Wahrscheinlichkeitstheorie

Wahrscheinlichkeitstheorie
in der Schule (AHS)
Etzlstorfer Sandra
Schlaffer Linda
Überblick
Lehrplan
 Motivation
 Beispiele
 Fächerübergreifender Unterricht
 Projekt
 Diskussion

LEHRPLAN – 6. Klasse





Arbeiten mit Darstellungsformen und Kennzahlen der
beschreibenden Statistik
Kennen des Begriffes Zufallsversuch, Beschreiben von
Ereignissen durch Mengen
Kennen der Problematik des Wahrscheinlichkeitsbegriffs;
Auffassen von Wahrscheinlichkeiten als relative Anteile, als
relative Häufigkeiten und als subjektives Vertrauen
Berechnen von Wahrscheinlichkeiten aus gegebenen
Wahrscheinlichkeiten; Arbeiten mit der Multiplikations- und
der Additionsregel; Kennen des Begriffs der bedingten
Wahrscheinlichkeit
Arbeiten mit dem Satz von Bayes
LEHRPLAN – 7. Klasse



Kennen der Begriffe diskrete Zufallsvariable und diskrete
Verteilung
Kennen der Zusammenhänge von relativen
Häufigkeitsverteilungen und
Wahrscheinlichkeitsverteilungen; von Mittelwert und
Erwartungswert sowie von empirischer Varianz und
Varianz
Arbeiten mit diskreten Verteilungen (insbesondere mit der
Binomialverteilung) in anwendungsorientierten Bereichen
LEHRPLAN – 8. Klasse



Kennen der Begriffe stetige Zufallsvariable und
stetige Verteilung
Arbeiten mit der Normalverteilung in
anwendungsorientierten Bereichen
Kennen und Interpretieren von statistischen
Hypothesentests und von Konfidenzintervallen
Motivation
Betrachten wir einen Würfel.
Ein Würfel hat 6 Seiten, würfelt man mit diesem Würfel so
gibt es 6 Möglichkeiten:
1.) man würfelt eine "1"
2.) man würfelt eine "2"
3.) man würfelt eine "3"
4.) man würfelt eine "4"
5.) man würfelt eine "5"
6.) man würfelt eine "6"
Welche Zahl man bei einem konkreten Versuch würfelt
kann man jedoch nicht voraussagen, das bleibt dem Zufall
überlassen.
Motivation
Was man aber mit Sicherheit voraussagen kann,
ist die Ergebnismenge Ω des Experiments,
d.h.: die Menge aller bei diesem Versuch
möglichen Ergebnisse.
Beim Würfeln eines Würfels ist dies
Ω = {1,2,3,4,5,6}
Motivation
Ein Zufallsexperiment, bei dem jedes der n
möglichen Versuchsergebnisse ω der
Ergebnismenge Ω mit der gleichen
Wahrscheinlichkeit P(ω) = 1/n auftritt, heißt
LAPLACE‘sches (Zufalls-) EXPERIMENT.
Motivation
Nun genügt die Angabe von Ω natürlich nicht zur
vollständigen Beschreibung eines Zufallsexperiments.
Zusätzlich muss man wissen mit welcher
Wahrscheinlichkeit die einzelnen Versuchsergebnisse
eintreten.
Beim Würfel ist das Würfeln jeder einzelnen Zahl gleich
wahrscheinlich:
P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6) = 1/6
Motivation
Teilmengen von Ω = {1,2,3,4,5,6} werden EREIGNISSE
genannt.
Betrachten wir beim Würfeln das Ereignis G: "es wird
eine gerade Zahl gewürfelt“ G = ( 2, 4, 6 )
P(G) = 3/6 = ½
Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit beim
einmaligen Würfeln mit einem Würfel eine gerade Zahl
zu würfeln bei ½ liegt.
Laplace‘sche Wahrscheinlichkeitsregel:
Lässt sich ein Ereignis aus den Versuchsergebnissen ω eines
Laplace‘schen Experiments mit der Ergebnismenge Ω bilden,
so gilt:
Ist A = {}, so heißt A unmögliches Ereignis, P({}) = 0
Ist A = Ω, so heißt A sicheres Ereignis, P(Ω) = 1
Gegenereignisregel: P(A) = 1 – P (⌐A)
⌐A ist das Gegenereignis von A
Motivation
ODER
Einführung mittels online-Lernpfad
→ eigenständiges Erleben und Entdecken der
Wahrscheinlichkeitsrechnung
http://www.austromath.at/medienvielfalt/
Beispiele
Einleitung:
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Spieleshows, Gewinnchancen und –strategien
„Let´s make a deal“
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Ziegen/index.htm
Beispiele
Wie sicher ist der AIDS-Test?
→ problemorientierter Einstieg zur
Entdeckung des Satzes von Bayes
http://www.mathematik-piechatzek.de/Entwurf/Roettgen/bayes_index.htm
Beispiele
Simulationen
 zum Urnenmodell
http://www.walter-fendt.de/m14d/urne.htm
 der Augenzahl beim Werfen zweier Würfeln
http://www.lehrer-online.de/augensummen-beimwuerfeln.php?sid=55508203280061414323730983098280
Fächerübergreifender Unterricht
Vererbung bei Erbsen, ein Merkmalpaar
a)
Zeichne jeweils einen Ergebnisbaum für die beiden
zweistufigen Zufallsexperimente:
1.) Kreuzen der reinerbigen Sorte (CC)
mit der reinerbigen Sorte (cc)
2.) Kreuzen der reinerbigen Sorte (cc) mit der hybriden
Sorte (Cc)
b) Gib in beiden Fällen die Wahrscheinlichkeit für die
Ereignisse „der Nachkomme ist grün“ und „der
Nachkomme ist ein Hybride“ an.
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Genetik/index.htm
Projekt
Paradoxien
„Traue keiner Statistik, die du nicht selber gefälscht hast.“
Nach Bearbeitung des Lernpfades (s. Link unten) sollen sich
die SchülerInnen selbst auf die Suche nach „gefälschten
Statistiken“ (Zeitungen, Zeitschriften, etc.) machen, sie
analysieren und ihre Ergebnisse anschließend präsentieren.
http://www.matheprisma.uni-wuppertal.de/Module/Parad/index.htm
Diskussion
Wie sinnvoll ist es die Themen
Wahrscheinlichkeit und Statistik in der
Schule zu unterrichten?
 Wie gefällt Euch die Kombination von
Medien und dem Thema
Wahrscheinlichkeit?

DANKE für Eure
Aufmerksamkeit!!