Mathematik 8B/ 10. 4. 2012 Name: ______ Differential

Mathematik 8B/ 10. 4. 2012
Differential- und Integralrechnung: Bewegungsaufgaben
1.
Name: ___________
Ein Körper bewegt sich lotrecht nach der Formel h t   40  5t 2 .
a)
b)
c)
d)
e)
Berechne die Momentangeschwindigkeit und die Momentanbeschleunigung.
Berechne die mittlere Geschwindigkeit zwischen der 2. und 4. Sekunde.
Ermittle Höhe, Momentangeschwindigkeit, Momentanbeschleunigung nach 1s.
Berechne die maximale Höhe.
Ermittle den Zeitpunkt und die Geschwindigkeit des Aufpralls auf der Erdoberfläche.
Lösungen: a.) v(t)=-10t; a(t)=-10 m/s²; b.) -30 m/s; c.)35 m; -10 m/s; -10 m/s²; d.) 40 m e.) t=2,83 s; v=-28,82 m/s
2.
Lotrechte Bewegung: h t   10  20t  5t 2
a)
b)
c)
d)
e)
Berechne die Momentangeschwindigkeit, Momentanbeschleunigung.
Berechne die mittlere Geschwindigkeit zwischen der 2. und 4. Sekunde.
Ermittle Höhe, Momentangeschwindigkeit, Momentanbeschleunigung nach 1s.
Berechne die maximale Höhe.
Ermittle den Zeitpunkt und die Geschwindigkeit des Aufpralls auf der Erdoberfläche.
Lösungen: a.) v(t)=20-10t; a(t)=-10 m/s² b.) -10 m/s c.) 25 m; 10 m/s; -10 m/s²; d.)30 m; e.) t=4,45 s; v=-24,5 m/s
3.
Ein Geschoss wird lotrecht nach oben abgeschossen. Die Höhe des Geschosses lässt sich mit Hilfe der
g
2
Funktion h  t    t 2  v0t  h0 beschreiben.
Für unser Geschoss gelten folgende Anfangsbedingungen: v0  40 m / s , h0  45 m ; g  10 m / s2 .
a) Berechne die mittlere Geschwindigkeit zwischen der 1. und 3. Sekunde.
b) Berechne die Höhe und Momentangeschwindigkeit des Geschosses nach 3 Sekunden.
c) Ermittle die maximale Flughöhe.
d) Nach welcher Zeit und mit welcher Geschwindigkeit schlägt das Geschoss auf dem Boden auf?
Lösungen: a.) 20 m/s; b.) 120 m; 10 m/s; c.) 125 m; d.) 9s; -50 m/s
4.
Ein Geschoss wird lotrecht nach oben abgeschossen. Die Beschleunigung lässt sich beschreiben durch
at   10m / s 2 . Der Abschuss erfolgt in einer Höhe von 45 m und mit einer Anfangsgeschwindigkeit
von 40 m/s.
a) Ermittle die Funktionen v(t) und s(t).
b) Ermittle die maximale Höhe.
c) Wann trifft das Geschoss auf der Erdoberfläche auf? Welche Geschwindigkeit hat das Geschoss
dann?
d) Ermittle die Geschwindigkeit nach 3 Sekunden.
Lösungen: a.) v(t)=-10t+40; s(t)=-5t²+40t+45
5.
Der lotrechte Wurf eines Gegenstandes kann mit folgender Funktion beschrieben werden:
ht   140  6t  5t 2 . Berechne die Geschwindigkeit des Gegenstandes nach exakt 4 Sekunden.
Lösung: -34 m/s
6.
Die Beschleunigung eines Wagens beträgt konstant 6 m / s2 , die Anfangsgeschwindigkeit sei 90 km/h.
a) Bestimme die Weg-Zeit-Funktion des gefahrenen Weges.
b) Welcher Weg wurde nach 3 Sekunden zurückgelegt?
c) Berechne die mittlere Geschwindigkeit zwischen der 3. und 5. Sekunde.
d) Berechne die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=4s.
Lösungen: a.) s(t)=3t²+25t; b.) 102 m; c.) 49 m/s d.) 49 m/s
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Differential- und Integralrechnung: Bewegungsaufgaben
7.
Name: ___________
Petra ist auf dem Weg zu ihrer Freundin. Sie beschleunigt auf dem ganzen Weg mit a=2 m/s². Die beiden
Freundinnen wohnen 600 m voneinander entfernt. Petra startet aus dem Stand.
a) Gib die Distanz von Petra zu ihrer Freundin in Abhängigkeit von der Zeit an.
b) Berechne die mittlere Geschwindigkeit zwischen der 5. und 7. Sekunde.
c) Berechne die momentane Geschwindigkeit nach 9 Sekunden.
d) Wann kommt Petra bei ihrer Freundin an?
Lösungen: a.) d(t)=600-t²; b.) 12m/s c.) 18m/s d.) 24,49s
8.
Relevante Buchbeispiele zu Bewegungsaufgaben:
2.38, 2.39, 2.43, 2.44, 2.45, 2.46, 2.47, 2.48, 2.49, 2.50, 2.51 und 2.52.
9.
Anhalteweg = Reaktionsweg + Bremsweg
s A  sR  sB
sA  v  tR 
v²
2a
tR…Reaktionszeit (0,5 s-1 s)
a…konstante Verzögerung („negative Beschleunigung“)
tB…Bremszeit:
v
tB 
a
a)
b)
c)
d)
10.
Leite diese Formeln mit Hilfe der Integralrechnung her (siehe auch Buch 2.43-2.45).
Skizziere ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm für den Anhaltevorgang.
Erkläre, wie sich aus dem v-t-Diagramm der Anhalteweg bestimmen lässt.
Recherchiere nach Faustformeln für Reaktionsweg, Bremsweg, Anhalteweg und
Sicherheitsabstand (Faustformeln werden oft in der Fahrschule verwendet).
Bei einem Crash-Test rast ein Auto auf eine Mauer zu. Das Auto startet aus dem Stillstand in
50 m Entfernung von der Mauer und beschleunigt auf der gesamten Strecke mit einer Beschleunigung
von a = 4 m/s².
a) Zeige mit Hilfe der Differential- und Integralrechnung, dass die Distanz d des Autos von der
b)
c)
d)
e)
Mauer in Abhängigkeit von der Zeit t durch die Funktion d(t) = 50 – 2t² beschrieben werden
kann.
Stelle die Distanzkurve grafisch dar.
Berechne die Zeit bis zum Aufprall auf die Mauer?
Berechne die Aufprallgeschwindigkeit in km/h.
Berechne die Durchschnittsgeschwindigkeit zwischen 1. und 4. Sekunde.
Lösungen: c) 5 s; d) 72 km/h; e) 10 m/s.
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Differential- und Integralrechnung: Bewegungsaufgaben
Name: ___________
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