Ahnlichkeit und Strahlensätze

Ähnlichkeit und Strahlensätze
Rainer Hauser
Februar 2015
1
1.1
Ähnlichkeit von geometrischen Objekten
Vergrösserungen und Änderung der Masseinheiten
Betrachtet man die beiden Dreiecke A1 B1 C1 und
A2 B2 C2 in der nebenstehenden Abbildung, so haben sie eine gewissen Ähnlichkeit. Die Seiten des
grösseren Dreiecks sind 2.54-mal so lang wie diejenigen des kleineren Dreiecks. Es gilt also für die
Seitelänge A2 B2 = 2.54 · A1 B1 . Weil man die Einheiten in der Mathematik häufig weglassen und
rein mit Zahlen rechnen kann, sollte es keine Rolle spielen, ob man die Seitenlängen in der uns gebräuchlichen Einheit Zentimeter oder in der im angelsächsischen Raum üblichen Einheit Inch angibt,
wobei 1 Inch gleich lang ist wie 2.54 Zentimeter.
Rechnet man also nur in Zahlen, so sind die Seitenlängen in den beiden nebenstehenden Dreiecken gleich, wobei das kleinere Dreieck in Zentimeter und
das grössere Dreieck in Inch gemessen ist. Weil die entsprechenden Dreieckseiten parallel sind, müssen
auch die einander entsprechenden Winkel in beiden Dreiecken gleich gross sein.
Dass man geometrische Objekte verkleinern und vergrössern kann, kennen wir aus dem Alltag. Wohnungspläne oder Landkarten, die Objekte in der Welt in verkleinerter Form darstellen, oder das Modell
eines Hauses im Kleinformat, mit dem ein Architekt dem zukünftigen Hausbesitzer zeigt, wie das geplante
Gebäude einmal aussehen wird, sind zwei- und dreidimensionalen Beispiele. Die wesentlichen Eigenschaften wie beispielsweise Winkel sollten im verkleinerten Modell und im realen Objekt gleich gross sein.
1.2
Verhältnisse und direkte Proportionalität
Eine weitere Beziehung, die in einem geometrischen Objekt und seinem skalierten Bild übereinstimmen,
sind die Grössenverhältnisse. Ist in einem rechteckigen Raum im Wohnungsplan die Länge doppelt so
gross wie die Breite, so gilt das auch im Raum selber. Das ist eigentlich klar, weil alle Längen um den
gleichen Faktor gestaucht worden sind, als man von der Wohnung den Plan erstellte, sodass sich dieser
Faktor heraus kürzt, wenn man das Verhältnis bildet. Sei der Plan im Verhältnis 1 : 100 erstellt worden,
so entspricht ein Meter in der Wohnung einem Zentimeter im Plan. Ist der Raum also sechs Meter lang
und drei Meter breit, so ist der Raum auf dem Plan sechs Zentimeter lang und drei Zentimeter breit.
Daraus folgt offensichtlich auch, dass die entsprechenden Längen zueinander proportional sind. Der
Proportionalitätsfaktor ist die Skalierungsgrösse. Im Beispiel des Wohnungsplans ist der Proportionalitätsfaktor also 100 oder 0.01 je nachdem, ob man von den Längen in der Wohnung auf die Längen
im Plan oder umgekehrt schliessen will. Weil im Dezimalsystem Zehnerpotenzen besonders einfach sind,
sind bei Plänen Verhältnisse wie 1 : 10 oder 1 : 100 und bei Landkarten Verhältnisse wie 1 : 10 000
und 1 : 100 000 oder – etwas weniger einfach zum Umrechnen – 1 : 25 000 oder 1 : 50 000 gebräuchlich.
Bei Verhältnissen hat sich eingebürgert, dass man sie mit ganzen Zahlen und nicht mit Dezimalbrüchen
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angibt. Für die beiden Dreiecke in der obigen Abbildung würde man also nicht 1 : 2.54, sondern eher
100 : 254 oder 50 : 127 schreiben.
1.3
Ähnlichkeit von Dreiecken
Die eben beschriebene Eigenschaft von zwei geometrischen Objekten, dass sie durch Skalierung ineinander
übergehen, lässt sich mathematisch sauber beschreiben. Für den Hausgebrauch genügt aber ein intuitives
Verständnis. Diese Eigenschaft heisst Ähnlichkeit, sollte aber nicht mit dem umgangssprachlichen Begriff
verwechselt werden. Zwei Personen sehen sich ähnlich, wenn sie sich gleichen. Das lässt sich aber nicht
mit dem Massstab nachweisen, wie das bei der Ähnlichkeit von Dreiecken der Fall ist.
Weil die Ähnlichkeit besonders häufig bei Dreiecken gebraucht wird, benutzen wir hier eine Eigenschaft
ähnlicher Dreiecke als Definition. Zwei Dreiecke sind genau dann ähnlich, wenn sie je zwei gleich grosse
Winkel haben. Der dritte Winkel muss dann wegen der Winkelsumme im Dreieck ebenfalls in beiden
Dreiecken gleich gross sein. Haben zwei Dreiecke A1 B1 C1 und A2 B2 C2 gleiche Winkel bei A1 und A2
sowie bei B1 und B2 , so gilt A1 B1 : A2 B2 = A1 C1 : A2 C2 = B1 C1 : B2 C2 .
1.4
Aufgaben
Aufgabe 1
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die beiden Kathetenlängen a1 = 30 und b1 = 40. Ein dazu ähnliches
Dreieck hat die Kathete a2 = 45. Bestimmen Sie die beiden anderen Dreiecksseiten des grösseren Dreiecks.
Aufgabe 2
Begründen Sie, weshalb auch die entsprechenden Höhen in zwei ähnlichen Dreiecken im gleichen Verhältnis
stehen wie die Seiten.
1.5
Lösungen
Lösung der Aufgabe 1
Das Dreieck mit den Katheten a1 und b1 ist rechtwinklig, womit auch das andere Dreieck rechtwinklig
sein muss. Die Hypotenuse ist c1 = 50 gemäss Satz von Pythagoras. Weil a2 = 1.5 · a1 gilt, ist das Dreieck
mit der Kathete a2 das grössere Dreieck, und für die beiden anderen Seiten gilt ebenfalls b2 = 1.5 · b1 = 60
und c2 = 1.5 · c1 = 75.
Lösung der Aufgabe 2
Die Winkel bei A, B und C sind bei beiden Dreiecken gleich, weil sie ähnlich sind.
Die Höhe steht immer senkrecht auf der Grundseite, sodass der Winkel bei D im
Dreieck BCD 90◦ sein muss. Die beiden ähnlichen Dreiecke BCD haben somit bei
B und D die gleichen Winkel und sind gemäss unserer Definition ebenfalls ähnlich.
Dasselbe gilt für das Dreieck ACD. (In der nebenstehenden Abbildung ist nur eines
der beiden Dreiecke gezeigt.)
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2.1
Strahlensätze und zentrische Streckung
Drei verwandte Konzepte
Im Bereich Ähnlichkeit von geometrischen Objekten gibt es drei Konzepte, die miteinander verwandt
sind. Das eine Konzept ist die Ähnlichkeit, bei der Objekte ausser in Bezug auf ihre Grösse gleiche
Eigenschaften zeigen wie etwa das Modell eines Hauses in Styropor und die Hauspläne dazu, die einem
zukünftigen Bewohner die räumlichen Beziehungen im Massstab 1 : 100 zeigen. Dabei ist das Modell
dreidimensional, während die Pläne zweidimensional sind. Die Ähnlichkeit ist also ein Konzept sowohl
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für beliebige räumliche wie auch planare Objekte. Ein zweites Konzept ist die zentrische Streckung, die
eine Abbildung in der Ebene oder im Raum definiert, bei der Strecken in einem bestimmten Verhältnis
vergrössert oder verkleinert werden. Das dritte Konzept sind die so genannten Strahlensätze.
2.2
Zwei Strahlensätze
Gegeben sind zwei parallele Geraden g1 und g2 und ein Punkt
A, der nicht auf diesen Geraden und somit entweder zwischen
den beiden Geraden oder ausserhalb wie in der nebenstehenden Abbildung liegt. Wenn vom Punkt A aus zwei Strahlen s1
und s2 die beiden parallelen Geraden g1 und g2 schneiden, so
müssen die entstehenden Winkel β bei den Schnittpunkten B1
und B2 beziehungsweise die Winkel γ bei den Schnittpunkten C1 und C2 gleich sein. Somit sind die beiden Dreiecke
AB1 C1 und AB2 C2 gemäss unserer oben eingeführten Definition ähnlich. Weil die beiden Dreiecke ähnlich sind, müssen
die Seitenverhältnisse gleich sein. Das sind denn auch die Behauptungen der beiden Strahlensätze.
Der erste Stahlensatz besagt, dass AB1 : AB2 = AC1 : AC2
gilt, während der zweite Strahlensatz für die Seiten auf den
Parallelen besagt, dass AB1 : AB2 = B1 C1 : B2 C2 gilt. Zusammenfassend lässt sich also AB1 : AB2 = AC1 : AC2 = B1 C1 : B2 C2 sagen. Die Strahlensätze gelten
unabhängig davon, ob A zwischen den beiden parallelen Geraden liegt oder ausserhalb.
Der so genannte Daumensprung, mit dem man die Entfernung eines Gegenstandes in der Landschaft
schätzen kann, basiert auf den Strahlensätzen und darauf, dass man Grössen besser schätzen kann als
Entfernungen. Weil der Daumen einer Hand bei ausgestrecktem Arm etwa 70 Zentimeter vom Auge entfernt ist, während der Augenabstand etwa 7 Zentimeter beträgt, ist das Verhältnis etwa 1 : 10, hängt aber
offensichtlich von der Person ab. Springt der Daumen also etwa 12 Meter auf der Fassade eines Hauses,
wenn ich erst mit dem einen Auge und dann mit dem anderen Auge meinen Daumen bei ausgestrecktem
Arm beobachte, so ist das Haus etwa 120 Meter entfernt.
2.3
Zentrische Streckung
Will man eine geometrische Figur wie das Viereck A1 B1 C1 D1 in der nebenstehenden Abbildung proportional vergrössern oder verkleinern, sodass die entstehende Figur zur ursprünglichen Figur ähnlich ist, so kann man das mit
einer zentrischen Streckung erreichen. Man legt einen Punkt Z fest und zieht
von ihm aus Geraden durch die Punkte der ursprünglichen Figur, skaliert die
Strecken zwischen Z und diesen Punkten mit dem gewünschten Faktor und bekommt so die skalierte Figur. In der nebenstehenden Abbildung ist der Faktor
1.5 benutzt worden. Somit sind die Strecken von Z zu den Punkten A2 , B2 , C2
und D2 anderthalb mal so lang wie die Strecken von Z zu den entsprechenden
Punkten A1 , B1 , C1 und D1 .
Während der erste Strahlensatz sagt, dass ZA1 : ZA2 = ZB1 : ZB2 gilt, falls
die Strecken A1 B1 und A2 B2 parallel sind, benutzt die zentrische Strecke die
umgekehrte Tatsache, dass die beiden Strecken A1 B1 und A2 B2 parallel sind,
falls die Verhältnisse ZA1 : ZA2 und ZB1 : ZB2 gleich sind. Die zentrische
Streckung kann in der Ebene oder im Raum benutzt werden. Weil das Streckzentrum Z mit zwei Punkten der zu streckenden Figur und deren Bildpunkten
immer in einer Ebene liegt, bleiben die Strahlensätze anwendbar.
Der so genannte Pantograph, der auch als Storchenschnabel bezeichnet wird, ist ein Gerät, mit dem
man Zeichnungen vergrössern oder verkleinern kann. Seine Funktionsweise beruht auf der zentrischen
Streckung, die mechanisch ausgenutzt wird.
3
2.4
Aufgaben
Aufgabe 3
Um die Höhe eines Turmes zu bestimmen, messen Sie erst die Länge des Turmschattens AC = 17.2 m und stellen anschliessend beim Punkt B einen zwei
Meter hohen Stab auf, sodass er ganz im Schatten des Turms steht, der oberste
Punkt aber in der Sonne sein würde, wenn man ihn ein wenig hebt. Die linke
obere Ecke des Turms, die Spitze des Stabs und der Punkt A liegen also auf
einer Geraden. Sie messen weiter den Abstand AB = 1.35 m. Bestimmen Sie
mit diesen Angaben die Höhe des Turms.
Aufgabe 4
Gegeben ist das Trapez in der nebenstehenden Abbildung, bei dem die Längen
a = 10.0 cm, c = 7.5 cm und h = 6.0 cm gegeben sind. Wenn man die beiden
Trapezseiten AD und BC nach oben verlängert, bis sie sich im Punkt P schneiden,
entsteht ein Dreieck ABP . Bestimmen Sie dessen Höhe auf die Seite AB.
2.5
Lösungen
Lösung der Aufgabe 3
Gemäss den Strahlensätzen ist das Verhältnis des Abstandes AB zur Stablänge gleich dem Verhältnis des
Abstandes AC zur Turmhöhe. Somit gilt 2 : 1.35 = h : 17.2 für die Höhe h des Turms. Daraus folgt aber
2 · 17.2
h=
, und die Turmhöhe misst vernünftig gerundet 25.5 m.
1.35
Lösung der Aufgabe 4
Weil DC : AB = c : a = 3 : 4 gilt, muss auch P D : P A = P R : P Q = 3 : 4
sein. Es gilt also P R : (P R + 6) = 3 : 4. Setzen wir P R = x, bekommen wir die
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x
= , die man in 4x = 3(x + 6) = 3x + 18 umformen kann, was
Gleichung
x+6
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zur Lösung x = 18 führt. Die Länge P R ist also 18 cm, womit die gesuchte Höhe
P Q im Dreieck ABP 24 cm ist. (Diese Aufgabe kann man auch ohne Gleichung
lösen, denn h muss ein Teil sein, wenn P R drei und P Q vier Teile ist. Somit ist die
gesuchte Höhe 4 · 6 cm.)
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