Mathematisches Hauptseminar bei Frau Dr. Warmuth WiSe 09/10

Mathematisches Hauptseminar
bei Frau Dr. Warmuth
WiSe 09/10
Belegarbeit
Thema 16: Konzept des geometrischen Orts und
geometrisches Begründen und Beweisen
erstellt und eingereicht von:
Barbara Auel, 511679
1. FS Ma. of E.
Mathematik /Englisch
und
Steffen Wiedemann, 511851
1. FS Ma. of E.
Mathematik/ Physik
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Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung..........................................................................................................................3
2 Allgemeine Definition......................................................................................................3
3 Beispiele............................................................................................................................3
Kreis ...............................................................................................................................3
Parallelenpaar .................................................................................................................4
Winkelhalbierende .........................................................................................................4
Mittelsenkrechte .............................................................................................................4
Beweis .......................................................................................................................5
Beispielaufgabe..........................................................................................................5
In- und Umkreis..............................................................................................................6
Umkreis......................................................................................................................6
Inkreis.........................................................................................................................6
Fazit............................................................................................................................6
4 Wichtige Sätze der Schulgeometrie..................................................................................7
Kongruenzsatz SsW und nicht sSw.................................................................................7
Kreisgleichung................................................................................................................7
Satz des Thales................................................................................................................7
5 Thesen...............................................................................................................................9
1. Der geometrische Ort ist unnütz, da er intuitiv erfasst wird.......................................9
2. Der g.O. gehört in Klasse 12.......................................................................................9
3. Der g.O. hat keine nutzbringende Anwendung im Dreidimensionalen....................10
6 Literaturverzeichnis........................................................................................................10
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1 Einleitung
Das Konzept des geometrischen Ortes (abgekürzt „g.O.“), ist in der Schule ein selten
behandeltes Thema. Zuerst werden wir den geometrischen Ort allgemein definieren und
anhand von einfachen geometrischen Beispielen verdeutlichen. Danach stellen wir eine
Anwendungsaufgabe vor, betrachten den geometrischen Ort eingehend am In- und
Umkreis sowie bei wichtigen Sätzen der Schulgeometrie.
Abschließend diskutieren wir drei von uns aufgestellte Thesen zum geometrischen Ort
ausführlich.
2 Allgemeine Definition
Die Menge aller Punkte, die eine Bedingung B erfüllen, heißt geometrischer Ort zur
Bedingung B.
[1]
3 Beispiele
Um diese Definition zu verdeutlichen, werden wir nun ein paar explizite Beispiele
vorstellen.
Kreis:
Der geometrische Ort aller Punkte, die von einem
festen Punkt einen bestimmten Abstand haben,
ist der Kreis um den gegeben Punkt mit dem gegeben
Abstand als Länge des Radius.
K M , r :={P∣MP =r }
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Parallelenpaar:
Der geometrische Ort aller Punkte, die von einer
festen Geraden m einen vorgegeben Abstand a
haben, ist das Parallelenpaar zur gegebenen
Gerade im gegebenen Abstand.
g Paar ={P∣d  P , m=a}
Winkelhalbierende:
Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei einander schneidenden Geraden g1,g2
den gleichen Abstand haben, sind die Winkelhalbierenden der durch die gegebenen festen
Geraden gebildeten Winkel.
w 1,2={P∣d  P , g 1=d  P , g 2}
[2]
Mittelsenkrechte:
Der geometrische Ort aller Punkte, die von zwei festen Punkten A,B den gleichen
Abstand haben, ist die Mittelsenkrechte der Verbindungsstrecke der beiden gegebenen
Punkte.
m AB={P∣ AS=BS }
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Ausführlicher formuliert heißt das:
1) jeder Punkt, der von A und B gleich weit entfernt ist, liegt auf der Mittelsenkrechten von A und B und
2) jeder Punkt, der auf der Mittelsenkrechten mAB liegt, ist von den zwei Punkten A
und B gleich weit entfernt.
Beweis
Zu 1.) Voraussetzung: SA=SB
Behauptung: Der Punkt S liegt auf mAB
Beweis: Nach Voraussetzung ist Dreieck SBA gleichschenklig, S ist die Spitze.
Deshalb liegt S auf der Symmetrieachse des Dreiecks SBA, das ist die
Mittelsenkrechte mAB.
q.e.d.
Zu 2) Voraussetzung: Der Punkt S liegt auf mAB
Behauptung: SA=SB
MA=MB
Beweis:
MS =MS
∢BMS =∢SMA
→  BSM ≃ ASM (SWS)
→
SA=SB
q.e.d.
Beispielaufgabe
Nachfolgend zeigen wir eine Möglichkeit, die Verknüpfbarkeit der Bedingungen für den
geometrischen Ort darzustellen. Hierzu gibt man folgende Punkte und Bedingungen vor:
Punkte (im kartesischen Koordinatensystem):
A(4,4) ; B(3,5) ; C(5,5) ; D(4,0)
Bedingungen:
Lösungsbild:
B1={P∣PB=0,5 cm}
B2 ={P∣PA=3 cm}
B3={P∣PC =0,5cm}
B1={P∣PA=2 cm∧P∣ PD≤3 cm}
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In- und Umkreis
Sollen nun besondere Linien und Kreise im Dreieck betrachten werden, so kann dies mit
Hilfe des geometrische Orts wesentlich anschaulicher erfolgen, denn die Frage nach
besonderen Punkten im Dreieck lässt sich einfach auf die zu erfüllenden Bedingungen
zurückführen. Also geht man der Frage nach „Welche Bedingungen muss der gesuchte
Punkt/Kreis erfüllen?“
Umkreis
Betrachtet man mit Hilfe des geometrischen Orts den Umkreis eines Dreiecks, so sucht
man nach dem Punkt, welcher zu den 3 Eckpunkten des
Dreiecks denselben Abstand hat.
Die Menge aller Punkte, die zu zwei Punkten denselben
Abstand hat, ist die Mittelsenkrechte. Hier lässt sich die
Bedingung des dritten Punktes anknüpfen, woraus man
folgern kann, dass der Mittelpunkt des Umkreises durch
den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Eckpunkte bestimmt wird.
Inkreis
Hier sucht man nun den größtmöglichen Kreis der
innerhalb eines Dreiecks liegt. In Bedingungen
ausgedrückt, ist es also der Kreis, der jede Seite als
Tangente hat und dessen Mittelpunkt zu allen Seiten
gleich weit entfernt ist. Das lässt sich nun sehr
verständlich und anschaulich auf den Schnittpunkt
der Winkelhalbierenden zurückführen.
Fazit
Generell ist es mit Hilfe des geometrischen Orts langfristig effektiver, sich die
Bedingungen für spezielle Punkte und Kreise im Dreieck zu merken. Es wird nicht mehr
auswendig gelernt, welcher Schnittpunkt der ausgezeichneten Geraden welchen
Kreismittelpunkt definiert, sondern man überlegt sich einfach die Bedingungen, die die
gesuchte Figur erfüllen soll.
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4 Wichtige Sätze der Schulgeometrie
Kongruenzsatz SsW und nicht sSw
Im Schulalltag wird häufiger die Frage gestellt, warum es den Kongruenzsatz SsW gibt
und sSw nicht. Diese lässt sich mit Hilfe des geometrischen Orts einfach und präzise
beantworten. Der Kongruenzsatz SsW bedeutet, dass zwei
Dreiecke kongruent sind, wenn sie in zwei Seiten und dem der
größeren Seite gegenüberliegendem Winkel übereinstimmen.
Das bedeutet im Umkehrschluss, dass es nur einen
geometrischen Ort gibt, der diese Bedingungen erfüllt, nämlich
die Bedingung des Abstandes (durch den roten Kreis verdeutlicht) und des Winkels (rote
Linie).
Zeichnen wir nun einmal für den sSw Satz die Bedingungen, so erkennen wir, dass es
eine Punktmenge gibt, welche aus 2 Punkten besteht, die die
geforderten Bedingungen erfüllt, somit ist eine eindeutige
Zuordnung nicht mehr gegeben.
Kreisgleichung
Über die Begriffsbildung des Kreises mit Hilfe des geometrische Ortes lässt sich auch
später die Kreisgleichung leichter herleiten und verständlich machen. Wir haben oben
definiert, dass die Menge aller Punkte, die zu einem festen Punkt M den Abstand r haben,
einen Kreis bilden. Bei Betrachtung am Einheitskreis lässt sich nun mit Hilfe des Satzes
von Pythagoras die allgemeine Kreisgleichung leicht herleiten.
Satz des Thales
„Konstruiert man ein Dreieck aus den beiden Endpunkten des Durchmessers eines
Kreises und einem weiteren nicht identischen Punkt des Kreises, so erhält man immer ein
rechtwinkliges Dreieck.“
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Nun zerlegen wir diese Aussage mit Hilfe des geometrischen Ortes einmal in beide
Richtungen.
→ 1) Die Menge aller Punkte C, die auf dem Kreis liegen, wo A und B die Endpunkte
eines Durchmessers des Kreises sind, bilden mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck.
← 2) Die Menge aller Punkte, die mit den Punkten A und B, ein rechtwinkliges Dreieck
bilden, liegen auf einem Kreis, wo A und B die Endpunkte eines Durchmessers sind.
Häufig ist die erste Richtung sofort ersichtlich und verständlich, da sie auf diesem Weg
im Allgemeinen gelehrt wird. Die 2. Richtung erschloss sich uns auch erst bewusst, als
wir uns mit dem Thema des g.O. beschäftigten. Da durch das Verständnis des
geometrischen Ortes nun die Voraussetzungen und Bedingungen leicht getauscht werden
können, wird auch sofort klar, dass die zweite Richtung auch schon aus der Aussage
ablesbar wird.
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5 Thesen
1. Der geometrische Ort ist unnütz, da er intuitiv erfasst wird.
Hier gab es eine kontroverse Diskussion mit verschiedenen Argumenten. Zum einen wird
der g.O. von den meisten Schülern intuitiv erfasst, es ist jedoch nützlich ihm einen
Namen zu geben, da dadurch viele Eigenschaften zusammenfassbar werden. Die
Ausdrücke werden kleiner. Besonders bei den Winkelhalbierenden ist das schön zu
sehen, ihre Eigenschaften werden mit dem g.O. deutlich sichtbar. Es ist jedoch in jedem
Fall wichtig, dass das Verständnis genau dafür erzeugt wird, eine reine Begriffsbildung
allein reicht nicht. Durch die Thematisierung des g.O. agieren wir als Lehrkräfte
Verständnis orientierter anstatt reine Algorithmen zu vermitteln.
2. Der g.O. gehört in Klasse 12.
Der g.O. sollte früher thematisiert werden. Dabei brauchen wir keine Angst vor der
Einführung des Begriffs haben. Wir können ruhig beide Arten der Definition einführen
und detailliert auf die Unterscheidungen eingehen und beim nächsten Mal zur Zuordnung
zu den beiden Typen auffordern.
Es wurde auch die Richtung vertreten, dass die Thematisierung vor Klasse 12 ohne
Probleme erfolgen kann, eine Namensgebung jedoch sich nach der Klasse und dem
Schultyp richten sollte.
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3. Der g.O. hat keine nutzbringende Anwendung im Dreidimensionalen
Die Definition des geometrischen Orts ist nicht auf den R2 beschränkt. Eine Kugel im R3
ist mit dem geometrischen Ort genauso schön wie ein Kreis im R2 zu definieren. Auch
wenn eine graphische Darstellung nicht unbedingt möglich ist, so fördert das Nachdenken
über den geometrischen Ort im R3 jedoch die Vorstellungskraft und ist wunderbar
geeignet für Gedankenexperimente. Damit hat der geometrischen Ort auf jeden Fall nicht
von der Hand zu weisende nutzbringende Anwendungen im dreidimensionalen Raum.
6 Literaturverzeichnis
[1] Barth, F u.a.: Anschauliche Geometrie 8. München: Ehrenwirth, 1996
[2] Gottwald, Siegfried: Meyers Kleine Enzyklopädie Mathematik. Mannheim; Leipzig;
Wien; Zürich: Meyers Lexikonverlag, 1995
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