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WS 2015 / 16 – Ulrich Hohenester
9. Vorlesung
Drehimpuls, Bohrsches Atommodell
Wasserstoffatom
Noethersches Theorem
Ansuchen 1915:
Eure Exzellenz
bittet die mathematisch-naturwissenschaftliche
Abteilung der philosophischen Fakultät der Göttinger
Universität ehrerbietigst, ihr im Falle des Habilitationsgesuches von Fräulein Dr. Emmy Noether (für
Mathematik) Dispens von dem Erlaß des 29. Mai 1908
gewähren zu wollen, nach welchem die Habilitation
von Frauen unzulässig ist.
Antwort des Ministers 1917:
Die Zulassung von Frauen zur Habilitation als
Privatdozent begegnet in akademischen Kreisen nach
wie vor erheblichen Bedenken. Da die Frage nur
grundsätzlich entschieden werden kann, vermag ich
auch die Zulassung von Ausnahmen nicht zu
genehmigen, selbst wenn im Einzelfall dadurch
Emmy
Noether
(1882 unvermeidbar
– 1935)
gewisse
Härten
sind.
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine
Erhaltungsgröße und umgekehrt.
Noethersches Theorem
Für reibungsfreie Systeme gilt:
 Kein Zeitpunkt ausgezeichnet
 Kein Ort ausgezeichnet
 Keine Richtung ausgezeichnet
– Energieerhaltung
– Impulserhaltung
– Drehimpulserhaltung
Zu jeder kontinuierlichen Symmetrie eines physikalischen Systems gehört eine
Erhaltungsgröße und umgekehrt.
Keplerproblem
Bei der Lösung des Keplerproblems (Planetenbahnen) können die
Erhaltungsgrößen ausgenutzt werden
 Impulserhaltung, Aufspaltung Schwerpunkts- und Relativbewegung
 Drehimpulserhaltung, 2. Keplersches Gesetz
(Fahrstrahl überstreicht in gleichen Zeiten gleiche Flächen)
Schrödingergleichung des Wasserstoffatoms
Zeitunabhängige Schrödingergleichung (Relativbewegung)
Zusätzlich:
Schwerpunktsbwegung entspricht „freiem Teilchen“
Drehimpulsbewegung
Die Behandlung des Drehimpulses in der Quantenmechanik ist komplizierter
als in der klassischen Mechanik
2d – Winkelanteil der Wellenfunktion entspricht freiem Teilchen, das sich
entlang eines Kreises bewegt (Quantisierungsbedingung)
Drehimpulsoperator Lz in 2d
Eigenzustände von Lz in 2d
Bohrsches Atommodell
Das Bohrsche Atommodell liefert die richtigen Eigenenergien des
Wasserstoffatoms (Lösungen der Schrödingergleichung sind komplizierter, s.u.)
Quantisierungsbedingung für Drehimpuls
Stabile Bahn … Anziehungskraft = Zentrifugalkraft
Grundzustand : Bohrscher Radius und Rydbergenergie
Bohrsches Atommodell
Die Energien für stabile Elektronenbahnen ergeben sich im Bohrschen
Atommodell zu
(E0 ist Rydbergenergie)
Lösung der Schrödingergleichung
Im Gegensatz zur klassischen Physik, sind in der Quantenmechanik nicht alle
drei Komponenten des Drehimpulses erhalten
Heuristisches Argument :
Wären Lx, Ly und Lz des Drehimpulses bestimmt, so wäre die Bewegungsebene des Elektrons eindeutig bestimmt.
Das wäre im Widerspruch zur Heisenbergschen Unschärferelation.
In der Quantenmechanik sind nur der Betrag L des Drehimpulses
sowie Lz erhalten
Drehimpuls (Quantenmechanik)
Betrag des Drehimpulses
Projektion des Drehimpulses
Es gilt stets |Lz| < L, somit ist die Bewegungsebene
des Elektrons nicht genau bestimmt
Drehimpulszustände
Die Drehimpulsquantenzahl l bestimmt die Zahl der Knoten der Wellenfunktion
in Winkelrichtung, ml bestimmt die Zahl der Knoten in Azimuthalrichtung
Drehimpulszustände
l=0, keine Knoten („s-Zustand“)
l=1, ein Knoten in x-, y- oder z-Richtung („p-Zustände“)
Drehimpulszustände
l=2, zwei Knoten („d-Zustände“)
Drehimpulszustände
Wasserstofforbitale
Die Lösungen der zeitunabhängigen Schrödingergleichung für das Wasserstoffatom sind durch 3 Quantenzahlen charakterisiert
Die Energie der Zustände wird ausschließlich durch die Hauptquantenzahl
n bestimmt (E0 ist Rydbergkonstante)
Gleiches Ergebnis wie Bohrsches Atommodell (Glück)
Bezeichnung für unterschiedliche Schalen K (n=1), L (n=2), M (n=3), …
Wasserstofforbitale
Wasserstoffatom (Spektroskopie)
Bei optischen Übergängen muß die Energie erhalten bleiben
Spektroskopie erlaubt genaue Bestimmung der Übergangsenergien
Übergänge zwischen verschiedenen Schalen
Pauliprinzip
Zusätzlich zu den Quantenzahlen n, l, m besitzt das Elektron auch einen Spin,
in einem Atom mit mehreren Elektronen kann jeder Zustand nur mit einem
Elektron besetzt werden
Elektronen müssen sich in einer der Quantenzahlen
n, l, m ( + Spin ) unterscheiden.
Wolfgang Pauli (1900 – 1958)
Aufbauprinzip der Materie
Die atomaren Schalen werden sukzessive mit Elektronen gefüllt
(pro Zustand jeweils nur ein Elektron, Pauliprinzip)
Innerhalb einer Schale haben alle Elektronen dieselbe Energie.
Aufgrund der Elektron-Elektron-Wechselwirkung erfolgt das Auffüllen der Zustände
anhand der sogenannten Hundschen Regeln (siehe Atom-, Molekül- & Festkörperphysik)
 Minimierung des Bahndrehimpulses
 Maximierung des Spins
Aufbauprinzip der Materie