Mathematik I für WT

Fachbereich Grundlagenwissenschaften
Prof. Dr. Viola Weiß
Wintersemester 2012/2013
Mathematik I für WT
Übungsaufgaben
Serie 3: Vektorrechnung





2
1
3
1. Gegeben seien die Vektoren ~a =  0  , ~b =  −1  , ~c =  2 .
−3
0
2

(a) Berechnen Sie ~a + 2~b − ~c, |~a| + 2|~b| − |~c| und |~a + 2~b − ~c|.
(b) Welche der Vektoren stehen senkrecht aufeinander?
(c) Bestimmen Sie den Einheitsvektor zu ~b.
(d) Bestimmen Sie λ ∈ R so, daß ~a + λ~b ⊥ ~a + ~c ist.
Bestimmen Sie µ ∈ R so, daß ~a + µ~b k (14, −8, 4)T ist.
2. Gegeben seien die beiden Vektoren ~a = (1, 2, 5)T und ~b = (1, 0, 1)T und es sei ~x = ~a + λ~b
und ~y = ~a − λ~b. Bestimmen Sie den Parameter λ ∈ R so, daß die beiden Vektoren ~x und
~y orthogonal sind.
3. Für welches y ∈ R hat das Dreieck
√ mit den Eckpunkten P1 = (1, y, 5), P2 = (2, 1, 0) und
P3 = (3, 2, 1) den Flächeninhalt 26?
4. Gegeben seien die Punkte A = (−1, 0, 2), B = (3, 1, 2) und C = (−1, 2, 3).
Bestimmen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Berechnen Sie den Winkel zwischen Seite AB und Seite AC.
−−→ −−→
5. Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, das durch die Vektoren P1 P2 , P1 P3 und
−−→
P1 P4 mit P1 = (1, 2, 3) , P2 = (1, 3, 5) , P3 = (3, 2, 4) und P4 = (2, 3, 3) aufgespannt wird.
6. Berechnen Sie den Vektor p~b (~a), der durch die orthogonale Projektion des Vektors ~a =
(−3, 0, 3)T auf die Richtung des Vektors ~b = (4, −2, −4)T entsteht.
7. Wo liegen die anderen drei Eckpunkte eines Quadrates mit dem Eckpunkt A = (1, 0, −1),
−−→
der Seite AB = (12, 5, 0)T , und einer Seite, die zur z-Achse parallel verläuft?
8. Im Punkt D = (1, 3, −1) ist ein Haken befestigt, von dem aus drei Stahlseile nach den
Punkten A = (2, 1, 1), B = (−7, 4, 3) und C = (−1, 9, 2) gespannt sind. Die entsprechenden Zugkräfte in den Seilen haben folgende Beträge:
FA = |F~A | = 21000 N,
FB = |F~B | = 9000 N,
FC = |F~C | = 14000 N .
Berechnen Sie Komponenten und Betrag der in D angreifenden Gesamtkraft F~ .
9. Berechnen Sie den Parameter a ∈ R derart, daß die Punkte P1 = (4, 3, −1), P2 = (0, 0, 1)
und P3 = (4a , 3a , −5) auf einer Geraden liegen.
10. Gegeben seien die beiden Geraden
 


1
a
g1 : r~1 (t) =  2  + t  1  und g2 :
−1
0



4
2
r~2 (s) =  0  + s  a .
−a
−1

Für welche a ∈ R sind die beiden Geraden parallel?
Gibt es a ∈ R, so daß sich die beiden Gerade schneiden?
1
11. Die Gerade g1 geht durch die Punkte (22, 8) und (13, 22) und die Gerade g2 durch (−10, 16)
und steht senkrecht auf g1 . Geben Sie eine Parametergleichung für g2 an! Wie weit ist der
Punkt (−22, 9) vom Schnittpunkt der beiden Geraden entfernt?
12. Gegeben ist das Dreieck mit den Eckpunkten A = (−4, 0), B = (6, −3) und C = (4, 6).
(a) Berechnen Sie die Koordinaten der Seitenmittelpunkte.
(b) Stellen Sie die Gleichungen der Seitenhalbierenden auf.
13. Im Punkt Q = (5, 7, 10) befindet sich eine Lichtquelle. Wie groß ist der Flächeninhalt
des Schattens, der vom Dreieck mit den Eckpunkten P1 = (7, 8, 13), P2 = (6, 10, 14) und
P3 = (4, 10, 13) auf der Ebene 2x1 + 3x2 − 2x3 = 14 erzeugt wird?
14. Geben Sie jeweils sowohl die Parameterdarstellung als auch die parameterfreie Form der
Ebenengleichung an für folgende Ebenen, die gegeben sind durch
(a) den Punkt P = (2, −1, 1) und die Vektoren ~u = (1, 0, 3)T und ~v = (−1, 1, 4)T ,
(b) die Punkte P1 = (0, 1, 2), P2 = (2, −3, 4) und P3 = (7, −9, −1),
(c) den Punkt P = (0, 0, 0) und den Normalenvektor ~n = (1, 2, 3)T .
15. Berechnen Sie jeweils den Durchstoßpunkt der Geraden durch die Ebene:


 
 
 
 
0
1
1
2
2
E : ~r(s, t) =  1  + s  0  + t  1 
a) g : ~r(u) =  2  + u  0 
−1
1
1
1
1
 
 
2
2
E : x − y + 2z = 4
b) g : ~r(u) =  2  + u  0 
1
1
16. Vom Punkt P0 = (1, 2, 1) wird auf die Ebene E : x − 2y + z − 7 = 0 das Lot gefällt. Wo
liegt der Fußpunkt des Lotes?
17. Wie lautet die Gleichung der Ebene, die senkrecht auf der Geraden g durch A = (2, 0, 2)
und B = (4, 2, −2) steht und durch den Mittelpunkt von AB geht?
18. Ermitteln Sie die Spiegelung P ′ des Punktes P = (−7, 9, 1) bezüglich der Ebene
5x − 4y − z = 12 !
19. Geben Sie die parameterfreie Darstellung der Ebene E : ax+by+cz = d an, bezüglich der
die Punkte P = (1, 0, 3) und Q = (−1, 1, 0) spiegelsymmetrisch liegen. Welchen Abstand
haben diese Punkte zur Ebene E?
20. Bestimmen Sie Mittelpunkt und Radius des Kreises x2 + y 2 − 2x − 4y + 1 = 0.
Welche Lage haben die Geraden
g1 : y = −x + 1,
g2 : y = −x − 1,
g3 : y = − 34 x
jeweils zu diesem Kreis?
21. Bestimmen Sie m so, daß die Gerade y = mx + 5 den Kreis x2 + y 2 = 5 berührt. Welche
Koordinaten hat der jeweils zugehörige Berührungspunkt?
2
Zusätzliche Aufgaben zum Selbststudium:
1. Bestimmen Sie t ∈ R so, daß die Vektoren ~a = (−3, t2 , 4t)T und ~b = (8, 4, t)T orthogonal
zueinander sind.
2. Für welches λ ∈ R gilt ~a +λ~b ⊥ ~c mit ~a = (2, 3, −1)T , ~b = (0, −1, 2)T und ~c = (2, −2, 5)T ?
√
3. Berechnen Sie einen Vektor der Länge 2 6, der senkrecht auf den Vektoren ~a = (1, 2, 0)T
und ~b = (0, 1, 1)T steht.
4. Berechnen Sie den Schnittwinkel, unter dem sich die Diagonalen eines Würfels schneiden.
5. Zeigen Sie, daß die Vektoren (2, −14, 5)T , (11, −2, −10)T , (−10, −5, −10)T einen Würfel
aufspannen!
6. In welchem Punkt und unter welchem Winkel schneiden sich die beiden Geraden



 



−3
1
1
9
g1 : r~1 (t) =  −2  + t  5  und g2 : r~2 (s) =  4  + s  −9 .
1
4
−4
9
7. Die Gerade g1 gehe durch die Punkte (2, 4) und (3, 2) und die Gerade g2 durch die Punkte
(−2, −1) und (−4, 3). Zeigen Sie, daß die beiden Geraden parallel sind und bestimmen
Sie den Abstand, den sie voneinander haben.
8. Die Ebene E1 sei gegeben durch die Gleichung 5x − 12y + z + 23 = 0 und die Ebene E2
durch die Punkte P1 = (−1, 4, −1), P2 = (0, −6, 2) und P3 = (3, 0, −1). Berechnen Sie
den Schnittwinkel der beiden Ebenen.
9. Finden Sie einen Vektor der Länge 6, der senkrecht auf der Ebene durch die Punkte
A = (1, 5, 1), B = (−4, 2, 1) und C = (2, 0, −2) steht!
10. Für welche a, b ∈ R sind die Ebenen E1 : 6x − 3z + 1 = 0 und E2 : ax + by + z − 3 = 0
a) parallel,
b) orthogonal?
11. In welchem Punkt durchstößt eine Gerade g, die auf der Ebene E : x − 2y + 2z = 3
senkrecht steht und den Punkt P = (6, −8, 13) enthält, die Ebene E?
12. Die Ebene E ist durch die Punkte (1, 0, 0), (0, 2, 0) und (0, 0, 3) gegeben. Bestimmen Sie:
a) eine parameterfreie Darstellung von E,
b) die Schnittgerade von E mit der x, y−Ebene.
13. Drei ehemalige Studienkollegen wohnen in Köln, München und Berlin. In einem geeigneten
Koordinatensystem läßt sich die Lage der Städte wie folgt beschreiben: K = (7, 51),
M = (12, 48) und B = (13, 53). Die drei wollen sich wiedersehen und vereinbaren einen
Treffpunkt, zu dem es jeder der drei Freunde gleich weit hat. Welche Koordinaten hat
dieser Treffpunkt?
√
14. Der Kreis um den Ursprung mit Radius r = 10 wird von der Geraden y = 2x − 5
geschnitten.
Berechnen Sie die Länge s und den Mittelpunkt S der herausgeschnittenen Sehne.
3
Schriftliche Aufgaben:
Abgabe in den Übungen der 7. Semesterwoche:
7.1 Gegeben seien die Vektoren ~a = (1, 1, 1)T und ~b = (2, 0, 1)T .
a) Bestimmen Sie die Summe und das Skalarprodukt dieser Vektoren.
b) Ermitteln Sie einen Vektor ~c, der sowohl auf ~a als auch auf ~b senkrecht steht.
c) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Dreiecks, das von ~a und ~b aufgespannt wird.
d) Berechnen Sie das Volumen des Parallelepipeds, welches von ~a, ~b und dem Vektor
d~ = (−1, 2, 0)T aufgespannt wird.
7.2 Die Punkte A = (0, 0, 0), B = (3, 6, 2) und C = (1, 2, −2) seien die Eckpunkte eines
Dreiecks im R3 .
Berechnen Sie den Umfang des Dreiecks. Ist das Dreieck rechtwinklig? (Begründung!)
Abgabe in den Übungen der 8. Semesterwoche:
8.1 Gegeben seien die Punkte P1 = (−1, −2, −3) und P2 = (3, 2, 1) im Raum.
Bestimmen Sie alle Punkte P = (x, y, z) des Raumes, die von P1 und P2 den gleichen
−−→
−−→
Abstand haben, d.h. für die gilt |P1 P | = |P2 P | .
8.2 Gegeben seien die drei Punkte P1 = (1, 2, 2), P2 = (2, 1, −2) und P3 = (1, 0, 1).
a) Zeigen Sie, daß diese drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen.
−−→
−−→
b) Welchen Winkel schließen die Vektoren OP1 und OP2 ein?
8.3 Die Geraden g1 und g2 seien gegeben durch


 
1
0
g1 : ~r(t) =  1  + t  −1 
0
2


 
0
b
g2 : ~r(s) =  0  + s  a 
−3
2
t∈R
s, a, b ∈ R .
a) Ist es möglich, a und b so zu wählen, daß die Geraden parallel sind? (Begründung!)
b) Ist es möglich, a und b so zu wählen, daß sich die Geraden schneiden. Wenn ja,
dann geben Sie a und b sowie die Koordinaten vom Schnittpunkt an.
Abgabe in den Übungen der 9. Semesterwoche:


 
1
3
9.1 Gegeben seien die Gerade g : ~r(t) =  5  + t  2  und die drei Punkte
−1
7
P1 = (1, 1, 0), P2 = (0, 0, −5) und P3 = (2, 1, 2).
a) Geben Sie die parameterfreie Gleichung der Ebene E an, in der diese drei Punkte
liegen.
b) Ermitteln Sie den Durchstoßpunkt der Geraden g durch die Ebene E.
c) Geben Sie die Gerade an, die durch den Durchstoßpunkt verläuft und senkrecht auf
E steht.
4