Lernzielkatalog 5. Klasse

LERNZIELKATALOG – 5. Klasse
Was du beim Kapitel „Zahlen und Rechnen I“ können solltest:
Lernziele
Definition
Beispiel
Addieren
Zusammenzählen
3+5=8
Subtrahieren
Multiplizieren
Dividieren
Potenzieren
Radizieren
Summe
Ergebnis einer Addition
Differenz
Produkt
Quotient
Faktor
Summand
Natürliche Zahlen N
Ganze Zahlen Z
Rationale Zahlen Q
Reelle Zahlen R
Teilbarkeitsregeln für 2
3
Ist 144 durch
2, 3, 5, 6, 9
teilbar?
5
6
9
10
LZK 5. Klasse
Ist 1210 durch
2, 3, 5, 6, 9, 10
teilbar?
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Zahlen und Rechnen II“ können solltest:
Lernziele
Beispiel
Rechenregeln
3+5.2=
 oder 
3 + 5 . 2³ =
Rechnen mit N, Z, Q, R
s. Mathematik positiv 5. Kl.
S. 32-49
Erweitern von Brüchen
5

3 6
Kürzen von Brüchen
15 3

10
Doppelbrüche lösen
2
5 
3
7
Primzahlen (Definition, Beispiele)
Ist 37 eine Primzahl?
Ist 153 eine Primzahl?
Primfaktorenzerlegung
150 =
Das ggt von Zahlen und Termen bestimmen
ggt(81x², 54xy)=
Das kgV von Zahlen und Termen bestimmen
kgV (81x², 54xy)=
Runden können
Runde 835,921 auf
a) die Einerb) die Zehntelc) die Hunderterd) die Hundertstele) die Zehnerstelle
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Mathematische Fachsprache“ können solltest:
Lernziele
 oder 
Übersetze in „Mathematisch“
Zwei ist kleiner als drei
Minus zwei ist größer als minus drei
x ist kleiner oder gleich 4
Die natürlichen Zahlen sind eine
Teilmenge der ganzen Zahlen
Die ganzen Zahlen sind keine
Teilmenge der natürlichen Zahlen
Zwei ist ein Element der reellen
Zahlen
Pi ist keine Element der rationalen
Zahlen
Q

Der Betrag von minus sieben ist
sieben
Das Intervall von minus Unendlich
bis eingeschlossen sieben
Leere Menge (2 Möglichkeiten)
Für alle x gilt
Es gibt ein x
Es gibt genau ein x
Die ganzen Zahlen ohne die Zahlen
zwei und vier
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du mit dem Taschenrechner machen können solltest:
 oder 
Addieren können
Beispiel:
Subtrahieren können
3,8²  (4,5)³
 2
Multiplizieren können
Dividieren können
potenzieren können – hoch 2, hoch 3
etc
Wurzel ziehen können –
Quadratwurzel, dritte Wurzel etc.
1 22 3 24
 .
Beispiel: 2 :

5 15 4 27
Vorzeichen wechseln können
Dezimalzahlen eingeben können
eingebenkönnen
Zahlen speichern können
Klammern setzen können, wenn
nötig
98
34
Ev. mit Brüchen in der
Bruchdarstellung rechnen können
1 22
2 :
5 15
s. auch Mathematik positiv 5. Klasse S. 50-57
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Terme, Binome“ können solltest:
Lernziele
Berechne bzw. beantworte:
Wissen, welche Terme
zusammengefasst werden
können
b³ + 2b² - 7b + 3 – b³ + 12b – 5b² =
 oder 
2x²y – 5xy + 3xy² - 3x²y –7xy =
Erfinde ein weiteres Beispiel:
Wissen, was ein Monom / ein Monom: z.b.: 3x
Binom ist
Binom : z.b.:
Binome quadrieren können
Berechne (3x – 4y)² =
Erfinde und löse zwei weitere Beispiele (mit
Brüchen, Dezimalzahlen, mehr Variablen,...):
Terme in ein Produkt
zerlegen können (durch
Herausheben, Anwenden der
binomischen Formeln, Lösen
einer quadratischen
Gleichung)
Durch Herausheben : 12x²y – 27xy² =
Erfinde ein Beispiel zu „Terme in ein Produkt
zerlegen können durch Anwenden einer
binomischen Formel“
Erfinde ein Beispiel zu „Terme in ein Produkt
zerlegen können durch Lösen einer
quadratischen Gleichung“
Terme (wenn möglich) als
Quadrat eines Binoms
schreiben können
81x² - 18x + 1 =
81x² - 9x + 1 =
Erfinde zwei weitere Beispiele:
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Gleichungen (lineare, Bruchgleichungen)“ können solltest:
Lernziele
Berechne bzw. löse:
Lineare Gleichungen mit einer
Variablen lösen können.
x–2=7
 oder 
5x – 7 = 9 – 3x
2.(8x – 4) = (5 – x).2 – (3 – 2x).7 – 29
x
x
5  3
2
4
Gleichungen, die zu linearen
Gleichungen führen, lösen können.
(2x – 3)² = (2x – 3).(2x + 3) –12x +18
Textbeispiele, die zu linearen
Gleichungen führen, lösen können
(z.B.: Leistungs-, Bewegungs-,
Mischungaufgaben etc.).
Addierst du zum 4fachen einer Zahl die
Zahl 11 und multiplizierst du diese
Summe mit 4, so erhältst du 84. Wie
lautet die Zahl?
Bruchgleichungen lösen können
4
3
7x  2


Löse
(gemeinsamen Nenner finden, auf
x  2 x  2 x²  4
gemeinsamen Nenner bringen, lösen).
und gib die Definitionsmenge an!
Die Definitionsmenge einer
Bruchgleichung angeben können.
Was folgt für die Lösungsmenge, wenn in der letzten Zeile einer Gleichung
a) eine wahre Aussage, z. B. 0 = 0 steht?
L=
b) eine falsche Aussage, z. B. –12 = 0 steht?
L=
Die Probe einer Gleichung machen
können.
Mache die Proben zu allen bisherigen
Gleichungen.
Die Lösungsmenge einer Gleichung
(abhängig von der Grundmenge)
angeben können.
Gib die Lösungsmenge von 5x = -2
für a) G=N, b) G=Z, c) G=Q, d) G=R an!
Was du beim Kapitel „Ungleichungen“ können solltest:
 oder 
Lernziele
Beantworte:
Ungleichheitssysteme lösen können
Für welche x Z gilt:
a) (x  -4)  (x < 3)
b) (x > -2)  (x > 3)
c) (x < -1)  (x  3)
d) (x  2)  (x < 2)
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Quadratische Gleichungen“ können solltest:
Lernziele
Berechne bzw. beantworte
Quadrat. Gleichungen incl. Sonderformen
lösen können
a) 4x² - 2x = 0
 oder 
b) 4x² - 64 = 0
c) x² + x + 5 = 0
d) 25x² + 20x + 4 = 0
e) 4x² + 12x – 7 = 0
Was weißt du über die Anzahl der Lösungen
einer quadrat. Gleichung, wenn
a) die Diskriminate = 0
b) die Diskriminate < 0
c) die Diskriminate > 0 ist?
Wie lauten die Sätze von Vieta für die
Hauptform der quadrat. Gleichung?
Wie lauten die Sätze von Vieta für die
allgemeine Form der quadrat. Gleichung?
Kannst du die Linearfaktorzerlegung einer
quadrat. Gleichung angeben?
LZK 5. Klasse
2x² + 7x – 4 =
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Zwei lineare Gleichungen mit zwei Variablen“ können solltest:
Lernziele
Berechne bzw. beantworte
Rechnerisch lösen können
(Eliminations-, Einsetz-,
Gleichsetzungsverfahren,
Cramer’sche Regel)
Löse alle vier Gleichungssysteme mit jeweils
einem anderen der links aufgezählten vier
Verfahren:
Graphisch lösen können
I 5x – 3y = 7
I 2x – 4y = -8
II 6x – 7y = 5
II x = 1 – 8y
I y=1–x
I 0,72x – 0,54y = 0,18
II y = 2x + 7
II 8,82x – 6,3y = 2,73
 oder 
Löse und interpretiere graphisch:
I x + 4y = 17
II 3x – 2y = 9
Löse und interpretiere graphisch:
I 2x + 3y = 6
II
x y

=2
3 2
Löse und interpretiere graphisch:
I 3x – 2y = 6
II
x y

=1
2 3
Textbeispiele lösen können
a) Ein LKW braucht für den Abtransport von
(z.B.: Leistungs-, Bewegungs-, 1000 Tonnen Gestein 8 Stunden, ein zweiter
Mischungaufgaben etc.).
LKW braucht für 5000 Tonnen 20 Stunden. Wie
lange brauchen beide LKW zusammen für 3000
Tonnen Gestein?
b) Wie viele Liter Wasser mit 15° muss man zu
48 Liter Badewasser mit 45° dazugießen, um
Wasser mit 35° zu erhalten?
c) Um 8 Uhr geht ein Wanderer mit 4km/h vom
Ort A in Richtung des 12km entfernten Ortes B
los. 45 Minuten später verlässt ein anderer
Wanderer mit 4 1/3 km/h den Ort B und wandert
Richtung A. Um wie viel Uhr und nach wie viel
km treffen einander die beiden?
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Funktionen“ können solltest:
 oder 
Lernziele
Berechne bzw. beantworte
Im Koordinatensystem
Punkte einzeichnen können
und Koordinaten von
Punkten ablesen können.
Zeichen A(-2/3), B(-3/-4), C(0/1), D(1/-5) im
Koordinatensystem ein.
Unter
www.univie.ac.at/future.media/mo/tests/zeich/ablesen.html
findest du eine Übung zum „Koordinaten ablesen“
Darstellungsformen von
Funktionen kennen
(Mengendiagramm,
Wertetabelle, Paarmenge,
graphisch, Funktionsterm, gleichung)
Lineare Funktionen
zeichnen können
(homogene, inhomogene,
konstante) – mit Hilfe von
Punkten sowie von k und d.
k und d einer lin. Funktion
ablesen können.
Zeichne die homogene lineare Funktion g: y = 3x
Zeichne die inhomogenen linearen Funktionen
f: y = 3x – 2
Zeichne die lineare Funktion, die durch A(-3/-2)
und durch B(2/8) geht und gib k, d und den
Funktionsterm an!
Nichtlineare Funktionen
zeichnen können (Potenz-,
Bruchfunktionen)
Zeichne die quadratische Funktion f: y = x² - 4
Fehlende Koordinaten von
Punkten einer Funktion
bestimmen.
Liegt A(-2/-5) auf f: y = 4x – 3 ?
Nullstellen rechnerisch
bestimmen können.
Fixpunkte rechnerisch
bestimmen können.
Zeichne y =
4
x3
Bestimme B(2/y) und C(x/5) so, dass sie auf f
liegen!
a) f1: y = 5/2x
b) f2: y = 4x - 3
Bestimme rechnerisch Nullstelle, Fixpunkt und die
Umkehrfunktion für f1 und f2!
Die Umkehrfunktion einer
Funktion (falls vorhanden)
bestimmen können –
rechnerisch und graphisch.
Die Monotonie einer
Funktion angeben können.
In welchem Intervall ist die Funktion f: y = x² - 4
monoton fallend bzw. steigend?
Tief- und Hochpunkte einer
Funktion ablesen können.
Hat die Funktion f: y = x² - 4 einen Hoch- bzw.
Tiefpunkt? Wenn ja, gib die Koordinaten an.
Was du beim Kapitel „Funktionen“ können solltest:
Den Scheitel einer
f: y = x2 – 6x + 4
Quadratfunktion rechnerisch Bestimme rechnerisch Scheitelpunkt, Nullpunkt
bestimmen können.
und Fixpunkt.
Die Definitionsmenge einer
Funktion angeben können.
Wo ist f: y =
4
definiert?
x3
Funktionen im Internet
zeichnen können.
Such dir bei http://www.mathe-online.at/ einen
Funtkionsplotter und zeichne alle bisher
angegebenen Funtktionen.
Funktionsterme und
Funktionsgraphen einander
zuordnen können.
Gehe zu http://www.matheonline.at/tests/fun1/erkennen.html und mache das
Funtkionenpuzzle.
Was sind Asymptoten?
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
Was du beim Kapitel „Vektorrechnung“ können solltest:
Lernziele
Berechne bzw. beantworte
Vektoren aufstellen können
A (-2/-3) B(4/5) Bestimme AB
mit Vektoren rechnen können
  1
 2
a    und b   
 3
2


Bestimme 3.a  2b
die Länge eines Vektors angeben können
A (-2/-3) B(4/5)
den Einheitsvektor bestimmen können
Gib die Länge von AB an.
A (-2/-3) B(4/5) Gib den
Einheitsvektor von AB an
das skalare Produkt zweier Vektoren angeben Bilde das skalare Produkt von
können
  1
 2
a    und b   
 3
2
Was bedeutet es, wenn beim Skalarprodukt
zweier Vektoren das Ergebnis 0 lautet?
einen Normalvektor aufstellen können
Stelle einen Normalvektor zu
  4
  auf
  3
den Mittelpunkt einer Strecke bestimmen
können
Bestimme den Mittelpunkt der
durch A (-2/-3) B(4/5) gegebenen
Strecke AB
in R2: die Geradengleichung in Vektor und
Normalvektorform aufstellen, die implizite
und explizite Form angeben können
Stelle die Gleichung jener
Geraden, die durch A (-2/-3) und
B(4/5) geht, auf und gib alle vier
Formen an.
in R3: die Vektorform der Geradengleichung
aufstellen können
Gib die Gleichung jener Geraden
an, die durch A(3/2/1) und
B(8/6/4) geht.
die Lagebeziehung zweier Geraden in R2
angeben können
Wie liegen die Geraden g und h
zueinander?
g: 4x + 3y = 7
 2   2
    t. 
h : 
X
3 3 
 oder 
Was du beim Kapitel „Vektorrechnung“ können solltest
die Lagebeziehung zweier Geraden in R3
angeben können
Bestimme die Lage von g1 zu den
Geraden g2 bis g5! Ermittle ggf.
den Schnittpunkt!
 1   3
    
g1: x   2   r  4 
   
 3  5 
 2   6 
   

g2 : x   2   s  8 
  

 2   10
2  9 
    
g3: x   3  s 12 
   
 4  15
 7  2
    
g4 : x  10  s  3
   
13  4 
2  4 
    
g5: x   3  s  1
   
4  6 
die vier merkwürdigen Punkte im Dreieck
berechnen können
Von einem Dreieck ABC sind
gegeben A(-3/-8), B(6/4) und der
5
Schwerpunkt S(- / 0) .
3
Bestimme die Koordinaten von
C. Berechne den Höhenschnittpunkt H, den Umkreismittelpunkt
U und den Inkreismittelpunkt.
die eulersche Gerade aufstellen können
Zeige beim obigen Beispiel, dass
U, H und S auf einer Geraden
liegen!
Strecken abtragen können
Welche Koordinaten hat der
Punkt Q, der entsteht, wenn du
von P(3/7) aus die Strecke
3
  mit der Länge 4 abträgst?
 4
innere und äußere Teilungspunkte bestimmen A(-4/2), B(2/5)
können
Teile die Strecke AB a) innen b)
außen im Verhältnis 1:2.
LZK 5. Klasse
erstellt von vhs21/elopaIII/Renate Tanzberger
TEST 5. KLASSE
1. Gegeben ist eine zweistellige Zahl, wobei die Zehnerziffer um 8 größer ist als die
Einerziffer. Wenn du die Zahl mit vertauschter Einer- und Zehnerstelle quadrierst, erhältst
du um 3 weniger als der Vierfache der ursprünglichen Zahl. Wie lautet die Zahl?
2. Löse folgende Bruchgleichung:
x4
6x
1  5x


x ²  3x x ²  3x x ²  9
Gib die Definitionsmenge und die Lösungsmenge für a) G=N, b) G=Z, c) G=R an.
Mache auch die Probe.
3. Zeichne die Funktion f: y = 2x² - 4x +1. Um welche Funktion handelt es sich? Gib
Nullstellen, Fixpunkte und Scheitelpunkt der Funktion an. Was kannst du über die
Monotonie der Funktion aussagen? Hat die Funktion Hoch- und Tiefpunkte?
4. Bestimme den Umkreismittelpunkt des Dreiecks A(-8/2), B(16/-20), C(19/11) rechnerisch
und kontrolliere mittels Zeichnung.
________________________________________________________________________
Lösungen:
1. z = 91
2. x = ¾
D=G\{-3, 3}
La, b = {}, Lc = {¾}
Probe: T1 = T2 = 0,325925926
3. N1 (0,293/0), N2 (1,707/0) F1 (0,22 / 0,22), F2 (2,28/2,28), Scheitel S (1/-1), ]-  ; 1]
streng monoton fallend, [1; + [ streng monoton steigend; der Scheitel ist Tiefpunkt
der Funktion, Hochpunkt gibt es keinen
4. U (8 8/9 ; -3 2/3)