(Mg I_5 Kap A V )

§16 Endl. und abz. Mengen
Kap. V : Kardinalzahlen
§16 Endliche und abzählbare Mengen
16.1 Definition
a ~ b : ↔ ∃f ( f: a ↔ b )
gleichmächtig
a endlich : ↔ ∃n < ω ( a ~ n )
endlich
a unendlich: ↔ ¬ (a endlich)
unendlich
a D-unendlich: ↔ ∃x ⊂ a ( a ~ x )
DEDEKIND-unendlich
a abzählbar-unendlich: ↔ a ~ ω
a abzählbar: ↔ a endlich ∨ a abzählbar-unendlich
↔ ∃α ≤ ω ( a ~ α )
Eine weitere Möglichkeit, endliche (und damit auch unendliche) Mengen zu charakterisieren,
ohne natürliche Zahlen zu benutzen, ist die folgende (WHITEHEAD-RUSSELL):
Eine Menge u ⊆ P(a) heißt induktive Familie von Teilmengen von a gdw
Ø ∈ u ∧ ∀x ∈ u ∀ y∈ a x ∪ {y} ∈ u , d.h.
u enthält die leere Menge und mit jeder Menge x auch die um ein Element aus a erweiterte
Menge. Definiere:
a endlich : ↔ ∀u ⊆ P(a)( u induktive Familie von Teilmengen von a → a ∈ u ).
Dann gilt:
a)
Ø ist endlich,
b)
a endlich → a ∪ {b} endlich für jedes b,
c)
Induktionsprinzip für endliche Mengen:
ϕ (Ø) ∧ ∀ [ x endlich ∧ ϕ (x) →
∀ y (ϕ (x ∪ {y}))] → ∀ x ( x endlich → ϕ(x)) .
d) Das Bild einer endlichen Menge ist endlich:
Fkt(F) ∧ a endlich ∧ a ⊆ D(F) → F[a] endlich ,
e)
a endlich ∧ b ⊆ a → b endlich,
f)
g)
jede natürliche Zahl ist endlich,
a endlich ↔ ∃ f ∃ n ∈ ω (f : a ↔ n ).
16.2 Satz
(i)
(ii)
n ~ m ∧ n,m ∈ ω → n = m ,
allgemeiner:
α~m ∧ m∈ω → α =m,
jedoch: ω ~ ω+1 ~ ω+ω
α endlich ↔ α ∈ ω ,
insbesondere:
∀ n ∈ ω ( n endlich ), ω unendlich
∀ n ∈ ω ¬ ( n D-unendlich ), ω D-unendlich
( i i i ) a D-unendlich ↔ ∃x ⊆ a( x abzählbar-unendlich)
( i v ) a D-unendlich
mit DC gilt:
→ a unendlich ,
a D-unendlich
↔ a unendlich .
61
§16 Endl. und abz. Mengen
Beweis von (iii) (DEDEKIND 1888):
Sei a D-unendlich, also f: a ↔ b ⊂ a für ein f und ein b. Wähle ao ∈ a − b und setze
a n+1 = f(an ) (rekursive Definition!). Es ist dann an ≠ am für n ≠ m und somit
{an|n<ω } eine abzählbar-unendliche Teilmenge von a.
Ist umgekehrt {an |n< ω } eine abzählbar-unendliche Teilmenge von a, an ≠ am
für n ≠ m,
so definieren wir eine Funktion
g: a → a durch g(an ) = an+1
g: a ↔ a − {ao} ⊂ a .
und g(x) = x sonst. Es ist dann
16.3 Satz (Eigenschaften endlicher Mengen)
(i)
Ø und {a} sind endlich,
( i i ) sind a und b endlich, so auch a ∪ b, a ∩ b, a − b, a x b, P(a), F[a] , ab
( i i i ) a endlich ∧ ∀ x ∈ a (x endlich) →
∪
a endlich,
( i v ) a endlich ∧ b ⊆ a → b endlich .
16.4 Satz (Eigenschaften abzählbarer Mengen)
(i)
a endlich → a abzählbar,
( i i ) sind a und b abzählbar, so auch a ∪ b, a ∩ b, a − b, a x b, F[a] ,
P < ω (a) := {x| x ⊆ a ∧ x endlich} und a <ω := { f | ∃ n< ω f: n → a} ,
( i i i ) Unter der Voraussetzung des Auswahlaxioms (ACω genügt):
a abzählbar ∧ ∀ x ∈ a (x abzählbar) →
∪
a abzählbar,
( i v ) a abzählbar ∧ b ⊆ a → b abzählbar,
( v ) a abzählbar ↔ a = Ø ∨ ∃ f ( f : ω → > a ) ↔ a = Ø ∨ a = {an |n< ω } für eine Folge
(a n |n< ω ) .
Beweis : Wir zeigen zunächst (v):
Eine surjektive Abbildung
f : ω →> a heißt Aufzählung von a (es ist dann a = {f(n)|n< ω }),
eine bijektive Abbildung
f : ω ↔ a Aufzählung von a ohne Wiederholungen.
Sei a abzählbar, a ≠ Ø . Zu Zeigen ist: ∃ f ( f : ω → > a ). Falls a endlich ist, so ist dies
einfach. Ist aber a unendlich, so
a ~ ω , insbesondere ∃ f ( f : ω →> a ) .
Sei umgekehrt f : ω → > a für ein f , a unendlich. Zu zeigen ist:
a ~ ω , d.h. a ist auch
ohne Wiederholungen aufzählbar:
Setze ao = f(0) und definiere (durch Rekursion)
a n+1 = f(k), wobei k minimal ist mit f(k) ≠ ai für alle i<n+1. (Da a unendlich ist,
muß ein solches k existieren.) Es ist dann n |→ an eine Bijektion von ω auf a.
(v)
62
§17 Mächtigkeiten u. Kard.zahlen
Unter Benutzung von (v) zeigen wir nun (iii): Dazu geben wir zunächst eine Paarfunktion
Bijektion f: ω x ω ↔ ω
Setze
an:
f(n,m) = 2n (2 m+1) − 1 .
∀ n ∈ ω an abzählbar, d.h. ∀ n ∈ ω ∃ g ( g: ω →> a n ) . Nach (ACω ) existiert also
eine Folge (gn ) n ∈ ω mit ∀ n ∈ ω a n = {gn (m)|m ∈ ω}) , und somit
Sei nun
∪ a = ∪ n ∈ ω an
= {gn (m)|m,n ∈ ω } = {g(n,m)|m,n ∈ ω }
wobei
g: ω x ω →>
∪ n ∈ ω an
definiert ist durch
g(n,m) = gn (m) .
Die gewünschte Abbildung
h: ω →>
∪ n ∈ ω an
erhält man nun aus g durch Vorschalten der Inversen f−1 der oben
definierten Paarfunktion f.
(iii)
Auch die anderen Aussagen lassen sich am besten mittels (v) beweisen.
16.5 Bemerkung : P(ω ) ist überabzählbar.
Während die Potenzmenge einer endlichen Menge endlich ist, ist die Potenzmenge einer
abzählbar-unendlichen Menge nicht mehr abzählbar (und damit ist
P(a) entweder endlich
oder überabzählbar, aber niemals abzählbar):
Annahme: Es existiert ein f : ω →> P(ω ) .
Dann ist (Diagonalargument!) die Menge
a : = {n ∈ ω| n ∉ f(n)} ⊆ ω ,
also a = f(m) für ein m ∈ ω . Wir erhielten dann:
m ∈ f(m) ↔ m ∉ f(m) , Widerspruch (vgl. mit der RUSSELLschen Antinomie)!
In ähnlicher Weise (formal sogar einfacher) kann man zeigen:
ω ω ist überabzählbar:
Annahme ω ω = {fn | n ∈ ω} . Definiere
f : ω → ω durch f(n) = fn (n) +1 .
Dann ist f ∈ ω ω , aber f ≠ fn für alle n ∈ ω !
Schließlich kann man mit demselben Argument auch zeigen, daß die Menge der reellen Zahlen
~ überabzählbar ist.
63
§17 Mächtigkeiten u. Kard.zahlen
§17 Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
17.1 Definition
a ) b : ↔ ∃f ( f: a >→ b )
↔ ∃x ⊆ b ( a ~ x )
(a ist schmächtiger als b)
a'b:↔ a) b ∧ ¬a~b
a ist von echt kleinerer Mächtigkeit als b
a ist von Mächtigkeit kleiner oder gleich b
So ist z.B. n ) ω , n ' ω , ω ) ω+1 und ω+1 ) ω , ω ' P( ω ) , aber nicht ω+1 ' ω
und
auch nicht ω ' ω+1 .
17.2 Lemma
(i)
a ) a
reflexiv
(ii)
transitiv
(iii)
a ) b ∧ b ) c → a) c
a⊆b → a ) b
(iv)
a ~ b ∧ a ) c → b ) c , c ~ d ∧ a ) c → a ) d (und ebenso für ' statt ) ).
Die
Mengenäquivalenz
Kongruenzrelation bzgl.
~
(aber i.a. nicht umgekehrt)
ist eine Äquivalenzrelation und nach 17.2 (iv) eine
) und ' ; )
bis auf ~ (Satz 17.3). Somit ist )
ist reflexiv und transitiv, aber antisymmetrisch nur
eine reflexive partielle Ordnung auf den Äquivalenzklassen
(d.h. den Mächtigkeiten), eine lineare Ordnung jedoch erst aufgrund des Satzes von HARTOGS
(welcher mit dem Auswahlaxiom äquivalent ist). Setzt man das Auswahlaxiom voraus, so ist der
folgende Satz trivial; er gilt aber (als eines der wenigen Ergebnisse der Theorie der
Mächtigkeiten) auch ohne diese Voraussetzung:
17.3 Satz (CANTOR-SCHRÖDER-BERNSTEIN)
a ) b ∧ b ) a → a~b
Beweis: Nach Voraussetzung gibt es h1 : a ↔ b1 ⊆ b und h2 : b ↔ c ⊆ a . Also ist
f = h2 h1 : a ↔ a1 ⊆ a mit a1 = h2 [b 1 ] ~ b1 ~ a ,
a1 ⊆ c ⊆ a und a1~ a , c ~ b . Somit genügt zu zeigen:
( + ) Ist f: a > → c ⊆ a , so gilt a ~ c .
Unter der Voraussetzung von (+) definieren wir eine Funktion
g(x) = f(x), falls x ∈ ∪ n ∈ ω fn [a − c]
= x
sonst .
o
Dabei ist f (y) = y, fn+1 (y) = f(fn (y))
g : a → c durch:
(numerische Rekursion).
(i) g
ist surjektiv, d.h. W(g) = c:
Sei d ∈ c . Falls d ∈ ∪ n ∈ω fn [a − c] , so d ∈ fn [a − c] für ein n>0 (da d ∈ c), also
d = f(fn-1 (y)) für ein y ∈ a − c , und damit d = g(y) ∈ W(g) ,
falls d ∈ c − ∪ n ∈ω fn [a − c] , so d = g(d) ∈ W(g) .
64
§17 Mächtigkeiten u. Kard.zahlen
(ii)
g ist injektiv:
∪ n ∈ω fn [a − c] und auf c − ∪ n ∈ω fn [a − c] .
Ist aber x ∈ ∪ n ∈ω fn [a − c] und y ∈ c − ∪ n ∈ω fn [a − c] , so
g(x) ≠ g(y), da g(x) = f(x) ∈ ∪ n ∈ω fn [a − c] , während g(y) = y ∈ c − ∪ n ∈ω fn [a − c] .
Da f injektiv ist, ist auch g injektiv auf
Somit ist g eine Bijektion von a auf c und damit
a~c.
17.4 (AC) Satz (Vergleichbarkeitssatz von HARTOGS)
a ) b ∨ b ) a
a ~ α , b ~ β
B e w e i s (mit AC): Sei
(nach dem Wohlordnungssatz). Es gilt für die
Ordinalzahlen die Vergleichbarkeit: α ≤ β ∨ β ≤ α , d.h. α ⊆ β ∨ β ⊆ α , und damit auch
a ) b ∨ b ) a.
17.5 (AC) Folgerung
Jede unendliche Menge enthält eine abzählbar-unendliche Teilmenge
(und ist damit DEDEKIND-unendlich):
a unendlich → ∃x ⊆ a ( x ~ ω ) .
17.6 Satz (CANTOR)
a ' P(a)
Beweis: (Vgl. mit Bem. 16.5:)
Es ist a ) P(a), da x |→ {x} eine injektive Abbildung von a in P(a) definiert.
Ist andererseits f : a → P(a), so kann f niemals surjektiv sein; denn
d := {x ∈ a| x ∉ f(x)} ⊆ a kann nicht gleich f(b) für ein b ∈ a sein, da sonst
b ∈ f(b) = d
↔ b ∉ f(b) .
17.7 Definition
a ) * b : ↔ a = Ø ∨ ∃ f ( f: b →> a )(vgl. mit Def. 17.1)
Beispiel:
17.8 Satz
a abzählbar
↔ a ) * ω ↔ a ) ω , ¬ P(a) ) * a .
(i) a ) b → a ) * b , (ii) a ) * b → a ) b , falls b wohlordenbar,
also (mit AC:) a ) * b ↔ a ) b .
Beweis:
Sei zunächst a ) b , also f : a ↔ c ⊆ b für ein f und ein c , und sei a ≠ Ø, etwa ao ∈ a .
Wir definieren eine Abbildung
g : b →> a
g(y) = f-1 (y) , falls y ∈ c , g(y) = ao sonst.
Zum Beweis der Umkehrung, also a ) * b → a ) b , benötigen wir das Auswahlaxiom:
durch
Falls a = Ø , so a ) b . Sei nun a ≠ Ø , also f: b →> a
für ein f .
Nach (AC4) existiert eine injektive Funktion g : a >→ b , es ist also a ) b .
65
§17 Mächtigkeiten u. Kard.zahlen
17.9 Korollar : Es ist stets F[a] ) * a , also (mit (AC)) auch
F[a] )
a.
17.10 Definition
Für die Mächtigkeit einer Menge a , a , soll gelten:
a = b ↔ a ~ b . Um dies zu erreichen,
gibt es folgende Möglichkeiten der Definition (neben axiomatischen Erweiterungen):
(i)
a : = {x| x ~ a }
Mächtigkeit als Äquivalenzklasse (FREGE/RUSSELL)
Problem: Falls a ≠ Ø, so ist
(ii)
a eine echte Klasse!
a : = {x| x ~ a }m i n
(SCOTT)
( i i i ) Unter Voraussetzung des Auswahlaxioms:
|a| := a : = µα ( α ~ a )
Mächtigkeiten (Kardinalzahlen) als Anfangszahlen
Man kann natürlich auch (ii) mit (iii) kombinieren (wenn man
a : = µα ( α ~ a ) , falls
= {x| x ~ a }min
AC
vermeiden will):
∃α ( α ~ a ) , d.h. falls a wohlgeordnet werden kann,
sonst.
Mächtigkeiten wohlgeordneter Mengen heißen Kardinalzahlen; wir werden im folgenden das
Auswahlaxiom (AC) voraussetzen (somit nicht zwischen Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
unterscheiden) und als Mächtigkeit bzw. Kardinalzahl einer Menge
a
die Definition (iii)
wählen.
Mit dieser Definition erhalten wir zum Beispiel:
|n| = n für jede natürliche Zahl n , |ω | = |ω+1 | = || | = | } | = ω
17.11 (AC) Lemma
(i)
a~b ↔ a = b
(ii)
a ) b ↔ a ≤ b
(iii)
a ' b ↔ a < b
B e w e i s : (i) folgt direkt aus der Definition, der Teil "←" von (ii) und (iii) ist ebenfalls
einfach. Man kann nun den Teil "→ " von (iii) zeigen:
Ist a ' b , aber nicht
a < b , so a ≥ b und damit a * b * a , also a ~ b , Widerspruch!
Mit (iii) erhält man nun aber auch (ii).
17.12 Definition
Card(a) : ↔ ∃x ( a = |x| )
Cn : = {x| Card(x)}
Kardinalzahl
Klasse der Kardinalzahlen
Alle Kardinalzahlen sind Ordinalzahlen (aber nicht umgekehrt!), die natürlichen Zahlen und ω
66
§17 Mächtigkeiten u. Kard.zahlen
sind die ersten Kardinalzahlen, ω+1 , ω+2 , . .. . , ω+ω sind keine Kardinalzahlen.
17.13 Lemma
Card( α ) ↔ ∀β < α ( ¬ β ~ α )
(i)
(Kardinalzahlen sind Anfangszahlen)
↔ ∀β < α ( β ' α ) ↔ α = |α |
(ii)
Card( α ) ∧ α ≥ ω →
Lim( α )
(iii)
ω
(iv)
∀α ∃ κ ∈ Cn α < κ
(v)
Cn ist eine echte Klasse, also keine Menge.
⊂ Cn ⊂ On
(CANTORsche Antinomie)
Beweis: (iv) folgt am schnellsten aus dem Satz von CANTOR : |a| < |P(a)| (Satz 17.6); und aus
der Unbeschränktheit von Cn folgt, daß Cn keine Menge sein kann, denn sonst gäbe es eine
Ordinalzahl
α mit
Cn ⊆ α , aber für
κ = |P(α )| > |α | müßte gelten
κ ∈
Cn ⊆ α
Widerspruch! (Man könnte auch wie folgt argumentieren:
Ist
Cn
κ = |Cn| , welches dann die größte
eine Menge, so hätte sie eine Kardinalzahl
Kardinalzahl sein müßte, während aber |P(Cn)| eine noch größere Kardinalzahl wäre.)
17.14 Bemerkungen
(i)
|α | ≤ α , |α | = α ↔ α ∈ Cn , |α | < α ↔ α ∉ Cn .
(ii)
α ≤ β → |α| ≤ |β| ,
aber die Umkehrung gilt i.a. nicht!
|α| < |β| → α < β , aber die Umkehrung gilt auch hier i.a. nicht!
(iii)
Ist κ eine Kardinalzahl, so
(iv)
17.15 Lemma a ⊆ Cn
→
α < κ ↔ |α| < κ
∪ a ∈ Cn
↔ α ' κ .
,
d.h.: Das Supremum einer Menge von Kardinalzahlen ist wieder eine Kardinalzahl.
17.16 Definition
α + := µγ ( γ ∈ Cn ∧ α < γ )
kardinaler Nachfolger
Die Existenz von α+ folgt am einfachsten aus dem Auswahlaxiom und zeigt zugleich, daß
α
< α + ≤ P(α ) ;
man kann aber auch die HARTOGsche Funktion verwenden:
H(a):= {ξ | ξ ) a } , speziell H(α ) = µξ ( |α | ' ξ ) = α +
(s. Übungen)
und damit die Voraussetzung des Auswahlaxioms an dieser Stelle vermeiden.
Durch transfinite Rekursion definiert man die Aleph-Funktion:
ℵ 0 = ω , ℵ α+1 = ℵα + , ℵ λ = ∪ ξ<λ ℵ ξ
67
falls Lim(λ ) .
§17 Mächtigkeiten u. Kard.zahlen
Offensichtlich ist die Alephfunktion eine Normalfunktion; sie zählt die unendlichen Kardinalzahlen monoton auf:
17.17 Satz
Cn − ω = {ξ | Card(ξ ) ∧ ξ ≥ ω } = { ℵ α | α ∈ On}
Beweis: Daß jedes ℵ α eine unendliche Kardinalzahl ist, zeigt man durch Induktion über α
unter Benutzung von 17.15. Sei umgekehrt κ eine unendliche Kardinalzahl ≠ für ℵ α für alle
α , wobei wir κ minimal mit dieser Eigenschaft wählen können. Da Normalfunktionen beliebig
große Werte annehmen können, existiert ein kleinstes β mit κ < ℵ β . Es ist dann β ≠ 0 , da κ
unendlich; wäre β = γ+1 für ein γ , so ℵ γ ≤ κ < ℵγ+1 wegen der Minimalität von β , also
ℵ γ = κ (da ℵ γ+1 der kardinale Nachfolger von ℵ γ ist) im Widerspruch zur Annahme über
κ ! Somit bleibt der Fall, daß β eine Limeszahl ist. Dann folgt aber aus κ < ℵ β nach Def. von
ℵ β , daß κ < ℵ γ für ein γ < β , Widerspruch zur Wahl von β !
Für die Alephfunktion können wir unsere Sätze über Normalfunktionen anwenden; insbesondere
gibt es also beliebig große
α mit
α =
ℵα ,
die Aufzählung dieser Zahlen ist wiederum eine Normalfunktion, die ebenfalls beliebig große
Fixpunkte besitzt, u.s.w.
68
§18 Kardinale Operationen
§18 Kardinale Operationen
18.1 Lemma
(i)
a und b seien endliche Mengen mit |a| = n , |b| = m . Dann gilt:
n + m = |a| + |b| = | a ∪ b | ,
falls a ∩ b = Ø; allgemein:
n + m = |a| + |b| = | a x {0} ∪ b x {1}|
(ii)
(iii)
n m = |a| |b| = | a x b |
m n = |b| |a| = |a b| , insbesondere
2n = 2|a| = | P(a) | .
Diesen endlichen Fällen entsprechend definieren wir allgemein:
18.2 Definition κ und λ seien Kardinalzahlen.
κ ⊕ λ : = |(κ x {0}) ∪ (λ x {1})|
κ⊗λ : = |κx λ|
κ λ := | λ κ |= |{ f | f : λ → κ }|
18.3 Bemerkungen
(i) Da κ ∪ λ = κ bzw. λ
ist, haben wir durch den Übergang zu
κ x {0} bzw. λ x {1} die
Mengen κ bzw. λ durch gleichmächtige, aber disjunkte Mengen ersetzt. Allgemeiner ist also
|a| ⊕ |b| = |a ∪ b| , falls a ∩ b = Ø, sonst nur
|a| ⊕ |b| ≥ |a ∪ b|
(da es eine injektive Abbildung a ∪ b >→ a x {0} ∪ b x {1} gibt);
( i i ) |a| ⊗ |b| = |a x b| ,
( i i i ) 2 |a| = |a {0,1}| = |P(a)| .
Die kardinalen Operationen sind (zumindest im Transfiniten) von den entsprechenden ordinalen
Operationen streng zu unterscheiden; trotzdem werden wir im Falle der Alephs häufig einfacher
ℵα + ℵβ
statt ℵ α ⊕ ℵ β
(und ähnlich für Multiplikation und Potenz)
schreiben, da in diesem Fall meistens die kardinalen Operationen gemeint sind.
Im Gegensatz zu den ordinalen Operationen sind die kardinalen Operationen der Addition und
Multiplikation kommutativ , distributiv und assoziativ (wenngleich sie sich als trivial
herausstellen werden):
18.4 Lemma
κ⊕λ =λ⊕κ , κ⊗λ =λ⊗κ
kommutativ
κ ⊕ (λ ⊕ ρ) = (κ ⊕ λ) ⊕ ρ , κ ⊗ (λ ⊗ ρ) = (κ ⊗ λ) ⊗ ρ
assoziativ
κ ⊗ (λ ⊕ ρ) = (κ ⊗ λ ) ⊕ ( κ ⊕ ρ )
distributiv
0⊕κ =1⊗κ=κ ,0⊗κ = 0,
( κ λ ) ⊗ (κ µ ) = κ ( λ ⊕ µ ) , (κ λ ) µ = κ ( λ ⊗ µ ) , (κ ⊗ λ)µ = κ µ ⊗ λ µ ,
κ≤ λ →
κ⊕ρ≤λ⊕ρ ∧ κ⊗ρ≤λ⊗ρ ∧ κρ≤λρ ∧ ρκ≤ρλ
κ ⊕ λ ≤ κ ⊗ λ für
schwach monoton
κ, λ >1
Dagegen sind die Operationen i.a. nicht streng monoton; vielmehr werden wir zeigen, daß
κ ⊕ λ = κ ⊗ λ = max(κ , λ ) , falls
κ , λ unendlich sind.
69
§18 Kardinale Operationen
Der Beweis von Lemma 18.4 erfolgt durch Angabe geeigneter Abbildungen, z.B. einer Funktion
f: a x b ↔ b x a , einer Abbildung g: a(bc) ↔ a x b c , u.s.w.
18.5 Auf On x On , also den Paaren von Ordinalzahlen, definieren wir zwei Ordnungen:
(i)
( α , β ) Le (γ , δ ): ↔ α < γ ∨ ( α = γ ∧ β < δ)
lexikographische Ordnung
Dieses ist eine lineare Ordnung, die die Minimumsbedingung (F1) erfüllt, aber nicht die
Mengenbedingung (F2) (und somit ist Le keine Wohlordnung):
{( α , β ) | (α , β ) Le (1,0) } = {(0,β ) | β ∈ On } ist echte Klasse!
( i i ) ( α , β ) R (γ , δ ): ↔ max( α , β ) < max (γ , δ ) ∨
∨ ( max( α , β ) = max (γ , δ ) ∧ ( α , β ) Le (γ , δ ) )
(GÖDEL)
Diese Relation ist eine Wohlordnung auf On x On:
Sei Ø ≠ A ⊆ On x On . Wähle zunächst ein (beachte: max( α ,β) = α ∪ β))
α 0 ∈ { γ ∪ δ | (γ , δ ) ∈ A } , welches minimal ist (als Ordinalzahl), sodann ein
γ 0 ∈ { γ | ∃ δ (( γ , δ ) ∈ A ∧ γ ∪ δ = α 0 )} , welches minimal ist, und schließlich ein
δ 0 ∈ { δ | (γ 0 , δ ) ∈ A ∧ γ ∪ δ = α 0 } , welches minimal ist. Dann ist
(γ 0 ,δ 0 )
R-minimal in A .
Die Mengenbedingung ist erfüllt:
R v (γ , δ ) = {(α , β ) | (α , β ) R (γ , δ )} ⊆ {(α , β ) | α , β ≤ max (γ , δ )} = δ 0 x δ 0
mit δ 0 = max( γ , δ )+1 .
Ferner ist für jedes α: α x α ein R-Segment:
α x α = Rv (0,α ) .
Nach dem Kontraktionslemma 9.8 existiert eine Funktion F: On x On ↔ A für ein transitives
A ⊆ On, so daß F ein Ordnungsisomorphismus ist:
(*)
∀α,β,γ,δ ( (α , β ) R (γ , δ ) ↔
F(α , β ) < F(γ , δ )) .
Da On x On eine echte Klasse ist, so auch A, und damit A = On. Ferner gilt wegen (*):
(**)
F(0,α ) = F[α x α ] ≥ α .
Für α = ω gilt sogar : F[ω x ω ] = ω , und diese Aussage läßt sich für alle Kardinalzahlen
beweisen:
18.6 Lemma Für jedes α ist F[ℵ α x ℵ α ] = ℵ α .
Beweis:
1. Fall: α = 0, d.h. ℵ α = ω . Wäre die Beh. falsch, so ω = F(m,n) für zwei natürliche Zahlen
n,m. Es ist aber für k = max(n,m)+1:
F(m,n) < F(0,k) = F[k x k] endlich, Widerspruch zur
Unendlichkeit von ω ! Ähnlich argumentiert man in den übrigen Fällen:
2. Fall: α > 0, angenommen F[ℵ α x ℵ α ] > ℵ α , wobei wir α minimal wählen. Es existieren
dann γ, δ < ℵα mit F(γ , δ ) = ℵ α Setzen wir ρ = (γ ∪ δ) +1 , so ist ω ≤ ρ < ℵα , da ℵ α (als
Ordinalzahl) eine Limeszahl ist. Es ist (γ ,δ ) R (0,ρ ) und damit
70
§18 Kardinale Operationen
ℵ α = F(γ ,δ ) < F(0,ρ ) = F[ ρ x ρ ] , insbesondere
Nun ist aber
ρ < ℵα , also wegen der Minimalität von α : | ρ x ρ | = | ρ | < ℵα , Widerspruch!
18.7 Korollar:
18.8 Satz
ℵα ⊗ ℵα = ℵα
Es seien κ , λ Kardinalzahlen, κ oder λ unendlich.
(i)
κ ⊕ λ = max( κ , λ )
(ii)
κ ⊗ λ = max( κ , λ )
(iii)
ℵ α ≤ | ρ x ρ| .
falls κ , λ ≠ 0 ; insbesondere:
ℵ α ⊕ ℵ β = ℵ α ⊗ ℵ β = max( ℵ α , ℵ β ) = ℵ max( α ,β )
Beweis: Es sei δ := max(κ ,λ ) ≥ ω . Dann ist nach 18.7:
( δ x {0}) ∪ ( δ x {1}) ⊆ δ x δ , da 0,1 ∈ δ,
δ ≤ δ ⊕ δ ≤ δ ⊗ δ = δ , und somit
δ ≤ κ ⊕ λ ≤ δ ⊕ δ = δ , also
(HESSENBERG 1906)
δ⊗δ=δ.
δ⊕δ= δ⊗δ=δ.
κ ⊕ λ = δ , und ähnlich für
κ,λ≠0:
δ ≤ κ ⊗ λ ≤ δ ⊗ δ = δ , also auch κ ⊕ λ = δ .
18.9 Korollar
(i)
(ii)
(Zur Erinnerung: Kardinale Potenzen!)
2 ≤ κ ≤ ℵ α → 2ℵ α = κℵ α = ℵ αℵ α ,
β ≤ α → ℵ α < 2ℵ α = ℵ βℵ α = ℵ αℵ α
insbesondere
(BERNSTEIN).
ℵ
ℵ
ℵ
Beweis: 2 ≤ κ ≤ ℵ α → 2 ℵ α ≤ κ ℵ α ≤ ℵ α ℵ α ≤ (2 ℵ α ) α = 2 α ⊗ α = 2ℵ α , also muß
hier rechts überall = statt ≤ stehen!
18.10 Beispiele
| ~ | = |P(ω )| = 2 ℵ 0 (zur Erinnerung: kardinale Potenz!) , und ebenso
| ~ n| = (2 ℵ 0)n = 2 ℵ 0 = | ~ | , und sogar | ~ ω| = (2 ℵ 0)ℵ 0 = 2 ℵ 0 = | ~ | . Dagegen
ℵ
ℵ
ℵ
| ~ ~ | = ( 2 ℵ 0 ) 2 0 = 2 ℵ 0 ⊗ 2 0 = 22 0 > 2 ℵ 0 = | ~ | . Somit ist
ℵ
|{f | f : ~ → ~ }| = 22 0 > 2 ℵ 0 , während
|{f | f : ~ → ~ und f stetig}| = |{f | f : } → ~ }| = (2 ℵ 0) ℵ 0 = 2 ℵ 0 = | ~ | .
Offen ist hier noch die Größe von
2ℵ 0
ℵ
und 22 0 ; die
CANTORsche Kontinuumshypothese (CH) :
2ℵ 0 = ℵ 1
2 ℵ 0 den kleinstmöglichen Wert annimmt, aber löst noch nicht das Problem der
ℵ
Größe von 22 0 ; aus der
besagt, daß
Allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) : 2 ℵ α = ℵ α+1
ℵ
folgt: 2 ℵ 0 = ℵ 1 und 22 0 = 2 ℵ 1 = ℵ 2 .
71
§19 Unendl. Summen u. Prod.
§19 Unendliche Summen und Produkte
Mit Hilfe unendlicher Summen und Produkte werden wir eine (und praktisch die einzige
beweisbare) Ungleichheit erhalten, ausgedrückt im Satz von KÖNIG-JOURDAIN, aus dem sich
auch der Satz von CANTOR: |a| < |P(a)| (Satz 17.6) ableiten läßt.
(κ x | x ∈ a) sei eine Familie von Kardinalzahlen.
19.1 Definition
∪ x ∈ a (κ x x
X x ∈ a κ x := | Π x ∈ a κ x |
S
x ∈ a κ x := |
kardinale Summe der (κ x | x ∈ a)
{x})|
kardinales Produkt der (κ x | x ∈ a)
19.2 Bemerkung
In obiger Definition sind folgende Spezialfälle enthalten:
κ 0 ⊕ κ 1 bzw. κ 0 ⊗ κ 1 (endliche Summe bzw. Produkt) für a = {0,1},
κ λ = X x ∈ a κ x (Potenz) für a = λ , ∀x ∈ a ( κ x = κ ).
| ∪ x ∈ a ax| ≤
19.3 Lemma
S
x ∈ a|ax |
Beweis: Definiere eine Abbildung
∪
f:
x ∈ a (a x x {x}) →>
∪
x ∈ a ax
durch f(y,x) = y
für
x ∈ a , y ∈ ax .
19.4 Satz Es sei κ ≥ ℵ 0 eine unendliche Kardinalzahl.
(i)
∀x ∈ a ( κx ∈ Cn ∧ κ x ≤ κ ) →
∪
( i i ) ∀ x ∈ a ( | ax| ≤ κ ) → |
( i i i ) Für alle c ∈ a ist κ c ≤
S
S
|a|
x ∈ a κ x ≤ max(κ ,|a|) und |X x ∈ a κ x | ≤ κ .
x ∈ a a x | ≤ max(κ , |a|) .
x ∈ a κ x und (falls alle κ x > 0) κ c ≤ X x ∈ a κ x .
Beweis von (i): Es sei δ := |a|, f: a ↔ δ . Definiere eine injektive Abbildung
h:
∪
Es ist somit
x ∈ a (κ x x {x})
S
>→
∪
ξ<δ (κ x {ξ }) = κ x δ
durch h(γ ,x) = (γ ,f(x)).
x ∈ a κ x ≤ κ ⊗ δ = max(κ ,δ ) .
19.5 Satz
∀x ∈ a ( 2 ) κx ) →
S
x ∈ a κx ) X x ∈ a κx
Beweis: Zeige zunächst, daß (*)
a∪b )
axb
für |a|, |b| ≥ 2 gilt. Sei nun |a| ≥ 3.
Um eine injektive Abbildung
h:
∪ x ∈ a (κx x {x})
>→
Π x ∈ a κx
zu definieren, beachten wir, daß jedes
z ∈ D(h) von der Form z = (y,x) für genau ein x ∈ a und genau ein y ∈ κx . ist, welches durch
eine Funktion f mit D(f) = a und f(x)∈ κ x für x ∈ a charakterisiert werden soll. Sei daher h
definiert durch:
72
§19 Unendl. Summen u. Prod.
y≠0:
h(y,x) = f mit
f(x) = y , f(u) = 0 für u ≠ x ,
y=0:
h(y,x) = f mit
f(x) = 0 , f(u) = 1 für u ≠ x
Dann ist h injektiv: Da |a| ≥ 3, so nimmt die Funktion h(y,x) genau einen Wert (und zwar y )
nur einmal an, und zwar an der Stelle x .
19.6 Satz von KÖNIG-JOURDAIN (KÖNIG 1905, ZERMELO 1908))
(i)
∀ x ∈ a ( a x ' bx ) →
(ii)
∀ x ∈ a ( κx < λ x ) →
∪ x ∈ a ax
S
'
Π x ∈ a bx
x ∈ a κx < X x ∈ a λx
bzw.
für Kardinalzahlen
κx , λ x .
Beweis : Es sei ∀x ∈ a κx , λx ∈ Cn ∧ ∀x ∈ a κx < λx . Wir setzen
b :=
∪ x ∈ a ( κx x {x})
und c :=
Πx∈a
λx , zu zeigen ist: b ' c.
Da aus 19.5 (bzw. aus dessen Beweis) b ) c folgt, haben wir nur noch zu zeigen, daß
nicht b ~ c . Dieses beweist man wie im Falle des Satzes con CANTOR indirekt:
Angenommen, es wäre f: b → c . Wir zeigen, daß dann f nicht surjektiv sein kann, es also ein
h ∈ c gibt mit h ∉ W(f) . Nun ist
W(f) = {f(z)|z ∈ b} = {f((α ,x))|x ∈ a ∧ α ∈ κx },
und wir werden ein h finden, so daß
h ∈ c , aber
( * ) ∀ x ∈ a [ h(x) ≠ f((α ,x))(x) für alle α ∈ κx ]
(Diagonalargument!).
Dazu bemerken wir, daß für jedes x ∈ a nach 17.8 (AC!) :
{f(( α ,x))(x)| α ∈ κx } ≤ κx < λx , insbesondere
λx − {f((α ,x))(x)| α ∈ κ x } ≠ Ø .
Das gesuchte h ∈
Π x ∈ a λx
mit der Eigenschaft (*) können wir also einfach definieren durch
h(x) = µξ ( ξ ∈ λx − {f(( α ,x))(x)| α ∈ κx } ) für x ∈ a .
19.7 Bemerkungen
( 1 ) Der Beweis des Satzes von KÖNIG-JOURDAIN benutzt das Auswahlaxiom, was
unvermeidbar ist, denn als Spezialfall (für ax = 0) erhalten wir aus diesem Satz:
∀ x ∈ a ( 0 ' bx ) → 0 '
( 2 ) Für den Spezialfall
Π x ∈ a bx )
und damit das Auswahlaxiom.
ax = 1 und bx = 2 erhält man aus dem Satz von KÖNIG-JOURDAIN
den Satz von CANTOR :
S
a
x ∈ a 1 ' X x ∈ a 2 , d.h. |a| < |2 | = | P(a) | .
73
§19 Unendl. Summen u. Prod.
19.8 Korollar
Sei Lim(λ ) , ∀ξ,η < λ ( ξ < η → 0 < κξ ' κ η ) . Dann ist
S
ξ < λ κξ < X ξ < λ κξ .
19.9 Satz (HAUSDORFFsche Rekursionsformel)
ℵ α+1ℵ β = ℵ α+1 ℵ αℵ β
Beweis: Der Teil "≥" ist klar. Zum Beweis der umgekehrten Beziehung gilt im Falle
α+1 ≤ β : ℵ α+1ℵ β ≤ ℵ βℵ β = ℵα ℵ β ≤ ℵ α+1 ℵ α ℵ β und im Falle
β < α+1: ℵ α+1 ℵ β ≤ S γ< ℵ α+1 γ ℵ β ≤ ℵ α+1 ℵ α ℵ β nach 19.4 (ii). (Für das erste "≤"
benutzt man die Regularität von ℵ α+1 , s. §20!)
Beispiel: ℵ 1ℵ 0 = ℵ 1 ℵ 0ℵ ο = ℵ 1 2ℵ 0 = 2ℵ 0 .
19.10 Satz
(i)
(ii)
S
X
ξ<α+1 ℵ ξ = ℵ α ,
|α|
ξ<α+1 ℵ ξ = ℵ α ,
S
ξ<λ ℵ ξ = ℵ λ für Limeszahlen λ .
X ξ<λ ℵ ξ = ℵ λ |λ| für Limeszahlen λ (TARSKI).
19.11 Satz κ, λ seien unendliche Kardinalzahlen,
P<λ (a):= {x| x ⊆ a ∧ |x| < λ } , Pλ (a):= {x| x ⊆ a ∧ |x| = λ } , P≤ λ (a):= {x| x ⊆ a ∧ |x| ≤ λ } .
(i)
Für unendliches a ist |P<ω (a) | = | a | .
(ii)
|{ f | Fkt(f) ∧ D(f) ⊆ κ ∧ D(f) endlich ∧ W(f) ⊆ λ } | = max(κ, λ) .
(iii)
|P <λ ( κ )| = |P≤λ (a)| = κ λ
(iv)
| Pκ ( κ )|
= | P(κ ) | = κ κ
für λ≤κ , insbesondere:
= 2κ .
Beweis von (i): Es ist
κ ≤ | κ < ω | = |{x| x ⊆ κ ∧ x endlich}| ≤
S
n
n<ω κ =
S
n<ω κ ≤ κ ⊗ ω = κ .
(ii): Sei a := { f | Fkt(f) ∧ D(f) ⊆ κ ∧ D(f) endlich ∧ W(f) ⊆ λ } . Dann ist
|a| ≥ κ , da f: κ >→ a mit f(ξ ) = {(ξ ,0)}
injektiv ist,
|a| ≥ λ , da f: λ > → a
mit f(ξ ) = {(0,ξ )}
injektiv ist, ferner
⊆
⊆
|a| ≤ |κ x λ | = max( κ, λ) , da a { f | f κ x λ ∧ f endlich }
74
§19 Unendl. Summen u. Prod.
( i i i ) : Mit AC erhält man eine injektive Abbildung
{x| x ⊆ κ ∧ |x| ≤ λ} >→ κ λ durch die Zuordnung
(+)
x |→ fx mit D(fx ) = λ und W(fx ) = x , und somit ist
|{x| x ⊆ κ ∧ |x| ≤ λ }| ≤ κ λ .
Andererseits ist für
λ≤ κ :κ = κ ⊗ λ , also
κ in λ -viele paarweise disjunkte Mengen der Mächtigkeit κ zerlegbar:
κ =
∪
ξ <λ f( ξ ) für eine Funktion f mit f(ξ ) ∩ f( η ) = Ø für ξ ≠ η , |f(ξ )| = κ ,
und somit
( + + ) κ λ = X ξ <λ κ ≤ |{x| x ⊆ κ ∧ |x| =λ }| , denn eine injektive Abbildung
Π ξ <λ f (ξ) >→ {x| x ⊆ κ ∧ |x| = λ } wird gegeben durch g |→ W(g).
Somit erhalten wir aus (+) und (++):
κ λ ≤ |{x| x ⊆ κ ∧ |x| = λ }| ≤ |{x| x ⊆ κ ∧ |x| ≤ λ }| ≤ κ λ
und damit hierin überall die Gleichheit.
19.12 Anwendung
Gegeben sei eine Funktion F und eine Menge a . Nach Satz 8.8 gibt es eine Menge b mit
a ⊆ b ∧ ∀ x ∈ b F(x) ∈ b .
Wenn wir den Beweis noch einmal durchführen und auf die Mächtigkeiten der betreffenden
Mengen achten, sehen wir, daß wir zusätzlich (mit AC) erhalten können:
ist |a| ≤ ℵ α , so gibt es ein b mit a ⊆ b ∧ ∀ x ∈ b F(x) ∈ b ∧ |b| ≤ ℵ α
(ebenso im Falle endlich oder abzählbar vieler Funktionen).
75
§20 Reguläre Kardinalzahlen
§20 Reguläre Kardinalzahlen, Konfinalität
20.1 Definition
a ⊆ α confinal in α :
↔
↔
∪a=α
α⊆∪ a
↔ ∀ξ<α ∃η ∈ a ξ < η
Für Limeszahlen λ : cf(λ ) := µβ ∃f (f : β → λ ∧ W(f) confinal in λ )
= µβ ∃f (f : β → λ ∧ ∀ξ<λ ∃η<β ξ < f(η) )
= µβ ∃f (f : β → λ ∧ λ =
∪ η<β
f(η) ) .
In den übrigen Fällen kann man cf(0) = 0 und cf(α+1 ) = 1 setzen (oder allgemein die letzte
Definition wählen, jedoch mit sup+ statt
∪
- siehe auch Lemma 20.4 (iii) unten).
20.2 Bemerkungen und Beispiele:
cf( α ) heißt Konfinalitätsindex von
cf(α ) ≤ α ,
(1)
(2)
(3)
Lim(λ ) →
α . Es ist stets
Lim( cf(λ ) ) ,
cf( ℵ 0 ) = ℵ0 , cf(ℵ ω ) = cf(ℵ ω+ω ) = cf(ℵ ℵ ) = ω ,
ω
cf( ℵ λ ) = cf(λ) für Limeszahlen λ .
allgemeiner
20.3 Definition
reg( α ): ↔ cf(α ) = α
α ist regulär ,
sing( α ): ↔ cf(α ) < α
α ist singulär .
Insbesondere sind also 0, 1 , ℵ0 regulär, 2, 3,
ℵ ω , ℵ ω+ω und ℵ ℵ singulär.
ω
Wir werden später sehen, daß alle unendlichen kardinalen Nachfolgerzahlen, also alle ℵα+1
regulär sind.
20.4 Lemma Für Lim(λ ) :
(i)
(ii)
(iii)
cf(λ ) ist eine unendliche Kardinalzahl (insbesondere Limeszahl) ,
cf( λ ) = µβ ∃f (f : β → λ ∧ f monoton wachsend ∧ λ =
cf( cf(λ )) = cf(λ ) , insbesondere ist
∪ η<| β | fg(η)
f(η) ) ,
cf(λ ) stets eine reguläre Kardinalzahl.
Beweis von (i): Es sei β = cf(λ ), f : β → λ ∧ λ =
λ=
∪ η<β
∪ η<β f(η)
, g : | β | ↔ β . Dann ist auch
, also | β | = β wegen der Minimalität von β .
(ii) folgt daraus, daß für eine Funktion
f : β → λ die monotone Aufzählung von W(f) "kürzer"
als D(f) ist, d.h. ein g : δ → λ ist mit g monoton wachsend, W(g) = W(f) und δ ≤ β.
(iii) beweist man ähnlich wie (i) unter Benutzung von (ii).
20.5 Lemma Sei κ ≥ ω Kardinalzahl.
reg( κ ) ↔ ∀ x (|x| < κ ∧ ∀ y ∈ x |y| < κ → | ∪ y ∈ a y | < κ ) ,
( i i ) reg( κ ) ↔ ∀α<κ ∀ f( f : α → Cn → S ξ ∈ α f(ξ ) < κ ),
(i)
76
§20 Reguläre Kardinalzahlen
d.h. κ ist regulär gdw die Summe von <κ -vielen Kardinalzahlen < κ auch stets <κ ist,
insbesondere
( i i i ) r e g ( κ ) ∧ |b| = κ ∧ b =
∪ x ∈ a ax
→ |a| = κ ∨ | a x | = κ für ein x ∈ a .
20.6 Satz (AC)
ℵ 0 und alle ℵ α+1 sind regulär.
Beweis: Annahme: δ : = cf( ℵα+1 ) < ℵα+1 . Dann gibt es ein
f : δ → ℵ α+1 mit ℵ α+1 = ∪ η<δ f(η) . Es ist aber
| δ | < ℵ α+1 und ∀η<δ | f(η) | < ℵ α+1 , somit | δ | ≤ ℵ α und ∀η<δ | f(η) | ≤ ℵ α , also
|ℵ α+1 | =| ∪ η<δ f(η) | ≤ ℵα , Widerspruch!
Nachfolger-Kardinalzahlen sind somit regulär; Limeskardinalzahlen (d.h. ℵ λ mit Lim(λ ))
können singulär sein (z.B. ℵ ω , ℵ ω + ω und ℵ ℵ ), offen bleibt daher, ob es reguläre
ω
Limeskardinalzahlen gibt - diese heißen unerreichbar (inaccessible):
20.7 Definition (HAUSDORFF 1908 bzw. TARSKI, ZERMELO 1930)
κ (schwach) unerreichbar : ↔ κ = ω ∨ ( reg(κ) ∧ ∃λ ( L i m ( λ ) ∧ κ = ℵ λ ))
↔ κ ≥ ω ∧ reg(κ) ∧ ∀α<κ α+ < κ
↔ κ ≥ ω ∧ reg(κ) ∧ ∀α<κ | 2α | < κ .
κ unerreichbar :
20.8 Bemerkungen
ℵ 0 ist unerreichbar, und alle unerreichbaren Zahlen sind schwach unerreichbar; unter
der Annahme der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH) sind unerreichbare = schwach
unerreichbare Zahlen. Für unerreichbares
κ > ℵ0
muß gelten:
κ = ℵ κ , κ =( D ℵ )( κ ),
κ =( D D ℵ )( κ ), u.s.w.
Die Existenz von unerreichbaren Zahlen > ℵ 0 ist in ZFC n i c h t beweisbar (falls ZF
widerspruchsfrei ist), und zwar ist für unerreichbares κ > ℵ 0 V κ ein ZF-Modell.
Wir fassen die wichtigsten Ergebnisse über Potenzen von Kardinalzahlen zusammen:
20.9 Satz
( i ) 2κ > κ
( i i ) cf(2 κ ) > κ
( i i i ) cf( λ κ ) > κ
( i v ) κ cf( κ) > κ
für jede Kardinalzahl κ (CANTOR) , sogar:
und allgemeiner:
für unendliche Kardinalzahlen λ , κ ,
für jede unendliche Kardinalzahl κ .
Beweis von (ii): Annahme, es gäbe ein
Dann wäre
∀ξ<δ
|f( δ )| < 2κ
f : δ → 2κ
und somit
77
mit δ ≤ κ und 2κ =
∪ η<δ f(η)
.
§20 Reguläre Kardinalzahlen
κ
κ |δ| = 2κ⊗ |δ| = 2κ ,
η<δ |f(η) | < X η<δ 2 = (2 )
Widerspruch! (Dabei gilt die <-Beziehung aufgrund des Satzes von KÖNIG-JOURDAIN.)
2κ = | ∪ η<δ f(η) | ≤
S
κ
(iii) beweist man ähnlich. Zum Beweis von (iv) können wir
als singulär und damit
λ = cf(κ ):
κξ = αξ+ .
Limeskardinalzahl) voraussetzen. Sei für
κ=
∪ ξ<λ α ξ
Dann ist κ ≤
=
∪ ξ<λ κ ξ
mit
ξ<λ κ ξ ≤ κ ⊗ λ = κ , also
κ = Sξ<λ κξ , alle κξ < κ . Dann ist nach dem Satz von KÖNIG-JOURDAIN
κ = S ξ<λ κ ξ < X ξ<λ κ = κλ = κcf (κ) .
S
Somit ist insbesondere
cf(2ℵ 0 ) > ω , also 2ℵ 0 ≠ ℵ ω , ℵ ω+ω und ℵ ℵ , aber mehr als
ω
ℵ
ℵ
ℵ
0
0
0
cf(2 ) > ω und 2
> ℵ 0 läßt sich über 2
in ZFC allein nicht beweisen.
20.10 Bemerkung
Ohne Voraussetzung der GCH kann man über die Potenzen
2ℵ α
für reguläres ℵ α nur
beweisen:
ℵ α < ℵ β → 2 ℵ α ≤ 2ℵ β
( i i ) cf(2 ℵ α ) > ℵ α .
(i)
Tatsächlich gilt nämlich: Ist F: Cn → Cn eine Funktion mit den Eigenschaften
κ < λ → F(κ ) ≤ F(λ ) und
cf(F( κ )) > κ
und ist F "vernünftig" definiert (z.B. nicht F(κ ) = (2κ ) + ), so existiert ein Modell von ZFC
mit
wobei
F( κ ) = 2κ für alle regulären κ ,
2κ für singuläres κ "klein wie möglich" ist, im allgemeinen jedenfalls nicht so frei
wählbar ist (EASTON 1964).
So ist z.B. möglich: 2ℵ α = ℵ α+17 für alle regulären ℵ α , oder
2 ℵ 0 = ℵ 1943 , 2ℵ 1 = ℵ 2001 , 2ℵ α = ℵ ω+α+1 für α >1, ℵ α regulär , oder
2 ℵ n = ℵ ω+ n , 2ℵ α = ℵ α α+13 für gerades α>ω , 2ℵ α = ℵ α α+47 für ungerades
α>ω , u.s.w.
20.11 Definition
2 < κ := supλ<κ 2λ
Aus GCH folgt, daß 2< κ = κ
schwache Potenz von κ
für alle unendliche Kardinalzahlen κ gilt.
78
§20 Reguläre Kardinalzahlen
20.12 Satz
Ist κ Limeskardinalzahl, so
2κ = (2< κ )cf( κ ) .
Beweis: Sei (wie in 20.9 (iv)) κ =
2 κ = 2 S ξ<λ κ ξ =
X
ξ<λ κ ξ mit λ = cf(κ ), alle κ ξ < κ . Dann ist
κξ ≤ X
<κ = (2< κ )λ ≤ (2κ )λ = 2κ .
ξ<λ 2
ξ<λ 2
S
20.13 Satz (BUKOWSKY-HECHLER)
κ sei singuläre Kardinalzahl, und es existiere ein
2 γ = 2γ 0
für alle γ mit γ 0 ≤ γ < κ . Dann ist auch
γ 0 < κ mit
2κ = 2γ 0 .
Beweis: Wir können annehmen, daß cf(κ) ≤ γ0 . Dann ist nach Voraussetzung 2< κ = 2γ0 und
nach 20.12:
2κ = (2< κ )cf( κ ) = (2γ 0 ) cf( κ ) = 2γ 0 .
20.14 Folgerung: Die Potenzen der Form 2κ lassen sich mit Hilfe der Gimel-Funktion
ℑ(κ) = κcf( κ ) bestimmen:
(i)
ist κ regulär, so
2 κ = ℑ(κ) ,
( i i ) ist κ singulär, κ = ℵ λ für ein Lim(λ ) , so
2 κ = 2γ 0 = 2< κ ℑ(κ)
falls ein γ 0 < κ existiert mit 2γ =
2 κ = ℑ( 2 < κ )
anderenfalls, d.h. wenn ∀γ 0 < κ ∃γ (
2γ 0 für alle γ 0 ≤ γ < κ .
γ 0 ≤ γ < κ ∧ 2γ 0 < 2γ ).
20.15 Satz (BUKOWSKY 1965)
Die Potenzen ℵα ℵ β lassen sich mittels der Funktionen cf, ℑ und der Werte ℵ γ ℵ β für γ < α
bestimmen:
(i)
(ii)
ℵ α ℵ β = 2ℵ β
ℵα ℵ β = ℵγ ℵ β
falls
α≤β
,
falls ein γ < α existiert mit ℵ γ ℵ β ≥ ℵ α
( i i i ) Sei α > β und ℵ γℵ β < ℵ α für alle γ < α . Dann ist
ℵ αℵ β = ℵ α
falls ℵα regulär oder cf( ℵα ) > ℵ β ,
ℵ
ℵ α β = ℑ(ℵα)
falls cf(ℵ α ) ≤ ℵ β < ℵα .
20.16 Satz
Unter der Voraussetzung der allgemeinen Kontinuumshypothese (GCH): 2ℵα = ℵα+1
gilt:
ℵα
falls
ℵ β < cf(ℵ α )
79
§20 Reguläre Kardinalzahlen
ℵα ℵ β =
ℵα+1
ℵ β+1
falls
falls
cf(ℵ α ) ≤ ℵ β ≤ ℵ α
α ≤ β , d.h. ℵα ≤ ℵ β .
Beweis : Aus GCH folgt: ℑ(ℵα) = 2ℵα = ℵα+1 ,
denn für reguläres ℵ α ist ℑ(ℵα ) = ℵ α ℵ α = 2 ℵ α , für Limeskardinalzahlen κ ist nach GCH
2 < κ = κ und damit nach 20.12 ℑ( κ ) = (2< κ )cf( κ ) =2 κ .
Hinsichtlich des Wertes von
2κ für singuläres κ gibt es noch folgende Ergebnisse:
Für ℵ λ singulär, Lim(λ ) mit cf(ℵ λ ) ≥ ℵ 1
∀β < λ 2 ℵ β = ℵ β+1 → 2 ℵ λ = ℵ λ+1
gilt:
(Silver
∀n < ω 2ℵ n < ℵ ω → 2ℵ ω < ℵ ℵ
4
1974),
(Shelah 1989),
Schließlich gilt interessanterweise auch
∀α 2 ℵ α = ℵ α+γ für ein festes γ → γ < ω
(Patei).
Genaueres zu den Unabhängigkeitsergebnissen, auf die in Bem. 20.10 verwiesen wurde, findet
man bei
Kunen, K.: Set Theory.
An Introduction to Independence Proofs, NHPC Amsterdam 1983,
Ch.VIII ,§4 (Easton-Forcing),
zum Kontinuumproblem einen Übersichtsbericht vom Herausgeber in
Felgner, U. (Herausgeber): Mengenlehre, Darmstadt 1979, Kap. II (pp. 166ff)
sowie verschiedene (zum Teil paradox anmutende) Konsequenzen und Äquivalenzen in
Sierpinski: Hypothèse du Continu, Warschau 1934 (Nachdruck bei Chelsea 1956).
80
Inhalt Teil A
Inhalt
Teil A: Die ZERMELO-FRAENKELsche Mengenlehre
Kap. I. Die Axiome von ZF (ohne Unendlichkeitsaxiom)
§ 1
RUSSELLsche Antinomie, Mengen und Klassen
4
§ 2
Extensionalität und Aussonderung
8
§ 3
BOOLEsche Klassenalgebra
11
§ 4
Elementare Axiome (Paar, Summe); Relationen und Funktionen
13
§ 5
Das Ersetzungsaxiom
18
§ 6
Potenz- und Produktmenge
21
Kap. II. Ordinalzahlen und Unendlichkeitsaxiom
§ 7
Natürliche Zahlen
23
§ 8
Das Rekursionstheorem (für die natürlichen Zahlen)
27
§ 9
Wohlordnungen
31
§ 10
Ordinalzahlen
36
§ 11
Normalfunktionen
41
Kap. III. Fundierungsaxiom und VON NEUMANNsche Hierarchie
§ 12
VON NEUMANNsche Hierarchie
47
§ 13
Anwendungen des Rangbegriffes, fundierte Relationen
50
Kap. IV. Das Auswahlaxiom
§ 14
Auswahlaxiom und Wohlordnungssatz
54
§ 15
Anwendungen des Auswahlaxioms
59
Kap. V. Kardinalzahlen
§ 16
Endliche und abzählbare Mengen
61
§ 17
Mächtigkeiten und Kardinalzahlen
64
§ 18
Kardinale Operationen
69
§ 19
Unendliche Summen und Produkte
72
§ 20
Reguläre Kardinalzahlen, Konfinalität
76
81