Analysis 1

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A. Darre
Mathematik
Kapitel 1: Zahlenfolgen
1. Grundbegriffe
1.1 Definitionen
Definition 1.1
Eine endliche Zahlenfolge ist eine Funktion f über der Definitionsmenge Nk mit
Nk = {1; 2; ...; k}  N*
und f: NK   : n  an
Eine unendliche Zahlenfolge ist eine Funktion f über der Definitionsmenge N* mit
N* = {1; 2; ... }
und f: N*   : n  an
Bezeichnungen
(an) = (a1 ; a2 ; ... ; an-1 ; an ; an+1 ; ... )
1., 2.,...,(n-1)-tes, n-tes, (n+1)-tes
Glied der Folge
1.2 Darstellung von Folgen
(1) Angabe aller Glieder der Folge
z.B.: (1; 3; 5; 7; 9)
ist die Folge aller einstelligen ungeraden Zahlen.
(2) Angabe der expliziten Bildungsvorschrift
z.B.: f(n) = n2 – 3n (n  *)
an = n2 – 3n
Man erhält das 1., 2., 3., 4., ... Glied der Folge, indem man der Reihe
nach für n die Zahlen 1; 2; 3; 4; ... einsetzt:
a1 = 12 – 3 ∙ 1 = -2
a2 = 22 – 3 ∙ 2 = -2
a3 = 32 – 3 ∙ 3 = -2
a4 = 42 – 3 ∙ 4 = -2
:
a1 = -2
a2 = -2
a3 = 0
a4 = 4
:
(an) = (-2; -2; 0; 4; ...)
(3) Angabe der rekursiven Bildungsvorschrift
z.B.: an+1 = an + 3 ; a1 = -1 ; n ≥ 1
Die Glieder der Folge werden schrittweise berechnet:
a2 = a1 + 3 = -1 + 3 = 2
a3 = a2 + 3 = 2 + 3 = 5
a4 = a3 + 3 = 5 + 3 = 8
(an) = (-1; 2; 5; 8; ...)
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:
(4) Graphische Darstellung von Zahlenfolgen
z.B.: (an) = (-1; 2; 4; 5; 3; 2)
Diese Folge kann man auf zwei Arten graphisch darstellen:
(Tafelbild hierzu bitte in das Skript übertragen)
a) Kartesisches Koordinatensystem
b) Zahlengerade
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2. Arithmetische und geometrische Zahlenfolgen
2.1 Arithmetische Zahlenfolgen
Definition 1.2
Eine Zahlenfolge (an) heißt arithmetische Zahlenfolge  an – an-1 = d ( n  *)
Eine Zahlenfolge heißt arithmetische Zahlenfolge, genau dann, wenn die Differenz zweier
aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
Bemerkungen 1.3
(1) d heißt Differenz der Folge
(2) Für die rekursive Bildungsvorschrift gilt:
an+1 = an + d
(nach Def.)
(3) Es gilt:
a2 = a1 + d;
a3 = a2 + d = a1 + 2d;
a4 = a3 + d = a2 + 2d = a1 + 3d;
:
an = a1 + (n – 1) ∙ d
(Bildungsgesetz)
(4) Analog gilt das allgemeine Bildungsgesetz:
an = ai + (n – i) ∙ d
für i = 1, 2, ..., (n-1)
(5) Jedes Glied ist das arithmetische Mittel seiner Nachbarglieder:
a2 = ½ (a1 + a3); a3 = ½ (a2 + a4); ...
an = ½ (an-1 + an+1)
Beispiel 1.4
Die Zahlenfolge (an) = (2; 5; 8; 11; ...) ist arithmetische Zahlenfolge.
(denn: 5 – 2 = 8 – 5 = 11 – 8 = 3 = d = const.)
Mit Bm. (2) folgt für die rekursive Bildungsvorschrift:
an+1 = an + 3
Mit Bm. (3) folgt für die explizite Bildungsvorschrift:
an = 2 + (n – 1) ∙ 3
mit a1 = 2 und d = 3
an = 2 + 3n – 3
an = 3n – 1
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2.2 Geometrische Zahlenfolgen
Definition 1.5
Eine Zahlenfolge (bn) heißt geometrische Zahlenfolge 
bn
=q
bn-1
( n  *)
Eine Zahlenfolge heißt arithmetische Zahlenfolge, genau dann, wenn der Quotient zweier
aufeinanderfolgender Glieder konstant ist.
Bemerkungen 1.6
(1) q heißt Quotient der Folge
(2) Für die rekursive Bildungsvorschrift gilt:
bn+1 = bn ∙ q
(nach Def.)
(3) Es gilt:
b2 = b1 ∙ q;
b3 = b2 ∙ q = b1 ∙ q2;
b4 = b3 ∙ q = b2 ∙ q2 = b1 ∙ q3;
:
bn = b1 ∙ q(n – 1)
(Bildungsgesetz)
(4) Analog gilt das allgemeine Bildungsgesetz:
bn = bi ∙ q(n – i)
für i = 1, 2, ..., (n-1)
(5) Jedes Glied ist das geometrische Mittel seiner Nachbarglieder:
b2 =
bn =
b1 ∙ b3 ;
b3 =
b2 ∙ b4
; ...
bn-1 ∙ bn+1
Beispiel 1.7
Die Zahlenfolge (bn) = (2; 4; 8; 16; ...) ist geometrische Zahlenfolge.
(denn: 4 : 2 = 8 : 4 = 16 : 8 = 2 = q = const.)
Mit Bm. (2) folgt für die rekursive Bildungsvorschrift:
bn+1 = bn ∙ 2
Mit Bm. (3) folgt für die explizite Bildungsvorschrift:
bn = 2 ∙ 2(n – 1)
mit b1 = 2 und q = 2
n
-1
bn = 2 ∙ 2 ∙ 2
bn = 2n
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2.3 Darstellung von arithmetischen und geometrischen Zahlenfolgen
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3. Eigenschaften von Zahlenfolgen
3.1 Monotonie
Monotone Zahlenfolgen
Es gibt spezielle Zahlenfolgen die Monotonieeigenschaften aufweisen.
Was heißt das?
Definition 1.8
Eine Zahlenfolge (an) heißt streng monoton
wachsend   n  N*: an < an+1
fallend
  n  N*: an > an+1
Eine Zahlenfolge heißt streng monoton wachsend [fallend], genau dann, wenn jedes Glied kleiner
[größer] als das unmittelbar folgende Glied der Folge ist.
Bemerkung 1.9
Wenn
 n  N*: an ≤ an+1 gilt, dann heißt die Folge (an) monoton wachsend.
 n  N*: an ≥ an+1
fallend.
Beispiele 1.10
Die Zahlenfolge (an) mit an = 2n + 1 heißt monoton steigend, denn:
an
<
an+1
(Monotonienachweis)
2n + 1 < 2(n+1) + 1
2n + 1 < 2n + 2 + 1
| - 2n
1 < 3
 w.A.
Die Zahlenfolge (bn) mit an = -n + 3
an
>
an+1
-n + 3 > -(n+1) + 3
-n + 3 > -n - 1 + 3
3 > 2
heißt monoton fallend, denn:
(Monotonienachweis)
|+n
 w.A.
Nichtmonotone Zahlenfolgen
Beispiele 1.11
(1) Zahlenfolge (cn) mit cn = |n – 7| ;
(2) Zahlenfolge (dn) mit dn = (-1)n ∙
3
;
n
(cn) = (6; 5; 4; 3; 2; 1; 0; 1; 2; 3; 4; ...)
(dn) = (-3; 1,5; -1; 0,75; ...)
Bm.: Eine solche Folge nennt man alternierende Zahlenfolge.
(Aufeinanderfolgende Glieder besitzen verschiedene Vorzeichen.)
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3.2 Beschränktheit
Definition 1.12
Eine Zahlenfolge (an) heißt nach
oben beschränkt,
unten beschränkt,
wenn eine Zahl M   existiert,
wenn eine Zahl m   existiert,
sodass für alle n  * gilt:
an ≤ M
an ≥ m
Jedes Glied der Folge ist kleiner/gleich M.
Jedes Glied der Folge ist größer/gleich m.
Bemerkung 1.13
(1) M heißt obere Schranke der Folge (an).
(2) m heißt untere Schranke der Folge (an).
Definition 1.14
Eine Zahlenfolge (an) heißt beschränkt, wenn sie eine obere und eine untere
Schranke besitzt.
D.h.  m, M    n  *: m ≤ an ≤ M.
Definition 1.15
(1) Die kleinste obere Schranke heißt obere Grenze oder Supremum der
Zahlenfolge (an). Bezeichnung: sup (an)
(2) Die größte untere Schranke heißt untere Grenze oder Infimum der
Zahlenfolge (an). Bezeichnung: inf (an)
Satz 1.16
Jede nach oben beschränkte Zahlenfolge besitzt in  ein
unten
Supremum.
Infimum.
Folgerung 1.17
Eine Zahlenfolge (an) heißt nach oben bzw. unten unbeschränkt, wenn sie keine
obere bzw. untere Schranke besitzt.
Beispiele 1.18
(1) Die Folge (an) mit an = 2n und (an) = (2; 4; 6; 8; ...) ist nach oben unbeschränkt.
(2) Die Folge (an) mit an = -3n und (an) = (-3; -6; -9; ...) ist nach unten unbeschränkt.
(3) Die Folge (an) mit an = (-1)n ∙ n2 und (an) = (-1; 4; -9; 16; ...) ist sowohl nach
oben als auch nach unten unbeschränkt.
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Beispiele 1.19
(1) Eine Zahlenfolge (an) sei gegeben durch an = 5 – n ∙ 2.
(an) ist nach oben beschränkt.
3,8 (bzw. 3 oder 3,2 oder 4) sind obere Schranken von (an).
3 ist die kleinste obere Schranke von (an), d.h. sup an = 3
(2) Eine Zahlenfolge (an) sei gegeben durch an =
(an) ist (nach oben und unten) beschränkt.
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