STIMMEN ZUR LOGIK

PS Einführung in die formale Logik (Wintersemester 2007/2008)
Handout zur Sitzung vom 23. Oktober 2007
Logisch-semantische Propädeutik (1)
Die logisch-semantische Propädeutik befasst sich mit der Frage: Welche Begriffe gilt es zu
verstehen, um Logik betreiben zu können?
Formale Logik untersucht die rein formalen Prinzipien gültigen Schließens. Schließen besteht
darin, mehrere Elemente so miteinander zu verbinden, dass diese Verbindung zu einem
notwendigerweise wahren Ergebnis führt. In der Tradition führen verschiedene Verständnisweisen
der Elemente jeweils zu verschiedenen Ansätzen der formalen Logik.
1. Elemente des Schließens und Ansätze der formalen Logik
Element
Ansatz der Logik
Exemplarische Vertreter
A) Gegenstand
Ontologisch
Platonisten; Frühscholastische
(Proposition, Sachverhalt)
Realisten;
WITTGENSTEIN
I
(Tractatus)
B) Gedanke
Psychologisch
Logik von Port-Royal (17. Jh. :
Logik
(Vorstellung, Repräsentation)
als
„Kunst
des
Denkens“); neuzeitliche Logik
insgesamt
C) Sprachliches Gebilde
Sprachlich
ARISTOTELES; moderne Logik
(Aussage)
ab FREGE
Argumente für A):

Fundierung der formalen Logik auf objektiven Grundlagen

Gleichheit der Bedeutung von Sätzen aus verschiedenen Sprachen
Argumente gegen A):

Nicht-empirischer Charakter von Propositionen, daher keine gesicherte Methode zum
Erkennen ihrer formalen Strukturen (MATES 21978, 23f.)

Unbestimmtheit der Übersetzung (QUINE 1960)
Argumente für B):

Unmittelbare Zugänglichkeit der Denkinhalte

Nutzen der Logik für effizientes Denken
Argumente gegen B):

Primat der Logik gegenüber der Psychologie

Unterschied zwischen psychischer und logischer Notwendigkeit
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Argumente für C):

Als „wahr“ bzw. „falsch“ werden in erster Linie Aussagen bezeichnet. (vgl. MENNE 1988,
Kap. 4)

Sowohl Gegenstände als auch Denkinhalte sind uns nur durch Aussagen zugänglich.

Aussagen sind vertraute Gebilde, deren formale Strukturen sich leicht erkennen lassen.
Argumente gegen C): siehe Argumente für A) und B)!
Ergebnis: Bei den Elementen, deren Verbindungen die formale Logik untersucht, handelt es sich
um Aussagen.
2. Aussagen
„Eine Aussage … ist ein Satz, der entweder wahr oder falsch ist.“ (HOYNINGEN-HUENE 1998, 29)
Damit unterscheiden sich Aussagen von anderen Sätzen wie Fragen, Befehlen, Gebeten, Flüchen
usw.
Aussagen lassen sich ohne weitere Analyse als solche betrachten (Symbol: kleine Buchstaben)
oder mit höherem „Auflösungsgrad“ im Hinblick auf ihre Bestandteile (Symbol: große
Buchstaben). Diese Bestandteile sind als solche aber nur innerhalb einer Aussage durch die
Position in ihr bestimmt. Sie sind keine unabhängig existierenden Elemente, die noch vor der
Aussage untersucht werden müssten.
Die grundlegende Form einer Aussage ist die prädikative Aussage. In einer prädikativen Aussage
wird etwas über etwas ausgesagt. Die Bestandteile einer prädikativen Aussage – und damit
Bestandteile jeder Aussage überhaupt – sind also

dasjenige, wovon etwas ausgesagt wird:

und dasjenige, was davon ausgesagt wird: Prädikat
Subjekt
Das Objekt im grammatikalischen Sinn ist kein Bestandteil einer Prädikation, sondern Teil des
Prädikates! Aussagesätze können daher so umformuliert werden, dass das Objekt als Bestandteil
des Prädikats ersichtlich wird.
Beispiel: In dem Satz „Ottos Mops foppt Bono.“ ist „Ottos Mops“ das Subjekt und „das
Foppen von Bono“ Prädikat. Diese Aussage kann auch so formuliert werden: „Ottos
Mops ist ein Bono-Foppender.“
Andere Formen von Aussagen bauen auf prädikativen Aussagen auf.
Beispiel: Die Existenzaussage „Es gibt einen Gott.“ baut auf einer prädikativen Aussage
auf: „Es gibt eine Wesenheit, von der gilt: Sie ist allmächtig, allwissend und allgütig.“
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3. Die Wahrheitswerte und die Neutralität der formalen Logik gegenüber Wahrheitstheorien
Einer Aussage werden nach der klassischen formalen Logik im Hinblick auf die mit ihr
aufgestellte Behauptung Wahrheitswerte (‚wahr’, ‚falsch’, Symbole: w, f) zugeordnet. Darin
besteht die Zweiwertigkeit dieser Logik. Die Interpretation dieser Werte, die in philosophischen
Wahrheitstheorien geschieht, ist selbst keine Aufgabe der formalen Logik. Formale Logik fragt
lediglich nach den Zusammenhängen, aufgrund derer eine Aussage als wahr behauptet wird.
Einige Wahrheitstheorien (nach ZOGLAUER 2002, 27-32):
a)
Korrespondenz-Theorie: Wahrheit ist Korrespondenz zwischen dem, was wahr ist
(Aussage), und dem, was wahr macht (z.B. Tatsache, Ding, Zusammenhang von
Tatsachen und Dingen, Regularität…)
Beispiel: Die Aussage „Sokrates ist sterblich“ ist wahr, weil Sokrates sterblich ist.
b)
Kohärenz-Theorie: Wahrheit ist Kohärenz einer Aussage mit anderen wahren Aussagen.
Beispiel: Die Aussage „Sokrates ist sterblich.“ ist wahr, weil sie mit den anderen wahren
Aussagen „Alle Menschen sind sterblich.“ und „Sokrates ist ein Mensch.“
zusammenhängt.
c)
Pragmatische Theorie: Wahrheit ist die Nützlichkeit einer Aussage für erfolgreiches
Leben.
Beispiel: Die Aussage „Sokrates ist sterblich.“ ist wahr, weil (und solange!) sie dazu
beiträgt, unser Leben erfolgreich zu gestalten.
d)
Konsens-Theorie: Wahrheit ist die allgemeine Akzeptanz einer Aussage.
Beispiel: Die Aussage „Sokrates ist sterblich.“ ist wahr, weil sie allgemein akzeptiert
wird.
4. Zur Begründung der Zweiwertigkeit.
Teil I: Der Satz vom Widerspruch
Die Begründung der Zweiwertigkeit der formalen Logik ergibt sich aus zwei Sätzen: dem Satz
vom (Nicht-)Widerspruch und dem Satz vom ausgeschlossenen Dritten.
Der Satz vom Widerspruch lautet: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr und falsch sein.
Die Variablen ‚w’ und ‚f’ können also nicht zugleich derselben Aussage zugeordnet werden.
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Die klassische Formulierung dieses Satzes findet sich bei ARISTOTELES, Metaphysik IV 3.
(0) Kontext: Wie die (Erste) Philosophie, so fragen auch andere Disziplinen (z.B. die Physik)
nach der Wahrheit, gehen dabei aber immer schon von bestimmten Voraussetzungen aus.
Es ist Sache der Philosophie, auch diese Voraussetzungen selbst zu untersuchen.
(1005a19-b5)
(1) „Dass es also dem Philosophen und dem, der jedes Wesen betrachtet, zukommt, auch die
Prinzipien des Beweises zu untersuchen, ist hiernach klar.“ (1005b6-8)
(2) „… das sicherste unter allen Prinzipien ist dasjenige, bei welchem Täuschung unmöglich
ist; denn ein solches muss notwendig am bekanntesten sein, da sich ja alle über das
täuschen, was sie nicht erkennen, und muss ohne Voraussetzung gelten.“ (1005b11-14)
(3) „Denn ein Prinzip, welches jeder notwendig besitzen muss, der irgendetwas von dem
Seienden erkennen soll, ist keine Voraussetzung, und was jeder erkannt haben muss, der
irgendetwas erkennen soll, das muss er schon zum Erkennen mitbringen.“ (1005b15-16)
(4) „Dass ein so beschaffenes Prinzip das sicherste unter allen ist, leuchtet ein; welches aber
dies ist, wollen wir nun angeben: dass nämlich ein und dasselbe [Prädikat] ein und
demselben [Subjekt] und in derselben Beziehung unmöglich zugleich zukommen und
nicht zukommen kann.“ (1005b19-20)
(5) „Es ist nämlich unmöglich, dass jemand annehme, dasselbe sei und sei nicht.“
(1005b25f.)
(6) „… denn wer sich hierüber täuschte, der hätte ja die entgegengesetzten Ansichten
zugleich.“ (1005b30-31)
(7) „Daher kommen alle, die einen Beweis führen, auf diese letzte Auffassung zurück; denn
dieses Prinzip ist seinem Wesen nach zugleich Prinzip der anderen Voraussetzungen.“
(1005b32-34)
ARISTOTELES beschränkt sich auf den besonderen, aber auch elementaren Fall der prädikativen
Aussage. (4) lässt sich allgemeiner so formulieren:
(4*)
Zwei Aussagen, von denen jeweils die eine genau dann wahr ist, wenn die andere falsch
ist, können nicht zugleich wahr sein.
Diejenige Aussage q, die genau dann wahr ist, wenn Aussage p falsch ist, wird das
kontradiktorische Gegenteil zu p genannt; daher gilt:
(4**)
Zwei einander kontradiktorisch entgegen gesetzte Aussagen können nicht zugleich wahr
sein.
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Der Satz vom Widerspruch ist das letzte Prinzip der Beweisführung. Er kann daher nicht
wiederum in einem höheren Prinzip gründen. Ansonsten droht ein unendlicher Regress, da sich
wiederum die Frage nach der Begründung des höheren Prinzips stellt. Die Frage, worin der Satz
vom Widerspruch gründet, ist dennoch sinnvoll, doch „wir können nur fragen, worin die
Notwendigkeit [dieses Satzes] gründet, worin sie besteht.“ (TUGENDHAT/WOLF 21993, S. 51)
Nach ARISTOTELES lässt sich der Satz vom Widerspruch nicht direkt beweisen, aber „ein
widerlegender Beweis für die Unmöglichkeit der Behauptung [dass der Satz vom Widerspruch
falsch ist]“ (1006a11-12) lässt sich führen (Metaphysik IV 4):
(8) Wer den Satz vom Widerspruch leugnet, der sagt etwas. (1006a12-13)
(9) Wer etwas sagt, der gibt für sich und für einen anderen etwas zu verstehen. (1006a21)
(10) Wer etwas zu verstehen gibt, der gibt etwas Bestimmtes zu verstehen. (1006a24-25)
(11) Wer etwas Bestimmtes zu verstehen gibt, der schließt damit das kontradiktorische
Gegenteil seiner Aussage aus. (1006a29-b20)
(12) Aus (11) und (4) folgt: Wer das kontradiktorische Gegenteil seiner Aussage ausschließt,
stützt sich auf den Satz vom Widerspruch.
(13) Aus (8) und (12) folgt: Wer den Satz vom Widerspruch leugnet, stützt sich dabei auf den
Satz vom Widerspruch und widerspricht sich damit selbst.
Verallgemeinerung nach TUGENDHAT/WOLF 21993, S. 58f., im Anschluss an STRAWSON:
„Die Verwendung eines Prädikats setzt … so etwas wie das Ziehen einer Grenze voraus: indem
wir das Prädikat auf einen Gegenstand anwenden, geben wir zu verstehen, daß der Gegenstand
sich auf der einen Seite dieser Grenzlinie befindet und nicht auf der anderen. Diese Beschreibung
läßt den von Aristoteles hervorgehobenen Zusammenhang zwischen dem Sinn des Redens als
Zuverstehengeben
und
der
Bestimmtheit
deutlicher
erkennen
als
Aristoteles’
eigene
Ausführungen: der Grund, warum wir, wenn wir etwas sagen, etwas Bestimmtes sagen, liegt darin,
daß eine Prädikation nur dann informativ sein kann (und das heißt: etwas zu verstehen geben
kann), wenn mit ihr behauptet wird, daß der Gegenstand auf der einen und nicht auf der anderen
Seite der durch das Prädikat bezeichneten Grenzlinie liegt. Jetzt läßt sich auch das Ergebnis für
den Satz vom Widerspruch schlüssig formulieren: Wenn der Informationswert einer Prädikation
darin besteht, daß durch sie ein Gegenstand auf die eine statt auf die andere Seite einer Linie
gesetzt wird, folgt unmittelbar daß, wenn wir den Gegenstand sowohl auf die eine als auch auf die
andere Seite der Linie setzen, der Informationswert der Aussage gleich Null ist. Hier läßt sich
Aristoteles’ Formulierung genau aufnehmen: Wir haben dann strenggenommen nichts zu
verstehen gegeben. Wir würden uns so verhalten, wie wenn wir beim Schachspielen einen Zug
machen und ihn sofort wieder zurückziehen würden.“
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Einwände gegen den Satz vom Widerspruch beruhen meistens auf Missverständnissen, z.B.:
Einwand A): Die Wirklichkeit ist doch viel zu vielfältig und fließend, als dass der Satz vom
Widerspruch auf sie angewendet werden könnte! Beispiel (ebd., S. 59): Ein bestimmter
Gegenstand ist zugleich rot (und damit nicht-kantig) und kantig (und damit nicht-rot).
Antwort: „Die Bestimmtheit einer Prädikation liegt nicht darin, daß das Prädikat von allen anderen
Prädikaten unterschieden ist, sondern darin, daß durch das Prädikat der Gegenstand von allen
anderen unterschieden wird. … Ein Widerspruch ergibt sich, wenn man den Gegenstand auf die
eine und auch auf die andere Seite dieser Grenze setzt.“ (ebd., S. 60f.)
Einwand B): Ein und dasselbe Prädikat (z.B. Rotsein) kann doch auf ein und denselben
Gegenstand zugleich zutreffen und auch nicht zutreffen (z.B. eine Rose mit roter Blüte, aber
grünen Blättern). (ebd., S. 61)
Antwort: „Der Satz vom Widerspruch setzt … keineswegs voraus, daß wir vollkommen bestimmte
Prädikate haben; er (oder besser gesagt, der Sinn der Prädikation) impliziert jedoch, daß wir in
bestimmten Situationen genötigt werden, unsere Prädikate genauer zu bestimmen. Das genauere
Bestimmtsein ist also etwas, was nicht von vornherein vorliegt, sondern sich gerade durch den
Satz vom Widerspruch progressiv ergibt.“ (ebd., S. 62)
Einwand C): Einer immer weiteren Bestimmung könnten physikalische Grenzen gesetzt sein, wie
z.B. die Unbestimmtheitsrelation der Quantenphysik nahe legt. (ebd., S. 62f.)
Antwort: „Das mag in der Tat der Fall sein. … Nur muß man sich genau klarmachen, was eine
solche Sachlage zur Folge hat. Die Folge ist, daß man in bestimmten Bereichen mit Bezug auf
bestimmte Aspekte einer Sache keine Aussage mehr machen kann. Nicht hingegen hat es zur
Folge, daß in diesen Bereichen der Satz vom Widerspruch nicht mehr gültig wäre. Der Satz vom
Widerspruch setzt immer voraus, daß man etwas Bestimmtes sagen kann, und wenn das nicht
möglich ist, können wir auch nichts sagen, dem wir widersprechen könnten.“ (ebd., S. 63)
BEACHTE: „Der Satz vom Widerspruch ist nicht ein Gesetz über die Realität, sondern die
Notwendigkeit, die er zum Ausdruck bringt, gründet in der Bedeutung unserer sprachlichen
Ausdrücke …“ (ebd., S. 63).
5. Zur Begründung der Zweiwertigkeit.
Teil II: Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten
Der Satz vom ausgeschlossenen Dritten besagt: Es gibt keinen dritten Wahrheitswert neben
„wahr“ und „falsch“. Diesen Satz leitet Aristoteles in Metaphysik IV 7 unter anderem
folgendermaßen her (1011b23-29):
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(14) Wer behauptet, es gebe einen dritten Wahrheitswert, behauptet damit, es gebe mindestens
eine Aussage, die weder wahr noch falsch ist.
(15) Jede Aussage ist oder enthält eine prädikative Aussage.
(16) Eine prädikative Aussage besteht darin, etwas von etwas auszusagen, und ist daher wahr
oder falsch.
(17) Die Behauptung, es gebe eine Aussage, die weder wahr noch falsch ist, bedeutet also: Es
gibt eine Aussage, die einerseits weder wahr noch falsch ist (nach 14), die aber
andererseits wahr oder falsch ist (nach 15 und 16).
(18) Wer behauptet, es gebe einen dritten Wahrheitswert, leugnet demnach den Satz vom
Widerspruch.
(19) Eine Behauptung, die den Satz vom Widerspruch verletzt, ist notwendigerweise falsch, da
ihr kontradiktorisches Gegenteil, der Satz vom Nicht-Widerspruch, notwendigerweise
wahr ist.
(20) Das kontradiktorische Gegenteil einer falschen Behauptung ist wahr.
(21) Aus (19) und (20) folgt: Die Behauptung, dass es nur zwei Wahrheitswerte gibt, ist wahr.
6. Logische und semantische Notwendigkeit
(Nach MATES 21978, 26-30)
Bestimmte Aussagen sind allein aufgrund ihrer logischen Form notwendig wahr, d.h. solche
Aussagen sind logisch wahr; z.B.:
„Oberfranken sind intelligent oder sie sind nicht intelligent.“
Logische Form: a oder nicht a.
„Wenn Oberfranken intelligent sind und es auf dem Mars Leben gibt, so gibt es auf dem Mars Leben.“
Logische Form: Wenn s und t, so t.
„Wenn jeder Musiker gewalttätig ist und jeder Sänger ein Musiker, dann ist jeder Sänger gewalttätig.“
Logische Form: Wenn jedes A ein B ist und jedes C ein A ist, so ist jedes C ein B.
„Kein unverheirateter Mann ist verheiratet.“
Logische Form: Kein A, das kein B ist, ist ein B.
Die logische Form wird von Formwörtern gebildet: „alle“, „wenn – so“, „und“ usw.
Aussagen sind dann logisch wahr, wenn ihre Negation aufgrund ihrer logischen Form den Satz
vom Widerspruch verletzt , z.B.: „Es trifft nicht zu, dass ein A, das kein B ist, ein B ist.“ Die
Negation lautet: „Es trifft zu, dass ein A, das kein B ist, ein B ist.“, und behauptet damit zugleich:
„A ist B“ und „A ist nicht B“. Jede dieser beiden Behauptungen wird durch die jeweils andere
negiert. Damit ist der Satz vom Widerspruch verletzt.
ABER: Nicht jede notwendige wahre Aussage ist logisch wahr. Semantisch notwendige Aussagen
sind aufgrund der Bedeutung der in ihr enthaltenen Ausdrücke notwendig wahr, ohne logisch wahr
zu sein.
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Z.B.: „Jeder Junggeselle ist nicht verheiratet.“
Logische Form: Jedes A ist nicht B. Verneinung ist widerspruchsfrei möglich!
Doch lassen sich semantisch notwendige Aussagen in logisch notwendige Aussagen überführen,
indem bestimmte Bestandteile durch synonyme Ausdrücke ersetzt werden.
Z.B.: „(1) Ein Junggeselle ist ein Mann, der nicht verheiratet ist. (2) Jeder Junggeselle ist nicht
verheiratet. (3) Also ist kein Mann, der nicht verheiratet ist, verheiratet.“
Logische Form: Kein A, das kein B ist, ist ein B.
Hausaufgabe:
1.
Formulieren Sie drei selbst gewählte prädikative Aussagen mit grammatikalischem
Objekt so um, dass das Objekt zum Teil des Prädikates wird!
2.
Überführen Sie drei selbst gewählte semantisch notwendige Aussagen in logisch
notwendige Aussagen!
Was haben wir gelernt?
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

Formale Logik untersucht diejenigen formalen Verbindungen zwischen
Aussagen, welche zu gültigem Schließen führen.
Die grundlegende Form von Aussagen ist die der prädikativen Aussage.
Satz vom Widerspruch: Eine Aussage kann nicht gleichzeitig wahr (w) und falsch
(f) sein.
Wer den Satz vom Widerspruch leugnet, widerspricht sich selbst (nach
Aristoteles).
Einwände gegen den Satz vom Widerspruch beruhen meistens auf
Missverständnissen (nach Tugendhat-Wolf).
Satz vom ausgeschlossenen Dritten: Es gibt keinen dritten Wahrheitswert neben
„wahr“ und „falsch“.
Wer den Satz vom ausgeschlossenen Dritten leugnet, leugnet den Satz vom
Widerspruch (nach Aristoteles).
Aussagen sind logisch notwendig wahr, wenn ihre Negation den Satz vom
Widerspruch verletzt.
Aussagen sind semantisch notwendig wahr, wenn sie aufgrund der Bedeutung der
in ihr enthaltenen Ausdrücke notwendig wahr sind.
Literatur:
Hoyningen-Huene, P. 1998: Formale Logik. Eine philosophische Einführung. Stuttgart
Mates, B. 21978: Elementare Logik. Göttingen
Menne, A. 1988: Folgerichtig denken. Darmstadt
Quine, W.V.O. 1960: Word and Object. Cambridge, Mass.
Tugendhat, E. / Wolf, U. 1982: Logisch-semantische Propädeutik. Stuttgart
Zoglauer, Th. 22002: Einführung in die formale Logik für Philosophen. Göttingen.
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