47 Seien beliebige natürliche Zahlen. Die Gültigkeit

47
Seien 2 ≤ k < k + 1 < n beliebige natürliche Zahlen. Die Gültigkeit der Gleichung ist zu
beweisen oder zu widerlegen.
⎛ n − 2 ⎞ n −1 ⎛ n ⎞ k
= ⎜ ⎟⋅
⎜
⎟⋅
⎝ k − 2 ⎠ k −1 ⎝ k ⎠ n
Lösung:
⎛ n − 2 ⎞ n −1
(n − 2)!⋅ (n − 1)
(n − 2)!⋅ (n − 1)
(n − 1)!
=
=
=
⎜
⎟⋅
⎝ k − 2 ⎠ k − 1 (n − 2 − (k − 2))!⋅ (k − 2)!⋅ (k − 1) (n − k)!⋅ (k − 2)!⋅ (k − 1) (n − k)!⋅ (k − 1)!
⎛n⎞ k
n!⋅ k
(n − 1)!
=
⎜ ⎟⋅ =
⎝ k ⎠ n (n − k)!⋅ k!⋅ n (n − k)!⋅ (k − 1)!
Was zu beweisen war.