4.1

§4 Systeme von Massenpunkten
Vielteilchensysteme (VTS)
Erinnerung: Inertialsysteme  Galileitransformation
Physikalische Gesetze gleich !
3 m  rS
z
Def.: Massenschwerpunkt
m  r

m
i
rS
i
i
i

m
r2
1
  mi ri
M i
S
rS
2  m  r1
r1 2 m
i
Gesamtmasse
m  r2

 Schwerpunktgeschwindigkeit

y
x

drS
1
1
dri
1
vS 

  mi  v i 
  mi 

pi

dt
M
M i
dt
M
 Gesamtimpuls
Gaub
P   pi  M  vS
i
WS
2014/15
1
Abgeschlossenes System
 Fik  Fki
 Nur interne WW mit Actio = Reactio
 Fik  0
i k
 P   pi  const

Mit äußerer Kraft F0
mit as 
dvs

dt

F
dvs
d
dP
M

p


 i dt
dt
dt
F  M  as

 Der Schwerpunkt eines beliebigen Systems von Massenpunkten bewegt sich
wie ein Körper mit Masse M. Die gesamte äußere Kraft wirkt auf S.
 Beschreibung im Schwerpunktsystem vorteilhaft
Gaub
WS 2014/15
2
Schwerpunkt-System
ri
Ortskoordinaten im Laborsystem
rS
Ortskoordinaten von S im Laborsystem
riS Ortskoordinaten von MPi im S - System

ri  rS  riS
m  r m (r r )   m  r   m r  m  r  M r  M  r  M  r
i
iS
i
i
i
S
i
i
m  r
i
iS
S
0
i
i
S
S
S
Bsp.:Balkenwage
vi  viS  vS  mi  viS   piS  0 Spkt-System ist immer Null
d ito
Gaub
Die Summe aller Impulse im
WS 2014/15
3
Bsp: 2 Massen
1
1
2
2
EKin   m1  v1   m2  v2
2
2
1
1
2
2
2
  (m1  v1S m2  v2S )  (m1  m2 ) vS  vS (m1  v1S  m2  v2S )
2
2
 p1S  p2 S 0


EKin
1
2
 E Kin (S)  M  vS
2
EKin im S-System
EKin der Gesamtmasse vereinigt in S
Dito für n > 2
Gaub
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4

Reduzierte Masse
Bsp.:Doppelstern
m1
Abgeschlossenes System:

dv1 F12 dv 2 F21

;

dt
m1 dt
m2
m it  
m1m2
m1  m
2
Reduzierte Masse
F12
F12  F21
m2
S


v12
 1
1 
d


v1  v 2   
F
dt
m1 m2 

v12  v1  v2

Relativ-Geschw.
1
1 2
s
2
2
E kin
 m1v1S
 m2v2S

v12

2
2


dv12
 F12  
dt
v
is
 vi  vS

Die Relativbewegung zweier isolierter Teilchen kann auf
die Bewegung eines Teilchens mit der reduzierten Masse 
unter dem Einfluss der Kraft
F12 reduziert werden!

Gaub
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5
Drehimpuls eines Teilchensystems
D1  r1  (F1  F12 )
Drehmomente bezüglich 0:
D2  r2  (F2  F21 )
Gesamt-Drehmoment des Systems:
D  r1  F1  r1  F12  r2  F2  r2  F21

F12  F21
D  r1  F
1  r2  F 2  r1  r2  F12
z
F1
m1

F12
r1
D2
Dges
x
r2
D1
 F21
F2
m2


0
Gesamtdrehimpuls bezüglich 0:




L  r1  p1  r2  p2
y




dL
 r1  F 1  r 2  F 2  D
dt

Die zeitliche Änderung des gesamten Drehimpulses eines Systems von
Teilchen, bezogen auf einen beliebigen Punkt, ist gleich dem gesamten
 Kräfte bezogen auf den selben Punkt.
Drehmoment aller äußeren
Der gesamte Drehimpuls eines abgeschlossenen
Systems von Teilchen ist konstant
Gaub
WS 2014/15
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Drehimpuls Vielteilchen-System:





L   ri  pi   mi ris  rs  vis  vs
i
Allgemein:





i
Drehimpuls der
Gesamtmasse in S
bezüglich
0

Bsp.: 2 Teilchen:


i
Drehimpuls
bezüglich S

i
m r
rs  mi vis
L  Lso  L s

Gaub

L  M r s  v s  mi r is  v is  mi r s  v is  mi r is  v s
i is
0


L s  r1S  p1S  r2S  p2S
WS 2014/15

 vs
0

  r  r  p
1
2
1S
 r12  v12
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