SFMatheAbiGK2001

Prof. Dr. Bernd Zimmermann Universität Jena
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ABITURAUFGABEN FINNLAND 2001 Mathematik Grundkurs
Es sind jeweils 15 Aufgaben angegeben, von denen sich die Schüler höchstens 10 zur
Bearbeitung aussuchen dürfen. Es müssen dann aber auch alle Teile bearbeitet werden.
Man sieht, dass insbesondere im Grundkurs "Frühling" (kevät) 2001(yleinen oppimäärä, lyhyt
oppimäärä) vor allem "realitätsnahe" Aufgaben angeboten werden (vgl. PISA).
Außerdem gibt es viele Aufgaben aus der Sekundarstufe 1.
Hier einige Übersetzungshilfen:
1. Auf einer Landkarte mit dem Maßstab 1:200 000 hat eine kreisförmige Markierung einen
Durchmesser von 1,8 mm. Wie viel ist das in der Realität (in m)? Wie viel entspricht
einem Durchmesser von 25 m in der Realität in mm auf der Karte?
7 1

2. Löse folgende quadratische Gleichung: x x     x .
10  10

3. Es sind 4 gleichartige Tennisbälle ganz dicht
aneinander in einen zylinderförmigen Behälter gepackt.
Welchen Anteil macht das Volumen der Tennisbälle am
Gesamtvolumen des Zylinders aus?
4. Ein Waldforschungsinstitut misst von gewissen Bäumen einer Baumschule die Zunahme
der Dicke und es misst zu jeder Stunde in Brusthöhe die Zunahme des Baumumfangs
mithilfe eines Maßbandes auf einen hundertstel Millimeter genau. Von einer bestimmten
Versuchstanne werden regelmäßig im Abstand von genau einem Jahr folgende Daten
erhoben: Im Jahre 1997 war ihr Umfang 102,20 cm. Bis zum Jahre 1998 war ihr Umfang
um zusätzlich 13,16 mm, bis zum Jahr 1999 dann zusätzlich um 7,06 mm gegenüber dem
vorangegangenen Jahr gewachsen.
a) Um wie viel war der Durchmesser dieser Tanne insgesamt in diesen drei Jahren
gewachsen? Das Ergebnis ist auf 0,1 mm genau anzugeben.
b) Um wie viel Prozent ist die Querschnittsfläche insgesamt gewachsen? Der Querschnitt
soll dabei als kreisförmig angenommen werden. Das Ergebnis ist auf ein Zehntel
Prozent genau anzugeben.
5. Der Warenumsatz einer Firma ist im zweiten Quartal eines Jahres um 11% kleiner als im
ersten Quartal. Insgesamt machte der Umsatz der Firma im ersten halben Jahr 6,0
Millionen Euro aus. Wie groß war der Umsatz der Firma im ersten Quartal?
6. Eine Gerade geht durch die Punkte (-2; 11) und (7; -1) und bildet mit den
Koordinatenachsen ein Dreieck
a) Bestimmen Sie die Geradengleichung.
b) Bestimme die Länge der Seiten.
7. In einem rechtwinkligen Dreieck ABC (RW bei C) gilt AC=8,6 cm; BC=5,8 cm.
Auf AC ist ein Punkt D mit DA=DB. Bestimme die Längen der Strecken AB und CD.
8. Eine Kleintierklinik pflegt bei Operationen ein Betäubungsmittel zu verabreichen, dessen
Menge sich im Körper so exponentiell abbaut, dass seine Menge sich alle drei Stunden
halbiert. Während einer Operation müssen vom Narkotikum im Körper mindestens 23 mg
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pro Kilo Körpergewicht vorhanden sein. Welche Menge Narkotikum ist einem Hund mit
einem Körpergewicht von 20 kg zu verabreichen, wenn die Operationsdauer auf 1 h 15
min geschätzt wird?
9. Immer kleiner werdende Würfel werden übereinander gestapelt (dabei wird die
Kantenlänge immer halbiert).
a) Man bestimme die Kantenlänge des dritten und des n-ten Würfels (von unten).
b) Wie hoch ist der Turm aus den 10 ersten Würfeln? In einer Tabelle sollen dann die
Werte für die Höhe eines Turmes aus 11, 12, 13 und 14 Würfeln berechnet werden.
Stelle dir vor, dass die Anzahl der Würfel über alle Grenzen wächst, welche Höhe kann
der Turm dann nicht überschreiten?
10. Es werden zufällig drei Buchstaben des Wortes Ylioppilas (Student) nacheinander (ohne
„Zurücklegen“) ausgewählt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,
a) dass der erste so ausgewählte Buchstabe ein Vokal ist
b) dass insgesamt nur ein Vokal dabei vorkommt,
c) dass aus den drei Buchstaben das Wort ILO („Freude“) gebildet werden kann?
11. Ein Beweis des Umfangwinkelsatzes soll für einen Spezialfall (AB=Durchmesser des
Umkreises des Dreiecks ABC, also bei C nach Thales rechter Winkel) erbracht werden:
Wenn O den Mittelpunkt von AB kennzeichnet, dann soll gezeigt werden, dass der
Winkel ABC halb so groß ist wie der Winkel AOC.
12. Auslaufen eines Wasserbehälters; gegebene Volumenminderungsfunktion
V(t) = 520(20 - t)² und Auslaufgeschwindigkeit q(t) = - (t) (Liter/min). a) Das Auslaufen
beginnt zur Zeit t=0. Wann ist der Behälter leer? Zeichne den Graphen der Funktion V.
Bestimme die Funktion q und zeichne ihren Graphen. Wann ist die
Auslaufgeschwindigkeit maximal?
13. Die nach dem französischen Mathematiker Adrian Legendre benannten Polynome Pn sind
rekursiv wie folgt definiert:
Bestimme P2(x) und P3(x) und berechne ihre Ableitungen P2´(x) und P3´(x). Zeige, dass
folgende Gleichung gilt: (x) - x (x) = 3P2(x).
14. Ingenieur Virtanen hat am Anfang des Jahres 1999 500 000 mk eines Erlöses auf ein
Konto eingezahlt, wofür die Bank ihm jährlich 2% Zinsen gab, wobei dieses zu dieser Zeit
noch steuerfrei war. Jedoch gab es am 1.6.2000 eine Änderung der Versteuerung von
Anlagen dahingehend, dass von diesem Datum an derartige Anlagen zu versteuern waren.
Von den Zinsen werden 29% Quellensteuer erhoben, die die Bank beim Abheben auf
volle Mk gerundet einbehält. Als die Änderung in der Besteuerung in Kraft trat, hat die
Bank alle Zinsen, die seit Anfang des Jahres bis dahin aufgelaufen waren, dazugerechnet.
Wie viel Geld stand Virtanen am 25.8.2000 zum Abheben zur Verfügung? Die Bank hat
alle Tage seither außer dem Tag des Abhebens berechnet. Das Jahr 2000 war ein
Schaltjahr und daher hat die Bank mit 366 Tagen gerechnet.
15. In einer Tabelle sind die Ergebnisse des olympischen Zehnkampfs der zehn besten
Sportler festgehalten und zwar die Punkte für den 100 m-Lauf, das Kugelstoßen sowie die
Gesamtpunktzahl:
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1. Erki Nool EST
2. Roman Sebrle CZE
3. Chris Huffins USA
4. Dean Macey GBR
5. Tom Pappas USA
6. Tomas Dvorak CZE
7. Frank Busemann GER
8. Attila Zsivoczky HUN
9. Stefan Schmid GER
10. Henrik Dagård SWE
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100 m Lauf
Kugelstoßen
Gesamtpunktzahl
933
878
980
903
901
881
881
838
874
897
796
803
806
766
782
846
760
787
731
788
8641
8606
8595
8567
8425
8385
8351
8277
8206
8178
Untersuche, wie man mithilfe der Ergebnisse für den 100m-Lauf und das Kugelstoßen den
endgültigen Erfolg im Zehnkampf vorhersagen kann. Berechne zu diesem Zweck den
Korrelationskoeffizienten sowohl zwischen der Punktsumme für den Hundertmeterlauf
und der Gesamtpunktzahl als auch der Punktsumme des Kugelstoßens und der
Gesamtpunktzahl. Zeichne von der Verteilung das entsprechende Korrelationsdiagramm.
Zeichne die zugehörige Regressionsgrade. (Regressionsanalyse).