Das reziproke Gitter

Kapitel 7
Das reziproke Gitter
Definition
Das reziproke Gitter
Für zahlreiche Anwendungen hat sich das reziproke Gitter
als Hilfsmittel bewährt.
Das ursprüngliche Gitter wird vom reziproken oft durch die
Bezeichnung Raumgitter unterschieden.
Ist zu einem Raumgitter ein primitives Vektortripel ai
bekannt, dann wird das zugehörige reziproke Vektortripel ai*
durch die Beziehung
a1* = (a2 x a3) / a1·(a2 x a3) ;
(a2* , a3* zyklisch)
definiert.
Eigenschaften
Das reziproke Gitter
Die durch die ai* definierten Gitterpunkte im reziproken
Raum unterliegen (ebenso wie Gitterpunkte des
Raumgitters) strenger Translationssymmetrie.
Ein beliebiger Punkt des reziproken Gitters kann durch den
Vektor
H = h a1* + k a2* + l a3*
mit 3 ganzen Zahlen h, k, l beschrieben werden.
Die Vektoren des reziproken Raums stehen senkrecht auf
Netzebenen des Raumgitters.
Allgemein gilt:
H (hkl)
Beispiel
Das reziproke Gitter
Monoklines P-Gitter als Projektion auf (010)
c*
a*
Raumgitter (blau-grün)
reziprokes Gitter (schwarz)
Beispiel
Das reziproke Gitter
Netzebenenschar (101)
Punkt P*101
c*
a*
Raumgitter (blau-grün)
reziprokes Gitter (schwarz)
Beispiel
Das reziproke Gitter
Netzebenenschar (102)
Punkt P*102
c*
a*
Raumgitter (blau-grün)
reziprokes Gitter schwarz)
Volumen
Das reziproke Gitter
V = a1·(a2 x a3) = 1/V* Spatprodukt
d.h. a1* = (a2 x a3) / a1·(a2 x a3) = (a2 x a3) / V
Formeln
Das reziproke Gitter
| a*| = a0* = 1/d(100) = (b0c0 sin) /V
analog für | b*|, | c*|
V = a0b0c0 (1 - cos2 - cos2 - cos2 + 2cos cos cos)
a*·a = b*·b = c*·c = 1
a·b* = a·c* = b·c* = b·a* = c·a* = c·b* = 0
cos* = (cos cos -cos)/(sin sin), zyklisch cos*, cos*
Anwendungen
Das reziproke Gitter
|H | = 1/dhkl
Netzebenenabstand
cos  = H1· H2 / H1· H2
Winkel zwischen Netzebenen
H1 x H 2
Berechnung der Zonenachse
Anwendungen
Das reziproke Gitter
Ewald-Konstruktion zur Auswertung von Gitterinterferenzen
(Röntgen- und Elektronenbeugungsmethoden)
S
H
Intensitätsmaximum,
wenn
(S-S0)/ = H
S0
Anwendungen
Das reziproke Gitter
Weitere Anwendungen:
Strukturfaktor-Berechnung
Auslöschungsregeln
Brillouin-Zonen
Bändermodell zur Leitfähigkeit
Frequenzraum eines akustischen Signals
Übung 7
• Skizzieren Sie die Basisvektoren des zum
hexagonalen Gitter reziproken Gitters !
• Welche Winkel schließen a1*, a2*und c*
miteinander ein ?
• Was ist über die Länge von a1*, a2*und c* zu
sagen ?