E - CCP14

Berechnung von Feldstärken aus der
Ladungsverteilung
Lösungsweg: Satz von Gauß
Inhalt
•
Berechnung der Feldstärken für
–
–
–
–
Kugelsymmetrische Ladungsverteilung
Ladung auf einem langen dünnen Draht
Ladung auf einer sehr großen Platte
Ladungen auf zwei sehr großen parallelen
Platten: Der Plattenkondensator
Der Satz von Gauß

E

dA
  Q
   E dA 
0
Oberfläche
Q
 0  8,85418782 1012
1 Nm2/C
„Ladungen sind die
Quellen des elektrischen
Feldes“
Summe der Ladungen
1C
innerhalb des Volumens
Elektrische
2
2
1 C /(Nm ) Feldkonstante
Berechnung der Feldstärke mit Hilfe des Gaußschen
Satzes
• Ist die Ladungsverteilung im Raum bekannt,
dann kann für beliebige, geschlossene Volumina
der elektrische Fluss berechnet werden
• Aus dem elektrischen Fluss (einer einzigen Zahl
(!) ) kann nur bei einigen symmetrischen
Ladungsverteilungen die Feldstärke (ein Feld
von Vektoren(!)) unmittelbar berechnet werden
Wahl von Form und Lage der
„geschlossenen Fläche“
• Die Symmetrie der „geschlossenen
Fläche“ sei gleich der Symmetrie der
Feldlinien
• Die Lage der „geschlossenen Fläche“
wähle man so, dass
– die Feldlinien entweder in Richtung
der
 
Flächennormalen liegen E  A  E  A
 
E  A  0
– oder senkrecht dazu
Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale
Fläche?

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
1 Nm2/C
Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale
Fläche?

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
1 Nm2/C
Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale
Fläche?

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
1 Nm2/C
Verknüpfung von Feldstärke und Ladung: Optimale
Fläche?

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
1 Nm2/C
Flusses um eine kugelsymmetrische Ladungsverteilung

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
  4 r  E  Q /  0
2
1 Jm/C
An jedem Punkt der Oberfläche
ist die Feldstärke gleich und
parallel zur Flächennormalen
E
Feldstärke im Abstand r von einer kugelsymmetrischen
Ladungsverteilung
r
Q
E
4  0  r 2
Q
r
 0  8.85 10 12
1 N/C
Feldstärke im Abstand r von
der Kugel
1C
Ladung auf der Kugel
1m
Abstand von der Kugel
1 C2/(Nm2)
Elektrische Feldkonstante
Vergleich mit dem Coulombgesetz
F
1
40
Q, q
r

Qq
r
2
1N
Coulombkraft
1C
Ladungen
1m
Abstand
q
Q
r
Coulombgesetz ≡ Kraft im Feld einer Punktladung
F  EPkt  q
Q
EPkt 
4  0  r 2
Q
F
q
2
4  0  r
Kraft im Feld einer
1N
Punktladung
Feldstärke einer
1 N/C
Punktladung
Kraft im Feld ≡
1N
Coulombgesetz
Versuch
• Kraft zwischen Punktladungen
Berechnung des Flusses um einen geladenen, langen Draht
l
r

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
1 Nm2/C
  2 rl  E    l /  0

1 C/m
Fluss durch einen um den Draht
gelegten Zylinder. Die
Skalarprodukte E·ΔA sind auf
den Deckflächen Null, auf der
Mantelfläche konstant
Ladung pro Längeneinheit
Berechnung des Flusses um einen geladenen, langen Draht
l
r

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
1 Nm2/C
  2 rl  E    l /  0

1 C/m
Fluss durch einen um den Draht
gelegten Zylinder. Die
Skalarprodukte E·ΔA sind auf
den Deckflächen Null, auf der
Mantelfläche konstant
Ladung pro Längeneinheit
Feldstärke im Abstand r von einem geladenen Draht
E
r
E   / 2 r   0
1 N/C

1 C/m
1m
1 C2/(Nm2)
r
 0  8.85 10 12
Feldstärke im Abstand r von
einem langen Draht
Ladung pro Längeneinheit
Radius des Drahts und Abstand
Elektrische Feldkonstante
Berechnung des Flusses um eine geladene, große Fläche

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
  2  r  E   r  /  0
2
1 Nm2/C
2

1 C/m2
Fluss durch einen um die Fläche
gelegten Zylinder. Die
Skalarprodukte E·ΔA sind auf
der Mantelfläche Null, auf den
Deckflächen konstant
Ladung pro Flächeneinheit
Berechnung des Flusses um eine geladene, große Fläche

 
 EdA  Q /  0
O. Fläche
  2  r  E   r  /  0
2
1 Nm2/C
2

1 C/m2
Fluss durch einen um die Fläche
gelegten Zylinder. Die
Skalarprodukte E·ΔA sind auf
der Mantelfläche Null, auf den
Deckflächen konstant
Ladung pro Flächeneinheit
Feldstärke im Abstand r von einer großen geladenen Platte
E
r
E   / 2 0

 0  8.85 10 12
1 N/C
Feldstärke im Abstand r
von einer großen Platte
1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
Feldstärke im Abstand r von einer großen negativ geladenen
Platte
E
E   / 2 0

 0  8.85 10 12
1 N/C
Feldstärke im Abstand r
von einer großen Platte
1 C/m2 Ladung pro Flächeneinheit
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
Feldstärke um zwei große, geladene Platte
Der Plattenkondensator
Eines der drei Modell-Bauteile
der E-Lehre
E   / 0

 0  8.85 10
12
1 N/C
Feldstärke zwischen zwei
unterschiedlich geladen
Platten
Ladung pro Flächeneinheit
1 C/m2
1 C2/(Nm2) Elektrische Feldkonstante
Zusammenfassung
•
Für Ladungsverteilungen mit hoher
Symmetrie werden die Feldstärken mit
Hilfe des Satzes von Gauß berechnet:
– Punktladung Q :
– Geladener langer Draht,
Ladung pro Länge λ :
– Geladene große Platte,
Ladung pro Fläche σ :
– Zwischen den Platten
eines Plattenkondensators:
E= Q / (4πεor2)
E= λ / (4πεor)
E= σ / (2εo)
E= σ / εo
Finis