Kein Folientitel - Institut für Geodäsie und Geoinformation der
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Institut für Kartographie und Geoinformation Prof. Dr. Lutz Plümer Geoinformation II 6. Sem. Vorlesung 4 4. Mai 2000 Voronoi-Diagramm Zu Beginn eine interaktive Animation Quelle: Fern Universität Hagen http://wwwpi6.fernuni-hagen.de/Geometrie-Labor/VoroGlide/ Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Voronoi-Diagramm: Motivation Welcher Löwe fängt die Gazelle? Voronoi-Diagramm • Gegeben ist eine Menge von n Punkten • Das Voronoi-Diagramm zerlegt die Ebene in Gebiete gleicher nächster Nachbarn • Die Voronoi-Region eines Punktes p enthält alle Punkte q, die näher an p als an jedem anderen Punkt p‘ liegen • Das Voronoi-Diagramm wird gebildet aus den Voronoi-Regionen und ihren begrenzenden VoronoiKnoten und –Kanten Anwendungen • Kollosionsproblem: welche 2 Punkte haben den kleinsten Abstand (Roboter, Flugzeuge, ...) • Das Filialenschließungsproblem ... • Postamts-Problem: wo liegt das nächste Postamt (Krankenhaus, ...) • Einzugs- und Einflußgebiete von Versorgungsstationen (und ihre Größe) • Bewertung von Standorten • Modellierung von „Nähe“ • Delaunay-Triangulation • Konvexe Hülle Delaunay-Triangulation, konvexe Hülle • Delaunay-Triangulation ist die Triangulation, bei der der kleinste Winkel maximal ist • In gewiser Weise die best-mögliche Triangulation • Konvexe Hülle einer Punktmenge M ist die kleinste konvexe Punktmenge, die alle Elemente aus M enthält • Eine Punktmenge M ist konvex, wenn jede gerade Verbindung zweier Elemente p und q ganz in M liegt Eigenschaften von Voronoi-Diagrammen • Vereinfachende Annahme: aus der gegebenen Punktmenge liegen keine 4 Elemente auf einem gemeinsamen Kreis • Jeder Voronoi-Knoten hat genau drei Kanten • Das Voronoi-Diagramm von n Punkten hat höchstens 2n – 4 Knoten und 3n – 6 Kanten (linear!) • Die Knoten mit unbeschränkten Regionen bilden die konvexe Hülle • Der „Duale Graph“, bei dem benachbarte Punkte miteinander verbunden werden, bildet eine Delaunay-Triangulation Voronoi Regionen (Polygone) beschränkte Voronoi Regionen unbeschränkte Voronoi Regionen Die Konvexe Hülle verbindet die unbeschränkten Voronoi Regionen Jede Voroni-Region ist konvex! Konstruktion des Voronoi-Diagramms „Divide and Conquer“ 1. Input: Gegeben ist eine Menge P von mindestens 2 Punkten 2. Divide: Zerlege P in zwei etwa gleich große Teilmengen P1 und P2 3. Rekursiv: Berechne Voronoi-Diagramme von P1 und P2 4. Merge: Verknüpfe die in 3 gebildeten Diagramme 5. Halt: Der Abschluß ist erreicht, wenn das Voronoi-Diagramm eines Punktes zu bilden ist, dies ist die ganze Ebene Wie oft ist dieser Zyklus zu durchlaufen? log n mal O(n * log n) wenn „Divide“ and „Merge“ nicht mehr als n Schritte benötigen, Was ist der schwierigste Teilschritt? • Zerlegung der Punktmenge in gleich große Teilmengen – Sortieren nach y-Koordinate – Bilden des Medians – Einfach • Offenbar der letzte Schritt: „Merge“: Konstruktion des trennenden Kantenzuges • Einfachster Fall von Merge: jede der beiden Teilmengen enthält genau einen Punkt der trennende Kantenzug ist die Mittelsenkrechte beider Punkte Aufteilung der Menge P in P1 und P2 P P2 P1 Voronoi-Diagramm von P1 Voronoi-Diagramm von P2
