Regionaler Arbeitskreis Mathematik - Lo-net2

Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009
2.
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Der Stochastik-Unterricht in den Klassen 7 und 8
2.1
Inhalte in Klasse 7 und 8
Den Begriff „Wahrscheinlichkeit“ verstehen:
 Welche Bedeutung hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage?
 Wie kann man elementare Wahrscheinlichkeiten schätzen?
 Wie kann man daraus Wahrscheinlichkeiten berechnen?
Im Unterricht werden letztlich (in geeigneter Reihenfolge) folgende Inhalte erarbeitet:
 Zufallsexperiment, Ergebnis, (Ereignis, Gegenereignis)
 Empirisches Gesetz der großen Zahlen
 Laplace-Experiment
 Festlegung von Elementarwahrscheinlichkeiten
o
nach Laplace (unmittelbar erkennbar)
o
empirisch über relative Häufigkeiten aus großen Versuchsreihen
o
durch Rückführung eines Zufallsexperiments auf ein LaplaceExperiment (Verfeinerung der Ergebnismenge)
 Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
2.2
o
Summenregel
o
Komplementärregel
o
Pfadregel
Veränderte Schwerpunkte - Welcher Wahrscheinlichkeitsbegriff?
Gegenüber dem Vorgehen auf der Grundlage des alten Bildungsplans von 1994/96 sind
nun für den Stochastik-Unterricht zwei wesentliche Veränderungen festzuhalten:
1. Früherer Start und Spiralprinzip (7  8  9  10  11  12):
Behutsamer Beginn, fortschreitende Präzisierung, Anreicherung und
Ausdifferenzierung.
2. Prozessbetonung: Im Zentrum steht die aktive Tätigkeit der Schüler/innen:
Konkretes Handeln, experimentieren, nachdenken, überprüfen, . . .
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In Klasse 7 und 8:
Motivationsquelle
für Glücksspiele
(Chancen optimieren)
Alltagsvorstellungen
von Wahrscheinlichkeiten
Vorkenntnisse
im Bruchrechnen
Häufigkeitsbegriff
aus Klasse 6 vorhanden
Wahrscheinlichkeiten experimentell erleben lassen
Vom Experiment zur Theorie
Den Begriff
Wahrscheinlichkeit
verstehen
Zufallsexperimente und
Wahrscheinlichkeiten
mathematisch darstellen
Elementare
Wahrscheinlichkeiten
festlegen
Daraus weitere
Wahrscheinlichkeiten
berechnen
Auch durch
Experimente
Mengen
Tabellen
Baumdiagramme
Laplace-Annahme
Gesetz der großen Zahlen
Laplace
Pfadregeln
Start mit Zufallsexperimenten (handlungsorientierte Erkundungsphase)
 Schnelles Vorstoßen zu den zentralen interessierenden Fragen
(keine beschreibende „Vorab -Theorie“ ohne Wahrscheinlichkeiten)
 Gewinnspiele erforschen lassen, Entscheidungssituationen konstruieren:
Gesucht sind Schätzwerte für Wahrscheinlichkeiten
 Vorsichtige Formalisierung im Anschluss an die Experimentierphase
(Begriffe, Sprech- u. Schreibweisen, fachsystematische Absicherung)
Welchem Wahrscheinlichkeitsbegriff geben wir den Vorrang?
Subjektiver
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeiten geben an, in welchem Anteil
aller Fälle mit dem Eintreten eines Ereignisses zu
rechnen ist.
Empirischer
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeiten werden festgesetzt als
„stabilisierte relative Häufigkeiten“.
Grundlage: Empirisches Gesetz der großen Zahlen.
Laplacescher (klassischer)
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeiten werden als Quotient
Anzahl der günstigen Möglichkeiten
festgesetzt.
Anzahl der Möglichkeiten überhaupt
Voraussetzung: Alle Ergebnisse sind gleichwahrscheinlich.
Axiomatischer
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Wahrscheinlichkeiten als reelle Zahlen, welche die
Axiome von Kolmogoroff erfüllen:
1) 0  P ( A)  1 für alle A  S
2) P ( A)  1
3) P ( A  B )  P ( A)  P (B ) falls A  B  { }
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In dem folgenden Vorschlag für das didaktische Vorgehen im Unterricht wird nun der
Ansatz verfolgt, am subjektiven Wahrscheinlichkeitsbegriff anzuknüpfen, ihn zunächst zu
präzisieren (2.3) und auf dieser Grundlage den Laplaceschen und den empirischen
Wahrscheinlichkeitsbegriff selbst entdecken zu lassen (2.4):
bewusst machen
Subjektiver
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Laplacescher (klassischer)
Wahrscheinlichkeitsbegriff
2.3
entdecken lassen
Empirischer
Wahrscheinlichkeitsbegriff
Subjektive Wahrscheinlichkeitsvorstellungen aufgreifen und klären
Der im Folgenden anhand der Arbeitsblätter „Nimm Stellung“ und der Würfelsimulation mit
dem GTR skizzierte Unterrichtsabschnitt dient der Vorbereitung des im Abschnitt 2.4
dargestellten Lernfelds ( Spielstraße), in dem die Schüler/innen selbstständig Methoden
elementarer Wahrscheinlichkeiten entdecken sollen.
Ausgangspunkt für den Unterricht sind Fragen wie:
- Welche Bedeutung bzw. Aussagekraft hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage?
- Welche Absicht verfolgt sie?
Ziel ist eine erste Präzisierung:
Wahrscheinlichkeitsaussagen dienen der Prognose
Wahrscheinlichkeitsaussagen beantworten die Frage:
In welchem Teil aller Fälle rechnen wir „langfristig“
mit dem Eintreten eines bestimmten Ereignisses?
Die folgenden Arbeitsblätter können sowohl in Einzelarbeit oder Partnerarbeit als auch im
lehrerzentrierten Unterrichtsgespräch bearbeitet werden:
(1) Arbeitsblatt „Nimm Stellung!“
(2) Arbeitsblatt „Würfelsimulation mit dem GTR“
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(1)
Arbeitsblatt:
Nimm Stellung!
Notiere deine Antworten jeweils schriftlich in deinem Heft.
1. Wie kann man die Aussage aus dem
Sportmagazin erhalten?
2. Lisa sagt:
„Die Wahrscheinlichkeit eine 6 zu würfeln beträgt
1
6
.“
Wie kommt Sie darauf und was meint Sie damit?
o Was ist wahrscheinlicher: Eine gerade Zahl oder eine ungerade Zahl?
o
3. Der Arzt sagt:
„Die Heilungschancen bei dieser Krankheit sind 99%.“
Woher will er das wissen?
4. Anna sagt:
„Ich habe 100 mal gewürfelt und es ist kein einziges Mal eine 1 gefallen.“
o
o
Ist das möglich?
Glaubst du das?
5. Beantworte.
a) Welchen Sinn hat für Dich eine Wahrscheinlichkeitsaussage?
b) Welche Sicherheit gibt sie dir?
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(2)
Arbeitsblatt:
Würfelsimulation mit dem GTR
1. Führe die folgenden Schritte mit dem GTR durch.
2. Beantworte die folgenden Fragen.
a) Ist dieses Ergebnis für einen Würfel typisch?
b) Probiere erneut. Was ändert sich?
c) Würfelt (in eurer Gruppe) mit einem richtigen Würfel. Vergleiche.
d) Welche Wahrscheinlichkeit hat eigentlich die 6, welche die 4?
e) Was kann man mit dieser Information anfangen?
f) Welche Bedeutung hat eine Wahrscheinlichkeitsaussage für uns?
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2.4
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Selbstständiges Entdecken geeigneter Methoden:
LERNFELD „Spiele mit Zufallsgeräten - Ist Gewinnen nur Glückssache?“
Die gängigen Schulbücher steigen in das Thema „Zufallsexperimente und
Wahrscheinlichkeiten Schritt für Schritt ein. Hierbei werden die Schüler/innen meist eng
geführt.
Im Gegensatz dazu soll hier ein komplexerer und offener Einstieg über ein kleines Lernfeld
(eine Spielstraße) vorgestellt werden. Neben dem größeren Spielraum für die Schüler/innen
kann man bei diesem Zugang die Schüler/innen „Wahrscheinlichkeiten erleben und
geeignete Methoden entdecken lassen“. Der Ereignisbegriff wird hier als mathematischer
Begriff noch nicht zwingend verwendet.
Je nach Art des Zufallsexperiments kommen die Schüler eher auf
 Laplace-Überlegungen
 die Idee des Ausprobierens ( „Von der Erfahrung zur Prognose“)
( Gesetz der großen Zahlen).
Quantitative Prognosen ergeben sich je nach Experiment …
…nur über Versuchsreihen
z.B.
Reißnagel, Lego-Vierer, Streichholzschachtel,
Riemer-Würfel …
…auch mit Laplace-Überlegungen
z.B.
Münze, Würfel, Glücksrad, …
…zunächst empirisch, später auch
mit Laplace-Überlegungen
z.B.
doppelter Münzwurf, Augensumme zweier Würfel,
Summe bei zwei Glücksrädern,…
o
Versuchsreihen und Laplace-Überlegungen dienen dem Ziel, daraus eine Erwartung
für zukünftige Versuchsreihen abzuleiten.
o
Das empirische Gesetz der großen Zahlen und Laplace-Überlegungen werden
gleichermaßen als nützliche Werkzeuge erkannt.
o
Empirische gewonnene Schätzungen werden in manchen Fällen später durch
Rückführung auf Laplace-Experimente bestätigt.
Lernfeld: Spiele mit Zufallsgeräten – Ist Gewinnen nur Glücksache?
Es besteht aus 3 Teilen:
1. Die Forschungsphase:
Nachdenken und Experimentieren zur Chancenermittlung.
2. Das Gewinnspiel (Spielstraße):
„Praktischer Ernstfall“: Entscheidungen treffen, spielen, gewinnen.
3. Die intensive Nachbesprechung:
Auswertung der Erfahrungen und begriffliche Präzisierung.
Material für jede Gruppe:
1. Spielgeräte: 2 Würfel, 2 Münzen, 2 Glücksräder, Riemer-Würfel
2. Arbeitsblatt 1 (Prognoseblatt) für die Erforschung der Zufallsexperimente
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3. Arbeitsblatt 2 (Spielstraßenprotokoll) für den anschließenden Spielwettbewerb.
1. Phase: Spiele mit Zufallsgeräten – Ist Gewinnen nur Glücksache?
Arbeitsblatt 1 (Prognoseblatt):
Untersucht (in eurer Gruppe) bei jedem der Spiele S1 bis S6 die Chancen für die jeweiligen
Ereignisse1 A, B und C durch Überlegen und Probieren.
1
An eine formale Einführung des Begriffes „Ereignis“ ist an dieser Stelle noch nicht gedacht.
Diese stehen in den Bildungsstandards für Klasse 9/10.
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S1
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Es wird einmal gewürfelt.
Ereignis
A: Es kommt eine 6
Erwarteter Anteil
(Bruchzahl)
A
B
B: Es kommt die 2 oder die 3
C
C: Es fällt eine gerade Zahl
S2
1
0
S3
Der Pfeil dieses Glücksrads wird gedreht.
A: Der Pfeil steht auf 1
A
B: Der Pfeil steht auf 0
B
Dieses Glücksrads wird gedreht und bleibt
auf einer Seite liegen.
A: Das Rad liegt auf 1
B: Das Rad liegt auf einer geraden zahl
Ereignis
Erwarteter Anteil
(Bruchzahl)
Ereignis
Erwarteter Anteil
(Bruchzahl)
A
B
C
C: Das Rad liegt nicht auf 9 oder 10
S4
Zwei Münzen werden geworfen.
A: Es fällt einmal „Kopf“ und einmal „Zahl“
B: Es kommt zweimal „Zahl“
Ereignis
Erwarteter Anteil
(Bruchzahl)
A
B
C
C: Gleiches Bild bei beiden Münzen
S5
Zwei Würfel werden geworfen.
Ereignis
A: Die Augensumme beträgt 4
A
B
B: Die Augensumme beträgt 2 oder 12
S6
Ein quaderförmiger Riemer-Würfel
(rot oder weiß oder grün) wird geworfen.
A: Er fällt auf eine der größten Seiten
B: Er fällt auf eine der kleinsten Seiten
2. Phase:
Ereignis
Erwarteter Anteil
(Bruchzahl)
Erwarteter Anteil
(Bruchzahl)
A
B
Spielstraße - Entscheidungen treffen, spielen, gewinnen
Arbeitsblatt 2 (Spielstraßenprotokoll):
Entscheide dich jeweils für ein Ereignis und spiele danach 10-mal.
Aber Achtung: Die Punkteverteilung ist nicht immer fair! Denke erst mal ganz genau nach!
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3. Phase:
S1
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Nachbesprechung, fachsystematische Absicherung
Es wird einmal gewürfelt.
A: Es kommt eine 6
[ 3 Gewinnpunkte ]
B: Es kommt die 2 oder die 3
[ 2 Gewinnpunkte ]
C: Es fällt eine gerade Zahl
[ 2 Gewinnpunkte ]
Gewähltes
Ereignis
Punkte für
10 Versuche
Gewähltes
Ereignis
Punkte für
10 Versuche
Gewähltes
Ereignis
Punkte für
10 Versuche
Gewähltes
Ereignis
Punkte für
10 Versuche
Gewähltes
Ereignis
Punkte für
10 Versuche
Gewähltes
Ereignis
Punkte für
10 Versuche
S2
Der Pfeil dieses Glücksrads wird gedreht.
1
0
S3
A: Der Pfeil steht auf 1
[ 2 Gewinnpunkte ]
B: Der Pfeil steht auf 0
[ 1 Gewinnpunkt ]
Dieses Glücksrad wird gedreht und bleibt auf
einer Seite liegen.
A: Das Rad liegt auf 1
[ 3 Gewinnpunkte ]
B: Das Rad liegt auf einer geraden Zahl
[ 2 Gewinnpunkte ]
C: Das Rad liegt nicht auf 9 oder 10
[ 1 Gewinnpunkt ]
S4
Zwei Münzen werden geworfen.
A : Es fällt einmal „Kopf“ und einmal „Zahl“
[ 3 Gewinnpunkte ]
B: Es kommt zweimal „Zahl“
[ 2 Gewinnpunkte ]
C: Gleiches Bild bei beiden Münzen
[ 1 Gewinnpunkt ]
S5
Zwei Würfel werden geworfen.
A: Die Augensumme beträgt 4
[ 2 Gewinnpunkte ]
B: Die Augensumme beträgt 2 oder 12
[ 1 Gewinnpunkte ]
S6
Ein quaderförmiger Riemer-Würfel
(rot oder weiß oder grün) wird geworfen.
A: Er fällt auf eine der größten Seiten
[ 2 Gewinnpunkte ]
B: Er fällt auf eine der kleinsten Seiten
[ 4 Gewinnpunkte ]
Nach dem offenen Einstieg in die Wahrscheinlichkeitsrechnung über die Spielstraße kommt
dieser Phase eine große Bedeutung zu. In dieser Nachbesprechung sollen die von den
Schüler/innen gemachten Beobachtungen ausgewertet und Begriffe präzisiert werden.
Für alle 6 Versuche:
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Zusammenfassen und präzisieren
 Ergebnismengen aufschreiben.
 Wahrscheinlichkeitstabellen anlegen.
 Falls als mathematischer Begriff schon eingeführt, Ereignisse notieren.
 Die Verfahren der Schüler zur Schätzung der Elementarwahrscheinlichkeiten diskutieren,
begründen lassen.
 Die Wahrscheinlichkeit der Ereignisse notieren.
Verallgemeinern
 Laplace-Wahrscheinlichkeiten
 Das Gesetz der großen Zahlen
 Bei Zufallsversuchen wie dem doppelten Münzwurf / dem Glücksrad S2 / . . . die Schätzwerte
über beide Methoden (Versuchsreihen und Laplace-Überlegungen) vergleichen.
2.5
Üben, Vertiefen und Festigen durch vielfältige Aufgaben
Hat man die Elementarwahrscheinlichkeiten festgelegt, so lassen sich daraus weitere
Wahrscheinlichkeiten berechnen. In allen gängigen neuen Schulbüchern für die Klassen 7 und
8
finden sich hierzu passende Aufgaben.
Achtung:
Orientiert man sich am Klett-LS, so werden bis zur Klasse 9 noch keine Ereignisse verwendet.
In Klasse 7 werden noch
a) die Zusammenfassung von Ergebnissen (die Summenregel)
b) mehrstufige Zufallsexperimente (die Pfadregel)
behandelt. Die Komplementärregel ist dagegen erst Thema in Klasse 8.
Anhand des auf der nächsten Seite folgenden Arbeitsblattes „Fair oder nicht fair?“ kann mit den
Schüler/innen nochmals das empirisches Vorgehen und die Rückführung auf Laplace geübt
werden.
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Arbeitsblatt: Fair oder nicht fair?
a) Probiert das folgende Spiel mit 2 Würfeln so lange aus,
bis ihr entscheiden könnt, ob es fair ist oder nicht:
 Spieler A gewinnt bei der Augensumme 2, 3, 4, 5, 6
 Spieler B gewinnt bei der Augensumme 7, 8, 9,10,11
 bei Augensumme 12 Unentschieden
Führt dabei eine Strichliste mit „Fünferbündelung“: IIII
Absolute
Häufigkeit
Strichliste
Relative
Häufigkeit
A gewinnt
B gewinnt
Unentschieden
b) Die Gewinnwahrscheinlichkeiten für Spieler A und B
kann man auch durch eine Überlegung gut schätzen.
Dabei kann diese Tabelle helfen. Aber wie?
1
2
3
4
Augensumme
Wahrscheinlichkeit
2
5
6
3
1
4
2
5
3
6
4
7
8
5
9
6
10
Ergebnis:
A gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit
11
.
12
,
B gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit
.
c) Kann man die Augensummen auch fair auf drei Spieler A, B und C verteilen?
Gewinnereignis
A gewinnt bei
B gewinnt bei
C gewinnt bei
Wahrscheinlichkeit dafür
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2.6
Seite 22
Mehrstufige Zufallsexperimente, Pfadregeln – ein problemorientierter Einstieg
Die Würfel des Herrn Efron
Der amerikanische Statistiker und Mathematiker Bradley Efron hat sich als erster mit so
genannten nichttransitiven Würfeln beschäftigt. Intransitive Würfel nennt man einen Satz
spezieller Spielwürfel, in dem für jeden der Würfel ein anderer enthalten ist, gegen den er
verliert, das heißt, verglichen mit dem er häufiger eine kleinere als eine größere Zahl zeigt2.
Efron-Würfel sind spezielle intransitive Würfel. Bei den Beispielwürfeln auf dem Arbeitsblatt
kann jeder der vier Würfel von einem anderen mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 besiegt werden:
Zu jedem Würfel gibt es einen besseren.
Anhand des Arbeitsblattes „Spielen mit Efron-Würfeln“ auf der nächsten Seite kann man
die Schüler/innen zuerst spielen und Häufigkeitsüberlegungen ( Tabelle) anstellen und
anschließend die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten berechnen lassen ( Berechnung
„Anteil eines Anteils“ führt auf die Pfadregel).
Voraussetzungen:
Im Unterricht sind Baumdiagramme, der Wahrscheinlichkeitsbegriff sowie die
Summenregel behandelt.
Arbeitsschritte:
1. Häufigkeitsüberlegung: Was erwartet man bei 3000 Versuchen?
2. Theoretische Überlegungen, Baumdiagramm mit Wahrscheinlichkeiten:
Als Beispiel „weiß 1 gegen orange 1“:
1
2
1
2
1
3
9
orange 1 gew.
2
3
3
9
weiß 1 gewinnt
1
3
9
orange 1 gew.
2
3
3
orange 1 gew.
8
2
3. Erkennen der Pfadregel:
P(orange 1P(weiß1)
gewinnt) 
1 1
1 1
1 2
1 1 2
2
     
 

2 3
2 3
2 3
6 6 6
3
4. Weiterführung im Unterrichtsgespräch:
Beantwortet die folgenden Fragen und zeichnet dazu jeweils ein Baumdiagramm:
(1) Spieler 1 wählt Würfel A. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen?
(2) Spieler 1 wählt Würfel B. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen?
(3) Spieler 1 wählt Würfel C. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen?
(4) Spieler 1 wählt Würfel D. Welchen Würfel sollte dann Spieler 2 wählen?
2
zitiert aus Wikipedia
Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009
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Arbeitsblatt: Spiel mit Efron - Würfeln
3
orange 1
weiß 1
weiß 2
orange 2
9
8
6
7
9
3
8
3
A
2
8
4
2
3
B
6
4
1
5
2
C
7
1
7
5
D
7
Spielregel und Arbeitsanleitung:
Der erste Spieler wählt einen Würfel. Danach wählt der Gegenspieler. Nun wird 30-mal gewürfelt.
Die höhere Augenzahl gewinnt.
Tragt die Ergebnisse in die unten stehende Tabelle ein.
Berechnet zum Schluss die Anzahl der Gewinne des ersten und zweiten Spielers.
Spiel
Ergebnis
Spieler 1
Ergebnis
Spieler 2
Spieler 1
gewinnt
Spieler 2
gewinnt
Spiel
1
16
2
17
3
18
4
19
5
20
6
21
7
22
8
23
9
24
10
25
11
26
12
27
13
28
14
29
15
30
Ergebnis
Spieler 1
Ergebnis
Spieler 2
Spieler 1
gewinnt
Spieler 2
gewinnt
Bearbeitet nun in Partnerarbeit die folgenden Fragen bzw. Aufgaben:
a) Wie viele Siege für den Spieler 1 würdet ihr aufgrund eures Spiels bei 3000 Würfen erwarten?
b) Zeichnet zu eurem Spiel mit Hilfe von theoretischen Überlegungen (unabhängig von den gerade
erzielten Ergebnissen) ein Baumdiagramm und tragt an den Ästen die zugehörigen
Wahrscheinlichkeiten ein.
c) Wie viele Siege für den Spieler 1 würdet ihr jetzt aufgrund des in b) gezeichneten Baums bei 3000
Würfen erwarten?
d) Berechnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass Spieler 1 gewinnt.
Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009
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Ein weiteres reizvolles Thema zur anspruchsvolleren Verwendung von Bäumen bietet:
Arbeitsblatt: Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem)3
Aufgabe (Partnerarbeit):Wie würdet ihr euch entscheiden? Begründet eure Überlegungen.
Forschungsauftrag (Partnerarbeit):
Dazu: 2 x Ziegenkarte + 1 x Autokarte für jedes Schülerpaar.
Mithilfe der 3 Spielkarten sollt ihr nun Eure Vermutungen bestätigen. Die Spielanleitung dazu
findet ihr auf der Rückseite.
Hinweis: Auf der CD befindet sich ein von der Friedrich-Schiller-Universität Jena entwickeltes
Simulationsprogramm zum Ziegenproblem.
3
Im Klett LS wird das Ziegenproblem im Band 4 für die Klasse 8 ( Baumdiagramme) behandelt.
Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009
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Spielanleitung zum Drei-Türen-Problem (Ziegenproblem):
Legt zunächst die neben stehende Tabelle
an, in der ihr eure Spielergebnisse festhaltet.
Dann geht’s los:
1. Der Moderator (einer von euch) legt die
3 Karten verdeckt auf den Tisch und
merkt sich die Position der Karte mit
dem Auto.
Spiel
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Karte A
Karte B
Karte C
Wechsel
Gewinn
2. Gebt den Karten zur Unterscheidung die Bezeichnungen Karte A, Karte B und Karte C.
3. Der Kandidat (der andere von Euch beiden) kreuzt die Karte seiner Wahl in der Tabelle an.
4. Der Moderator (der andere von euch beiden) dreht nun eine der beiden Ziegenkarten um
und markiert diese mit einem Kreis in der Tabelle.
5. Der Kandidat kann nun bei seiner ursprünglichen Wahl bleiben oder wechseln.
einem
Wechselistkreuzt
ihr dies an.
 Bei
Welche
Strategie
die Richtige?
Könnt Ihr einen Trend erkennen?
6. Bei einem Gewinn markiert ihr das in der Tabelle und das Spiel beginnt von neuem.
 Nehmt die Ergebnisse Eurer Nachbarn zu euren dazu. Was könnt ihr jetzt erkennen?
Nach 10 Spielen vertauscht Ihr die Rollen, so dass Ihr am Ende 20 Runden gespielt habt.
Lösung:
1. Erklärung mit Hilfe eines
Entscheidungsbaumes:
Annahme:
Das Auto befindet sich
hinter der Tür A.
2. Berechnung mit reduziertem Baumdiagramm (ohne Formalismus):
o
Der Kandidat durchläuft zwei Stufen.
o
Jedes Mal kann die Entscheidung r = richtig oder f = falsch sein.
Stufe I:
o
Die Wahrscheinlichkeit für r beträgt 1/3 für f beträgt sie 2/3.
Jetzt erfolgt die Information durch den Moderator!
Stufe II:
Wenn nun nach der Information automatisch die Umentscheidung erfolgt, so
ergeben sich die angegebenen Wahrscheinlichkeiten 0 und 1:
Wenn Stufe I r war,
dann trifft er jetzt garantiert das leere Tor also f
Wenn die 1. Stufe f war,
dann trifft er jetzt garantiert das Tor mit dem Auto also . r
Damit:
P(r r oder f r) =
1
2
2
 0  1 
3
3
3
Also ist ein Wechsel der Türen nach der Information
durch den Moderator sinnvoll.
Regionaler Arbeitskreis Mathematik – Oktober/November 2009
2.7
Seite 26
Simulation von Zufallsexperimenten mit dem GTR
1. Münzwurf:
Wappen mit 1 und Zahl mit 0
Ermittlung der absoluten und relativen Häufigkeit des Ereignisses „Wappen“
Absolute Häufigkeit bei 500 Würfen
Relative Häufigkeit bei 500 Würfen
Zur Visualisierung der relativen Häufigkeiten bei 200 Würfen müssen die Listen L1 bis L4 definiert
werden.
Für die Grafik sind folgende Eingaben nötig.
Die relative Häufigkeit in den einzelnen Punkten kann man mit TRACE anzeigen lassen.
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2. Würfelspiel mit einem Würfel
Grafische Darstellung der absoluten Häufigkeiten bei 300-maligem Werfen.
Mit TRACE wird z.B. angezeigt, dass die Zahl drei 47-mal gewürfelt wurde.
Die Bestimmung der absoluten Häufigkeit automatisieren.
Grafische Darstellung der relativen Häufigkeit, mit der eine „6“ gewürfelt wurde.
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