Nummer 3 - bei DuEPublico

Kapitel 4: Arithmetisches Wachstum
– theoretisches Modell
Dr. Dankwart Vogel
Ziele des Kapitels
 Eigenschaften arithmetischen Wachstums:
numerisch, geometrisch, theoretisch
 Arithmetisches Wachstum – gesunder
Menschenverstand – Proportionalität
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Die Grundeigenschaft
arithmetischen Wachstums
(*)
Zu gleichlangen Zeitabschnitten gehören
gleichgroße Zuwächse
(**) an1  an  d , n  0, d konstant
Beachte:
1. (*) besagt mehr als (**):
(*)  (**), aber nicht (**)  (*)
(d bezieht sich auf eine feste Zeiteinheit (etwa ein Jahr), die n zählt.)
2. Der Zuwachs kann auch negativ sein („negatives
Wachstum“).
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Drei Beispiele (1)
Beispiel 1: Bevölkerungswachstum
Für kurze Zeiträume (etwa 5 Jahre) kann ein arithmetisches
Modell oft hinreichend gute Voraussagen treffen, etwa:
p0  100.000
pn1  pn  5.000, n  0.
Beispiel 2: Einfache Verzinsung
(*)  (**)
(**)  (*)
Geldverleih unter Freunden zu 2%:
k0  1.000
k 2
kn1  kn  0
100
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Drei Beispiele (2)
Beispiel 3: Angebot und Nachfrage
Eine empirische Erhebung in der Essener Mensa ergibt:
Kostet ein Wasser 40 ct, werden 141 Flaschen verkauft. Jede
Preisanhebung um 5 ct lässt den Absatz um 12 Flaschen sinken.
Mathematisches Modell:
a0  141
an1  an  12, n  0.
Beachte:
1. Hier ist n kein Zeitparameter, sondern ein Zähler für die
Preiserhöhungen um jeweils 5 ct.
2. Der Parameter d ist negativ, hier gleich -12.
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Eigenschaften des arithmetischen Modells (1)
Numerisch
Mit dem Startwert a0 und der Differenz d liegt alles Weitere fest.
Beispiel Absatz:
a0  141, d  12
a1  141  12  129
a2  129  12  117
usw.
Graphisch
Die Punkte (n, an ) liegen
auf einer Geraden, d gibt
die Steilheit der Geraden.
Wir sprechen von einem
linearen Modell.
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Eigenschaften des arithmetischen Modells (2)
Theoretisch
Um a3 zu berechnen, müssen wir zuvor a2 berechnen, um a2 zu
berechnen, a1 , usw.
Ein solches Berechnungsverfahren nennen wir rekursiv.
recurrere, lat. = zurücklaufen, zurückkehren
Allgemein:
an  an1  d
 (an2  d )  d
 an2  2  d
 ...
 ann  n  d
 a0  n  d
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Arithmetisches Wachstumsmodell –
Zusammenfassung
Der Rekursion
an1  an  d , n  0
entspricht die Funktion
an  a0  n  d , n  0.
Die Parameter sind
Anfangswert a0
Zuwachs d .
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Proportionales Denken oder –
der „gesunde Menschenverstand“
Problem zum Einstieg
Bei einem Preis von 40 ct können 120 Wasserflaschen verkauft
werden. Wird der Preis auf 55 ct angehoben, sind es 30
Flaschen weniger.
Wie viel Flaschen können wohl bei einem Preis von 60 ct
verkauft werden?
Was meinen Sie?
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Naheliegend …
(bei gesundem Menschenverstand??)
Preisanstieg und Rückgang der Verkaufszahlen sind
proportional. Dann gilt die folgende Rechnung (Dreisatz):
Preisanstieg in ct
Rückgang der Verkaufzahl
15
30
5
10
20
40
Ergebnis: Wird 60 statt 40 ct verlangt, sinkt die Verkaufszahl auf
120  40  80 Flaschen.
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Eine wichtige Feststellung
Wir erinnern uns an die Definition:
Zwei Größen heißen proportional genau dann, wenn zu jedem
Vielfachen der einen das gleiche Vielfache der anderen Größe
gehört, ihr Verhältnis also konstant ist, kurz:
y
y x :  c, wobei c konstant ist.
x
Nun die Feststellung:
Jedem arithmetischem Wachstumsmodell liegt eine
Proportionalitätsannahme zugrunde – und umgekehrt.
Wie kann man dies einsehen?
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Tragende Modellvorstellung: die einfache
Verzinsung
Nach 1 J ahr sind 2% Zinsen fällig,
nach 2 J ahren 2 ×2% = 4%,
...
nach n J ahren n ×2% = 2n %.
Allgemein: Zur n-fachen Zeit gehört der n-fache Zins, Zeit t und
Zins z sind proportional:
z
z : t Û
= c, wobei c konst ant ist .
t
Die Konstante c heißt Proportionalitätfaktor, da
z
= c Û z = c ×t .
t
Der zugehörige Funktionsgraph ist eine Ursprungsgerade.
Beachte: Wir haben das ursprünglich diskrete Modell zu einem
kontinuierlichen fortgesetzt.
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Kapitel 5: Lineare Gleichungen
Ziele des Kapitel
 Begriffsklärung: lineare Gleichung
 Durchschauen des Wechselspiels
lineare Gleichung  linearer Graph
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Eine Prise Terminologie
Wir unterscheiden
 Term
 Gleichung
 Ungleichung.
Eine Gleichung/Ungleichung besteht aus zwei Termen T 1 und T 2
mit einem Gleichheits-/Ungleichheitszeichen dazwischen:
T 1 = T 2 (bzw. T 1 < T 2 usw.)
Ein Term ist ein Zahlsymbol oder ein Rechenausdruck mit oder
auch ohne Variablen.
1
Beispiele für Terme: 0, p, 2, x - 1,
,...
1 + p2
für Gleichungen: 1 = 0, x - 1 = p, y = x - 1,...
Eine Gleichung heißt linear, wenn die Terme auf beiden Seiten
linear sind.
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Eine weitere Prise
Ein Term heißt linear, wenn nur zwei Typen von Operationen
darin auftreten
(1) Addition bzw. Subtraktion
(2) Multiplikation mit bzw. Division durch eine Konstante.
Term
linear?
x- 1
xy + 2
x - 2y
x2
ja
x- 1
x- 1
p
x- 1
x+1
nein
ja
nein
nein
ja
nein
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Beachte
1. Eine lineare Gleichung kann beliebig viele Variablen
enthalten; die Definition sagt über die Anzahl der Zahlen,
Operationen und Variablen nichts aus.
2. Gleichungen lassen sich äquivalent umformen, entsprechend
den bekannten Regeln der Algebra.
Beispiel:
2x - 1 = 0 Û 2x = 1
Û x = 21
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Wozu Gleichungen?
Wir verwenden Gleichungen, um beispielsweise Funktionen zu
beschreiben.
Eine Funktion heißt linear, wenn sie durch eine lineare
Gleichung beschrieben werden kann.
Die Lösungsmenge einer linearen Gleichung in einer Variablen
ist
entweder
leer
oder
besteht aus genau einer Zahl
oder
besteht aus allen fraglichen Zahlen (etwa allen
reellen Zahlen)
Beispiele
(1)
(2)
(3)
3x + 2 = 5 + 3 (x - 4 )
2 (3x - 5 ) + 6 = 2 - 4x + 2 (x - 4 )
2 - 4x = 4 (3 - x ) - 10
Bestimme ihre Lösungsmengen!
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Lineare Gleichungen in zwei Variablen
Diese lassen sich stets in die Form
(*) ax + by = c
bringen.
Behauptung: Ist wenigstens einer der beiden Koeffizienten a, b
ungleich null, so ist ihr Graph eine Gerade.
(Begründung wird nachgereicht.)
Zwei Fragen:
 Welche Lösungsmenge ergibt sich, wenn a = b = 0 ist?
 Wie lässt sich einsehen, dass in allen anderen Fällen die
Gleichung (*) in der Tat eine Gerade beschreibt?
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Formen der Geradengleichung (1)
Allgemeine Form
(1) ax + by = c, (a, b) ¹ (0, 0)
Normalform
(2) y = mx + b
m gibt die Steigung, b den y-Achsenabschnitt.
Punkt-Steigungsform
Die Gerade durch P (x P , y P ) mit der Steigung m hat die Gleichung
y- y
(3) x - xPP = m Û y - y P = m (x - x P )
Zwei-Punkte-Form
Die Gerade durch P (x P , y P ) und Q (xQ , yQ ) hat die Gleichung
y - y
y - y
y- y
(4) x - x P = xQ - x P Û y - y = xQ - x P (x - x P )
P
Q
P
Q
P
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Formen der Geradengleichung (2)
Achsenabschnittsform
Schneidet eine Gerade die beiden Achsen in a bzw. b, a, b ¹ 0,
so hat sie die Gleichung
x y
(5)
+ = c, a, b ¹ 0
a b
Beachte:
1. Alle vier Sonderformen schließen Geraden aus, die parallel
zur y-Achse verlaufen.
2. Die Achsenabschnittsform schließt außerdem alle Geraden
parallel zur x-Achse und durch den Ursprung aus.
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Wann verwenden wir welche Form?
 Achsenabschnittsform
 Zwei-Punkte-Form
 Punkt-Steigungs-Form
 Normalform
 Allgemeine Form
Klar?!
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Wie findet man die Gleichung
einer Geraden?
Möglichkeit 1: Lies die Koordinaten von zwei Punkten ab und
setze sie in die Zwei-Punkte-Form oder in die Allgemeine Form
ein. – Funktioniert immer, ist aber mit Aufwand verbunden.
Möglichkeit 2: Nutze die spezielle Lage der Geraden:
Gerade ist parallel …
… zur y-Achse: x = a
… zur x-Achse: y = b
(b der y-Achsenabschnitt)
(a der x-Achsenabschnitt)
Gerade ist weder zur x- noch zur y-Achse parallel
Gerade geht durch (0,0): y =
(P liegt auf der Geraden.)
xP
yP
Gerade geht nicht durch (0,0):
Alle fünf Formen können verwendet werden.
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Wie sieht man einer linearen Gleichung
an, dass sie eine Gerade beschreibt?
Die allgemeine Form einer linearen Gl in zwei Variablen ist
(*) ax + by = c
Fall 1: a = b = 0
Ist außerdem c = 0, beschreibt (*) die xy-Ebene, ist c ¹ 0 die
leere Menge.
Fall 2: (a, b) ¹ (0, 0) ((*) ist dann nicht entartet)
c
• Ist b = 0 und a ¹ 0, so ist (*) umformbar zu x =
a
c
a x-Achse)
= 0
y =
b¹ 0
b
• Ist
und
so ist (*) umformbar zu
a
c
a, b ¹ 0,
y = - x+
y-Achse)
b
b
• Sind
so ist (*) umformbar zu = mx + n
y = mx + b
Zu zeigen bleibt: Der Graph
von
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(Parallele zur
(Parallele zur
ist eine Gerade.
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y = mx + b beschreibt eine Gerade!
Wir bemerken: Gleiche Zuwächse in x bewirken gleiche
Zuwächse in y:
x ® x + D x Þ y ® m (x + D x ) + b
= mx + b + m D x
= y + mDx
Es gilt also
Dy
D y : D x mit
= m.
Dx
Der Zuwachs in Richtung der y-Achse ist proportional zum
Zuwachs in Richtung der x-Achse, egal von welchem x-Wert wir
starten. Dies genau ist kennzeichnend für Geraden!
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Nachweis mittels Vektoren
Wir schreiben die allgemeine Geradengleichung vektoriell und deuten sie geometrisch:
c = ax + by
v v
= a ×x
v v
v v v v
= a × x ×cos(a , x ), a ¹ 0
v
x erfüllt die Gleichung genau dann, wenn der
Punkt X auf einer Geraden liegt, die vom
Ursprung O den (festen) orientierten Abstand
c
v
v v
v = x cos(a , x )
a
X1
X2
v
a c
v
a
uuuv
v
hat. (Ist c ³ 0, so sind OP und a gleichgerichtet,
andernfalls sind sie entgegengesetzt gerichtet.)
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Ergebnis
Die Gleichung
v v
c = ax + by = a ×x ,
v v
a ¹ 0
beschreibt eine Gerade, die zu
v
a orthogonal ist und von O den
orientierten Abstand
v
a c
v
a
c
v hat
a
(s. Bild). Ist c > 0, der orientierte
c
uuuv
Abstand av also positiv, so sind OP
und av gleichgerichtet, andernfalls
entgegengesetzt gerichtet.
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Charakteristikum linearen Wachstums
Das Verhältnis Aufwärts ( D y) zu Vorwärts ( D x ) ist konstant:
Dy
= m Û Dy : Dx
Dx
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Quintessenz
Linearität und Proportionalität sind gleichsam zwei
Seiten ein und derselben Medaille:
Zwei Größen stehen genau dann in einem linearen
Zusammenhang, wenn ihre Zuwächse proportional
sind.
Symbolisch:
f : y ® x linear 
D yVorwärts
: D x ( D x ) ist konstant:
Das Verhältnis Aufwärts ( D y) zu
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