Leistungskurs 13.1, Jg. 98/99, HhG

2004/05 , 13.1 , LK Mathematik
Bonn, den 26. November 2004
Übungsaufgaben Nr. 6
1. Begriff des Erwartungswertes und der Varianz
X sei die Zufallsvariable Augenzahl auf einem gewöhnlichen Würfel, Y die Zufallsvariable Anzahl der
Punkte auf einem Stein eines 6-Punkte-Dominos.
(a) Man berechne Erwartungswert und Varianz von 2 X und Y. ?
(b) Man berechne E(2X + Y) und VAR(X + 2Y) mit Hilfe der Regeln für Erwartungswert und Varianz.
(c) Wie kann man E(Y) einfacher mit Hilfe der Summenregel berechnen ?
(d) Ein gewöhnlicher Würfel wird 600 mal geworfen. Man berechne Erwartungswert und Varianz für
die Zufallsvariable „durchschnittliche Augenzahl“
Hinweis : Das Ergebnis kann mit Hilfe von E(X) bzw. VAR (X) berechnet werden, wenn man die Zufallsvariabe Durchschnitt
1
D = n (X + X + X + ... + X) (n Summanden X) auffaßt.
2. Eine beliebige Zahl zwischen 0 und 1 wird mit dem Zufallsgenarator eines Taschenrechners bestimmt. „Erfolg“ sei eine Zahl zwischen 0,4 und 0,6. Der Versuch wird hundertmal wiederholt. Die
Zufallsvariable X sei die Anzahl der Erfolge.
(a) Man berechne Erwartungswert und Varianz der beschriebenen Zufallsvariablen X.
(b) Wie wahrscheinlich ist eine Zahl von mehr als 50 Erfolgen ?
(c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit liegt die Zahl der Erfolge im Intervall |X – |  5 ?
3. Eine gute Münze wird so oft geworfen, bis zum ersten Mal Wappen erscheint, höchstens jedoch
fünfmal. X sei die Anzahl der Würfe.
(a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung hat X ? Man zeichne ein Histogramm.
(b) Man berechne E(X) und Var (X)
(c) Das Spiel werde n mal wiederholt. Wie groß muß n sein, damit die Varianz der Zufallsvariablen
Y = Mittelwert Xi (i = 1, 2, 3, ...,n) kleiner als 0,01 ist ?
4. In einer Urne sind sechs gleichgeformte Kugeln, von denen drei rot sind. Es werden nacheinander
zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Es werden folgende Zufallsvariablen betrachtet :
X : Anzahl der roten Kugeln beim ersten Zug ; Y : Anzahl der roten Kugeln beim zweiten Zug
(a) Man stelle eine gemeinsame Wahrscheinlichkeitstabelle für X und Y auf und prüfe, ob X und Y
unabhängig sind.
(b) man berechne den Erwartungswert für die Zufallsvariable X + 2Y.
5. Ein Spiel besteht aus dem Werfen eines 1 DM, eines 2 DM und eines 5 DM - Stückes. Sie dürfen
jede Münze werfen und behalten, falls Zahl gefallen ist. Welchen Gewinn haben Sie zu erwarten und
wie groß ist die Varianz für die Gewinnsumme ?