Markt zurückgekauft und Leihvertrag beendet und Wertpapier wieder ins Depot des Kunden gelegt • Während der Laufzeit zahlt Short-Investor Dividenden/Zinsen an den Kunden • Wenn Kunde das Wertpapier während Leihe verkaufen will, sucht Bank einen anderen „Ausleiher“ • Bank bürgt für Kreditwürdigkeit des ShortInvestors Finanzwirtschaft Wahrenburg 18 9 Für Bewertungsszwecke ist eine Shortposition ist wie „Longposition mit umgekehrten Vorzeichen“ Tag 1 Tag 2 100 150 Long Position: -100 +150 +50 Short Position: +100 -150 -50 Wertpapierpreis Gewinn („Leerverkauf“) Problem: Kreditwürdigkeit des Shortinvestors Sicherheitenkonto (Marginkonto) Finanzwirtschaft Wahrenburg 19 Bewertung eines Devisentermingeschäfts • Beispiel: Kauf von 1 $ in einem Jahr Terminkurs heute in Euro? • Replizierendes Portfolio: Beispiel: rЄ =10%, r$ = 5%, wt = 0,9 $/Є (1,11 Є/$ ) 1. Kauf von 1/(1+r$) $ (0,952 $) heute 2. Anlage in $ mit 1 Jahr Laufzeit 3. Kreditfinanzierung des $-Kaufes t Fx-Spot Anlage $ Kredit Euro Saldo in Euro -1,058 1,058 0 in $ 0,952 -0,952 T in Euro in $ 1 -1,164 0 1,164 $/Є bzw. 0,85 Є/$ ist der arbitragefreie Terminkurs Finanzwirtschaft Wahrenburg 20 10 Implizite Annahmen der arbitragefreien Bewertung 1. Lagerung möglich 2. keine Lagerkosten 3. kein Vorteil aus Lagerhaltung (Nutzen der jederzeitigen Verfügbarkeit) • realistische Annahme für Wertpapiere, Gold, • unrealistische Annahme für viele Rohstoffe ( können nicht mit No-Arbitrage-Prinzip bewertet werden) Finanzwirtschaft Wahrenburg 21 Die Basis und Konvergenz von Future und Spot Terminkurs Basis Bt = Ft - St Spotkurs (Kassakurs) T Zeit Erfüllungstermin (Fälligkeit) Finanzwirtschaft Wahrenburg 22 11 Entwicklung der Basis im Zeitablauf Basis Bt = Ft - St Contango (F > S) T Zeit Backwardation (F < S) Finanzwirtschaft Wahrenburg 23 Futures: „börsengehandelte Termingeschäfte“ • Standardisierte Verträge nach Gegenstand, Umfang, Laufzeit, etc. • Anonymer Börsenhandel mit Zwischenschaltung eines Intermediärs (z.B. Eurex) • Börse tritt selbst als Gegenpartei auf Börse übernimmt Erfüllungsrisiko • Börse fordert im Gegenzug Sicherheiten (Margin) - Initial Margin - Mainenance Margin Finanzwirtschaft Wahrenburg 24 12 Beispiel für Margin Accounting eines Futures Geschäfts Bsp: Investor übernimmt Long- Position in 2 Gold Futures am 5. Juni mit Fälligkeit Dezember • Kontraktgröße: 100 • Aktueller Futures Preis: $400 • Nominalwert der Gesamtposition: 2*100*$400 = $80 000 • Initial Margin: $2,000/contract • Maintenance margin: $1,500/contract ($3,000 total) (Wenn Marginkonto unter $1500/Vertrag fällt, muß es auf $2000/Vertrag aufgefüllt werden) (US$4,000 total) Finanzwirtschaft Wahrenburg 25 Beispielhafte Wertentwicklung des Futuresmarginkontos Täglicher Kumulierter Gewinn Gewinn (Verlust) (Verlust) Margin KontoStand Tag Futures Preis 5-Jun . . . 397.00 . . . (600) . . . (600) . . . 3,400 . . . 13-Jun . . . 393.30 . . . (420) . . . (1,340) . . . 2,660 . . . + 1,340 = 4,000 . . < 3,000 ! 19-Jun . . . 387.00 . . . (1,140) . . . (2,600) . . . 2,740 . . . + 1,260 = 4,000 . . . 26-Jun 392.30 260 (1,540) 5,060 400.00 Margin Call 4,000 0 . . . 0 Gesamtverlust: 1340 + 1260 - (5060 – 4000) = 1540 = (400 – 392.3)*200 Finanzwirtschaft Wahrenburg 26 13 Vergleich Forwardkurs vs. Futurekurs Ceteris paribus gilt: Summe der Zahlungen auf Marginkonto aus Future = Gewinn/Verlust aus Forward „praktisch“ äquivalent Unterschied zwischen Forwardkursen und Futureskursen minimal Finanzwirtschaft Wahrenburg 27 Beispiel: Bundfutures an der Eurex • Termingeschäft für festverzinsliche Anleihen: 8,5- bis 10-jährige Bundesanleihen oder Schuldverschreibungen der Treuhandanstalt. • Delivery Option: Auswahlfreiheit über die zu liefernde Anleihe (CTD: „cheapest to deliver“) => streng genommen keine reines Termingeschäft • Konversionsformel: Umrwechnung auf 6% Koupon bei Lieferung einer Anleihe mit anderem Koupon • Vier Liefertermine (i.e. vier verschiedene Kontrakte mit Erfüllung Sept., Dez., März, Juni) Finanzwirtschaft Wahrenburg 28 14 Grenzen der arbitragefreien Bewertung • Geringe Kosten der Arbitrage => Arbitragefreiheit setzt sehr enge Grenzen für Terminkurs Bsp: Termingeschäfts auf liquide Wertpapiere, Fx • Hohe Kosten der Arbitrage Bsp: Lagerkosten bei Warentermingeschäfte wie Rohöl u.a. => Arbitrage setzt relativ weite Grenzen • Unmöglichkeit der Arbitrage Bsp: fehlende Lagerfähigkeit, z.B. Milch => Arbitrageure können nicht aus einer „Fehlbewertung“ profitieren Finanzwirtschaft Wahrenburg 29 Futurespreisbildung in Abwesenheit von Arbitragemöglichkeiten (Bsp: Future auf Rinderpreis) • Preis richtet sich nach Angebot und Nachfrage • 2 Gruppen von Marktteilnehmern: - Hedger (sind bereit, eine Risikoprämie zu zahlen) - Spekulanten (übernehmen Risiko gegen Prämie) • Keynes Theorie der „Normal Backwardation“ auf Warenmärkten: Hersteller/Lieferanten wollen hedgen (auf Termin verkaufen) Konsumenten haben kein Hedgingbedürfnis Spekulanten müssen die Gegenposition einnehmen Terminkurs < erwarteter zukünftiger Spotkurs, damit Spekulanten die Gegenposition übernehmen. Hedginggeschäft führt im Erwartungswert zu Verlust „Kosten des Hedging“ Finanzwirtschaft Wahrenburg 30 15 Basisrisiko eines Futureshedge Futures Preis Spot Preis Futures Preis Spot Preis Zeit Wenn sich die Basis ändert ist ∆S ≠ ∆F Zeit kein perfekter Hedge von Spot durch Future Finanzwirtschaft Wahrenburg 31 Rollierende Hedgingstrategien • Sequenz von Futuresgeschäften zur Absicherung langfristiger Positionen • Beispiel Metallgesellschaft: Absicherung langfristiger Lieferverbindlichkeiten in Öl mit Serie von kurzfristigen Futuregeschäften Finanzwirtschaft Wahrenburg 32 16 Beispiel zu rollierendem Hedge (Metallgesellschaft) • Grundgeschäft: Verkauf von 1 Barrel Öl in T=3 zu $20 • Gewinn ohne Hedge: $20 - S3 ( Spotpreisrisiko!) • Gewinne/Verluste der rollierender Hedgestrategie mit kurzfristigen Longpositionen in Futures: (Futurepreis = Spotpreis + Basis) T=1: T=2: T=3: S1 - F0,1 S2 - F1,2 S3 - F2,3 = S1 – S0 – B0,1 = S2 – S1 – B1,2 = S3 – S2 – B2,3 • Totalgewinn mit Hege: $20 – S0 – B0,1 – B1,2 – B2,3 „Tausch“ von Spotpreisrisiko gegen Basisrisiko! Finanzwirtschaft Wahrenburg 33 Optionen: Risken und Bewertung 21.05.2002 34 17 Übersicht • Der Optionsvertrag • Pay Offs / Financial Engineering • Wertgrenzen • Put-Call-Paritätsbedingung • Bewertung von Optionen • Binomialmodell • Black/Scholes Modell • Optionsrisiken Finanzwirtschaft Wahrenburg 35 Definition Optionsvertrag 1. Für den Käufer: - Das Recht (keine Pflicht!), - einen Vermögensgegenstand (Underlying) - zu einem vorab festgelegten Ausübungspreis (Strike, Exercise Price) - innerhalb der Laufzeit (amerikanische Option) oder am Verfallstag (europäische Option) - zu kaufen (Call Option) oder zu verkaufen (Put Option) 2. Verkäufer (Stillhalter): Pflicht, das Underlying zu verkaufen Finanzwirtschaft Wahrenburg 36 18 Optionspositionen • Long call • Long put • Short call • Short put Finanzwirtschaft Wahrenburg 37 Terminologie Moneyness von Calls : • At-the-money option Strike = aktueller Kurs • In-the-money option Strike < aktueller Kurs • Out-of-the-money option Strike > aktueller Kurs (für Puts: <> zeichen vertauschen!) Finanzwirtschaft Wahrenburg 38 19 Bestandteile eines Optionsvertrages • • • • • Optionsprämie = Preis der Option Optionsfrist (Laufzeit, Maturity) Ausübungspreis (Strike) Basiswert (Underlying Asset) Sonderklauseln, z.B. - Dividendenschutz - Verwässerungsschutz Finanzwirtschaft Wahrenburg 39 Weitere Formen von Optionsgeschäften • • • • Optionsscheine Optionsanleihen Wandelanleihen Kündbare Anleihen Finanzwirtschaft Wahrenburg 40 20 Exotische Optionen Beispiele: » Barrier options » Asian options » Binary options » Chooser options » Compound options » Lookback options Finanzwirtschaft Wahrenburg 41 Motive für den Abschluß von Optionsgeschäften Für Optionskäufer: • Spekulation mit begrenztem Kapitaleinsatz z.B. Kauf eines Calls • Absicherung einer Position gegen Verlustrisiken z.B. Absicherung einer Aktie durch Put (Versicherung gegen sinkende Kurse) Für Optionsverkäufer: • Vereinnahmung der Optionsprämie Finanzwirtschaft Wahrenburg 42 21 Pay Off der europäischen Standardoption am Laufzeitende Long Call Long Put X X X ST Pay Off = max(0; ST - X) ST Pay Off = max(0; X - ST ) Finanzwirtschaft Wahrenburg 43 Pay Off der europäischen Standardoption am Laufzeitende ff. Short Call Short Put X X ST ST - X Pay Off = min(0; X - ST ) Finanzwirtschaft Wahrenburg Pay Off = min(0; ST - X) 44 22 Was macht Optionen zu „einzigartige Innovationen“? 1. Asymmetrisches Kreditrisiko Kreditwürdigkeit des Käufer irrelevant => anonymer Handel ohne Marginleistungen möglich 2. Durch Portfoliobildung aus Optionen, Underlying und Anleihen können vielfältige Pay Offs generiert werden. Finanzwirtschaft Wahrenburg 45 Netto Pay Offs (nach Berücksichtigung der Optionsprämie) Gewinn X ST - OP OP: Optionsprämie X: Ausübungspreis Finanzwirtschaft Wahrenburg 46 23 Kombination von Aktie (long) und Put (long ) Gewinn Aktie Gesamtposition X-OP ST X - OP Option OP: Optionsprämie X: Ausübungspreis Finanzwirtschaft Wahrenburg 47 Financial Engineering: Straddle Long Call + X Finanzwirtschaft Wahrenburg Long Put X = Straddle X 48 24 Variation: Der Strangle Gewinn X1 X2 ST Finanzwirtschaft Wahrenburg 49 Ein Butterfly Spread aus Call Optionen Gewinn X1 Finanzwirtschaft Wahrenburg X2 X3 ST 50 25 Notation • • • • • S : aktueller Aktienkurs c : Wert Europäischer Call in t p : Wert Europäischer Put C : Wert amerikanischer Call P : Wert amerikanischer Put • X : Ausübungskurs • T –t : Laufzeit • • σ: Volatilität der Aktie ST : Aktienkurs in T • r: risikoloser Zins Finanzwirtschaft Wahrenburg 51 Wirkung der Variablen auf Optionswert Variable S X T σ r Finanzwirtschaft Wahrenburg c + + + + p + +/+ - 52 26 Wertuntergrenze für Call • Für Option auf Aktie ohne Dividendenzahlung bis T gilt: ct > S t − Xe − r (T −t ) • Beweis: Portfolio A: Call + Zerobond mit Nominalwert X Portfolio B: Aktie Wert in T Portfolio A Portfolio B Vergleich ST<X X ST VA>VB ST>X (ST-X)+X=ST ST VA=VB ⇒ ct + Xe − r (T −t ) > S t Finanzwirtschaft Wahrenburg 53 Optionwert = Innerer Wert + Zeitwert ct > St - Xe-r(T-t) Wert des Calls Zeitwert (Time value) Innerer Wert (Intrinsic value) Xe-r(T-t) X Option aus dem Geld Finanzwirtschaft Wahrenburg St Option im Geld 54 27 Bewertungsgrenzen: Call ct ≤ St Wert des Calls ct ≥ 0 Xe-r(T-t) X Option aus dem Geld ct > St - Xe-r(T-t) St Option im Geld Finanzwirtschaft Wahrenburg 55 Amerikanische vs europäische Optionen Eine amerikanische Option ist c.p. mindestens so viel wert wie eine europäische Option C ≥c P ≥p Finanzwirtschaft Wahrenburg 56 28 Aber: keine Ausübung vor Laufzeitende! • Für Dividende = 0 gilt: Ct ≥ ct > St − Xe − r (T −t ) ⇒ Ct > S t − X • (s.o.) (=Erlös bei Ausübung) Verkauf der Option bringt höheren Erlös als vorzeitige Ausübung !! • Vorzeitige Ausübung irrational! • Wert der amerikanischen und europäischen Option identisch! ( C = c) Finanzwirtschaft Wahrenburg 57 Beziehung zwischen Call und Put: Put-Call-Parität (1) 1. Kombination von Call (long) und Put (short) Pay Off Call Total Pay Off Put = + 0 X X 0 X -X Finanzwirtschaft Wahrenburg 58 29 Put-Call-Parität (2) 2. Kombination von Aktie (long) und Kredit über X (bis T) Aktie total Kredit = + 0 0 -x -K X Finanzwirtschaft Wahrenburg 59 Put-Call-Paritätsbeziehung (3) Fazit: Wert Europäischer Call - Wert Europäischer Put = Aktienkurs - Barwert des Basispreises ⇔ ct - pt = St - Xe-r(T-t) ⇔ pt = ct - St + Xe-r(T-t) Finanzwirtschaft Wahrenburg 60 30 Optionsbewertung während Laufzeit • Grundidee des Black Scholes Modells: eine (dynamisch angepaßte) Handelsstrategie in Aktien und Anleihen kann geeignet sein, eine Option zu replizieren => Wert des Calls = Wert des replizierenden Portfolios Voraussetzung: Gültigkeit eines stochastischen Modells der Aktienkursentwicklung („Brownian Motion Annahme“) Finanzwirtschaft Wahrenburg 61 Binomialbewertungsmodell für Call • Option mit Strike = 100, eine Periode Laufzeit • Annahme: Der Aktienkurs kann zukünftig zwei Werte annehmen (Ein-Perioden-Binomialmodell) 125 25 c 100 75 0 • Welche Aussagen kann man über c machen? Finanzwirtschaft Wahrenburg 62 31 Schritt 1: Risikoloses Portfolio bilden • Kaufe eine Aktie und verkaufe m Optionen, so daß das Portfolio risikolos ist: 100-mc -mc 100 125-25m -25m 125 75 0 75 • Welches m macht das Portfolio risikolos? Finanzwirtschaft Wahrenburg 63 Schritt 2: Bewertung durch Arbitrage • m = 2 führt zu risikolosem Portfolio • Portfolio ist äquivalent zu einem Zerobond mit Rückzahlung von 75. • Portfoliowert muß identisch mit Wert eines Zerobonds sein: V= 75/(1+r) = 75/1,1 = 68,18 75 75 68,18 100-2c 75 75 • 100 – 2c = 68,18 => Optionswert c = 0,5*(100- 68,18) = 15,91 Finanzwirtschaft Wahrenburg 64 32 Optionsdelta • Wir haben abgeleitet: c = 0,5*(St - Zerobondwert(75) ⇒ c = 0,5 * St − Zerobondwert (37,5) • Allgemein: Option = Delta * Aktien + Kredit • Option ≈ kreditfinanzierter Aktienkauf • Beachte: Delta ändert sich, sowie sich der Aktienkurs ändert! Finanzwirtschaft Wahrenburg 65 „Risikoneutrale“ Bewertung • Erstaunlich: die Wahrscheinlichkeit einer Kurssteigerung hat keinen Einfluß auf Optionswert! Die erwartete Rendite der Aktie ist irrelevant ! Wir können „so tun, als ob die Welt risikoneutral wäre“ Aktie hätte eine erwartete Rendite i.H.d. sicheren Zinses prob(ST=125)*125 + [1-prob(ST=125)]*75 = 100*1,1 prob(ST=125) = 0,7 Optionswert ergibt sich bei Risikoneutralität als abgezinster erwarteter Pay Off [0,7 * 25 + (1-0,7) * 0] / 1,1 = 15,91 Finanzwirtschaft Wahrenburg 66 33 Erweiterung auf mehrere Perioden • Beispiel: Strike = 55, Laufzeit 2 Perioden, Zins = 10% 17 72 cu 60 54 50 c 45 0 cd 0 40,5 1. Start mit Bestimmung von Cu: -17m 72 60-1,06cu -mCu 60 0 54 60 - 1,06cu = 54/1,1 => cu = 10,3 54 54 Finanzwirtschaft Wahrenburg 67 Erweiterung auf mehrere Perioden ff 2. Bestimmung von cd: 0 54 cd 45 0 40,5 cd verfällt in jedem Fall wertlos => cd = 0 3. Bestimmung von C: -10,3m 60 -mc 50 45 45 50-1,46c 0 45 50-1,46c = 45/1,1 => c = 6,24 Finanzwirtschaft Wahrenburg 68 34 Der Grenzfall: Black-Scholes • Binomialbaum mit unendlich vielen Schritten normalverteilte „Momentanrendite“ lognormalverteilte Totalrendite prob prob 0 dS/S (ST - S)/S Finanzwirtschaft Wahrenburg 69 Das zugrundeliegende Konzept von Black-Scholes • Option und Aktie hängen von der gleichen Quelle der Unsicherheit ab • Ein Portfolio aus Aktie und Option kann gebildet werden, so dass für eine kurze Zeitperiode das Aktienkursrisiko eliminiert werden kann • Das Portfolio ist risikolos und muß im Marktgleichgewicht eine Rendite in Höhe des risikolosen Zins aufweisen • Der Black-Scholes Wert ist derjenige Wert, der diese Bedingung erfüllt Finanzwirtschaft Wahrenburg 70 35 Die Black/Scholes Formel c0 = S 0 * N (d1 ) − Xe − rT N (d 2 ) „Aktie * Delta - Zerobond“ bzw. x Aktien + y Kredit d1 = ln(S 0 / X ) + (r + σ 2 / 2)T σ T d 2 = d1 − σ T Benötigte Parameter: • Kurs des Underlying heute • • • • Ausübungskurs sicherer Zins Volatilität des Underlying Laufzeit (in einigen Lehrbüchern finden Sie äquivalente Umformungen dieser Formel!) Finanzwirtschaft Wahrenburg 71 Die N(x) Funktion • N(x) ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine standardnormalverteilte Variable geringer als x ist • Quellen: 1. Statistik-Lehrbuch 2. Excel: Funktion „=STANDNORMVERT(x)“ Finanzwirtschaft Wahrenburg 72 36 Die implizite Volatilität • Die implizite Volatilität ist diejenige Volatilität, die einen theoretischen B/S-Wert in Höhe des beobachteten Marktpreises der Option gibt. • Ermittlung: 1. Trial and Error 2. Excel „ZIELWERTSUCHE“ • Interpretation: Erwartung des Marktes über zukünftige Kursschwankungen Finanzwirtschaft Wahrenburg 73 Delta • Delta (∆) misst die Sensitivität der Option in bezug auf Aktienkursänderungen Optionswert Steigung = ∆ Gegenwärtiger Altienkurs Finanzwirtschaft Wahrenburg S 74 37 Delta Hedging • Optionshändler halten in der Regel „deltaneutrale“ Portfolios short/long-Position in Aktien in Höhe von Delta • Delta muß ständig angepasst werden! • Ermittlung von Delta 1. Numerisch 2. Analytisch ∆ = N (d1 ) für europäischen Call ohne Dividenden Finanzwirtschaft Wahrenburg 75 Vega • Vega (ν) misst die Sensitivität der Option in bezug auf Änderungen der (impliziten) Volatilität • Vega ist für Optionshändler das wichtigste (größte) Risiko Finanzwirtschaft Wahrenburg 76 38 Numerische Optionsbewertung mit Binomialbäumen • Häufig benutzt zur Bewertung komplexer Optionsformen • In jedem Zeitintervall geht Aktienkurs um Faktior u nach oben oder Faktor d nach unten • Optionen werden durch Rückwärtsinduktion bewertet (s.o.) • Für kleine ∆t (fast) perfekte Approximation an Black/Scholes Formel uS S dS ∆t Finanzwirtschaft Wahrenburg 77 „Kochbuchrezept“ Optionsbewertung mit Binomialbaum Beispiel. Europäischer Call mit 5 Monaten Laufzeit, S = 100, X = 100, r = 10%, σ = 40%) Schritt 1. Wähle ∆t (möglichst klein, z.B. ∆t = 1/12 (1 Monat)) Schritt 2. Berechne u, d, p: u = eσ d = e −σ ∆t ∆t = 1,1224 = 0,8909 e r ∆t − d q = = 0,5076 u −d Finanzwirtschaft Wahrenburg q = „risikoneutrale Wahrscheinlichkeit“ 78 39 Schritt 3: Berechnung des Binomialbaums für das Underlying 178,13 158,71 141,40 125,98 112,24 100,00 141,40 125,98 112,24 100,00 89,09 112,24 100,00 89,09 79,38 89,09 79,38 70,72 70,72 63,01 56,14 Finanzwirtschaft Wahrenburg 79 4. Bewertung durch ‚“risikoneutrale Bewertung i.V.m. Rückwärtsinduktion Pay Off: 176,13 - 100 = [q * 78,13 + (1 − q )41,4]e − r∆t 78,13 59,54 43,05 29,72 19,75 12,72 41,40 26,81 16,50 9,81 5,70 12,24 6,16 3,10 1,56 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 Zum Vergleich: Black/Scholes Wert = 12,23 Finanzwirtschaft Wahrenburg 80 40 Exkurs Realoptionen Investitionsprojekte haben häufig Optionscharakter, z.B.: • • • • • • Goldmine Ölfeld Flexible Maschine: Option zum Wechsel des Produkts Fabrik im Ausland: Option zur Verlagerung der Produktion Patent: Option zur Produktion Option zur Stillegung/Erweiterung einer Fabrik Finanzwirtschaft Wahrenburg 81 Unternehmensbewertung als „Realoption“ • Häufig in der New Economy angewandt • praktische Anwendbarket noch unklar Probleme: • Auswahl eines spezifischen Modells • Schätzung der Parameter Robustheit der Ergebnisse (bislang) oft gering Finanzwirtschaft Wahrenburg 82 41 Eigen- und Fremdkapital als Option • Bsp: Unternehmen mit einem Kredit mit Laufzeit 1 Jahr Wert des Eigenkapitals in 1 Jahr (= Call Option) Wert des Kredits in 1 Jahr Wert der Aktiva des Unternehmens in 1 Jahr Kreditforderung Finanzwirtschaft Wahrenburg 83 Portfoliorisiko und Minimum Varianz Hedge 21.05.2002 84 42 Überblick • • • • Messung von Risiko Portfoliodiversifikation Minimum Varianz Portfolios Portfolioanalyse und Hedging Finanzwirtschaft Wahrenburg 85 Vermögensentwicklung verschiedener Investments ‚ USA 1926-1995 10000 S&P 500 Small Company Stocks Corporate Bonds LT Govt Bond ST Govt Bond 30Day TBills Inflation 1000 100 10 Finanzwirtschaft Wahrenburg 1994 1992 1990 1988 1986 1984 1982 1980 1978 1974 1976 1972 1970 1968 1966 1964 1962 1960 1958 1956 1954 1952 1950 1948 1946 1944 1942 1940 1938 1936 1934 1932 1930 1928 1926 1 86 43 Aktien: Monatliche Renditen 50 Mittelwert: Standardabweichung: 40 1.00% 5.71% 30 S&P500 Total Return %Total Return 20 10 0 -10 -20 -30 -40 Finanzwirtschaft Wahrenburg 87 Monatliche Renditen von Anleihen und Aktien 1926-1997 (USA) Aktien Anleihen: Mittelwert: Standardabweichung: 50 40 Mittelwert: Standardabweichung: 0.44% 2.21% 1.00% 5.71% 50 U.S. LT Gvt TR %Total Return 40 30 30 20 20 10 10 S&P500 Total Return %Total Return 0 0 -10 -10 -20 -20 -30 -30 -40 Finanzwirtschaft Wahrenburg 88 44 Risiko und Rendite (jährlich) : Verteilungen S&P 500 (σ=20.82%) Small Companies (σ =40.04%) 20 18 16 12 14 10 12 8 10 6 8 6 4 4 2 2 0 -50 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 LT Government Bonds (σ =5.44%) 70 50 60 40 50 30 40 20 30 10 20 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 30 Day Treasury Bills (σ =3.28%) 60 0 -40 60 10 0 -50 -40 -30 -20 -10 0 10 20 30 40 50 60 Finanzwirtschaft Wahrenburg 89 Durchschnittliche Renditen und Volatilitäten Series Large Stocks Small Stocks LT Corp Bonds LT Govt Bonds ST Govt Bonds US TBills Inflation Arithm. Mittel 12.26 Risiko Prämie 8.52 Standard Abweich. 20.82 17.80 14.06 40.04 5.74 2.00 8.32 5.13 1.39 8.00 5.24 1.50 5.44 3.74 3.23 0.00 - 0.51 3.28 4.68 Source: Ibbotson Associates Finanzwirtschaft Wahrenburg 90 45 Rendite and Volatilität Volatilität 45 Small Co’s 40 35 30 25 S&P 500 20 15 10 Govt LT 5 Corporate Govt IT TBills 0 0 5 10 15 20 Rendite Volatilität ist eng mit Rendite verbunden Finanzwirtschaft Wahrenburg 91 Rendite and Volatilität: Wechselkursrisiken Volatilität 45 Intl. Aktien ungehedged 40 35 30 25 Intl. Aktien gehedged 20 15 10 5 0 0 5 10 15 20 Rendite Volatilität ist nicht immer mit Rendite verbunden ! Risikoprämie nicht auf alle Risiken ! Finanzwirtschaft Wahrenburg 92 46 Messung der Portfoliorendite • Messung der (historischen) Portfoliorendite RP in Periode t: RPt = Σ jj ==1N x j R jt xj = Anteil des Portfolios, der in Aktie j, j=1,…,N investiert ist. • xj > 0 ist eine Long Position. • xj < 0 ist eine Short Position; Σj xj = 1 Finanzwirtschaft Wahrenburg 93 Messung des Risikos • Die Varianz eines Portfolios wird bestimmt aus: Var(RP ) = σ P2 = 1 t =T (RPt − RP )2 Σ t =1 T −1 • Häufig wird die Standardabweichung (Auch Volatilität genannt) verwendet: SD (R P ) = σ P = Var ( R P ) Finanzwirtschaft Wahrenburg 94 47 Die erwartete Portfoliorendite • Die erwartete Rendite eines Aktienportfolios ist : E(rP ) = Σ j=N j=1 xj E(rj ) mit Σ j=N j=1 xj =1 • = gewichteter Durchschnitt der einzelnen erwarteten Renditen • 2-Aktien-Fall: E(rP ) = x1E(r1) + (1− x1) E(r2 ) Finanzwirtschaft Wahrenburg 95 Portfoliorisiko • Varianz eines 2-Aktien-Portfolios: var(rp ) = σ p2 = x12σ 12 + x22σ 22 + 2 x1 x2σ 12 σ i2 = Varianz von Aktie i σ ij = Kovarianz von Aktien i und j = σ 1σ 2 ρ1, 2 ρ1, 2 = Korrelatio nskoeffizi ent von 1 und 2 Finanzwirtschaft Wahrenburg 96 48 2-Aktien-Beispiel E[r] E[r1] Aktie 1 E[r2] Aktie 2 σ2 σ1 σ Finanzwirtschaft Wahrenburg 97 2-Aktien-Fall • Wo liegen die Portfolios aus beiden Aktien im Risiko-RenditeDiagramm? • xj = Anteil von Aktie j, j=1,2 • xj > 0 : long Position. • xj < 0 : short Position; • x2 = 1- x1 • Wir brauchen Erwartungswert und Standardabweichung der Portfoliorendite : E ( r P ) = x 1 E ( r1 ) + x 2 E ( r2 ) = x 1 E ( r1 ) + (1 − x 1 ) E ( r2 ) var( r p ) = σ 2 p = x12σ 12 + x 22σ 22 + 2 x1 x 2σ 12 = x12σ 12 + (1 − x1 ) 2 σ 22 + 2 x1 (1 − x1 )σ 12 Finanzwirtschaft Wahrenburg Nach x1 auflösen und einsetzen Effiziente Linie 98 49 Das Minimum Varianz Portfolio • Bestimmung des Portfolios mit minimaler Varianz: σ P2 = x12σ 12 + (1 − x1 ) 2 σ 22 + 2( x1 − x12 )σ 12 ! dσ P2 = 2 x1σ 12 − 2(1 − x1 )σ 22 + 2σ 12 − 4 x1σ 12 = 0 dx1 σ 22 − σ 12 x1 = 2 σ 1 + σ 22 − 2σ 12 Einsetzen und Rendite/Varianz berechnen! Finanzwirtschaft Wahrenburg 99 Minimum Varianz Portfolio E[rp] Aktie 1 E[r1] Minimum Varianz Portfolio E[rp] E[r2] Aktie 2 0 Finanzwirtschaft Wahrenburg σ2 σ1 σp 100 50 Beispielrechnung Minimum Varianz Portfolio Beispiel: Aktie 1 2 Erwartete Rendite 20% 12% Standard abweichung 40% 20% Korrelationskoeffizient: Fall 1: Fall 2: Fall 3: Fall 4: -1 +1 0,25 0,75 Finanzwirtschaft Wahrenburg 101 Fall 1: Perfekte negative Korrelation • Mit perfekter negativer Korrelation (σ12 = - σ1* σ2) ist es möglich, ein risikoloses Portfolio zu bilden. • Die Portfoliogewichte des Minimum Varianz Portfolios ergeben sich als: σ 22 − σ 12 σ 2 +σ σ = 2 2 2 1 2 2 σ + σ 2 − 2 σ 12 σ 1 + σ 2 + 2 σ 1σ 2 σ (σ + σ 2 ) σ2 = 2 1 = 2 (σ 1 + σ 2 ) σ1 +σ 2 x1 = 2 1 X1 = 20%/(20%+40%) = 1/3 E(RP) = 1/3 * 20% + 2/3 * 12% = 14 2/3% σP = 0 Finanzwirtschaft Wahrenburg 102 51 Fall 1: Perfekte negative Korrelation E[r] Null-Varianz Portfolio E[r1] E[rp] Aktie 1 Portfolio mit viel Aktie 1 E[r2] Aktie 2 Portfolio mit viel Aktie 2 0 σ2 σ1 σ Finanzwirtschaft Wahrenburg 103 Fall 2: Perfekte positive Korrelation • Bei perfekter positiver Korrelation (σ12 = σ1*σ2) kann Risiko durch Shortpositionen (Leerverkauf) auf null reduziert werden: • die Portfoliogewichte des Minimum Varianz Portfolios sind: σ 22 − σ12 σ 22 − σ1σ 2 = σ12 + σ 22 − 2σ12 σ12 + σ 22 − 2σ1σ 2 σ (σ − σ ) σ2 = 2 2 12 = (σ 2 − σ1 ) σ 2 − σ1 x1 = Finanzwirtschaft Wahrenburg 104 52 Fall 2: Perfekte positive Korrelation im Beispiel • σ 12 = +1. • Portfoliogewichte: x1 = • 0 .20 = − 1 .0 0 .20 − 0.40 x 2 = 1 − x1 = 2 .0 Erwartete Portfoliorendite: E (rP ) = ( − 1.0)(20% ) + (2.0)(12% ) = 4% • Varianz ist auf null reduziert! • Minimum Varianz Portfolio: • Leerverkauf einer Aktie • Long Position in der anderen Aktie Finanzwirtschaft Wahrenburg 105 Fall 2: Perfekte positive Korrelation E[r] Minimum Varianz Portfolio ohne Leerverkauf E[r1] E[rp] E[r2] Portfolio mit viel Aktie 1 Asset 2 Portfolio mit viel Aktie 2 Minimum Varianz Portfolio Leerverkauf Aktie 1 0 Finanzwirtschaft Wahrenburg Asset 1 σ 2 σ 1 σ 106 53 Perfekte Korrelation: Beispiel Deltahedge mit Optionen • Optionen haben sehr hohe Korrelation mit Underlying • Nutzung für Hedge (Vernichtung von Risiko) Beispiel: • Sie müssen $900 investieren in 2 Assets: • Eine Aktie mit Preis 100 mit erwarteter Rendite von 0.2% und 2,5% Volatilität (über eine Woche gemessen) • Eine Call Option mit Delta = 0,4 zum Preis von $4.00 (kurzfristig äquivalent mit 0,4 Aktien) • Wie kann das Risiko über die nächste Woche minimiert werden? Finanzwirtschaft Wahrenburg 107 Perfekte Korrelation: Beispiel • Eine Option entspricht 0,4 Aktien Zunächst Varianz der Option bestimmen: Wenn Aktie um eine Standardabweichung ($2,5) steigt, verändert sich Optionswert um 0,4 * 2,5 = $1 Rendite der Option = $1/Optionspreis = $1/$4 = 25% Die Option ist 10 mal so riskant: σC=$1.00/$4.00=25%. • Formel für das Minimum Varianz Portfolio (Korrelation = 1): xCall = 0.025 1 =− 0.025 − 0.25 9 xStock = 10 9 • Varianzminimierender Hedge: 1. Verkaufe 25 Call Optionen (Wert = 100 = 1/9 des Vermögens) 2. Investiere die Optionsprämie und die $900 in 10 Aktien! Finanzwirtschaft Wahrenburg 108 54 Fall 3: Geringe Korrelation • ρ12= 0.25 Wie groß sind die Portfoliogewichte, Erwartete Portfoliorendite und Volatilität des Minimum Varianz Portfolio? • Portfoliogewichte: (.2 ) 2 − (.25)(.4 )(.2 ) = 12.5% (.4 ) + (.2 ) 2 − 2 (.25)(.4 )(.2 ) x2 = 1 − (.125) = 87.5% x1 = 2 • Erwartete Rendite und Volatilität E ( rp ) = (.125)(20%) + (.875)(12%) = 13.0% var( rp ) = (.125) 2 (.4 ) 2 + (.875) 2 (.2 ) 2 + 2 (.125)(.875)(.25)(.4 )(.2 ) var( rp ) = .0375 Sd ( rp ) = .0375 = 19.36% Finanzwirtschaft Wahrenburg 109 Fall 3: Geringe Korrelation E[r] Minimum Varianz Portfolio E[r1] E[rp] Asset 1 Portfolio mit Viel Aktie 1 E[r2] Portfolio mit Viel Aktie 2 0 Finanzwirtschaft Wahrenburg σ2 Asset 2 σ1 σ 110 55 Fall 4: Hohe Korrelation (.2) 2 − (.75)(.4)(.2) = −0.25 % (.4) 2 + (.2) 2 − 2(.75)(.4)(.2) Portfoliogewichte x = 1 − ( −.25) = 125 % 2 • ρ12= 0.75 • x1 = • Erwartete Rendite und Volatilität E ( rp ) = (−.25)(20%) + (1.25)(12%) = 10% var( rp ) = (. 25 ) 2 (. 4 ) 2 + (1 .25 ) 2 (. 2 ) 2 + 2 ( − 0 .25 )(1 .25 )(. 75 )(. 4 )(. 2 ) var( rp ) = .035 Sd ( rp ) = .0375 = 18 .71 % Finanzwirtschaft Wahrenburg 111 Fall 4: Hohe Korrelation E[r1] Asset 1 Minimum Varianz Portfolio E[r2] Asset 2 E[rp] Portfolio mit viel Aktie 1 Portfolio mit Long Position in Aktie 2 Short Position in Aktie 1 0 Finanzwirtschaft Wahrenburg σ2 σ1 σ 112 56 Der N-Wertpapier-Fall σ P2 = ∑i ∑ j xi x jσ ij = xT * Σ * x mit : x = Vektor der Portfoliogewichte ∑ = Kovarianzmatrix der Renditen Finanzwirtschaft Wahrenburg 113 Der N-Wertpapier-Fall ff. Berechnung des Portfoliorisikos für n-Aktien Fall in Excel x-Vektor transponiert 0,3 0,4 0,3 Kovarianzmatrix 0,04 0,03 0,03 0,04 0,02 0,02 Varianz der Portfoliorendite 0,029 "={MMULT(MMULT(A4:C4;E4:G6);I4:I6)}" 0,02 0,02 0,04 x-Vektor 0,3 0,4 0,3 Nicht vergessen: für Matrixfunktionen in Excel Umschalttaste + Strg + Return drücken! Finanzwirtschaft Wahrenburg 114 57 Minimum Variance Hedge mit Futures • Besonderheit: kein Kapitaleinsatz Rechnung in xi‘s „funktioniert“ nicht • Lösung: Rechnung in absoluten Veränderungen (∆P) anstelle von relativen Veränderungen (RP = ∆P/P ) • Beispiel: Portfolio mit 1 Aktie mit Preis heute = S investiert. Suche Min.-Varianz-Hedge mit x DAX-Futures (Futureswert heute = F) • Portfoliogewinn: ∆P = ∆S + x* ∆F ⇒ σ2 ∆P = σ2 ∆S + x2 * σ2 ∆F + 2*x* σ ∆F ∆S Ableitung: dσ2 ∆P/dx = 2x σ2 ∆F + 2* σ ∆F ∆S = 0 ⇒ x* = - σ ∆F ∆S / σ2 ∆F Finanzwirtschaft Wahrenburg 115 Graphische Illustration Aktienhedge mit Dax-Futures ∆F Steigung = σ ∆F ∆S / σ2 ∆F ∆S Finanzwirtschaft Wahrenburg 116 58 Analytische Herleitung • Ziel der Regression: Bestimmung von α,β, so dass die Varianz von ε minimiert wird: ∆S = α + β∆F + ε ε = ∆S − α − β∆F σ ε2 = σ ∆2S + β 2σ ∆2F − 2 βσ ∆S∆F ! dσ ε2 = 2 βσ ∆2F − 2σ ∆S∆F = 0 dβ β* = σ ∆S∆F σ ∆2F Finanzwirtschaft Wahrenburg 117 Basisrisiko Basisrisiko ist die verbleibende Varianz σ2 ∆P(x*) (trotz Hedge) Hedgeeffizienz mißt die Effektivität des Hedges: σ2 ∆P(x=0) - σ2 ∆P(x*) σ2 ∆P(x=0) (Anteil des ursprünglichen Risikos, der durch Hedging vernichtet wird) Finanzwirtschaft Wahrenburg 118 59