Fachbegriffe Mathematik Grundkurs 2017 Analysis/Funktionenlehre

Fachbegriffe Mathematik Grundkurs 2017
Analysis/Funktionenlehre:
• Lineare Funktionen: Gerade: y=mx+n
→ n=y-Achsenabschnitt → m=absolute Steigung
y2−y1
x2−x1
• Ganzrationale Funktionen:
f(x)= anxn+an-1xn-1+…+a2x2+a1x1+a0
Funktionen nach Grad:
0. y=a
(konstant)
1. y=ax+b
(linear)
2
2. y=ax +bx+c
(quadratisch)
3
2
3. y=ax +bx +cx+d
(kubisch)
4
3
2
4. y=ax +bx +cx +dx+e
(wie M oder W)
• Quadratische Funktionen:
Normalform: y=ax2+bx+c (Parabel)
Scheitelpunktform: y=a(x-d)2+e S(d|e)
|a|> 1 Streckung in y-Richtung
|a|< 1 Stauchung in y-Richtung
a<0
nach unten geöffnet
a>0
nach oben geöffnet
bx+c
Verhalten nahe 0
c
y-Achsenabschnitt
• Funktionsscharen:
Enthält ein Funktionsterm außer der Funktionsvariablen x noch einen
Parameter a, so gehört zu jedem a eine Funktion fa, die jedem x den
Funktionswert fa(x) zuordnet. Die Funktionen fa bilden eine
Funktionenschar. Beim Ableiten wird der Parameter wie eine Zahl
behandelt.
f(x)=c*a2 → c= Anfangswert → a= Wachstumsfaktor
a>1 exponentielles Wachstum 0<a<1 Zerfall
• Exponentialfunktionen:
Funktionen untersuchen
Symmetrie:
nur gerade Exponenten; f(a) = f(-a)
= Achsensymmetrie zur y-Achse
nur ungerade Exponenten; f(a) = -f(-a) = Punktsymmetrie zum Ursprung
gerade & ungerade Exponenten
= keine Symmetrie
Verhalten nahe Null:
kleinsten Exponenten (+ absolutes Glied) ansehen
Verhalten im ∞:
größten Exponenten (+ absolutes Glied) ansehen
→ lim f(x)= -/+ ∞ ; lim f(x)= -/+ ∞
x→∞
x→-∞
y-Achsenabschnitt:
0 für x einsetzen
Nullstellen:
0 für y einsetzen (gleich 0 setzen)
Extremstellen:
• notwendige Bedingung: f´(x)=0
→ f´ gleich 0 setzen → Ergebnis = mögliche Extrema
• hinreichende Bedingung: f´(x)=0 & f´´(x)≠0
→ mögl. Extrema in f´´ einsetzen → <0 = Hochpunkt; >0 = Tiefpunkt
• zugehörige y-Koordinate bestimmen (mögl. Extrema in f(x) einsetzen)
Wendepunkte:
• notwendige Bedingung: f´´(x)=0
→ f´´ gleich 0 setzen → Ergebnis = mögl. Wendepunkte
• hinreichende Bedingung: f´´(x)=0 & f´´´(x)≠0
→ mögl. WP einsetzen → <0 = stärkste Steigung; >0 = stärkstes Gefälle
• zugehörige y-Koordinate bestimmen (mögl. WP in f(x) einsetzen)
• WP bestimmen (Xw|Yw)
• f´(xw)= m
• WP & m in y=mx+n einsetzen → n bestimmen
Wendetangente
Monotonie:
erste Ableitung ansehen
→ Graph von f´(x) oberhalb der x-Achse= f(x) steigt
→ Graph von f´(x) unterhalb der x-Achse= f(x) fällt
→ monoton= kann auch konstant sein; streng monoton= Steigung niemals 0
Sattelpunkte:
WP berechnen (→ Funktion muss f´´(x)=0 und f´´´(x) ≠0 erfüllen)
→ erfüllt der Punkt auch f´(x)=0 ist es ein SP
Definitionsbereich:
Was kann für x eingesetzt werden?
Wertebereich:
Was soll für y rauskommen?
Transformation:
Spiegelung, Verschiebung, Streckung oder Stauchung (in x- oder y-Richtung)
Krümmungsverhalten: f´´´(x)<0: links-rechts-WP; f´´´(x)>0: rechts-links-WP
Ableitungsregeln
1) Potenzregel:
f(x)= xn
f´(x)= nxn-1
2) Faktorregel:
f(x)= r*g(x) ; rЄℝ
f´(x)= r*g´(x)
3) Summenregel:
f(x)= g(x)+h(x)
f´(x)= g´(x)+h´(x)
4) Produktregel:
f(x)= u(x)*v(x)
f´(x)= u´(x)*v(x) + u(x)*v´(x)
5) Kettenregel:
f(x)= u(v(x))
f´(x)= v´(x)*u´(v(x))
→ innere (v(x)) mal äußere (u(v(x))) Ableitung
Integrale
→ Fläche zwischen x-Achse und dem Graph der Funktion in einem Intervall
𝑏
• Hauptsatz der Integralrechnung: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎)
𝑏
b
• formale Schreibweise: ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = [𝐹(𝑥)]a = 𝐹(𝑏) − 𝐹(𝑎) = . . .
• bei Berechnung einer Fläche in einem negativen Bereich Betragsstriche nutzen
Regeln zum Bilden einer Stammfunktion
1
• f(x)= x-1 = 𝑥 1
F(x)= ln|x|+c
f(x)
HP
TP
steigt
fällt
Nullstelle
oberhalb d. x-Achse
unterhalb d. x-Achse
1
xr+1
𝑟+1
• f(x)= xr
F(x)=
• f(x)= r*g(x)
F(x)= r*G(x)
• f(x)= g(c*x+d)
F(x)= *G(c*x+d)
• f(x)= ex
F(x)= ex
1
𝑐
F(x)
WP(stärk. Steigung)
WP (stärk. Gefälle)
links gekrümmt
rechts gekrümmt
HP oder TP
steigt
fällt
Änderungsraten
• durchschnittl./mittlere Änderungsrate:
𝑓(𝑥2)− 𝑓(𝑥1)
𝑥2−𝑥1
𝑌2−𝑌1
= 𝑋2−𝑋1 = m
→ Steigung durch 2 Punkte (Sekante)
• lokale/momentane Änderungsrate: erste Ableitung = f´(x) = m
→ Steigung in einem Punkt (Tangente)
Lineare Algebra / Vektorrechnung:
Geraden:
Stützvektor
Richtungsvektor
Normalenvektor
Einheitsvektor
Koordinatenachsen
Spurpunkt
Spurgerade
Punkt auf dem sich die Gerade stützt
Gibt Bewegung/Richtung der Geraden im Raum an
Orthogonaler Vektor zu zwei Vektoren
Ein Vektor mit dem Betrag 1
Dreidimensionaler Raum
Schnittpunkt der Koordinatenachse mit der Ebene
Zwei Schnittpunkte der Koordinatenachse verbinden, so erhält man die
Spurgerade
Lagebeziehung
Beziehung zweier Geraden im Raum
Orthogonalität
Rechtwinkliges Aufeinandertreffen zweier Geraden/Vektoren
Windschief
Kein Schnittpunkt
Identisch
Unendlich viele Schnittpunkte
Parallel
Dauerhaft gleicher Abstand zweier Geraden
Schnittpunkt
Punkt an dem sich Geraden schneiden
Winkel
Zwischen zwei Vektoren oder Geraden
LGS lösen
Gaußverfahren, Additions-, Gleichsetzungs-, Einsetztungsverfahren
Unterbestimmt
Mehr Variablen als Gleichungen
Überbestimmt
Mehr Gleichungen als Variablen
Genaubestimmt
Anzahl an Gleichungen und Variablen ist gleich
Parametergleichung Eine Gleichung in Abhängigkeit von Parametern
Ebenen
Vektor
Ortsvektor
Lineare Abhängigkeit
Länge eines Vektors
Einheitsvektor
Skalarprodukt
Kreuzprodukt
Normalenvektor
Stützvektor
Spannvektor
Lot-FußpunktVerfahren
Durchstoßpunkt
Schnittgerade
Linearkombination
Punktprobe
Pfeil mit einer bestimmten Richtung und einer bestimmten Länge
Ein Vektor der beim Ursprung beginnt
Ein Vektor der das Vielfache von dem anderen, kollinear, Prüfung nur bei
RV´s
Betrag, Abstand zwischen zwei Punkten
Ein Vektor mit dem Betrag 1
Eine Maßzahl an welcher man erkennen kann, ob zweier Vektoren zu
bestimmen
Eine Rechenart um den Normalenvektor zweier Vektoren zu bestimmen
Ein Vektor der zu zwei anderen Vektoren orthogonal ist
Vektor auf dem sich eine Gerade oder Ebene stützt
Vektoren die eine Ebene aufspannen, müssen linear unabhängig sein
Rechenweise um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu
bestimmen
Ein Punkt der bei einer Ebene und einer Geraden gleich ist, Schnittpunkte
Gerade, bei welcher sich zwei Ebenen schneiden
Vektor, der sich durch Vektoren unter Verwendung der Vektoraddition und
der skalaren Multiplikation ausdrücken lässt
Liegt ein Punkt auf einer Geraden oder Ebene ?
Stochastik / stoch. Matrizen:
Pfadregel
Zur Berechnung von Wahrscheinlichkeiten in einem mehrstufigen
Zufallsexperiment
Zufallsversuche
Summenregel
4-Felder-Tafel
Baumdiagramm
Mittelwert
Ein Vorgang, der mehr als ein mögliches Ergebnis haben kann
Erwartungswert
Standardabweichung
Zufallsgröße
Bernoulli-Formel
Sigma-Regel
Gauß´sche Faustregel
Relative Häufigkeit
Wahrscheinlichkeitsverteilung
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Stochastische Unabhängigkeit
La Place Experiment
Binomialverteilung
Normalverteilung
Fakultät
Übergangsdiagramm
Matrizen(-multiplikation)
Matrix
Prozessdiagramm
Binomialkoeffizient
BinomialCD
BinomailPD
Gegenereignis
Produktmatrix
Fixvektor
Absorbierender Zustand
Startverteilung
Übergangsmatrix
Stochastische Matrix
Grenzverteilung/Grenzmatrix
Zustandsverteilung
Zur Verknüpfung von Ereignissen
Die auftretenden Messwerte werden addiert und durch ihre Anzahl n
dividiert
Gibt an, welcher Wert durchschnittlich bei einer großen Zahl von
Durchführungen des Zufallsexperiments zu erwarten ist (Prognose für
Mittelwert)
Ist ein Maß für die streubreite der Werte eines Merkmals rund um dessen
Mittelwert
Bei Bernoulli-Experiment, es gibt nur 2 Möglichkeiten, die
Wahrscheinlichkeiten ergänzen sich zu 100%
stufenförmiges Auflösen eines LGS
Die eine Wahrscheinlichkeit wird von der anderen bedingt
Zufallsexperiement, bei dem alle Einzelwahrscheinlichkeiten gleich groß sind
Eine Zufallsvariable X ist einer Möglichkeit n und einer
Trefferwahrscheinlichkeit p zugeordnet
3! = 1*2*3
Modellierung für einen Prozess
Multiplikation zweier Matrizen (Zeile x Spalte)
Modellierung für einen Prozess
Größe zwischen zwei Grenzen wird gesucht
Exakte Größe wird gesucht
Gegenteil zu einer Wahrscheinlichkeit
Ergebnis einer Multiplikation zweier Matrizen
Ein Zustand, der sich nicht weiter verändert
Der Zustand, aus dem man nicht mehr entkommen kann, läuft gegen 1
Zustand, der zu Beginn gegeben ist, v0
Andere/genauere Darstellung eines Prozessdiagramms
Spaltensumme=1, quadratisch (z.B. 2x2)
Stabilisierende Zustandsverteilung
Wahrscheinlichkeit, mit denen sich z.B. ein Spiele zu einem bestimmten
Zeitpunkt in einem der Zustände befindet