Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes

Gitterebenen (Netzebenen) und Millersche Indizes
Beschreibung einer Ebene im Punktgitter:

c

a

b
Schnittpunkte in Einheiten der Basisvektoren: m, n, o
(Bsp: 3, 1, 2)
bilde Kehrwerte: h‘ = 1/m, k‘ = 1/n, l‘ = 1/o
(Bsp.: 1/3, 1/1,1/2)
Multiplikation mit kleinster ganzen Zahl p, so dass teilerfremde ganze
Zahlen entstehen h = p/m =ph‘, k = p/n = pk‘, l = p/o = pl‘ (Bsp.: 2, 6, 3)
 (hkl) Millersche Indizes; beschreiben Lage dieser und aller dazu
äquivalenter Ebenen (Ebenenschar)
Normalenvektor n = [hkl], steht senkrecht auf Ebenenschar
3.) Strukturbestimmung – Grundlagen der Beugungstheorie
Man unterscheidet:
lokale Verfahren (Rastertunnelmikroskopie, Elektronenmikroskopie,…)
Beugungsverfahren (nutzen Periodizität)
18.5.2011
Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang
24
Beugungsverfahren
Strahlung
 = (E)
Energie E
de Broglie
Photonen
 = hc/E
1 keV – 100 keV
10 – 0.1 Å
Neutronen
 = h/(2mE)1/2
0.01 – 1 eV
3 – 0.3 Å
Elektronen
 = h/(2mE)1/2
10 eV – 1 keV
4 – 0.4 Å
Kriterien für Wahl der Quelle:
- geeignete Wellenlänge, insbesondere  < Gitterparameter!
- Wechselwirkung mit der Materie (z.B. stark für Elektronen, schwach für Photonen)
3.1) Beugungstheorie
Quelle

k
P

r

k0
Q
18.5.2011

R
ebene Wellen
 
R' r
Beobachter

R'
B
Probe
Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang
25
Annahmen:
1)
2)
3)
Eben einfallende Welle
Kohärente Streuung (einfallende Welle rege Materie an allen Punkten P zur Emission von Kugelwellen an;
es besteht feste Phasenbeziehung zwischen Primärstrahlung und angeregten Kugelwellen
Einfachstreuung
Amplitude der einfallenden Strahlung am Ort P zur Zeit t
AP ( t )  A0  e
  
ik0 ( R  r )i0t
mit

2
k0 

()
Streubeitrag der Kugelwelle des Ortes r zur Amplitude bei B
 
ik R'  r
e
AB ( t )  AP ( t )   ( r )   
R'  r
Streudichte, enthält
gesuchte Information
über Gitterstruktur
18.5.2011
()
Amplitude der auslaufenden
Kugelwelle am Ort B; A  Abstand-1
Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang
26
  


R
k
R
'

r
Berücksichtigt man, dass
und '  r
1 ik( R'  r )
AB ( t )  AP ( t )  ( r )    e
R'
mit () und () ergibt sich:
()
  
A0 i( k0 R  kR' ) i0t
i ( k0  k )r
AB ( t )    e
e
 ( r )  e
R'
Gesamte Streuamplitude durch Integration über Probe:
A (t ) e
ges
B
 i 0 t
 i( k0  k )r 
dr
 ( r )e
Pr obe
Messgröße: Streuintensität I
I  AB 
2

 ( r )e
  
i( k0  k )r

dr
Pr obe
mit dem „Streuvektor“
18.5.2011
  
K  k  k0
Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang
2
elastische Streuung
k0 = k
K
k
k0
27
Beachte:
Streuintensität  Fourier-Transformierte der Streudichte bzgl. Streuvektor2
vgl. Optik: I   Fourier-Transformierte des beugenden Objektes2
3.2) Periodische Strukturen und reziprokes Gitter
Wenn (r) periodisch, kann Funktion in Fourier-Reihe entwickelt werden
für gerade Funktion in 1D:
( x ) 

 ~ne
i ( n
2
)x
a
n  

~ e ink1x
 
n

Atompositionen
x
(x)
Periodizität: 1 = a = 2/k1

( x )   ~n e
i( n
2
)x
a

a
18.5.2011
x
  ( x  ma )
Exp4b(Festkörperphysik) M. Lang

  ~n e
i( n
2
2
) x i ( n ma )
a
a

wie gefordert
28
2D Projektion des Punktgitters zur Bestimmung des Netzebenenabstandes dhkl
dhkl
d‘hkl
a2
a1
grüne Ebenen:
m = 1, n = 2
 h‘ = 1, k‘ = 1/2
p=2
 h = 2, k = 1
dhkl = d‘hkl/p = d‘hkl/2
blau-gestrichelte Ebenen:
gleiche Besetzungsdichte wie grüne Ebenen, also äquivalent dazu