Grundwissen 7.2

GRUNDWISSEN 7. KLASSE – EINHEIT 2
SYMMETRIEN, BESONDERE WINKEL, BESONDERE DREIECKE, KONGRUENZ BEI DREIECKEN UND
WICHTIGE KONSTRUKTIONEN
SYMMETRIEN
Symmetrie zu einer Achse a
Die Achsenspiegelung: Zu einer Achse a wird jedem Punkt P der Zeichenebene ein
Bildpunkt P’ zugeordnet:
 Falls
, liegt P’ so, dass [PP’] von der Achse a rechtwinklig halbiert wird.
 Falls
ist, gilt P = P’ (P heißt Fixpunkt)
Eine Figur, die bei einer Achsenspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt
achsensymmetrisch.
Bsp.: Die Figur ist zur Achse a symmetrisch. Der Punkt P geht durch Achsenspiegelung in
P’ über. F ist ein Fixpunkt.
Symmetrie zu einem Punkt P
Die Punktspiegelung: Zum Zentrum Z wird jedem Punkt P der Zeichenebene ein
Bildpunkt P’ zugeordnet:
 Für P ≠ Z liegt P’ so, dass P’ PZ und ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
 Für P = Z ist P’ = Z (P heißt Fixpunkt).
Eine Figur, die bei einer Punktspiegelung wieder auf sich abgebildet wird, heißt
punktsymmetrisch.
Bsp.: Die Figur ist zum Zentrum Z punktsymmetrisch. Der Punkt P geht durch
Punktspiegelung in P’ über.
BESONDERE WINKEL
Geradenkreuzung: Zwei Geraden, die sich in einem Punkt schneiden, bilden eine
Geradenkreuzung. Nebeneinander liegende Winkel (α und β) heißen Nebenwinkel, sie
ergeben zusammen stets 180°. Gegenüberliegende Winkel (α und α, oder β und β)
heißen Scheitelwinkel. Sie sind gleich groß.
g
h
Innenwinkel bei Dreiecken und Vierecken: Die Summe der Innenwinkel in jedem
Dreieck ergibt 180°, in jedem Viereck 360°. Die Innenwinkelsumme eines beliebigen nEcks beträgt allgemein:
(
)
Bsp.: Bei einem 5-Eck beträgt die Innenwinkelsumme immer (
)
Doppelkreuzung: Die beiden Winkel 1 und 2 heißen Stufenwinkel. Die Winkel 1
und 1 sowie 2 und 2 heißen Wechselwinkel. Stufen- und Wechselwinkel sind genau
dann gleich groß, wenn die Geraden g und h parallel sind.
g
h
BESONDERE DREIECKE
Das gleichschenklige Dreieck
Ein Dreieck mit zwei gleich langen Seiten (Schenkel) heißt gleichschenklig. Die dritte
Seite heißt Basis.
Jede der folgenden Aussagen ist gleichwertig:
 Das Dreieck ist gleichschenklig.
 Das Dreieck ist achsensymmetrisch.
 Das Dreieck besitzt zwei gleich große Basiswinkel.


Basis
Das gleichseitige Dreieck
Ein Dreieck mit drei gleich langen Seiten heißt gleichseitig. Seine Innenwinkel
betragen jeweils 60°.
60°
60°
60°
Das rechtwinklige Dreieck
Ein Dreieck ABC hat genau dann bei C einen rechten Winkel, wenn C auf dem Halbkreis
über [AB] liegt. (Thaleskreis)
C
C’
A
B
KONGRUENZ BEI DREIECKEN
Figuren, die deckungsgleich sind heißen kongruent. Sind zwei Figuren F und G
kongruent, so schreibt man kurz
.
In kongruenten Figuren sind entsprechende Winkel gleich groß und entsprechende
Seiten gleich lang.
Kongruenzsätze für Dreiecke
SSS
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in allen Seiten übereinstimmen.
SWS
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem
Zwischenwinkel übereinstimmen.
WSW und
SWW
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und
zwei gleichliegenden Winkeln übereinstimmen.
SsW
Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem Gegenwinkel
der größeren Seite übereinstimmen.
WICHTIGE KONSTRUKTIONEN
Mittelsenkrechte
1. Kreis um P und Q mit gleichem Radius r.
2. Gerade durch die Schnittpunkte der beiden Kreise ist die
Mittelsenkrechte von [PQ].
Winkelhalbierende
1. Kreis um S mit beliebigem Radius r. Die beiden Schnittpunkte P1 und P2 mit den
Schenkelen bilden eine neue Strecke.
2. Mittelsenkrechte zu [P1P2] ist die Winkelhalbierende w.
Lot errichten (
)
1. Kreis um P schneidet die Gerade g in S1 und S2.
2. Mittelsenkrechte der Strecke [S1S2] ist das gesuchte Lot
Lot fällen (
)
1. Kreis mit Radius r um P mit Schnittpunkten S1 und S2
auf g.
2. Mittelsenkrechte der Strecke [S1S2] ist das gesuchte Lot.