O(log(n)) - StudyRush

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PK Aufgabenblatt #7
18.12.2013
Aufgabenblatt #7
Theorie 1: Algorithmen und Datenstrukturen
„Was versteht man unter Algorithmen und Datenstrukturen, und wie hängen
diese beiden Begriffe zusammen? Unter welchen Bedingungen sind zwei Algorithmen bzw. Datenstrukturen gleich? Wann sind sie es nicht? Nennen Sie fünf
unterschiedliche Datenstrukturen und charakterisieren Sie sie.“
Ein Algorithmus ist eine eindeutige Handlungsvorschrift zur Lösung eines Problems. Wohingegen eine
Datenstruktur eine Beschreibung ist, wie man Daten relativ zueinander ordnet und wie auf die
einzelnen Elementen zugegriffen werden kann. Zusammenhänge: Man kann z.B. einen Algorithmus
verwenden, um auf Elemente in einer Datenstruktur zuzugreifen bzw. diese zu durchsuchen.
Zwei Algorithmen sind gleich, wenn deren Ergebnis gleich ist. Zwei Datenstrukturen sind gleich, wenn
die Art, wie die Daten gespeichert werden und der Suchaufwand gleich ist.
Stack: Alle Elemente werden auf einem Stapel gespeichert, man kann nur auf das oberste Element
zugreifen bzw. nur oben hinzufügen. Methoden: push, pop, size
Array: Alle Elemente werden nebeneinander gespeichert und sind durch Indizes zugreifbar. Alle
Elemente müssen denselben Typ haben und die Größe wird spätestens bei der Initialisierung
festgelegt.
Verkettete Liste: Alle Elemente werden hintereinander gespeichert, wobei ein Element auf das
Nächste zeigt und das letzte Element auf null. Daher ist die Anzahl der Elemente nicht begrenzt und
das Hinzufügen ist sehr einfach. Das Suchen ist jedoch sehr aufwendig
Binärer Baum: Die Elemente werden von oben nach unten hinzugefügt. Das oberste Element wird
Wurzel genannt. Alle Elemente kleiner der Wurzel werden im linken Teilzweig eingeordnet und alle
Elemente die größer oder gleich dem Knoten sind im rechten Teilzweig. Dieses Schema wird bis zum
Ende fortgesetzt.
Hashtabelle: Alle Elemente werden an einem bestimmten Index gespeichert. Der Index selbst
errechnet sich aus dem Hashcode des Elements. Wenn mehrere Elemente denselben Hashcode
haben, werden sie in eine Liste gespeichert. Je mehr Elemente in einer Hashtabelle sind, desto
ineffizienter werden die Zugriffe.
Theorie 2: Aufwandsabschätzung
„Wie kann man den Aufwand eines Algorithmus abschätzen? Wofür stehen
O(1), O(log(n)), O(n), O(n·log(n)), O(n2) und O(2n)? Wie wirkt sich eine Verdopplung oder
Verhundertfachung von n aus? Wieso kann man konstante Faktoren bei der Aufwandsabschätzung
einfach ignorieren?“
Abschätzen von algorithmischen Kosten: Man schätzt nur ab, wie viele Zugriffe zur Ausführung eines
Algorithmus nötig sind, sie geben keine genauen Werte an, sondern nur Anhaltspunkte.
O(1)
= konstante Kosten
O(log(n))
= logarithmische Kosten
O(n)
= lineare Kosten
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PK Aufgabenblatt #7
O(n * log(n))
= super-lineare Kosten
O(n²)
= quadratische Kosten
O(2n)
= exponentielle Kosten
18.12.2013
Man kann konstante Faktoren vernachlässigen, da sie meistens recht niedrig sind, und nicht mit n
mitwachsen. Daher sind sie zum Vergleichen von Aufwänden nicht relevant.
Verdopplung von n
O(1)
 O(1)
bleibt gleich
O(log(n))
 O(log(2n))
logarithmischer Anstieg
O(n)
 O(2n)
Verdopplung
O(n * log(n))
 O(2n * log(2n))
logarithmischer Anstieg
O(n²)
 O(2n²)
x4
O(2n)
 O(22𝑛 )
x32
Analog dazu die Verhundertfachung
Theorie 8: Such- und Sortieralgorithmen
„Was ist eine binäre Suche? Wie funktionieren Bubblesort, Mergesort und Quicksort? Wie hoch ist der Aufwand dafür im Durchschnitt und im schlechtesten
Fall?“
Binäre Suche: Suchraum immer halbieren und dann entweder links oder rechts weitersuchen.
Bubblesort: Bei der Suche wird die Eingabeliste von links nach rechts durchlaufen. Dabei werden
immer die zwei Nachbarelemente miteinander verglichen. Falls das linke Nachbarelement größer als
das rechte ist, werden die beiden getauscht. So wandert das größte Element immer weiter nach
rechts. Dieser Vorgang wird so lange durchgeführt bis in einem Durchlauf keine Elemente mehr
geordnet werden müssen.
Mergesort: Hier wird die Liste immer durch zwei geteilt bis die „kleineren Listen“ nur noch ein
Element haben. Danach wird jeweils ein Element aus einer Liste mit dem Element aus der
kongruenten Liste verglichen und dann in der richtigen Reihenfolge wieder in die sortierte Liste
eingefügt.
Quicksort: Bei Quicksort wird zuerst ein Pivot-Element gewählt. Danach kommen alle Elemente, die
kleiner gleich dem Pivot-Element sind in die linke Teilliste und alle die größer gleich dem Element
sind in die rechte Teilliste. Danach werden die Teillisten wieder mit Quicksort sortiert, solange, bis
die Liste geordnet ist.
Dein Name
Sortieralgorithmus
Binäre Suche
Mergesort
Quicksort
Bubblesort
PK Aufgabenblatt #7
Aufwand (max.)
O(log(n))
O(n*log(n))
O(n²)
O(n²)
18.12.2013
Aufwand (avg.)
O(log(n))
O(n*log(n))
O(n*log(n))
O(n²)
Theorie 9: Generezität
„Was unterscheidet generische von nicht-generischen Klassen? Was unterscheidet
einen Typ von einem Typparameter? Kann man Typen und Typparameter gleich
verwenden? Wie kann man in Java primitive Typen wie int als Elementtypen in generischen
Containern verwenden?“
Generische Klassen haben einen Typparameter, anstatt eines Datentypes. Für diesen Typparameter
kann später ein Typ (Integer, Boolean, CustomClass, …) eingesetzt werden.
Ein Typparameter ist kein Typ sondern wird vom Compiler durch einen Typ ersetzt.
Man kann Typen und Typparameter nicht gleich verwenden, da man Typparameter alleine nicht
vergleichen kann, da nie klar ist durch welchen Typ der Parameter ersetzt wird. Zum Beispiel werden
Fließkommazahlen unter Umständen anders verglichen als Integer-Werte.
Man kann primitive Typen als Elementtypen in generischen Klassen verwenden, indem man den
dazugehörigen Referenztyp angibt. Übergebene Typen werden dann automatisch durch Autoboxing
in den entsprechend Referenztyp umgewandelt.