5-Fliri_statistischeMechanik

Fachdidaktikseminar WS 05/06
Statistische Mechanikvom „Einteilchen- zum Vielteilchensystem“

Manuel Fliri
Inhaltsverzeichnis
Kapitel 1:
Der elastische Stoß - Das Modell
Kapitel 2:
Das ideale Gas
Kapitel 3:
Makroskopische Effekte
- Brown`sche Bewegung
- Diffusion
- Osmose usw.
Der elastische Stoß
Der nicht-zentrale Stoß: 2D
2D Stoß
2 Kugeln: Masse m1; Masse m2; Geschw. v1; v2
Der elastische Stoß
Der nicht-zentrale Stoß: 2D
Impulserhaltung:
m1v1  m2v2  m1v3  m2v4
X-Richt.:
m1v1  m2v2  m1v3 cos1  m2v4 cos2
Y-Richt.:
0  m1v3 sin 1  m2v4 sin 2
Energie:
m1v1
2
2
m2 v2

2
2
m1v3

2
2
m2 v4

2
2
Das ideale Gas
Annahmen eines idealen Gases:
1. Gas besteht aus Teilchen (Atomen, Molekülen).
2. Gasteilchen haben ein vernachlässigbares Volumen.
3. Die Wechselwirkungszeit der Gasteilchen ist vernachlässigbar klein gegenüber der freien Flugzeit, d.h.
sie üben (abgesehen von Stößen) keine Wechselwirkungskräfte aufeinander aus.
4. Gasteilchen stoßen vollkommen elastisch.
5. Die Newton’schen Gesetze der Mechanik sind anwendbar.
Das ideale Gas
Makroskopische Größen (p, T) mikroskopisch hergeleitet:
Impulsänderung an Wand:
pxi  (mvxi)  mvxi  2mvxi
pxi 2mv xi
Fi 

t
t
Fges  Nt * Fi
N
1
Nt  A * vxi * t *
V
2
Das ideale Gas
N
Fges  Amv xi 2
V
Teilchen haben unterschiedliche Geschw. in X-Richt.:
 Mittlere Geschwindigkeit <vx> verwenden
vx1  vx 2  ...  vx N
N
2
 vx  vx rms 
2
2
rms…root mean square (Wurzel aus Betragsquadrat)
N
2
Fges  Amv x rms
V
Das ideale Gas
v 2  vx 2  vy 2  vz 2
1 2
2
vx  v
3
da keine Vorzugsrichtung
Druck im idealen Gas:
F
p
A
Nmv rms
p
3V
2
Das ideale Gas
2
2
Nmv rms
2 N mv rms
2
pV 

*
 NEKin
3
3
2
3
Ideales Gasgesetz aus der Thermodynamik:
pV  NkBT
m vrms 2 3 pV 3
EKin 

 kBT
2
2N
2
Das ideale Gas
Die Maxwell-Boltzmann`sche Geschwindigkeitsverteilung:
M 3 / 2 2  Mv 2 / 2 RT
P(v)  4 (
) ve
2RT
P(v)dv entspricht relativen Anteil der Teilchen die eine Geschw. im Intervall
dv um Geschw. v haben.
Normierung:

 P(v)dv  1
0
Das ideale Gas
Charakteristische Geschwindigkeiten:
rms-Geschw.: umformen aus EKin
vrms
3kBT

m

Mittlere Geschw.:
8kBT
2.55kBT
vmittl   vP(v)dv 

m
m
0
Wahrscheinlichste Geschw.:
Maxwell-Boltzmannverteilung
dP
2kBT
 0  vp 
dv
m
Das ideale Gas
Nochmals: Ideales Gasgesetz
Applet-Zustandsänderungen
pV  NkBT
Makroskopische Effekte mikroskopisch betrachtet
a) Brown`sche Molekularbewegung:
Historisches:
Robert Brown (Botaniker) entdeckte 1827, dass Blütenstaubkörnchen in Wassertropfen
ständig zufällige, zittrige Bewegungen machten.
 Wenn Masse von Staubkörnchen sehr klein wird sie von den Wassermolekülen, die sich
in thermischer Bewegung befinden, angestoßen.
Applet-Brownsche Bewegung
b) Diffusion: Video
Fick`sches Diffusionsgesetz:
jx  
vmittl dn
3
*
dx
dn
jx   D *
dx
Mittlere freie Weglänge:
1
1


n 4r 2 n
  (r  r ) 2 
1
2
b) Diffusion:
Diffusionskoeffizient
D
vmittl
3
1 8kBT
D
3n m
8kBT
vmittl 
m
c) Osmose:
Osmotischer Druck Pi
V  nRT
n
  RT  cRT
V
n…Molzahl
c) Osmose:
Umkehrosmose:
Druck p > 
d) Verdampfungskühlen:
Schnelle Teilchen können entkommen,
langsamere bleiben zurück
 Mittlere Geschw. bzw. Temperatur
des Systems sinkt
Applet 1
Applet 2
e) Laserkühlen:
Schnelle Teilchen werden Wellenlängenselektiv
mit Laser gebremst (Doppler-Effekt)
 Mittlere Geschw. bzw. Temperatur sinkt
Applet
Statistische Szenarien:
Dichte Fußgängergebiete
Fluchtszenarien
Internetadressen der verwendeten Applets:
2D Stoß:
http://www.pk-applets.de/phy/stoss/stoss.html
Maxwell-Boltzmann-Verteilung:
http://physik.uibk.ac.at/physlets/physics_selection/thermo/kinetic/illustration20_1.html
Zustandsänderungen (ideales Gas):
http://www.colorado.edu/physics/phet/simulations/gasses-buoyancy/idealgas.jnlp
Brownsche Bewegung:
http://www.physik.rwth-aachen.de/~harm/aixphysik/waerme/Brown/index.html
Video-Diffusion:
http://www.physik.uni-wuerzburg.de/video/thermodynamik/k/k03.html
Internetadressen der verwendeten Applets:
Verdampfungskühlen-Applet 1:
http://physik.uibk.ac.at/physlets/physics_selection/thermo/kinetic/illustration20_4.html
Verdampfungskühlen-Applet 2:
http://www.iap.uni-bonn.de/P2K/bec/evap_cool.html
Laserkühlen-Applet:
http://www.iap.uni-bonn.de/P2K/bec/lascool3.html
Fußgängergebiete:
http://rcswww.urz.tu-dresden.de/~helbing/Pedestrians/Corridor.html
Fluchtszenarien:
http://angel.elte.hu/~panic/pedsim/pedsim_m.html