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Trigonometrische Funktionen1
und ihre Anwendungen in der
Dreiecksberechnung
Ein Lehr- und Arbeitsheft von
Georg Sahliger
in Zusammenarbeit mit der
Klasse 10d.
Mainz, den 10.4.2012
1
Trigonometrie ( griechisch : Trigonon „ Dreieck“ und métron „ Maß “ )
Einleitung und Herleitung
In der Natur gibt es viele Beispiele für Schwingungen:
Wie kann man diese Schwingungen mathematisch erfassen und z.B. in einem Koordinatensystem darstellen?
Die Sinusfunktion
2
Beginnen wir mit dem Einheitskreis:
Ein Einheitskreis ist ein Kreis mit dem Radius 1, also z.B. 1cm, 1m, 1km …
Die Einheit spielt dabei keine Rolle. Vorteil des Einheitskreises besteht darin, dass sich vieles sehr einfach
berechnen lässt. So gilt für die Fläche und Umfang des Einheitskreises:
A= r 2 = 12    und U= 2r  2 1  = 2  .
Nun definieren wir als Sinus die Länge der Strecke, die dem angezeigten Winkel gegenüberliegt.
Aufgabe: Beschreibe, wie sich die Länge der Strecke verändert, wenn man den Winkel verändert!
Wie lange kann sin (x) maximal/minimal werden?
___ ≤ sin x ≤ ___
Anmerkung: Wer den Zusammenhang zwischen dem Winkel x und der Strecke Sinus x verstanden hat, hat das
Wesentliche des Themas schon erfasst. Nun tragen wir die unterschiedlichen Längen von sin (x) in folgendes
Koordinatensystem ein:
Unter www.sahliger.net => Klasse 10 kannst du dir dies mit Geogebra anschauen.
1. Fülle die Tabelle aus indem du die ungefähren Werte im Koordinatensystem abliest:
3
x
sin 0°
sin 10°
sin x
sin 90°
0,71
sin 270°
0,87
-0,34
-0,64
Anmerkung: Zu jedem Winkel gibt es zwei mögliche Sinuswerte und umgekehrt:
Es gilt also: sin (x) = sin (x + _____ ) und sin (x) = - sin (x + _____ )
2. Berechne folgende Werte mit dem Taschenrechner
Beispiel 1:
Bestimme sin (10) mit dem Taschenrechner!
Rechung: sin (10) = 0,1736
Beispiel 2:
Berechne den Winkel x, der zu sin(x) = 1 gehört!
Da wir nun die umgekehrte Aufgabe rechnen, muss man beim Taschenrechner mit
sin-1
rechnen. Dies ist bei jedem Taschenrechner unterschiedlich. Beispiele:
sin (x) = 1 :
INV sin = 90
1
Anstatt
oder
Also
INV
sin
gibt es bei manchen Taschenrechnern
INV
für die
=
2nd
Shift
auch
Umkehrung.
sin (x) = 1  x = 90°
Aufgabe: Berechne die gesuchten Werte mit dem Taschenrechner:
x
sin x
sin 15°
sin 30°
0,3
sin 270°
-0,5
0
1,2
Warum erzeugt die Rechnung sin-1 (x) = 1,2 einen Fehler?
Die Sinusfunktion ist natürlich nicht von 0° bis 360° beschränkt, sondern lässt sich noch beliebig lang
erweitern:
Umrechnung von Gradmaß in Bogenmaß
4
Anstatt mit einer Gradzahl wie z.B. 180° kann man einen Kreisausschnitt auch über seinen Umfang angeben.
Im Einheitskreis ergibt sich für einen vollen Kreis mit 360°:
U= 2  r   r
mit r = 1: U = 2 1   = 2 
360° für den vollen Kreis entspricht also 2   .
Für den halben Kreis mit 180 ° gilt dann: U =
Für den Viertelkreis mit 90°: U=
Fazit: Es gibt also die Festlegung:
2 1  
2
=
2 
=
2
2 1  
2 
1
=
= 
4
4
2
180° ≙ π
Die x-Achse des Koordinatensystems sieht dann folgendermaßen aus:
Wie kann man nun die Zwischenwerte berechnen? Hierzu benutzt man den Dreisatz:
1. Beispiel
120° = ? 
2. Beispiel
2
 =?°
3
Rechnung :
180° = 
1° =

180
120
12
2
=
= 
180
3
18
2
120° = 
3
Aufgabe: Berechne
120° =
 = 180 °
 180
=
3
3
2
2  180
=
= 120°
3
3
2
= 120°
3
5
Gradmaß
Bogenmaß
Berechne mit dem Taschenrechner sin (  ). Als Ergebnis erhältst du 0,05480, was offensichtlich falsch ist.
Welchen „Fehler“ hat der Taschenrechner gemacht?
Für den Taschenrechner steht  für die Zahl 3,1415…
Soll er aber für  180° nehmen, dann muss man den Taschenrechner vom Modus „DEG“ auf „Rad“ umstellen.
Rechne mit dem Taschenrechner nach: sin (  ) = 0 und sin (
1
 ) = 0,86.
3
Veränderung der Sinusfunktion
6
Wiederholung: Veränderung der quadratischen Funktion
Zeichne die Graphen der folgenden Funktion:
f1(x) = x²
f2(x) = (x – 2)²
f3(x) = ( x + 2)² +1
f4(x) =
1
( x – 1)² -3
2
f5(x) = -
2
(x + 2)² + 4
3
Ebenso kann man auch die Sinusfunktion verändern.
Aufgabe: Überlege, wie man die Sinusfunktion verändern kann und zeichne die veränderten Funktionen
in das Schaubild.
Anmerkung: Eine Schwingung von 0° bis 360° nennt man eine Periode. Die Höhe des Ausschlags heißt
Amplitude:
Die allgemeine Form der Sinusfunktion lautet y = a ∙ sin (b ∙ x + c) +d. Nenne verschiedene Beispiele für
Sinusfunktionen wie z.B.: y = 2 sin ( x + π ):
Wie könnte c und d die Sinusfunktion beeinflussen?
c _____________________________________________________________________________________
d _____________________________________________________________________________________
Untersuche die veränderten Funktionen y = sin (x) und beschreibe die Veränderung.
7
Funktion
y  sin ( x )  1
y  sin ( x )  1
Schaubild
Beschreibung
y  sin ( x +30)
y  sin ( x -30)
y  sin ( 2  x )
1
y  sin (  x )
2
y  2 sin (x )
1
y  sin( x)
2
Zeichne nun ohne zu rechnen folgende Funktionen:
8
1
y   sin( x  40)
4
y  4 sin( 4 x)
9
Die Kosinusfunktion
Im Einheitskreis ist Kosinus als folgende Strecke festgelegt:
Aufgabe: Beschreibe, wie sich die Länge der Strecke verändert, wenn man Sinus verändert!
Wie lange kann cos (x) maximal/minimal werden? ___ ≤ cos x ≤ ___
1 . Trage nun die unterschiedlichen Längen von cos (x) in folgendes Koordinatensystem ein:
Unter www.sahliger.net => Klasse 10 kannst du dir auch diese Funktion mit Geogebra anschauen.
2. Fülle die Tabelle aus indem du die ungefähren Werte im Koordinatensystem abliest vergleiche mit dem
Taschenrechner:
x
sin x
cos 0°
cos 10°
cos 2/3π
0,71
cos 270°
0,87
-0,34
-0,64
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Veränderung der Kosinusfunktion
Ebenso wie die Sinusfunktion kann man auch die Kosinusfunktion verändern. Nenne einige Beispiele für
veränderte Kosinusfunktionen, wie y = 3 sin (x - π ):
Untersuche die veränderten Funktionen y = cos (x) und beschreibe die Veränderung.
Funktion
Schaubild
Beschreibung
y  cos ( x )  1
y  cos ( x )  1
y  cos ( x +30)
y  cos ( x -30)
y  cos ( 2  x )
1
y  cos (  x )
2
y  2 cos (x )
1
y  cos ( x)
2
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1
Zeichne nun ohne zu rechnen folgende Funktionen: y   cos ( x  40) und y  4 cos( 4 x)
4
12
Die Tangensfunktion
Führen wir auch die Tangensfunktion wieder mit dem Einheitskreis ein:
Daraus ergibt sich folgendes Schaubild:
Was zeigt der Taschenrechner für einen Winkel von 90° an? __________________________
Aufgaben:
13
Dreiecksberechnung mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen
Mit Hilfe der trigonometrischen Funktionen kann man bei der Dreiecksberechnung einen Zusammenhang
zwischen Winkeln und Seiten herstellen. So kann man wenn zwei Seiten gegeben sind, einen Winkel
bestimmen und da im rechtwinkligen Dreieck der zweite Winkel 90° beträgt auch den dritten Winkel
bestimmen. Wie? ___________________________________________________________________________
Anmerkung: Die folgenden Überlegungen gelten nur für rechtwinklige Dreiecke
Führen wir zunächst drei Begriffe ein. Mit dem Satz des Pythagoras wurden die Begriffe „Kathete“ und
„Hypotenuse“ eingeführt. Beschrifte das nebenstehende Dreieck und erkläre, was man unter „Kathete“ und
„Hypotenuse“ versteht.
_________________________________________________________________________________________
_________________________________________________________________________________________
Die beiden Katheten müssen wir aber nun etwas genauer benennen:
Bezogen auf den Winkel  nennt man a die Gegenkathete und b die Ankathete.
Bezogen auf den Winkel  nennt man b die Gegenkathete und a die Ankathete.
Die längste Seite heißt in beiden Fällen Hypotenuse.
Aufgabe:
Bestimme Gegenkathete und Ankathete:
a)
Hypotenuse
Gegenkathete zu
Ankathete 

Gegenkathete zu

Ankathete zu
b)
c)
d)

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Formeln:
sin(  )=
Gegenkathete
Hypotenuse
cos(  )=
Ankathete
Hypotenuse
tan(  )=
Gegenkathete
Ankathete
Aufgabe: Bildet Merksätze, mit denen man sich die Formeln gut merken kann.
Zum Beispiel:
G
H
 Sie Geht Heim
sin(  )=
Skript bis hierhin bearbeitet!
Lösungen:
1.Gib die unterschiedlichen Werte an, lies diese am Koordinatensystem ab (und vergleiche
mit dem Taschenrechner )
x
sin 0°
sin 10°
sin 45°
sin 90°
sin 120°
sin 200°
sin 270°
sin 320°
15
-0,64
sin x
0
0,17
0,71
1
0,87
-0,34
-1
2.
Berechne folgende Werte mit dem Taschenrechner
Beispiel: sin (10) : sin 1 0 = 0,1796
sin (x) = 1 INV sin = 90
oder:
Also
Shift sin 1 = 90
sin (x) = ?
x = 90
x
sin 15°
sin 17,45°
sin 30°
sin 210°
sin 270°
sin 360°
error
0,26
0,3
0,5
-0,5
-1
0
1,2
sin x
Warum erzeugt die Rechnung sin^-1 (x) = 1,2 einen Fehler
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Lösung Tangens:
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Hypotenuse
Gegenkathete zu
a)
c
a
b)
b
a
c)
f
d
d)
c
a
Ankathete 
Gegenkathete zu
b
b
c
e
e
b
b

a
d
a


Ankathete zu
Formeln:
18
19