Extremwertaufgaben u. Kosten

Extremwertaufgaben
1. L. geht zu mitternächtlicher Stunde bei einer
Beachparty baden und gerät trotz völlig nüchternen
Zustands in Seenot. Elisa, die den um Hilfe Schreienden
als einzige bemerkt, läuft los, um ihn vor dem Ertrinken
zu retten. Am Strand bewegt sie sich mit einer
Geschwindigkeit von 2 m/s, im Wasser mit nur 1 m/s.
Die Entfernungen sind der nebenstehenden Skizze zu
entnehmen. An welchem Punkt P muss sie ins Wasser,
um möglichst schnell zu L. zu gelangen? Schafft sie dies
innerhalb von 60 s?
L
Meer
P
Strand
E
[9,814 m bzw. 65,186 m; t = 59,27 s]
2. Von einer Funktion f(x) kennt man den Wendepunkt W(2/5). Wie lauten die unbekannten
Parameter a und b? Schreib der Funktion und der x-Achse ein achsenparalleles Rechteck mit
maximalem Flächeninhalt ein. Wie groß sind die Seitenlängen und der Flächeninhalt?
a
f(x) = x 2  b
[a = 80; b = 12; Länge = 6,928 LE; Breite = 3,333 LE; A = 23,094 FE]
3. Ein 2 m hohes Bild hängt direkt vor dir an einer Wand. Die Unterkante des Bildes befindet
sich 1,6 m über deiner Aughöhe. In welcher Entfernung zur Wand musst du dich positionieren,
damit du das Bild unter einem möglichst großen Winkel siehst?
[d = 2,4 m]
4. Ermittle (a) die gewinnmaximierende Menge und den zugehörigen Preis, (b) den maximalen
Gewinn, (c) die erlösmaximierende Menge und den zugehörigen Preis, (d) den maximalen
Erlös, (e) die Elastizität im COURNOTschen Punkt, (f) die Sättigungsmenge, (g) die
Gewinnschwelle und die Gewinngrenze, (h) die Kostenkehre (Wo sind die Kosten progressiv,
wo regressiv?) und (i) das Durchschnittskostenminimum samt kostendeckenden Preis eines
Monopolbetriebs, für den die Kostenfunktion K(x) und die Nachfragefunktion p(x) gegeben sind!
K(x) = 0,008·x3 – 2,4·x2 + 320·x + 32000
p(x) = 480 – 0,8·x
[G(172)=2146,8; p(172)=342,4; E(300)=72000; p(300)=240; (172)=2,5;
x=600; 142-200ME; x=100; x=200; Kquer(200)=320]
5. wie 4., wenn:
K(x) = 0,005·x3 – 0,9·x2 + 150·x + 13500
p(x) = 735 – 1,2·x
[G(178)=52926; p(178)=521,4; E(306)=112546,8; p(306)=367,8; (178)=2,44;
x=612,5; 24-300ME; x=60; x=150; Kquer(150)=217,5]
6. wie 4., wenn:
K(x) = 0,001·x3 – 0,15·x2 + 10·x + 40500
p(x) = 400 – 0,8·x
[G(204)=3519,96; p(204)=236,8; E(250)=50000; p(250)=200; (204)=1,45;
x=500; 150-255ME; x=50; x=300; Kquer(300)=190]