Formelsammlung elektrische Antriebe

Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger
Formelsammlung elektrische Antriebe
Formelsammlung elektrische Antriebe
• Gleichstrommaschine
• Wechselstromreihenschlussmaschine
• Synchronmaschine • Asynchronmaschine
• Antriebsauslegung • Kinematik
• Gleich- und Wechselstromtechnik
• Mathematik
Hochschule Hannover
Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger
Version 2017-01-05a
1 Übersicht
Dieses Dokument enthält eine Sammlung von Gleichungen für elektrische Maschinen und
Antriebe. Mit den Gleichungen ist eine Bearbeitung vieler praktischer Fragestellungen zur
Anwendung elektrischer Antriebe möglich. Sie stellen eine Hilfe zur Lösung der schriftlichen
Prüfungen im Fach elektrische Antriebe dar.
Wichtiger Hinweis
Diese Formelsammlung wurde mit größter Sorgfalt erstellt und geprüft. Trotzdem sind Fehler
in den Gleichungen, Grafiken und Erläuterungen nicht ausgeschlossen. Eine Gewährleistung
für die Richtigkeit kann nicht übernommen werden.
2017-01-05a
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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsverzeichnis
1 Übersicht
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2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen und Antrieben
2.1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Bemessungspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Wirkungsgradklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3.1 Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten für mittlere
sungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz . . . . . . . . . . . .
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Bemes. . . . .
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3 Gleichstrommaschine
3.1 Arten von Gleichstrommaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Leistungszuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Ankerwindungszahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Berechnung des Drehmomentes aus geometrischen und magnetischen Größen .
3.5 Magnetischer Fluss und Erregerstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.6 Berechnung des Drehmoments aus Bemessungsgrößen oder anderen Betriebspunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7 Berechnung der induzierten Spannung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.8 Betriebskennlinie Permanentmagnet erregte Gleichstrommaschine . . . . . . .
3.9 Betriebskennlinie fremderregte Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . .
3.10 Betriebskennlinie Gleichstromreihenschlussmaschine . . . . . . . . . . . . . .
3.11 Leistungen und Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.12 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.13 Drehzahlstellen Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4 Wechselstromreihenschlussmaschine (Universalmotor)
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5 Synchronmaschine
5.1 Arten von Synchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Leistungszuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Leistungsbilanz, Blindleistungsbilanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4 Drehzahl bei Betrieb am starren Netz mit konstanter Frequenz . . . . . . . . .
5.5 Polradspannung, induzierte Spannung aus dem Rotormagnetfeld . . . . . . . .
5.6 Polradspannung, induzierte Spannung aus Bemessungsdaten oder anderem Betriebspunkt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.7 Drehmoment aus dem Rotormagnetfeld und dem Statorstrom . . . . . . . . . .
5.8 Bemessungsbetrieb am starren Netz mit Bemessungsfrequenz . . . . . . . . . .
5.8.1 Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesättigter Synchronmaschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
5.9
5.10
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5.12
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5.14
5.15
5.16
5.17
5.18
5.19
5.20
Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb am Frequenzumrichter mit variabler Frequenz oder Netz mit abweichender Frequenz . . . . . . . . . . . . . .
5.9.1 Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase . . . . . . . . . . . .
5.9.2 Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung
und Strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verluste . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reaktanzen Vollpolmaschine, weitere Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Spannungsgleichungen Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . .
5.13.1 Bezugsgröße Spannung für komplexe Gleichungen . . . . . . . . . . .
5.13.2 Vorgabe Statorstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.13.3 Polradspannung aus Statorspannung und Statorstrom . . . . . . . . . .
Drehmoment, Kippmoment Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . .
Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
V-Kurve Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Komplexe Spannungsgleichungen Schenkelpol-Synchronmaschine . . . . . . .
Drehmoment Schenkelpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromortskuve Schenkelpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . .
Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung . . . . . . .
6 Asynchronmaschine
6.1 Arten Asynchronmaschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2 Leistungszuordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3 Drehzahl, synchrone Drehzahl, Polpaarzahl, Schlupf . . . . . . . . . . . . . .
6.4 Bemessungsbetrieb am starren Netz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.5 Asynchronmotor Kennlinie bei fester Frequenz und Spannung . . . . . . . . .
6.6 Rotorfrequenz, Schlupf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.7 Synchrondrehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.8 Schlupf, Drehzahl, Rotorfrequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.9 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrängung für vernachlässigbaren Statorwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.10 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrängung für nicht vernachlässigbaren Statorwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.11 Abhängigkeit der Drehmomente von der Spannung . . . . . . . . . . . . . . .
6.12 Strom und Drehmoment aus Bemessungsgrößen bei kleinem Schlupf . . . . . .
6.13 Leistungen und Verlustleistungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.14 Wirkungsgrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.15 Drehzahlstellen Asynchronmaschine, Betrieb mit variabler Spannung und Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16 Komplexe Spannungsgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.16.1 Festlegung Bezugsgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17 Stromortskurve der Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.1 Drehmoment und Leistung aus der Ortskurve . . . . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
6.17.2 Parametergerade (Schlupfgerade) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.3 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten Ersatzschaltbildelementen aus 3 Betriebspunkten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.4 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten Ersatzschaltbildelementen aus Mittelpunkt und Radius . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.17.5 Zeichnen der Stromortskurve bei vernachlässigbarem Statorwiderstand
und konstanten Ersatzschaltbildelementen . . . . . . . . . . . . . . . .
6.18 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung . . . . . . .
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7 Einschalten elektrischer Antriebe
7.1 Stern-Dreieck-Anlauf Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7.2 Anlauf mit verminderter Spannung, Sanftanlaufgeräte . . . . . . . . . . . . . .
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8 Antriebsauslegung
8.1 Berücksichtigung der Umgebungstemperatur und Aufstellungshöhe, Spannung
und Frequenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.2 Betriebsarten nach IEC 60034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3 Betriebsarten S2, S3, S6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.1 Kurzzeitbetrieb S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.3.2 Ununterbrochener periodischer Aussetzbetrieb S3 . . . . . . . . . . . .
8.3.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Aussetzbelastung S6 . . . .
8.4 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen S8 Effektivmoment und mittlere Drehzahl bei linearer Dauerkennlinie . . . . . . .
8.4.1 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1 min , T ≤ 60 s bei linearer Dauerbetriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.2 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1 min , T ≤ 60 s bei nichtlinearer Dauerbetriebskennlinie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8.4.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1 min , T > 60 s . . . . .
8.4.4 Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahländerungen – S2 + S8 . . . . .
8.5 Schutzklassen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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9 Gleichungen der Gleich- und Wechselstromtechnik
9.1 Gleichstrom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.2 Elektrischer Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.3 Ohm’sches Gesetz, Gleichungen Widerstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.4 Grundgleichung zur Berechnung von Gleichstromkreisen/ -Netzwerken . . . .
9.5 Wechselstromtechnik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.1 Allgemeines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.2 Effektivwert und Gleichrichtwert bei beliebigem periodischem Zeitverlauf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.5.3 Effektivwert und Gleichrichtwert bei Sinusgrößen . . . . . . . . . . .
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Inhaltsverzeichnis
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9.5.4 Spannungsabfall, Impedanz, Reaktanz . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehstrom – symmetrisches Drehstromnetz, symmetrischer Drehstromverbraucher . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.1 Zeitverläufe und komplexe Spannungen und Ströme . . . . . . . . . .
9.6.2 Komplexe Drehströme und -spannungen, Zeigerdarstellung . . . . . . .
9.6.3 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung . . .
9.6.4 Leistung im Drehstromsystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9.6.5 Widerstand zwischen zwei Klemmen eines Drehstromverbrauchers/
Drehstromgenerators . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 Kinematische Grundgleichungen
10.1 Kinetische Grundgleichungen für translatorische Bewegungen mit konstanter
Beschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.2 Kinetische Grundgleichungen für translatorische Bewegungen mit konstanter
Geschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.3 Kinetische Grundgleichungen für rotatorische Bewegungen mit konstanter
Winkelbeschleunigung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.4 Kinetische Grundgleichungen für rotatorische Bewegungen mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.5 Kinetische Energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.6 Kraft und Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.7 Impuls und beschleunigte Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.8 Drehimpuls und beschleunigte Massenträgheit . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10.9 Berechnung von Trägheitsmomenten für Zylinder, Kugel und Quader . . . . .
10.10Umrechung von Massen und Massenträgheiten auf eine Bezugswelle . . . . . .
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11 Einheiten und Vorsatzzeichen für Einheiten
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11.1 SI-Einheiten, Vorsatzzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
11.2 Umrechnung zwischen verschiedenen Einheitensystemen . . . . . . . . . . . . 100
12 Konstanten
106
13 Schaltzeichen elektrischer Maschinen
107
14 Grundlagen Magnetfeld
14.1 Grundlegende Zusammenhänge im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.2 Magnetischer Fluss und Flussverkettung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3 Durchflutungssatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.1 Durchflutungssatz beim unverzweigten Magnetkreis mit abschnittweise
konstanten Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.3.2 Durchflutungssatz beim verzweigten Magnetkreis mit abschnittsweise
konstanten Größen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.4 Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand, magnetischer Leitwert . . .
14.5 Spannungsinduktion im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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14.6 Selbstinduktivität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.1 Selbstinduktivität einer Spule mit ferromagnetischem Kern und Luftspalt/nicht ferromagnetischem Material . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.2 Selbstinduktivität einer Spule mit Eisenkern/ ferromagnetischem Material ohne Luftspalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.6.3 Selbstinduktivität einer Spule mit magnetischem Kreis . . . . . . . . .
14.7 Gegeninduktivität und Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.7.1 Realer Transformator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.8 Energie des Magnetfeldes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9 Kräfte im Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9.1 Reluktanzkraft, Oberflächenkraft auf magnetisierbare Körper, z.B. Joch
oder Anker aus Eisen oder Stahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
14.9.2 Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Lorentzkraft . . . .
14.9.3 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern . . . . . . . . . . . .
14.10Energiewandlung mit dem Magnetfeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15 Mathematik
15.1 Sinus, Cosinus, Tangens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.2 Additionstheoreme für Sinus und Cosinus . . . . . . . . . . . . .
15.3 Geometrie Dreieck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4 Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.4.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . . . . . . . . . . . .
15.4.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung . . . . . . . . . . . .
15.4.3 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung . . . . .
15.4.4 Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung
15.4.5 Charakteristische Gleichung der Differentialgleichung . .
15.5 Differentiationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.6 Integrationsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.7 e-Funktion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.8 Komplexe Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
15.9 Fouriertransformation / Frequenzanalyse . . . . . . . . . . . . . .
15.9.1 Kontinuierliche Fouriertransformation . . . . . . . . . . .
15.9.2 Diskrete Fouriertransformation . . . . . . . . . . . . . . .
15.10Taylor-Entwicklung, Linearisierung . . . . . . . . . . . . . . . .
16 Griechische Buchstaben
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2
ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
2 Allgemeines zu elektrischen Maschinen und
Antrieben
Motor: wandelt elektrische Leistung in mechanische Leistung,
Pzu = PE → Pab = Pmech
Generator: wandelt mechanische Leistung in elektrische Leistung,
Pzu = Pmech → Pab = PE
2.1 Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen
Tabelle 1: Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen
Maschinenteil,
Bezeichnung
Index in
dieser
Formelsammlung
weitere
Indexe
in der
Literatur
Erläuterung
Stator, Ständer
S
1
stehender Teil der Maschine
Rotor, Läufer
R
2
drehender Teil der Maschine
Anker
a
Maschinenteil, in dem die Spannung induziert
wird, bei Gleichstrommaschinen der Rotor, bei
Synchronmaschinen der Stator
Wicklung
Leiteranordnung, in der Regel aus isolierten zu
Spulen gewickelten Drähten, bei Asynchronmaschinen auch die kurzgeschlossene Käfigwicklung des Rotors, bei Synchronmaschinen
auch die kurzgeschlossene Dämpferwicklung
Käfig,
Käfigwicklung
kurzgeschlossene Leiteranordnung aus Stäben,
die stirnseitig miteinander verbunden sind
Bürsten
Schleifring
bü
br
Schleifkontakte aus Grafit, Metall oder Mischungen zur Übertragung des Stroms vom stehenden auf einen rotierenden Maschinenteil
Metallring zur Übertragung des Stroms vom
stehenden auf einen rotierenden Maschinenteil,
häufig aus Messing CuZn oder bei hohen mechanischen Beanspruchungen aus Stahl
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 7 von 136
2
ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
Fortsetzung
Maschinenteil,
Bezeichnung
Index in
dieser
Formelsammlung
weitere
Indexe
in der
Literatur
Kommutator,
Stromwender
Erläuterung
Ring aus Metallstegen zur Übertragung des
Stroms vom stehenden auf den rotierenden Maschinenteil, der Strom wird von Steg zu Steg
kommutiert, so dass von außen gesehen der
Strom im rotierenden Maschinenteil die gleiche
Frequenz wie im stehenden Maschinenteil hat.
Stege meist aus Kupfer Cu
Leerlauf
0
Betrieb ohne Drehmoment
Kurzschluss
k
Betrieb mit kurzgeschlossenen Wicklungsanschlüssen, bei Asynchronmaschinen auch Betrieb im Stillstand oder ideller Kurzschluss mit
Schlupf s → ∞
Bemessungspunkt, N
Bemessungsbetrieb,
Nennbetrieb, Nennpunkt
Betriebspunkt unter festgelegten Randbedingungen, in der Regel auf dem Typenschild und
im Katalog angegeben, eine Maschine kann
mehrere Bemessungspunkte haben
2.2 Bemessungspunkt
Der Bemessungspunkt ist ein Betriebspunkt unter festgelegten Randbedingungen.
Index N kennzeichnet die zusammengehörenden Größen des Bemessungspunkts. Größen für
den Bemessungspunkt sind z.B.
Bemessungsleistung PN
Bemessungsdrehzahl nN
Bemessungsspannung UN
Bemessungsstrom IN
Bemessungsfrequenz fN
Bemessungsdrehmoment MN
Bemessungswirkungsgrad ηN
Bemessungsleistungsfaktor cos ϕN
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 8 von 136
2
ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
Achtung: Bemessungsdaten sind gerundete Werte, daraus berechnete weitere Daten haben
Ungenauigkeiten
Typische Randbedingungen sind
Umgebungstemperatur, Kühlmitteltemperatur: ϑu ≤ 40◦ C
Aufstellungshöhe: h ≤ 1000 m
Betriebsart, Betriebsdauer: S1 Dauerbetrieb
2.3 Wirkungsgradklassen
Die Wirkungsgrade elektrischer Maschinen sind in Wirkungsgradklassen IE eingeteilt.
IE 4 – Super Premium
IE 3 – Premium
IE 2 – Hoch
IE 1 – Standard
Die Wirkungsgrade für die Wirkungsgradklassen sind in der Norm IEC 60034-30 für verschiedene Motoren, Polpaarzahlen und Bemessungsfrequenzen angegeben.
Folgende Grafik zeigt beispielhaft die Wirkungsgradverläufe. Die exakten Werte sind der Norm
zu entnehmen [IEC 60034-30].
Abbildung 1: Wirkungsgrad für die Wirkungsgradklassen IE 1 ... IE 4 nach IEC 60034-30,
beispielhafter Verlauf für 4-polige Asynchronmaschinen für 50 Hz
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 9 von 136
2
ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
2.3.1 Interpolation von Nennwirkungsgradgrenzwerten für mittlere
Bemessungsleistungen bei 50 HzNetzfrequenz
Zur Bestimmung der Nennwirkungsgradgrenzwerte von Motoren bei 50 Hz Netzfrequenz und
Bemessungsleistung im Bereich von 0,12 kW bis zu 200 kW kann die folgende Gleichung
verwendet werden:
3
2
PN
PN
PN
ηN = A · log10
+D
(1)
+ B · log10
+C · log10
1 kW
1 kW
1 kW
mit A, B, C, D = Interpolationskoeffizienten (siehe Tabelle 2 und 3), PN in kW.
Der sich ergebende Wirkungsgrad (%) wird mathematisch auf eine Stelle nach dem Komma
gerundet, das heißt xx,x %.
Tabelle 2: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kW bis zu 0,74 kW (IEC 60034-30)
IE-Code
IE1
IE2
IE3
IE4
8-polig
6-polig
4-polig
2-polig
2p = 8, p = 4
2p = 6, p = 3
2p = 4, p = 2
2p = 2, p = 1
750/min
1000/min
1500/min
3000/min
A
5,9466
-45,9652
16,7271
11,924
B
7,9458
-87,1474
12,7136
6,3699
C
40,441
-8,2383
25,947
30,0509
D
66,146
68,7303
76,174
76,6136
A
6,4855
-15,9218
17,2751
22,4864
B
9,4748
-30,258
23,978
27,7603
C
36,852
16,6861
35,5822
37,8091
D
70,762
79,1838
84,9935
82,458
A
-0,5896
-17,361
7,6356
6,8532
B
-25,526
-44,538
4,8236
6,2006
C
4,2884
-3,0554
21,0903
25,1317
D
75,831
79,1318
86,0998
84,0392
A
-4,9735
-13,0355
8,432
-8,8538
B
-21,453
-36,9497
2,6888
-20,3352
C
2,6653
-4,3621
14,6236
8,9002
D
79,055
82,0009
87,6153
85,0641
Koeffizienten
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 10 von 136
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ALLGEMEINES ZU ELEKTRISCHEN MASCHINEN UND ANTRIEBEN
Tabelle 3: Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,75 kW bis zu 200 kW (IEC 60034-30)
IE-Code
IE1
IE2
IE3
IE4
8-polig
6-polig
4-polig
2-polig
2p = 8, p = 4
2p = 6, p = 3
2p = 4, p = 2
2p = 2, p = 1
750/min
1000/min
1500/min
3000/min
A
2,4433
0,0786
0,5234
0,5234
B
-13,8
-3,5838
-5,0499
-5,0499
C
30,656
17,2918
17,4180
17,4180
D
65,238
72,2383
74,3171
74,3171
A
2,1311
0,0148
0,0278
0,2972
B
-12,029
-2,4978
-1,9247
-3,3454
C
26,719
13,2470
10,4395
13,0651
D
69,735
77,5603
80,9761
79,077
A
0,7189
0,1252
0,0773
0,3569
B
-5,1678
-2,613
-1,8951
-3,3076
C
15,705
11,9963
9,2984
11,6108
D
77,074
80,4769
83,7025
82,2503
A
0,6556
0,3598
0,2412
0,34
B
-4,7229
-3,2107
-2,3608
-3,0479
C
13,977
10,7933
8,446
10,293
D
80,247
84,107
86,8321
84,8208
Koeffizienten
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3
GLEICHSTROMMASCHINE
3 Gleichstrommaschine
B
N
M
x
x
U
S
I
I
Wicklung mit
Windungszahl wa ,
Leiterzahl z
3.1 Arten von Gleichstrommaschinen
PM-Gleichstrommaschine, Dauermagnet erregte Gleichstrommaschine
Magnetfeld wird von Dauermagneten erzeugt, der Strom wird dem Rotor über Bürsten
und Kommutator zugeführt. In der Regel keine Wicklungen im Stator.
elektrisch erregte Gleichstrommaschine:
Magnetfeld wird vom Strom in der Erregerwicklung erzeugt, der Strom wird dem Rotor
über Bürsten und Kommutator zugeführt. Verschiedene Ausführungen:
• Fremderrgte Gleichstrommaschine:
Die Erregerspannung ist unabhängig von der Ankerspannung.
• Nebenschluss-Gleichstrommaschine:
Die Erregerspannung ist gleich der Ankerspannung; die Erregerwicklung ist parallel
zur Ankerwicklung geschaltet.
• Reihenschluss-Gleichstrommaschine:
Der Erregerstrom ist gleich dem Ankerstrom; die Erregerwicklung ist in Reihe mit
der Ankerwicklung geschaltet.
Maschinen mit Wendepolen:
In den Pollücken befinden sich Wendepole mit Wicklungen, die in Reihe mit der Ankerwicklung geschaltet sind. Die Wendepole unterstützen die Stromwendung/Kommutierung
des Ankerstroms, so dass weniger Funken auftreten und die Bürsten und der Kommutator
länger halten.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 12 von 136
3
GLEICHSTROMMASCHINE
Maschinen mit Kompensationswicklungen:
Die Hauptpole haben eine zusätzliche Wicklung, die in Reihe mit der Ankerwicklung
geschaltet ist. Die Kompensationswicklung wirkt der Feldverzerrung durch den Ankerstrombelag entgegen, so dass die Gleichstrommaschine durch den Ankerstrom nicht
zusätzlich gesättigt wird und so das Drehmoment nahezu proportional zum Ankerstrom
ist.
Tabelle 4: Größen und Formelzeichen Gleichstrommaschine
Formelzeichen
p
Einheit
Erklärung
1
Polpaarzahl
Polteilung
τ
α
1
Polbedeckungsgrad
Θ
A
magnetische Durchflutung
σ , σmech
N
m2
mechanische Schubspannung
B
T
magnetische Flussdichte
Bf
T
Flussdichte der Magneten bzw. der Erregerpole
Bm
T
mittlere Flussdichte
M
Nm
Drehmoment
Mi
Nm
inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment
MN
Nm
Bemessungsdrehmoment (früher Nennmoment)
Mreib
Nm
Reibdrehmoment
Mlüft
Nm
Lüfterdrehmoment
P
W
Leistung
PN
W
Bemessungsleistung (früher Nennleistung)
Motor: PN = Pmech
Generator: PN = Pa
Pmech
W
mechanische Leistung, hier Zuordnung
Motor: Pa > Pmech > 0,
Generator: Pa < Pmech < 0
Pa
W
Ankerleistung
Motor: Pa > Pmech > 0,
Generator: Pa < Pmech < 0
PE
W
elektrische Leistung
PVa
W
Ankerverluste, Ankerverlustleistung
PV
W
Verlustleistung
n
1
min
,
1
s
Drehzahl
Fortsetzung nächste Seite
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GLEICHSTROMMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen
Einheit
1
min
1
min
1
min
nN
n0
n0N
,
,
,
1
s
1
s
1
s
Erklärung
Bemessungsdrehzahl (früher Nenndrehzahl)
Leerlaufdrehzahl
Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung UaN
ΦP
Vs
magnetischer Fluss je Pol
U
V
Spannung
Ubü
Ui
V
Bürstenspannung
V
induzierte Spannung
UN , UaN
V
Ankerbemessungsspannung
UiN
V
induzierte Spannung bei Bemessungsdrehzahl und Bemessungsfluss
I
A
Strom
Ia
A
Ankerstrom
IN , IaN
A
Ankerbemessungsstrom
Maschinenkonstante
c
va
m
s
Ankergeschwindigkeit
Ra
Ω
Ankerwiderstand
η
1
Wirkungsgrad
ηa
1
Ankerwirkungsgrad
Uf , Uer
V
Feldspannung, Erregerspannung
If , Ier
A
Feldstrom, Erregerstrom
Rf , Rer
Ω
Erregerwicklungswiderstand, Feldwicklungswiderstand
Pf , Per
W
Erregerleistung, Leistung für die Feldwicklung
z
Zahl der Ankerleiter
znut
Leiterzahl je Nut
a
Zahl der Parallelen Zweige der Ankerwicklung
wa
wirksame Ankerwindungszahl
3.2 Leistungszuordnung
(
PN =
Pmech = 2 · π · MN · nN beim Motor
Pa = UN · IN
beim Generator
(2)
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3
GLEICHSTROMMASCHINE
3.3 Ankerwindungszahl
N · znut
z
=
2·a
2·a
wa =
(3)
(
mit Anzahl paralleler Zweige a =
2
für Wellenwicklung
2p für Schleifenwicklung
(4)
3.4 Berechnung des Drehmomentes aus geometrischen und
magnetischen Größen
Reibung, Eisenverluste und Sättigung vernachlässigt
c=
2 · p · wa
p·z
=
π
π·a
Φp =
Maschinenkonstante
2 · π · r · l · Bm 2 · π · r · l · Bf · α
=
2· p
2· p
Fluss je Pol
Mi = Φp · c · Ia
Mi = K T · Ia
(5)
(6)
(7)
mit Drehmomentfaktor K T = Φp · c
M = Mi − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(8)
(9)
3.5 Magnetischer Fluss und Erregerstrom
Bei Vernachlässigung der Sättigung und bei konstanten Widerständen gilt
ΦP
If
Uf
=
=
ΦPN IfN UfN
µ0
bP · l · wf · If
δmag
µ0 2 · π · r · l · α
=
wf · If
δmag
2· p
ΦP =
Θ = wf · If
magnetische Durchflutung Erregerwicklung
(10)
(11)
(12)
(13)
Bei Berücksichtigung der Sättigung ist der magnetische Fluss eine nichtlineare Funktion des
Erregerstroms und des Ankerstroms.
Uf
Erregerstrom
Rf
Rf ist temperaturabhängig
If =
(14)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 15 von 136
3
GLEICHSTROMMASCHINE
3.6 Berechnung des Drehmoments aus Bemessungsgrößen oder
anderen Betriebspunkten
MN =
PN
2 · π · nN
Bemessungsdrehmoment bei Motoren
(15)
Drehmoment und Ankerstrom sind bei vernachlässigbarer Sättigung, Reibung, Lüfterdrehmoment zueinander proportional:
M1 Ia1 ΦP1
=
M2 Ia2 ΦP2
(16)
Bei Sättigung muss die Abhängigkeit ΦP1 (Ia ) berücksichtigt werden.
Drehmoment aus Bemessungsdaten bei vernachlässigbarer Sättigung, Reibung, Lüfterdrehmoment:
M
Ia
=
bei ΦP = ΦPN
(17)
MN IaN
M = K T · Ia
mit Drehmomentfaktor K T =
Ia ΦP
M
=
MN IaN ΦPN
MN
I aN
bei veränderlichem magnetischen Fluss
(18)
(19)
3.7 Berechnung der induzierten Spannung
Die induzierte Spannung ergibt sich aus der Maschengleichung für den Ankerstromkreis. Bei
Ua > 0 gilt:
(
bei Motorbetrieb,
I a > 0 , U bü > 0
Ui = Ua − Ra · Ia − 2 ·Ubü · sgn(Ia )
(20)
bei Generatorbetrieb, I a < 0 , U bü > 0
Berechnung mit Betrag des Ankerstroms:
(
Ua − Ra · |Ia | − 2 ·Ubü bei Motorbetrieb
Ui =
Ua + Ra · |Ia | + 2 ·Ubü bei Generatorbetrieb
UiN = UaN − Ra · IN − 2Ubü
im Bemessungsbetrieb Motor
(21)
(22)
Induzierte Spannung aus Rotordrehung, Ankerdrehung:
Ui = 2 · wa · va · l · Bm
induzierte Spannung
(23)
= 2 · wa · 2 · π · r · n · l · Bm
(24)
= 2 · wa · 2 · π · r · n · l · α · Bf
(25)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 16 von 136
va = 2 · π · r · n
3
GLEICHSTROMMASCHINE
Geschwindigkeit der Ankeroberfläche
(26)
Induzierte Spannung aus Fluss und Maschinenkonstante:
Ui = 2 · π · n · ΦP · c
Ui = 2 · π · K T · n
Ui = K E · n
(27)
mit Drehmomentfaktor K T = ΦP · c
mit Spannungsfaktor K E = 2 · π · ΦP · c = 2 · π · K T
(28)
(29)
Die induzierte Spannung ist proportional zur Drehzahl:
Ui1 n1
=
Ui2 n2
wenn ΦP1 = ΦP2
Ui1 n1 ΦP1
=
Ui2 n2 ΦP2
(30)
bei veränderlichem magnetischen Fluss
(31)
Ui1 n1 If1
=
Ui2 n2 If2
bei veränderlichem Erregerstrom ohne Sättigung
(32)
Ui1 n1 Uf1
=
Ui2 n2 Uf2
bei veränderlicher Erregerspannung ohne Sättigung, konstantem Widerstand
(33)
Berechnung aus Bemessungsgrößen:
Ui
Ui
n
=
=
UiN UaN − Ra IaN nN
wenn ΦP = ΦPN
Ui
Ui
n ΦP
=
=
UiN UaN − Ra IaN nN ΦPN
n ΦP
Ui
=
UN n0 ΦPN
Ui
n If
=
UN n0 IfN
bei veränderlichem magnetischen Fluss
bei veränderlichem magnetischen Fluss
bei veränderlichem Erregerstrom ohne Sättigung
(34)
(35)
(36)
(37)
Gesamte Ankerspannung:
Ua = Ui + Ra · Ia + 2Ubü
(38)
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3
GLEICHSTROMMASCHINE
3.8 Betriebskennlinie Permanentmagnet erregte
Gleichstrommaschine
Angabe der Gleichungen für
Motor: Pmech > 0
Generator: Pmech < 0
Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den
Proportionalitäten berücksichtigt
Ia =
Mi
c·Φ
Ankerstrom
n = n0N − (n0N − nN )
M
MN
(39)
Drehzahl, wenn ΦP = ΦPN
,
Ua = UaN
(40)
bei veränderlichem magnetischen Fluss durch Temperatur
oder Ähnliches
(41)
Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung und vernachlässigbarer
Bürstenspannung
(42)
Leerlaufdrehzahl mit Berücksichtigung der
Bürstenspannung
(43)
ΦPN
ΦPN 2 M
n = n0N
− (n0N − nN )
·
ΦP
ΦP
MN
n0N =
UaN
UaN
nN =
nN
UiN
UaN − Ra · IN
n0N =
UaN
UaN − Ra IaN − 2Ubü
3.9 Betriebskennlinie fremderregte Gleichstrommaschine
Angabe der Gleichungen für
Motor: Pmech > 0
Generator: Pmech < 0
Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den
Proportionalitäten berücksichtigt
Ia =
Mi
c·Φ
Ankerstrom
n = n0N − (n0N − nN )
M
MN
(44)
Drehzahl, wenn ΦP = ΦPN
,
Ua = UaN
(45)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 18 von 136
3
ΦPN 2 M
ΦPN
− (n0N − nN )
·
n = n0N
ΦP
ΦP
MN
GLEICHSTROMMASCHINE
bei veränderlichem magnetischen Fluss, z.B. durch Erregerstrom
ΦP
If
=
ΦPN IfN
n0N =
(46)
(47)
UaN
UaN
nN =
nN
UiN
UaN − Ra · IN
Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung
(48)
3.10 Betriebskennlinie Gleichstromreihenschlussmaschine
Ra , Ui
Rf
Ubü
Angabe der Gleichungen für
Motor: Pmech > 0
Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den
Berechnungen aus dem Bemessungspunkt berücksichtigt
I = Ia = If
Reihenschaltung Anker- und Feldwicklung
µ0
bP · l · wf · I
δmag
µ0 2 · π · r · l · α
=
wf · I
δmag
2· p
ΦP =
c=
2 · p · wa
p·z
=
π
π·a
Maschinenkonstante
(49)
(50)
(51)
(52)
Mi = Φp · c · I
(53)
Ui = 2 · π · n · ΦP · c
(54)
U = Ui + RI + 2Ubü
mit Gesamtwiderstand R = Ra + Rf
(55)
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3
µ0 r · l · α · wf · z 2
I
δmag
a
Mi =
Mi = Kr · I 2
GLEICHSTROMMASCHINE
(56)
(57)
mit
Kr =
µ0 r · l · α · wf · z
δmag
a
r
I=
Mi
Kr
Ui = 2 · π · n
(58)
(59)
µ0 r · l · α · wf · z
I
δmag
a
(60)
Ui = Ki · I · n = 2π · Kr · I · n
(61)
Ki = 2π · Kr
(62)
1 U − 2Ubü R
√
n=
−
2π
Kr
Kr Mi
(63)
Leerlaufdrehzahl aus Reibdrehmoment:
1 U − 2Ubü R
√
−
n0 =
2π
Kr Mreib Kr
Anlaufstrom und -drehmoment:
U − 2Ubü 2
Manl i = Kr
R
Ianl =
U − 2Ubü
R
Aus Bemessungsdaten:
2
M
I
=
MN
IN
n =
=
(64)
(65)
(66)
(67)
UN IN2
1 IN
U
√
·√ −
2π MN
M 2πIanl MN
(68)
1 IN
U
UN IN
√
·√ − √
2π MN
M 2π Manl MN
(69)
Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesättigt, besonders beim Anlauf mit hohen Strömen.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 20 von 136
3
GLEICHSTROMMASCHINE
3.11 Leistungen und Verluste
Angabe der Gleichungen für Verbraucherzählpfeilsystem:
Motor: Pa > Pmech > 0
Generator: Pa < Pmech < 0
Pa = Ua · Ia
Ankerleistung
PVa = Ra · Ia2
(70)
Ankerverluste
PVbü = 2 ·U bü · Ia
(71)
Bürstenübergangsverluste
Preib = 2 · π · n · Mreib
Plüft = 2 · π · n · Mlüft ,
Reibungsverluste
Mlüft ∼ n2 ,
(73)
Plüft ∼ n3
PV = PE − Pmech = Ua · Ia +Uf · If − Pmech
Pmech i = Ui · Ia
(72)
Lüftungsverluste
Gesamtverluste
innere, mechanisch Leistung
Pmech = Pmechi − Preib − Plüft
(74)
(75)
(76)
Leistung mechanisch
(77)
Pa = Ua · Ia
Ankerleistung elektrisch
(78)
Pf = Uf · If
Erregerleistung elektrisch
(79)
PE = Pa + Pf = Ua · Ia +Uf · If
Gesamtleistung elektrisch
PV = PVa + Pf + PVbü = Ra · Ia2 +Uf · If + Preib + Plüft
Gesamtverluste
(80)
(81)
3.12 Wirkungsgrad
|Ui |
Ankerwirkungsgrad motorisch, Hinweis : |Ua | > |Ui |
|Ua |
Ua − Ra · Ia
n
=
=
Ua
n0
ηa mot =
ηmot =
Pmech
Pmech
Pmech
=
=
PE
Pa + Pf Pmech + PV
ηa gen =
ηgen =
|Ua |
|Ui |
Gesamtwirkungsgrad motorisch
Ankerwirkungsgrad generatorisch, Hinweis : |Ua | < |Ui |
PE
|Pa | − Pf
|PE |
=
=
Pmech
|Pmech |
|PE | + PV
Gesamtwirkungsgrad generatorisch
(82)
(83)
(84)
(85)
(86)
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3
GLEICHSTROMMASCHINE
Tabelle 5: Spannungen von Kohlebürsten, Graphitbürsten
Bürstenwerkstoff
Bürstenspannung Ubü in V
für einen Übergang
Hartkohle
Graphit
Elektrographit
Kupfergraphit
hochohmig
1, 5...2, 5
normal
0, 5...1, 2
hochohmig
2, 0...3, 0
normal
1, 0...1, 6
niedrigohmig
0, 7...1, 0
hochohmig
1, 0...2, 0
normal
0, 8...1, 5
niedrigohmig
0, 8...1, 5
normal
0, 9...1, 5
niedrigohmig
0, 2...0, 5
Silbergraphit
0, 1...0, 5
Edelmetall
0, 01...0, 1
Quelle: Müller, Vogt, Ponick: Berechnung elektrischer Maschinen. WileyVCH (2008)
3.13 Drehzahlstellen Gleichstrommaschine
Variation der Drehzahl durch Verstellen der Ankerspannung Ua bei vollem magnetischem Fluss
ΦP = ΦPN :
n
UiN + 2 ·Ubü
nN
Ua = Ra Ia + 2πnΦP c + 2 ·Ubü
M
Mi
mit Ia =
IaN oder Ia =
MN
ΦP · c
Ua = Ra Ia +
(87)
(88)
(89)
Variation der Drehzal durch Verstellen des magnetischen Flusses ΦP bei gegebener Ankerspannung Ua :
s
ΦP
Ua
Ua 2 Ra Ia0
=
+
− 0
(90)
ΦPN 2Ui0
2Ui0
Ui
n
mit Ui0 = UiN oder Ui0 = 2 · π · n · ΦPN · c
(91)
nN
M
M
Ia0 =
IaN oder Ia0 =
(92)
MN
ΦPN · c
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 22 von 136
4
WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR)
4 Wechselstromreihenschlussmaschine
(Universalmotor)
Charakteristische Merkmale
• Aufbau wie Gleichstromreihenschlussmotor
• Hier kleine Leistungen, zum Betrieb am Wechselstromnetz für tragbare Elektrogeräte wie Bohrmaschinen, Winkelabschleifer, Handmixer etc.
• Die Motoren werden ausschließlich zweipolig ausgeführt
• Die Ankerwicklung (armature winding) wird vorzugsweise zwischen die beiden
Spulen der Erregerwicklung (excitation winding) geschaltet, um die Funkstörung
(radio interference) zu vermindern. Trotzdem sind zusätzlich Funkentstörelemente
vorzusehen
• Die Ständer werden ohne Wendepol- (commutating winding) und Kompensationswicklungen (compensating winding) ausgeführt
• Mit wenigen Ausnahmen besitzen die Motoren nur eine Drehrichtung. Dann wird
zur Verbesserung der Kommutierung eine Bürstenbrückenverdrehung (brush displacement) oder eine entsprechende Schaltung der Spulenanschlüsse (Schaltverschiebung) vorgenommen, so dass sich die Kommutierungszone nicht in der Pollückenmitte befindet
• Der Arbeitspunkt befindet sich weit im Sättigungsbereich (saturation region) der
Magnetisierungskennlinie (magnetization characteristic)
• Der typische Drehzahlbereich liegt zwischen 4 000 min-1 und 40 000 min-1
• Das vorrangige Kühlprinzip ist die Eigenkühlung (auf die Welle aufgesetzter Lüfter)
(self-ventilation)
• Die Leerlaufdrehzahl (no-load speed) wird im Gegensatz zu größeren Motoren
durch die Bürsten-, Lager- und Luftreibung und durch gerätespezifische Getriebe
begrenzt
• Die Ummagnetisierungsverluste (hysteresis and eddy-current loss) im Ständerblechpaket sind von der Frequenz des speisenden Netzes abhängig. Im Läuferblechpaket
werden sie von der Drehzahl bestimmt
• Gegenüber Gleichstrommotoren zusätzlicher induktiver Spannungsabfall
Angabe der Gleichungen für
Motor: Pmech > 0
Reibung, Sättigung, Bürstenspannung näherungsweise aus dem Bemessungspunkt in den
Berechnungen aus dem Bemessungspunkt berücksichtigt
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 23 von 136
4
WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR)
Abbildung 2: Blechschnitt eines Wechselstromreihenschlussmotors
I = Ia = If
Reihenschaltung Anker- und Feldwicklung
µ0
bP · l · wf · I
δmag
µ0 2 · π · r · l · α
=
· wf · I
δmag
2· p
ΦP =
c=
2 · p · wa
p·z
=
π
π·a
(94)
(95)
Maschinenkonstante
(96)
Mi = Φp · c · I
Ui = 2 · π · n · ΦP · c = 2 · π · n · c ·
(93)
(97)
µ0 2 · π · r · l · α
· wf · I
·
δmag
2· p
U = U i + RI + 2U bü + j · 2π · f · L · I
mit
Gesamtwiderstand R = Ra + Rf
Gesamtinduktivität L = Lf + La − Laf
(98)
(99)
( Laf : Gegeninduktivität
aufgrund der Bürstenverdrehung)
Mi =
µ0 r · l · α · wf · z 2
I
δmag
a
Mi = Kr · I 2
(100)
(101)
mit
Kr =
µ0 r · l · α · wf · z
δmag
a
(102)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 24 von 136
4
WECHSELSTROMREIHENSCHLUSSMASCHINE (UNIVERSALMOTOR)
r
Mi
Kr
I=
(103)
Ui = 2 · π · n
µ0 r · l · α · wf · z
I
δmag
a
(104)
U i = Ki · I · n = 2π · Kr · I · n
(105)
Ki = 2π · Kr
(106)
1 U − 2Ubü R
√
n=
−
2π
Kr
Kr Mi
(107)
Leerlaufdrehzahl aus Reibdrehmoment:
1 U − 2Ubü R
√
−
n0 =
2π
Kr Mreib Kr
Anlaufstrom und -drehmoment:
U − 2Ubü 2
Manl i = Kr
R
Ianl =
U − 2Ubü
R
(108)
(109)
(110)
Aus Bemessungsdaten:
M
=
MN
I
IN
2
UN IN2
U
1 IN
√
√
n =
·
−
2π MN
M 2πIanl MN
=
1 IN
U
UN IN
√
·√ − √
2π MN
M 2π Manl MN
(111)
(112)
(113)
Hinweis: Reale Maschinen sind deutlich gesättigt, besonders beim Anlauf mit hohen Strömen.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 25 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5 Synchronmaschine
W+
V+
M
UW st
U+
UV st
UU st
Windungszahl wSpule
W- U+
V+
W+
U-
V-
Abbildung 3: prinzipieller Aufbau einer Synchronmaschine mit Polradwicklung und StatorWicklungsbild. (N = 18, p = 3, 2p = 6, q = 1)
5.1 Arten von Synchronmaschinen
Vollpolmaschine:
• etwa konstanter Luftspalt
• sinusförmiges Rotormagnetfeld wird durch verteilte Erregerwicklung erreicht
• Induktivitäten etwa identisch in d-Achse und q-Achse
Schenkelpolmaschine:
• ausgeprägte Pole mit konzentrierten Wicklungen im Rotor
• sinusförmiges Magnetfeld wird durch ungleichmäßigen Luftspalt erreicht (Sinusfeldpole)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 26 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
• Induktivitäten ungleich in d-Achse und q-Achse, in der Regel Ld > Lq
Permanentmagnet/Dauermagnet erregte Maschine: Magnetfeld wird durch Permanentmagente erzeugt. Nur Wicklung im Stator.
• Dauermagnete am Luftspalt: etwa gleiche Induktivitäten in d- und q-Achse
• Dauermagnete im Rotor integriert, Eisenpole: unterschiedliche Induktivitäten in dund q-Achse, in der Regel Ld < Lq
• etwa sinusförmiges Rotormagnetfeld zum Betrieb am Netz oder zum Betrieb an
Frequenzumrichtern mit sinusförmigen Strömen und Spannungen
• etwa trapezförmiges Magnetfeld zum Betrieb mit Blockstromumrichtern als bürstenloser Gleichstromantrieb (BLDC, brushless DC)
elektrisch erregte Maschine:
Im Rotor ist eine Erregerwicklung. Das Magentfeld wird durch den Strom in der Erregerwicklung erzeugt. Verschiedene Verfahren zur Übertragung des Gleichstroms in den
Rotor (s.u.)
elektrisch erregte Maschine mit Bürsten:
Der Erregerstrom wird über Bürsten und Schleifringe in den Rotor übertragen
bürstenlos erregte Maschine:
Der Erregerstrom wird durch eine zweite Maschine auf der gleichen Welle in den Rotor
übertragen.
• Generator mit Gleichstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, rotierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischen
Leistung zum Antrieb des Generators gewonnen. Einstellung der Polradspannung
über Gleichstrom in der Statorwicklung.
• Generator mit Drehstromwicklung im Stator, Drehstromwicklung im Rotor, rotierender Gleichrichter. Gleichstromleistung im Rotor wird aus der mechanischen
Leistung zum Antrieb des Generators und der Drehstromleistung in der Statorwicklung gewonnen. Einstellung der Polradspannung über Drehspannung an der Statorwicklung.
• Transformator mit stehender Ringwicklung im Stator, drehender Ringwicklung
im Rotor, Gleichrichter im Rotor. Gleichstromleistung im Rotor wird induktiv
übertragen. Einstellung über den Strom bzw. die Spannung an der Statorwicklung.
Maschine mit Dämpferwicklung/Anlaufkäfig:
Im Rotor in den Polen kurzgeschlossene Käfigwicklung zum Anlauf und zur Dämpfung
von Drehzahlpendelungen. Alternativ auch Rotor mit elektrisch leitenden Massivpolen,
die ebenfalls einen Anlauf ermöglichen und Drehzahlpendelungen bedämpfen.
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5
SYNCHRONMASCHINE
Reluktanzmaschine
• keine Wicklung oder Magnete im Rotor
• starke Unterschiede der Induktivitäten in d- und q-Achse Ld 6= Lq
• Drehmoment entsteht durch den Induktivitätsunterschied
Synchronmaschine mit Kombination von Dauermagneterregung, elektrischer Erregung und Reluktanzverhalten
• diverse Ausführungen mit unterschiedlichen Anordnungen
Tabelle 6: Größen und Formelzeichen Synchronmaschine
Formelzeichen
Einheit
Erklärung
U st , U st
V
Strangspannung
U Nst , U Nst
V
Bemessungsstrangspannung
U P , Ui , U P , U i
V
Polradspannung, induzierte Spannung
U PN
V
Bemessungspolradspannung
UN
V
Leiterbemessungsspannung
U, U S , U S
V
Statorspannung
IS, IS
A
Ständerstrom, Statorstrom
I st , I st
A
Strangstrom
I Nst , I Nst
A
Bemesungsstrangstrom
IN
A
Bemessungsleiterstrom
LS
H
Induktivität
Ld
H
Längsinduktivität
Lq
H
Querinduktivität
f
Hz
Frequenz
fN
Hz
Bemessungsfrequenz
fs
Hz
Ständerfrequenz
ω = 2·π· f
rad
s
Kreisfrequenz
S, S
VA
Scheinleistung
SN , SN
VA
Bemessungsscheinleistung
PN
W
Bemessungsleistung (früher Nennleistung)
Motor: PN = Pmech
Generator: PN = PE
PE
W
elektrische Wirkleistung
PEN
W
Bemessungswirkleistung elektrisch
Fortsetzung nächste Seite
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5
SYNCHRONMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen
Einheit
Erklärung
Pmech
W
mechanische Leistung
PmechN
W
mechanische Leistung Bemessungsbetrieb
Q
var
Blindleistung
QN
var
Bemessungsblindleistung
cos(ϕ)
1
Leistungsfaktor
PW
W
Statorwicklungsverluste
PWN
W
Statorwicklungsverluste im Bemessungsbetrieb
Pf , Per
W
Erregerverluste, Erregerleistung
Preib
W
Reibungsverluste
Pfe
W
Eisenverluste
U f , Uer
V
Feldspannung, Erregerspannung
I f , Ier
A
Feldstrom, Erregerstrom
If0
A
Nullerregerstrom (Up = UN )
XS
Ω
Synchronreaktanz
Xd
Ω
Längsreaktanz
Xq
Ω
Querreaktanz
x
1
bezogene Synchronreaktanz
IK
A
Kurzschlussstrom
iK0
1
bezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregerstrom If0
M
Nm
Drehmoment
Mi
Nm
inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment
MN
Nm
Bemessungsdrehmoment (früher Nennmoment)
Mreib
Nm
Reibdrehmoment
Mlüft
Nm
Lüfterdrehmoment
Nm
Kippmoment
M Kipp
n
nN
1
min
1
min
,
,
1
s
1
s
Drehzahl
Bemessungsdrehzahl
RS
Ω
Statorstrangwiderstand
Rer , Rf
√
j = −1
Ω
Erregerwicklungswiderstand, Feldwicklungswiderstand
Imaginärzahl
Nm
A
KT
KE
Vs ,
V
1000 min−1
Drehmomentfaktor
Spannungsfaktor
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 29 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen
Einheit
Erklärung
w
Strangwindungszahl
weff
effektive Strangwindungszahl
T
B̂R
Scheitelwert Rotorflussdichte
r
m , mm
Bohrungsradius
l
m , mm
Blechpaketlänge
Wicklungsfaktor für das Grundfeld p
ξp
Vs
ΦP
Fluss je Pol
5.2 Leistungszuordnung
(
PN =
Pmech = 2 · π · MN · nN
beim Motor
√
PE = 3 ·UN · IN · cos ϕN beim Generator
(114)
5.3 Leistungsbilanz, Blindleistungsbilanz
PS : Aufgenommende Wirkleistung an Statorwicklung
PVW : Aufgenommende Verlustleistung an Statorwicklung
QS : Blindleistung an Statorwicklung
QS > 0 Synchronmaschine induktiv
QS < 0 Synchronmaschine kapazititv
SP = 3 ·UPst · ISst
(115)
2
QL = 3 · 2π · fS · LS · ISst
(116)
SP2 = (P + PVW )2 + (QL + QS )2
(117)
5.4 Drehzahl bei Betrieb am starren Netz mit konstanter Frequenz
n=
fS
p
fS = p · n
Drehzahl ist belastungsunabhängig
Ständerfrequenz
(118)
(119)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 30 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
Tabelle 7: Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhängig von der
Polpaarzahl
Polpaarzahl p Polzahl 2p Netzfrequenz f s = 50 Hz Netzfrequenz f s = 60 Hz
synchrone Drehzahl n0
p
2p
1
2
3000min−1
p
3000 min−1
3600min−1
p
3600 min−1
2
4
1500 min−1
1800 min−1
3
6
1000 min−1
1200 min−1
4
8
750 min−1
900 min−1
5
10
600 min−1
720 min−1
6
..
.
12
..
.
500 min−1
..
.
600 min−1
..
.
5.5 Polradspannung, induzierte Spannung aus dem
Rotormagnetfeld
ΦP =
2
l fe r B̂R
p
U Pst =
Fluss je Pol aus dem Rotormagnetfeld
√
2 · 2 π weff l fe r B̂R n = Φ P π weff p n
(120)
Polradstrangspannung, induzierte
(121)
Spannung durch das Rotorfeld
U Pst = K E n
KE =
(122)
√
√
2π 1
2 · 2 π weff l fe r B̂R = 2 p π Φ P weff =
KT
3 cos α
Spannungsfaktor
(123)
5.6 Polradspannung, induzierte Spannung aus Bemessungsdaten
oder anderem Betriebspunkt
UP1 UPst1 n1 ΦP1
=
=
UP2 UPst2 n2 ΦP2
UP1 UPst1 n1 If1
=
=
UP2 UPst2 n2 If2
(124)
ohne Sättigung
(125)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 31 von 136
5
UP1 UPst1 n1 Uf1
=
=
UP2 UPst2 n2 Uf2
SYNCHRONMASCHINE
ohne Sättigung, konstanter Widerstand
(126)
Berechnung aus Bemessungsdaten:
UPst
n ΦP
UP
=
=
UPN UPstN nN ΦPN
UP
UPst
n If
=
=
UPN UPstN nN IfN
UP
UPst
n1 Uf
=
=
UPN UPstN nN UfN
(127)
ohne Sättigung
(128)
ohne Sättigung, konstanter Widerstand
(129)
Berechnung aus Nullerregung:
UP
UPst
n ΦP
=
=
USN USstN nN ΦP0
UP
UPst
n If
=
=
USN USstN nN If0
UPst
n1 Uf
UP
=
=
USN USstN nN Uf0
(130)
ohne Sättigung
(131)
ohne Sättigung, konstanter Widerstand
(132)
5.7 Drehmoment aus dem Rotormagnetfeld und dem Statorstrom
√
2 · 3 r l fe weff B̂R I st cos α
3
= √ p Φ P weff I st cos α
2
= K T I st
Mi =
inneres Drehmoment
(134)
(135)
α = ] (I st , U Pst )
3
3
K T = √ p Φ P weff cos α =
K E cos α
2π
2
(133)
(136)
Drehmomentfaktor
(137)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 32 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.8 Bemessungsbetrieb am starren Netz mit Bemessungsfrequenz
Angabe der Gleichungen für
Motor: PE > Pmech > 0
Generator: PE < Pmech < 0
1
fN
p
nN =
Bemessungsdrehzahl (früher: Nenndrehzahl)
PEges = PEN + PerN = PEN + PfN
SN =
√
3 ·UN · IN
PEN =
(138)
gesamte elektrische Leistung
Scheinleistung
√
3 ·UN · IN · cos ϕN
(140)
elektrische Wirkleistung der Drehstromwicklung
q
√
√
QN = 3 ·UN · IN · sin ϕN = ± 3 ·UN · IN · 1 − cos2 ϕN
(139)
(141)
Blindleistung der
Drehstromwicklung
induktiv: Q > 0 ,
kapazitiv: Q < 0)
(142)
cos ϕN =
PEN
SN
sin ϕN =
QN
SN
Leistungsfaktor
Blindleistungsfaktor
q
sin ϕN = ± 1 − cos2 ϕN
If = Ier =
Uf Uer
=
Rf Rer
PmechN = PEN − PV
MN =
Pmech
2 · π · nN
Blindleistungsfaktor
(143)
(144)
(145)
Feldstrom, Erregerstrom
(146)
mechanische Leistung
(147)
Bemessungsdrehmoment Motor
(148)
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5
SYNCHRONMASCHINE
5.8.1 Einstellen der Polradspannung bei linearer, nicht gesättigter
Synchronmaschine mit elektrischer Erregung bei Bemessungsfrequenz
UPst = UPstN
UP = UPN
If
If
= USstN
IfN
If0
If
If
= USN
IfN
If0
Polradstrangspannung, ohne Sättigung
Polradspannung, ohne Sättigung
If
Uf
=
bei konstantem Widerstand
IfN UfN
If
Uf
=
bei konstantem Widerstand
If0 Uf0
(149)
(150)
(151)
(152)
5.9 Drehzahlstellen Synchronmaschine, Betrieb am
Frequenzumrichter mit variabler Frequenz oder Netz mit
abweichender Frequenz
Angabe der Gleichungen für
Motor: PE > Pmech > 0
Generator: PE < Pmech < 0
Beim Betrieb am Frequenzumrichter (FU) ist die Drehzahl variabel. Sie kann deutlich über
3000 min−1 liegen.
n=
fS
p
Drehzahl belastungsunabhängig
fS = p · n
(153)
Ständerfrequenz
(154)
Drehzahlabhängigkeit der Polradspannung, induzierten Spannung bei konstantem Fluss, z.B.
Permanentmagnete oder konstanter Erregerstrom:
UP
n
f
=
=
UPN nN
fN
UP = K E · n
Polradspannung, induzierte Spannung
mit Spannungsfaktor K E =
UPN
nN
(155)
(156)
Polradspannung bei linearer, nicht gesättigter Synchronmaschine mit veränderlicher elektrischer Erregung:
UPst = UPstN
If n
If n
·
= UstN ·
IfN nN
If0 nN
Polradstrangspannung
(157)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 34 von 136
5
UP = UPN
Mi = 3 ·
If n
If n
·
= UN ·
IfN nN
If0 nN
SYNCHRONMASCHINE
Polradspannung
1
·UPst · Ist · cos ] (I st , U Pst )
Drehmoment
2π · n
1
·UPst · cos ] (I st , U Pst )
2π · n
bei konstantem Winkel zwischen Polradspannung und Strom
Mi = K T · I st
mit Drehmomentfaktor K T = 3 ·
(158)
(159)
(160)
M = Mi − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(161)
Pmech = 2 · π · n · M
(162)
mechanische Leistung
= 3 ·UPst · Ist · cos ] (I st , U Pst ) − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(163)
5.9.1 Betrieb mit Strom und Polradspannung in Phase
Speziell für den Fall, dass Strom und Polradspannung in Phase sind, also in die gleiche Richtung
zeigen, gelten die folgenden Gleichungen:
α = ] (I st , U Pst ) = 0
USt =
q
Winkel vom Strom zur Polradspannung
(UPSt + RS · ISt )2 + (ωS · LS · ISt )2
Statorstrangspannung
(164)
(165)
n
nN
(166)
ωS = 2 · π · p · n
(167)
UPSt = UPNSt
r
USt =
ISt =
(UPNSt
M
KM
Statorstrangspannung
Statorstrangstrom
s
USt =
n
+ RS · ISt )2 + (2πpnLS ISt )2
nN
RS
UPSt + M
KT
2
2
LS
+ ωS M
KT
(168)
(169)
Statorstrangspannung
(170)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 35 von 136
5
s
n
RS
UPNSt + M
nN KT
USt =
2
2
LS
+ 2πpn M
KT
SYNCHRONMASCHINE
Statorstrangspannung
(171)
Drehmoment bei Vernachlässigung Reibung, Sättigung und Eisenverluste:
M∼I
Drehmoment ist proportional zum Strom
I
M
=
MN IN
Mi = 3 ·
(172)
(173)
1
·UPst · Ist
2π · n
Pmech i = 3 ·UPst · Ist
Drehmoment
(174)
mechanische Leistung
(175)
Drehmoment mit Drehmomentfaktor:
M = KT · I
mit Drehmomentfaktor K T =
MN
IN
(176)
Leerlaufdrehzahl bei Bemessungsspannung mit variabler Frequenz und konstantem Fluss:
n0 = nN
UN
UPN
f0 = p · n0
Leerlaufdrehzahl
variable Frequenz
(177)
(178)
5.9.2 Betrieb Vollpolmaschine mit festem Winkel zwischen Polradspannung und
Strom
α = ](I St , U Pst ) 6= 0
(179)
Drehmoment bei vernachlässigter Reibung, Sättigung und Eisenverlusten
Mi = 3 ·
1
·UPst · Ist · cos(α) Drehmoment
2π · n
1
·UPst · ·cosα
2π · n
bei konstantem Winkel α zwischen Polradspannung und Strom
Mi = K T · I st
(180)
mit Drehmomentfaktor K T = 3 ·
(181)
√
√
3 UPN
3
1
KT = 3 ·
·UPst · ·cosα =
=
KE
2π · n
2π nN
2π
(182)
Pmech i = 3 ·UPst · Ist · cos(α) mechanische Leistung
(183)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 36 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.10 Verluste
2
PW = 3 · RS · ISst
Statorwicklungsverluste
Pf = Per = Uer · Ier = Uf · If
Erregerverluste, Erregerleistung
Preib = 2 · π · n · Mreib , Mreib ≈ konst
Reibverluste
Plüft = 2 · π · n · Mlüft , Mlüft ∼ n2 , Plüft ∼ n3
PV = PW + Pf + Preib + Plüft + Pfe
PV = PW + Pf
(184)
Lüftungsverluste
Gesamtverluste
Gesamtverluste ohne Reibungs-, Lüftungs- und Eisenverluste
(185)
(186)
(187)
(188)
(189)
5.11 Wirkungsgrad
Wirkungsgrad aus der elektrischen Wirkleistung PE und der mechanischen Leistung Pmech :
Pmech
Pmech
ηmot =
=
Motorwirkungsgrad
(190)
PE + Pf Pmech + PV
ηNmot =
ηgen =
PN
PN
=
PE + Pf PN + PV
Motorwirkungsgrad im Bemessungsbetrieb
|PE |
|PE |
=
|Pmech | + Pf |PE | + PV
ηNgen =
|PN |
|PN | + PV
Generatorwirkungsgrad
Generatorwirkungsgrad Bemessungsbetrieb
(191)
(192)
(193)
5.12 Reaktanzen Vollpolmaschine, weitere Größen
XS = 2π f LS
x=
XS · INSt
UNSt
Synchronreaktanz
(194)
bezogene Synchronreaktanz
(195)
ULSt = XS · INSt
IK =
induktiver Spannungsabfall bei Bemessungsstrom
UPSt
UPSt
=
2π f LS
XS
IK0 =
UNSt
UNSt
=
2π f LS
XS
iK0 =
IK0
IN
Kurzschlussstrom bei RS ≈ 0
Kurzschlussstrom bei Nullerregung mit I f0 , RS ≈ 0
bezogener Kurzschlussstrom bei Nullerregung mit I f0
(196)
(197)
(198)
(199)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 37 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.13 Komplexe Spannungsgleichungen
Vollpol-Synchronmaschine
In den Gleichungen treten nur Stranggrößen auf. Die Umrechnung in die Leitergrößen erfolgt
je nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise
-Schaltung). Den Spannungsgleichungen liegt Ersatzschaltbild 4 zugrunde:
IS R S
LS
US
I Sst
U Sst
Ui = U Pst
Abbildung 4: Ersatzschaltbild Vollpol-Synchronmaschine
komplexe Spannungsgleichung:
U S st = U P st +U R +U L
U R = RS · I S st
ohmscher Spannungsabfall
U L = j · XS · I S st
mit
j=
Statorspannung
√
−1
induktiver Spannungsabfall
Imaginärzahl
XS = 2 · π · f S · LS
(200)
(201)
(202)
(203)
Leistungen:
S = 3 ·U Sst · I ∗Sst
mit
∗
ISst
komplexe Scheinleistung
: konjugiert komplexer Strom
(204)
(205)
P = Re (S)
Wirkleistung, reeller Anteil der Scheinleistung
(206)
Q = Im (S)
Blindleistung, imaginärer Anteil der Scheinleistung
(207)
induktiv: Q > 0 , kapazitiv: Q < 0
cos ϕ =
P Re (S)
=
|S|
S
Leistungsfaktor
(208)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 38 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.13.1 Bezugsgröße Spannung für komplexe Gleichungen
wenn die Statorspannung Bezugsgröße ist (rein reell)
U S st = US st
wenn die Polradspannung Bezugsgröße ist (rein reell)
U P st = UP st
(209)
(210)
5.13.2 Vorgabe Statorstrom
bei gegebenem Winkel ϕ vom Strom zur Spannung:
I Sst = ISst ·
U Sst
· (cos ϕ − j · sin ϕ)
USst
Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor motorisch, induktiv:
q
U Sst
2
I Sst = ISst ·
· cos ϕ − j · 1 − cos ϕ
USst
Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor motorisch, kapazitiv:
q
U Sst
2
I Sst = ISst ·
· cos ϕ + j · 1 − cos ϕ
USst
Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor generatorisch, induktiv:
q
U Sst
2
I Sst = ISst ·
· − cos ϕ − j · 1 − cos ϕ
US
Statorstrom bei gegebenem Leistungsfaktor generatorisch, kapazitiv:
q
U Sst
I Sst = ISst ·
· − cos ϕ + j · 1 − cos2 ϕ
USst
(211)
(212)
(213)
(214)
(215)
Statorstrom bei gegebenem Winkel α gegenüber Polradspannung
• Strom voreilend :
I Sst = ISst ·
U Pst
· (cos α + j · sin α)
UPst
(216)
• Strom nacheilend :
I Sst = ISst ·
U Pst
· (cos α − j · sin α)
UPst
(217)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 39 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.13.3 Polradspannung aus Statorspannung und Statorstrom
U Pst = U Sst −U R −U L
(218)
= U Sst − RS I Sst − j2π f LS I Sst
(219)
= U Sst − RS I Sst − jXS I Sst
(220)
Bei Bezug Statorspannung U Sst für verschiedene Betriebspunkte:
motorisch, induktiv
q
2
U Pst = USst − (RS + jXS ) ISst cos ϕ − j 1 − cos ϕ
(221)
motorisch, kapazitiv
q
2
U Pst = USst − (RS + jXS ) ISst cos ϕ + j 1 − cos ϕ
(222)
generatorisch, induktiv
q
U Pst = USst + (RS + jXS ) ISst cos ϕ + j 1 − cos2 ϕ
(223)
generatorisch, kapazitiv
q
2
U Pst = USst + (RS + jXS ) ISst cos ϕ − j 1 − cos ϕ
(224)
5.14 Drehmoment, Kippmoment Vollpol-Synchronmaschine
Kippmoment aus Stranggrößen und Leitergrößen bei -Schaltung
Kippmoment bei
nachlässigung der
bung
MKipp i =
3 USst ·UPst
1 US ·UP
=
2·π·n
XS
2 · π · n XS
MKipp i =
3p
USst ·UPst
p
US ·UP
·
=
·
2 · π · f 2 · π · f · LS 2 · π · f 2 · π · f · LS
VerRei-
Kippmoment bei
nachlässigung der
bung
(225)
VerRei(226)
mit XS = 2 · π · f · LS
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 40 von 136
5
MKipp
MN
SYNCHRONMASCHINE
Überlastbarkeit
(227)
Abhängigkeit des Drehmoments vom Lastwinkel
Mi = MKipp i · sin β
Drehmoment in Abhängigkeit vom Lastwinkel β
(228)
M = Mi − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(229)
β = ] (U Sst ; U Pst )
(230)
Lastwinkel von der Strangspannung zur Polradspannung
5.15 Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine
Stromortskurve der Vollpolsynchronmaschine bei konstanter Spannung ist ein Kreis. Bezug ist
Spannung U S st in reeller Achse.
Stromortskurve für RS 6= 0:
I st =
US st
U P st
−
RS + j2π fS LS RS + j2π fS LS
Im =
US st
RS + j2π fS LS
Ir =
UP st
RS + j2π fS LS
U P st = UP st · ejβ
komplexer Statorstrom
Mittelpunkt des Kreises
Radius des Kreises
komplexe Polradstrangspannung
(231)
(232)
(233)
(234)
Stromortskurve für RS ≈ 0:
Häufig kann der Statorwiderstand vernachlässigt werden. Wird die Statorstrangspannung
rein reell gewählt, ergeben sich dann die Stromortskurve, der Mittelpunkt und der Radius
zu
US st
U P st
I st =
−
komplexer Statorstrom
(235)
j2π fS LS j2π fS LS
Im =
US st
j2π fS LS
Mittelpunkt des Kreises auf der negativen imaginären Achse
(236)
Ir =
UP st
2π fS LS
Radius des Kreises
U P st = UP st · ejβ
komplexe Polradstrangspannung
(237)
(238)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 41 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
Abbildung 5: Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit verschiedenen Erregerströmen
bei vernachlässigbarem Ständerwicklungswiderstand RS ≈ 0
Abbildung 6: Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit Polradspannung UP und Lastwinkel β bei vernachlässigbarem Ständerwicklungswiderstand RS ≈ 0
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 42 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.16 V-Kurve Vollpol-Synchronmaschine
Die V-Kurve stellt den Zusammenhang zwischen Statorstrom IS und Erregerstrom If für
verschiedene Wirkleistungen dar.
Im Leerlauf (P = 0) verläuft der Zusammenhang V-förmig, bei Belastung ergeben sich geschwungene Verläufe, Beispiel s. Abb. 7.
Hinweise:
bei vernachlässigten Verlusten sind sind die Kurven für Motorbetrieb und Generatorbetrieb identisch
die folgenden Beziehungen gelten für konstante Statorinduktivität LS und vernachlässigte
Verluste
Kurve für gegebene Wirkleistung PE :
PE
IRe = √
Realteil des Statorstroms
3US
UN If
UPst = √
Polradstrangspannung
3 If0
US
Statorstrangspannung
Ust = √
3
q
2 − (2π f L I )2 −U
UPst
st
S Re
IIm =
Imaginärteil des Statorstroms
2π f LS
q
2 + I2
Statorstrom
IS = IRe
Im
(239)
(240)
(241)
(242)
(243)
Stabilitätsgrenze, Grenzkurve für maximalen Lastwinkel βmax :
UN If
Polradstrangspannung
UPst = √
3 If0
US
Ust = √
Statorstrangspannung
3
q
2 − 2U U cos β
Ust2 +UPst
st Pst
max
IS =
2π f LS
(244)
(245)
(246)
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5
SYNCHRONMASCHINE
350
300
Stabilitätsgrenze
P=0
Ifn
IN
P = 0,50 PN
P = 0,75 PN
P = 1,00 PN
P = 1,25 PN
cos? = 1,0
cos? = 0,9 kap
cos? = 0,9 ind
cos? = 0,8 kap
cos? = 0,8 ind
cos? = 0,6 kap
cos? = 0,6 ind
Statorstrom IS in A
250
200
150
100
50
0
0
50
100
150
200
250
Erregerstrom If in A
300
350
PN = 1800 kW, UN = 6000 V, nN = 1000
400
1
min
Abbildung 7: V-Kurven für eine Vollpolsynchronmaschine, Verluste vernachlässigt
Kurve für gegebenen Leistungsfaktor cos ϕ:
(
p
IS (cos ϕ + j 1 − cos2 ϕ) kapazitiver Motorbetrieb
p
IS =
IS (cos ϕ − j 1 − cos2 ϕ) induktiver Motorbetrieb
komplexer
torstrom
Sta(247)
U st = Ust
komplexe Statorspannung, reell
U Pst = Ust − j2π f LS I S komplexe Polradspannung
√
3 |U Pst |
If =
If0
Erregerstrom
UN
(248)
(249)
(250)
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5
SYNCHRONMASCHINE
5.17 Komplexe Spannungsgleichungen
Schenkelpol-Synchronmaschine
In den Gleichungen treten nur Stranggrößen auf. Die Umrechnung in die Leitergrößen erfolgt
je nach Wicklungsschaltung (s. Abschnitt 5.20, S. 49, bei Synchronmaschinen normalerweise
-Schaltung).
Bezugsgrößen für die komplexen Gleichungen:
U P st = UP st
die Polradspannung ist rein reelle Bezugsgröße
(251)
komplexe Spannungsgleichung:
U S st = UPst +U R +U Ld +U Lq
U R = RS · I S st
Statorspannung
(252)
ohmscher Spannungsabfall
U Ld = Xd · Id = 2 · π · f S · Ld · Id
(253)
induktiver Spannungsabfall durch d-Strom
U Lq = j · Xq · Iq = j · 2 · π · f S · Lq · Iq
induktiver Spannungsabfall durch q-Strom
U S st = UPst + RS · I S st + 2 · π · f S · Ld · Id + 2 · π · f S · Lq · Iq
Statorspannung
(254)
(255)
(256)
Leistungen:
S = 3 ·U S st · I ∗S st
IS∗ st
mit
komplexe Scheinleistung
: konjugiert komplexer Strom
(257)
(258)
P = Re (S)
Wirkleistung ist der reelle Anteil der Scheinleistung
(259)
Q = Im (S)
Blindleistung ist der imaginäre Anteil der Scheinleistung
(260)
induktiv: Q > 0 , kapazitiv: Q < 0
cos ϕ =
P Re (S)
=
|S|
S
Leistungsfaktor
(261)
Statorstrom bei gegebenem Winkel α gegenüber Polradspannung
Strom voreilend :
(262)
Strom nacheilend :
(263)
I Sst = ISst · (cos α + j · sin α)
I Sst = ISst · (cos α − j · sin α)
I S st = I q + jI d
komplexer Statorstrom aus Strom in d-Achse und q-Achse
(264)
I q = Re (I S st )
Strom in q-Achse
(265)
I d = Im (I S st )
Strom in d-Achse
(266)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 45 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
5.18 Drehmoment Schenkelpol-Synchronmaschine
Das Drehmoment der Schenkelpol-Synchronmaschine setzt sich aus zwei Komponenten zusammen:
Reluktanzdrehmoment wegen Ld 6= Lq
Synchronmoment aus dem Magnetfeld der Erregerwicklung, bzw. der Polradspannung
U P , U Pst
Drehmomente bei vernachlässigbarem Statorwiderstand (RS ≈ 0)
Kippmoment Synchronmoment
M kipp syn =
=
p
U S ·U P
·
2 · π · f S 2 · π · f S · Ld
(267)
1
U S ·U P
·
2·π·n
Xd
(268)
Kippmoment Reluktanzmoment
p
U S2
M kipp reluk =
·
2·π· fS 4·π· fS
U S2
1
·
=
2·π·n 2
1
1
−
Xq Xd
1
1
−
Lq Ld
Gesamtdrehmoment
M = −M kipp syn · sin β − M kipp reluk · sin 2β
U S ·U P
1
1
p
U S2
= −
·
· sin β +
−
· sin 2β
2·π· fS
2 · π · f S · Ld
4 · π · f S Lq Ld
1
U S ·U P
U S2 1
1
= −
·
· sin β +
−
· sin 2β
2·π·n
Xd
2
Xq Xd
β = ] (U Sst ; U Pst )
(269)
Lastwinkel von der Statorspannung zur Polradspannung
M kipp ges = b · M kipp syn + 2 · a · b · M kipp reluk
(270)
(271)
(272)
(273)
(274)
(275)
mit
M kipp syn
+
8 · M kipp reluk
p
b = 1 − a2
a=−
s
M 2 kipp syn
1
+
2
64 · M kipp reluk 2
(276)
(277)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 46 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
Realteil Statorstrangstrom in A
400
Ust
300
200
100
0
200
100
0
-100
-200
-300
-400
-500
-600
-100
Nullerregung
-200
untererregt
-300
übererregt
-400
Imaginärteil Statorstrangstrom in A
Abbildung 8: Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd > Xq , SN = 2, 5 MVA,
fN = 50 Hz, UN = 6, 3 kV, IN = 230 A, Xd = 17, 5 Ω, Xq = 10, 5 Ω, RS = 0, 48 Ω,
2p = 20
5.19 Stromortskuve Schenkelpol-Synchronmaschine
Bei der Schenkelpolmaschine sind die Induktivitäten bzw. Reaktanzen in Längsachse/d-Achse
und Querachse/q-Achse unterschiedlich. Die Stromortskurve setzt sich aus zwei Kreisen zusammen, die unterschiedlich schnell mit dem Lastwinkel β durchlaufen werden.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 47 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
25
Ust
Realteil Statorstrangstrom in A
20
15
10
5
0
-5
-10
-15
-20
-25
10
5
0
Nullerregung
nicht erregt
untererregt
übererregt
-5 -10 -15 -20 -25 -30 -35
Imaginärteil Statorstrangstrom in A
Abbildung 9: Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd < Xq , tritt z.B. bei PMSynchronmaschine mit integrierten Magneten auf
Stromortskurve für RS 6= 0, Bezug ist Spannung U S st in reeller Achse:
I S st = I A + I B · ejβ + I C · ej2β
Xd + Xq
RS
−
j
RS 2 + X d · X q
2 RS 2 + X d · X q
IA =
IB =
Xq
RS
+j 2
2
RS + X d · X q
RS + X d · X q
IC =
Xq − Xd
−j
2 RS 2 + X d · X q
(278)
!
·U S st
(279)
·U P st
(280)
!
·U S st
(281)
(282)
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5
SYNCHRONMASCHINE
X d = 2 · π · f S · Ld
(283)
X q = 2 · π · f S · Lq
(284)
β = ] (U S st , U P st )
(285)
Stromortskurve für RS ≈ 0, Bezug ist Spannung U S st in reeller Achse:
I S st = I A + I B · ejβ + I C · ej2β
I A = −j
IB = j
Xd + Xq
·U S st
2 · Xd · Xq
1
·U P st
Xd
I C = −j
Xq − Xd
·U S st
2 · Xd · Xq
(286)
(287)
(288)
(289)
X d = 2 · π · f S · Ld
(290)
X q = 2 · π · f S · Lq
(291)
β ] (U P st , U S st )
(292)
Stromortskurve für UP st = 0, Bezug ist Spannung U S st in reeller Achse:
I S st = I A + I C · ej2β
(293)
Ströme I A und I C nach Gleichungen oben für RS 6= 0 bzw. RS ≈ 0.
5.20 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und
Dreieckschaltung
Hinweis: Synchronmaschine normalerweise in -Schaltung
Sternschaltung – -Schaltung
√
U = US = Ul = 3 ·USst
1
1
1
USst = √ ·Ul = √ ·US = √ ·U
3
3
3
I = Il = IS = ISst
(294)
(295)
(296)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 49 von 136
5
SYNCHRONMASCHINE
Dreieckschaltung – 4-Schaltung
U = Ul = US = USst
√
I = Il = IS = 3 · ISst
1
1
1
ISst = √ · Il = √ · IS = √ · I
3
3
3
(297)
(298)
(299)
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6
ASYNCHRONMASCHINE
6 Asynchronmaschine
W
V U U
V V
U
W
W
W
U
U
U
V
V
V
W
W
W
W
V
V
V
U
U
U
W
W
W
U
V
U U V V
W2
U1
V1
W1
U2
V2
W
W2 U1
V1
W1
U2
V2
Abbildung 10: Maschinenquerschnitt einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer;
IEC100, NS = 36, NR = 28, 2p = 4, oben konzentrische Spulen, unten Spulen gleicher Weite
6.1 Arten Asynchronmaschinen
Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer, in der Regel beim Anlauf deutliche Stromverdrängung im Roto
• Rotor mit gegossenem Aluminiumkäfig, Stäbe meist in Tropfenform als Doppelnut
ausgeführt.
• Rotor mit gegossenem Kupferkäfig, Stäbe meist in Tropfenform
• Rotor mit eingeschobenen Kupferstäben und angelötetem oder angeschweißtem
Kurzschlussring, Stäbe meist in Recheck- oder Ovalform, ggf. zur Verbesserung
des Anlaufverhaltens zwei Käfige, ggf. Legierung mit höherem spez. Widerstand
zur Erhöhung des Anlaufmoments
Asynchronmotor mit Schleifringläufer
Rotor hat Drehstromwicklung, deren Anschlüsse auf drei Schleifringe geführt sind. Über
die Bürsten können externe Komponenten angeschlossen werden:
• Widerstände zur Erhöhung des Anlaufmoments und Reduzierung der Anlaufverluste im Motor. Nach dem Anlauf werden die Schleifringe kurzgeschlossen.
• Gleichrichter zur Drehzahlstellung, ggf. speist Netzstromrichter die Gleichstromleistung in das Netz zurück. Bei voller Drehzahl werden die Schleifringe kurzgeschlossen.
• Stromrichter zur Drehzahl- und Blindleistungsstellung. Einsatz z.B. bei Windkraftanlagen.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 51 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
Tabelle 8: Größen und Formelzeichen Asynchronmaschine
Formelzeichen
Einheit
Erklärung
fR
Hz
Rotorfrequenz
fS
Hz
Statorfrequenz
fN
Hz
Bemessungsfrequenz Stator
f RN
Hz
Bemessungsrotorfrequenz
US
V
Statorspannung
U Sst
V
Statorstrangspannung
UN
V
Bemessungsspannung
PW
W
Wicklungsverluste
p
1
Polpaarzahl
2p
1
Polzahl
s
1
Schlupf
sKipp
1
Kippschlupf
cos ϕ
1
Leistungsfaktor
cos ϕ N
1
Bemessungsleistungsfaktor
M
Nm
Drehmoment
Mi
Nm
inneres, elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment
MN
Nm
Bemessungsdrehmoment (früher Nennmoment)
Mreib
Nm
Reibdrehmoment
Mlüft
Nm
Lüfterdrehmoment
Ma
Nm
Anlaufmoment
MS
Nm
Satteldrehmoment, kleinstes Drehmoment der Hochlaufkurve
M Kipp
Nm
Kippmoment
Nm
Bemessungsdrehmoment
MN
n
1
min
,
1
s
Drehzahl
PVR
W
Rotorverluste
PN
W
Bemessungsleistung (früher Nennleistung)
Motor: PN = Pmech
Generator: PN = PE
PE
W
elektrische Leistung der Statorwicklung
Pmech
W
mechanische Leistung
IS
A
Statorstrom
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 52 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
Fortsetzung
Formelzeichen
Einheit
Erklärung
I Sst
A
Statorstrangstrom
IN
A
Bemessungsstrom
IR , IK
A
Rotorstrom, bezogen auf den Stator
IRN , IKN
A
Rotorbemessungsstrom, bezogen auf den Stator
Lσ
H
Streuinduktivität, bezogen auf den Stator
LK
H
im Rotorkreis konzentrierte gesamte Streuinduktivität, bezogen auf den Stator
Lh
H
Hauptinduktivität
LS
H
gesamte Statorinduktivität
RS
Ω
Statorwiderstand
RR , RK
Ω
Rotorwiderstand, bezogen auf den Stator
Rfe
Ω
Eisenverlustwiderstand
zur
Berücksichtigung
der
Ummagnetisierungs- und Wirbelstromverluste im Statoreisen
η
1
Wirkungsgrad
ηN
1
Bemessungswirkungsgrad
6.2 Leistungszuordnung
PN =


 Pmech = 2 · π · MN · nN


PE =
bei Motorbetrieb
√
3 ·UN · IN · cos ϕN bei Generatorbetrieb
6.3 Drehzahl, synchrone Drehzahl, Polpaarzahl, Schlupf
n0 =
fS
p
synchrone Drehzahl, in etwa Leerlaufdrehzahl
fS = p · n0
s=
fR
fS
Ständerfrequenz
Schlupf
fR = s · fS
Rotorfrequenz
(300)
(301)
(302)
(303)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 53 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
Tabelle 9: Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhängig von der
Polpaarzahl
Polpaarzahl p Polzahl 2p Netzfrequenz f s = 50 Hz Netzfrequenz f s = 60 Hz
synchrone Drehzahl n0
p
2p
1
2
3000min−1
p
3000 min−1
3600min−1
p
3600 min−1
2
4
1500 min−1
1800 min−1
3
6
1000 min−1
1200 min−1
4
8
750 min−1
900 min−1
5
10
600 min−1
720 min−1
6
..
.
12
..
.
500 min−1
..
.
600 min−1
..
.
Wenn die Asynchronmaschine ein Drehmoment erzeugt, weicht die Drehzahl immer von der
Synchrondrehzahl ab:
n 6= n0 , s 6= 0
für M 6= 0
(304)
Die Bemessungsdrehzahl nN ist in der Regel in der Nähe der synchronen n0 Drehzahl.
nN ≈ n0 =
fS
p
(305)
Aus der Bemessungsdrehzahl kann die Polpaarzahl bestimmt werden. Häufig gilt:
fN
p = Ganzzahl
nN
(306)
6.4 Bemessungsbetrieb am starren Netz
Gleichungen sind angegeben für
Motor: PE > Pmech > 0
Generator: PE < Pmech < 0
SN =
√
3 ·UN · IN
PEN =
Scheinleistung
√
3 ·UN · IN · cos ϕN
elektrische Wirkleistung
√
3 ·UN · IN · sin ϕN induktive Blindleistung
q
√
=
3 ·UN · IN · 1 − cos2 ϕN > 0
QN =
(307)
(308)
(309)
(310)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 54 von 136
6
cos(ϕ) =
P
S
ASYNCHRONMASCHINE
Leistungsfaktor
Pmech = PEN − PV
mechanische Leistung
(311)
(312)
MN =
PN
2 · π · nN
Bemessungsdrehmoment Motor
(313)
nN =
fN − fRN
p
Bemessungsdrehzahl
(314)
sN =
fRN
,
fSN
sN =
fRN = sN · fSN
PN
2 · π · nN
Bemessungschlupf
Bemessungsrotorfrequenz
nN = (1 − sN ) · n0
MN =
n0 − nN
n0
Bemessungsdrehzahl
Bemessungsdrehmoment Motor
PN
ηN = √
3 ·UN · IN · cos ϕN
Bemessungswirkungsgrad Motor
(315)
(316)
(317)
(318)
(319)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 55 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
6.5 Asynchronmotor Kennlinie bei fester Frequenz und Spannung
Die folgenden Bilder 11 zeigen Beispiele für die asynchrone Drehzahl-Drehmomentkennlinie
von Asynchronmaschinen. Die Kennlinien sind durch folgende Größen gekennzeichnet:
Anlaufdrehmoment Ma , MA
Satteldrehmoment MS
Kippmoment Mkipp , MK
Kippdrehzahl nkipp
Kippschlupf skipp
Bemessungsdrehmoment (Nennmoment) MN
Bemessungsdrehzahl nN
Bemessungsschlupf sN
Leerlaufdrehzahl, synchrone Drehzahl n0
Hinweis: Die gesamte Kennlinie ist etwa proportional zu US2 .
Abbildung 11: Drehzahl-Drehmoment-Kennlinien
Asynchronmaschinen
schlussläufer,
links:
prinzipieller
Verlauf,
rechts:
Oberwellendrehmomenten
mit
KurzVerlauf
mit
6.6 Rotorfrequenz, Schlupf
fR = fS − p · n
Rotorfrequenz
ωR = 2 · π · fR = 2 · π · fS − 2 · π · p · n Rotorkreisfrequenz
(320)
(321)
s=
fR
fS
fR = s · fS
(322)
s=
n0 − n
fS − p · n
=
n0
fS
(323)
,
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 56 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
6.7 Synchrondrehzahl
Bei der Synchrondrehzahl n0 gilt:
fR = 0 ,
n0 =
fS
p
Mi = 0 ,
s=0
(324)
synchrone Drehzahl
(325)
6.8 Schlupf, Drehzahl, Rotorfrequenz
fR
n0 − n
, s=
Schlupf
fS
n0
fR = s · fS Rotorfrequenz
(327)
n = (1 − s) · n0
(328)
s=
Drehzahl
(326)
6.9 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrängung für
vernachlässigbaren Statorwiderstand
Randbedingungen:
Ersatzschaltbild entsprechend Abbildung 12
Statorwiderstand ist vernachlässigbar RS ≈ 0
Ersatzschaltbildelemente RK , LS , LK sind konstant
motorischer Betrieb: positive Drehzahl n < n0 und positives Drehmomoment M > 0
generatorischer Betrieb: positive Drehzahl n > n0 und negatives Drehmoment M < 0
elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment, inneres Drehmoment: Mi
Drehmoment an der Welle: M
sKipp =
RK
2π fS LK
Mi = MKipp i ·
sKipp
s
Kippschlupf
(329)
2
s
+ sKipp
(330)
Drehmoment, Mi ∼ US2
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 57 von 136
6
2
1
3 pUSst
·
·
2 2 · π · fS 2 · π · fS · LK
2
3 USst
1
=
·
·
2 2 · π · n0 2 · π · fS · LK
MKipp i =
ASYNCHRONMASCHINE
Kippmoment
(331)
(332)
M = Mi − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(333)
Mkipp = Mkipp i − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(334)
MKipp
MN
(335)
Überlastbarkeit
Berechnung des Kippschlupfes aus Bemessungsdrehmoment, Kippmoment und Bemessungsschlupf für Mreib + Mlüft MN :


s
2
MKipp
MKipp
Schlupf gilt nur für die zusKipp = sN · 
+
− 1
(336)
gehörige Statorfrequenz
MN
MN
Berechnung des Bemessungsschlupfes aus Bemessungsdrehmoment, Kippmoment und Kippschlupf für Mreib + Mlüft MN :


s
2
MKipp
MKipp
Schlupf gilt nur für die zusN = sKipp · 
−
− 1
(337)
gehörige Statorfrequenz
MN
MN
Berechnung Schlupf und Läuferfrequenz für Drehmoment M für Mreib + Mlüft M:


s
2
MKipp
MKipp
Schlupf gilt nur für die zu−
− 1
s = sKipp · 
gehörige Statorfrequenz
M
M
fR = s · fS
(338)
(339)
Bei kleinen Drehmomenten gilt näherungsweise für Mreib + Mlüft MN :
s≈
M
sN
MN
fR ≈
bis etwa M ≤
M
fRN
MN
MKipp
3
bis etwa M ≤
Schlupf gilt nur für die zugehörige Statorfrequenz
MKipp
3
(340)
(341)
Beim Stillstand gilt (z. B. bei Anlaufmoment):
s=1
Ma i =
(342)
2 · Mkipp i
1
sKipp
+ sKipp
Anlaufdrehmoment ohne Stromverdrängung und Reibung
Ma = Ma i − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
Anlaufdrehmoment
(343)
(344)
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6
ASYNCHRONMASCHINE
6.10 Kippschlupf, Drehmoment ohne Stromverdrängung für nicht
vernachlässigbaren Statorwiderstand
Randbedingungen:
Ersatzschaltbild entsprechend Abbildung 13
nicht vernachlässigbarer Statorwiderstand RS > 0
Ersatzschaltbildelemente RS , RK , LS , LK sind konstant
motorischer Betrieb: positive Drehzahl n < n0 und positives Drehmomoment M > 0
generatorischer Betrieb: positive Drehzahl n > n0 und negatives Drehmoment M < 0
elektromagnetisch erzeugtes Drehmoment, inneres Drehmoment: Mi
Drehmoment an der Welle: M
LI =
LS LK
LS + LK
LD = LI
Hilfsgröße Induktivität ideeller Kurzschluss
R2S
2
S ) LS LI
1 − LLSI
1 + (2π f
Hilfsgröße Durchmesserinduktivität
RK
sKipp mot = q
(2π fS LD )2 + R2S
RK
sKipp gen = − q
(2π fS LD )2 + R2S
MKipp mot i =
Kippschlupf Motorbetrieb
Kippschlupf Generatorbetrieb
2 s
3 pUSst
1
Kipp mot
R
S
2 2π fS RK 1 + R sKipp mot
Kippmoment Motorbetrieb
(345)
(346)
(347)
(348)
(349)
K
2 s
1
3 USst
Kipp mot
=
R
2 2πn0 RK 1 + R S sKipp mot
(350)
K
MKipp gen i =
=
2 s
pUSst
Kipp gen
3
2 2π fS
RK
1
1+
RS
RK sKipp gen
2 s
3 USst
1
Kipp gen
2 2πn0 RK 1 + RRS sKipp gen
Kippmoment Generatorbetrieb
(351)
(352)
K
Hinweis: Wegen der Sättigung in der Maschine ist das tatsächliche generatorische Kippmoment
real häufig deutlich kleiner.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 59 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
Drehzahl-Drehmomentverhalten, Gleichungen liefert mit sKipp mot und MKipp mot als auch mit
sKipp gen und MKipp gen die gleichen Ergebnisse für den gesamten Drehzahlbereich.
Mi = 2MKipp mot
= 2MKipp gen
1 + RRKS sKipp mot
s
sKipp mot
s
sKipp gen
sKipp mot
+ 2 RRKS sKipp mot
s
1 + RRKS sKipp gen
s
+ Kipps gen + 2 RRKS sKipp gen
+
M = Mi − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
(353)
(354)
(355)
MKipp mot = Mkipp mot i − sgn(n) · (Mreib + Mlüft )
MKipp gen = Mkipp gen i − (Mreib + Mlüft )
Kippmoment an der Welle
Kippmoment an der Welle
(356)
(357)
6.11 Abhängigkeit der Drehmomente von der Spannung
Die gesamte M-n-Kennlinie wächst mit dem Quadrat der Spannung: M ∼ US2 .
Die Gleichungen gelten bei fester Frequenz f = fN für Mreib + Mlüft MN
MKipp ∼ US2
MKipp
=
MKippN
,
US
UN
2
Zusammenhang Kippmoment und Spannung
(358)
Ma ∼ US2
,
Ma
=
MaN
US
UN
2
Zusammenhang Anlaufmoment und Spannung
(359)
6.12 Strom und Drehmoment aus Bemessungsgrößen bei kleinem
Schlupf
Bei Betrieb mit Bemessungsspannung und Bemessungsfrequenz gelten bei kleinem Schlupf
s sKipp für den Strom und das Drehmoment näherungsweise für Mreib + Mlüft MN :
s
M 2 2
IS ≈ IN
cos ϕN + (1 − cos2 ϕN )
(360)
MN
1
M ≈ MN
cos ϕN
s
I
IN
2
− (1 − cos2 ϕN )
(361)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 60 von 136
6
fR ≈
s≈
ASYNCHRONMASCHINE
M
M
fRN =
( fN − pnN )
MN
MN
(362)
M
M n0 − nN
sN =
MN
MN n0
(363)
M
(n0 − nN )
(364)
MN
Diese Beziehungen gelten sinngemäß näherungsweise auch bei zur Frequenz proportionalen
Statorspannung:
US
fS
=
, US ∼ fS
(365)
UN
fN
n ≈ n0 −
6.13 Leistungen und Verlustleistungen
PS = 3 ·U Sst · I ∗Sst = 3USst ISst cos ϕ
Statorleistung
(366)
2
PW = 3 · RS · ISst
Statorwicklungsverluste
(367)
PVR = 3 · RK · IK2
Rotorwicklungsverluste
(368)
PVR = s · 2 · π · n0 · M = 2 · π · M ·
PR = Pδ = 3 ·
RK 2
·I
s K
fR
p
Rotorverluste
Rotorleistung, Luftspaltleistung
Preib = 2 · π · n · Mreib
,
Mreib ≈ konst
Plüft = 2 · π · n · Mlüft
,
Mlüft ∼ n2
PV = PW + PVR
(371)
Lüftungsverluste
(372)
Gesamtverluste ohne Reibungs-, Lüftungs- und Eisenverluste
Gesamtverluste mit Reibungs-,
Lüftungs- und Eisenverlusten
Elektrische Leistung, wenn keine Verluste im Stator auftreten:
Pmech
PE
PE =
, dann auch PVR = s · PE , M =
1−s
2 · π · n0
s
Pmech > 0
1−s
(370)
Reibverluste
PV = PWN + PVR + Preib + Plüft + Pfe
PVR =
(369)
Rotorverluste
Pmech = 3 ·
RK
· (1 − s) · IK2
s
Pmech = 3 ·
RK
· (1 − s) · IK2 − Plüft − Preib
s
(373)
(374)
(375)
(376)
mechanische Leistung, wenn keine Reibungsoder Lüfterverluste auftreten
mechanische Leistung
(377)
(378)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 61 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
6.14 Wirkungsgrad
Wirkungsgrad aus der elektrischen Wirkleistung und der mechanischen Leistung:
ηmot =
Pmech
Pmech
=
PE
Pmech + PV
PN
PN
=
PE
PN + PV
ηN mot =
ηgen =
Motorwirkungsgrad im Bemessungsbetrieb
|PE |
|PE |
=
|Pmech | |PE | + PV
ηN gen =
PN
PN + PV
Motorwirkungsgrad
Generatorwirkungsgrad, Leistung positiv
(379)
(380)
(381)
Generatorwirkungsgrad Bemessungsbetrieb, Leistung positiv
(382)
6.15 Drehzahlstellen Asynchronmaschine, Betrieb mit variabler
Spannung und Frequenz
Betrieb mit variabler Frequenz am Umrichter, vernachlässigbarer Ständerwiderstand (RS ≈ 0):
US
fS
= ,
UN
fN
US ∼ fS
für volles Feld
fS = pn + fR
fR ≈
(384)
M
fRN
MN
fR = fRN
(383)
bei vollem Feld
(385)
bei M = MN und vollem Feld
(386)
Feldschwächung bei der Asynchronmaschine:
US
fS
< ,
UN
fN
MKipp ∼
z.B. US = UN
US
fS
bei
fS > fN
(387)
2
(388)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 62 von 136
6
ASYNCHRONMASCHINE
6.16 Komplexe Spannungsgleichungen
Die Gleichungen gelten für die Ersatzschaltbilder
12 bei vernachlässigbarem Statorwiderstand RS ≈ 0
13 mit Statorwiderstand RS
14 mit Statorwiderstand RS und Eisenverlustwiderstand Rfe zur Berücksichtigung der
Ummagnetisierungsverluste und Wirbelströme im Eisen.
mit vollständig in den Läuferkreis umgerechneter Streuinduktivität.
Umrechnung der Originalgrößen in die Ersatzschaltbilder 12 und 13:
Originalgrößen:
• Statorstranginduktivität: LS
• Statorstrangwiderstand: RS
• Statorstrangzahl: mS
• Rotorstranginduktivität: LR
• Rotorstrangwiderstand: RR
• Rotorstrangzahl: mR , z.B. Stabzahl
• Gegeninduktivität zwischen Statorstrang und Rotorstrang: M
• Drehfeldgegeninduktivitäten zwischen Stator und Rotor:
mR
MSR =
M
2
mS
MRS =
M
2
(389)
(390)
Ersatzschaltbildgrößen für die Ersatzschaltbilder 12 und 13:
• LS und RS werden unverändert übernommen
• weitere Größen
mR M
ü =
2LS
1 mR
RK = 2
RR
ü mS
1 mR
LK = 2
LR − LS
ü mS
Umrechnung der Rotorströme:
IK = ü · IRst Strangstrom
1
IRst = IK Strangstrom, z.B. Stabstrom
ü
(391)
(392)
(393)
(394)
(395)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 63 von 136
6
LK XK
I Sst
IK
LS
XS
U Sst
ASYNCHRONMASCHINE
RK enthält bei Kurzschlussläufern
den Rotorwiderstand und bei
Schleifringläufern den Rotorwiderstand und extern im Läuferkreis
eingeschaltete Widerstände
RK
s
Abbildung 12: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine ohne Statorwiderstand
I Sst
LK XK I
K
RS
U Sst
LS
XS
RK enthält bei Kurzschlussläufern
den Rotorwiderstand und bei
Schleifringläufern den Rotorwiderstand und extern im Läuferkreis
eingeschaltete Widerstände
RK
s
Abbildung 13: K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand
Die Gleichungen gelten für die Strangspannungen und -ströme des Stators. Die Umrechnung in
die Leitergrößen erfolgt je nach Schaltung der Wicklung (s. Abschnitt 9.6.3 S. 93).
U h = j · 2 · π · fS · LK · I K +
I Sst = I K +
Uh
U
U
U
+ h = IK + h + h
j · 2 · π · fS · LS Rfe
jXS Rfe
U Sst = U h + RS · I Sst
= RS · I Sst +
=
1
Rfe
I Sst
+ +
1
jXS
(397)
(398)
1
Statorspannung
(399)
1
Statorspannung
(400)
RK
s +jXK
Statorstrom
1
(401)
1
1
1
Rfe + j·2·π· fS ·LS + RK
+j·2·π·
fS ·LK
s
U Sst
RS +
Statorstrom
(396)
RK
s +j·2·π· f S ·LK
U Sst
RS +
Hauptfeldspannung
Statorspannung
I Sst
1
1
Rfe + j·2·π· fS ·LS +
U Sst = RS · I Sst +
I Sst =
RK
RK
I K = jXK · I K +
I
s
s K
1
Statorstrom
(402)
1
1
1
Rfe + jXS + RK
+jX
K
s
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6
LK XK
I Sst
RS
U Sst
LS
XS
Rfe
IK
RK enthält bei Kurzschlussläufern
den Rotorwiderstand und bei
Schleifringläufern den Rotorwiderstand und extern im Läuferkreis
eingeschaltete Widerstände
RK
s
Abbildung 14: K-Ersatzschaltbild
Asynchronmaschine
Eisenverlustwiderstand
IK =
RK
s
ASYNCHRONMASCHINE
U − RS · I Sst
U Sst − RS · I Sst
= Sst
RK
+ j · 2 · π · fS · LK
s + jXK
mit
Statorwiderstand
auf den Stator umgerechneter Rotorstrom
1
I Rst = I K
ü
und
(403)
(404)
Spannung und Strom bei Rfe → ∞


RK
j2π fS LS s + j · 2 · π · fS · LK
 I Sst
U Sst = RS + R
K
+
j
·
2
·
π
·
f
(L
+
L
)
S K
S
s
Statorspannung bei Rfe → ∞
(405)

jXS
= RS +
I Sst =
RK
s
RK
s
+ jXK

+ j (XK + XS )
 I Sst
Statorspannung bei Rfe → ∞
RK
s
RS
+ j · 2 · π · fS (LK + LS )
U Sst
RK
RK
+
j
·
2
·
π
·
f
(L
+
L
)
+
j2π
f
L
+
j
·
2
·
π
·
f
·
L
S K
S
S S
S
K
s
s
RK
s
=
RS
+ j (XK + XS )
U Sst
RK
RK
+
j
(X
+
X
)
+
jX
+
j
·
X
K
S
S
K
s
s
(406)
(407)
(408)
6.16.1 Festlegung Bezugsgrößen
Festlegung eines Stromes oder einer Spannung für die Berechnung mit komplexen Größen:
Bezugsgrößen Stator:
U Sst = USst
Statorspannung
I Sst = ISst · (cos ϕ − j · sin ϕ)
(409)
Statorstrom
(410)
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6
ASYNCHRONMASCHINE
Bezugsgröße Rotor:
I K = IK
auf den Stator bezogener Rotorstrom reell
(411)
Zusammenhang mit Drehmoment:
Mi =
3 · RsK · IK2
2·π·
s
IK =
fS
p
Drehmoment
2 · π · s · fS · Mi
3 · p · RK
(412)
Rotorstrom
(413)
6.17 Stromortskurve der Asynchronmaschine
Wichtige Hinweise:
Stromortskurve wird in Stranggrößen dargestellt
Größe der Stromortskurve wächst mit der Statorspannung
Re
Kipppunkt mot.
P1
Gegenstrombremsbereich
P∞
0
Leistungsgerade
Drehmomentengerade
P0 : Leerlaufstrom bei s = 0
P∞ : ideeler Kurzschlusspunkt bei s > ∞
P1 : Anlaufstrom bei s = 1
P0
I0
- Im
Kipppunkt gen.
Abbildung 15: Stromortskurve des Ständerstroms I Sst bei reeller Statorspannung USst mit Leistungsgerade und Drehmomentgerade. P1 : Stillstand s = 1, P∞ : ideeller Kurschluss s → ∞, P0 : Leerlauf s = 0
6.17.1 Drehmoment und Leistung aus der Ortskurve
Aus der Ortskurve können folgende Daten abgelesen werden:
ISst : Statorstrom nach Betrag und Phase, Maßstab KI
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ASYNCHRONMASCHINE
Mi : inneres Drehmoment, Maßstab KM
Pmech i : innere mechanische Leistung, Maßstab KP
PVR : Rotorverlustleistung, Maßstab KP
PVS : Statorverlustleistung, Maßstab KP
In Abbildung 16 sind die Werte für den Arbeitspunkt P dargestellt.
Maßstäbe der Stromortskurve:
KI : frei gewählt
3pUst
KI
KM =
2π fS
KP = 3 ·Ust · KI
(414)
(415)
Re
Re
P
P
P1
P1
Pmech
M
I
0
P0
I0
P∞
I
0
- Im
P0
I0
PVR
PVS
P∞
- Im
Abbildung 16: Stromortskurve des Ständerstroms I Sst bei reeller Statorspannung USst mit Drehmoment M (links) und Leistungen (rechts) Pmech , PVS und PVR für den Arbeitspunkt P.
P1 : Stillstand s = 1, P∞ : ideeller Kurschluss s → ∞, P0 : Leerlauf s = 0
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skipp
Re
P
PN
0
ASYNCHRONMASCHINE
P0
I0
P1
s
sN
s0
P∞
Leistungsgerade
Drehmomentengerade
Parametergerade (Schlupfgerade)
P0 : Leerlaufstrom bei s = 0
P∞ : ideeler Kurzschlusspunkt bei s > ∞
P1 : Anlaufstrom bei s = 1
PN : Bemessungsbetriebspunkt
- Im
Abbildung 17: Stromortskurve mit Parametergeraden als Parallele zur Tangente im Punkt P∞
bzw. als Senkrechte auf der Verbindungslinie Mittelpunkt zum Punkt P∞ .
P1 : Stillstand s = 1, P∞ : ideeller Kurschluss s → ∞, P0 : Leerlauf s = 0
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ASYNCHRONMASCHINE
6.17.2 Parametergerade (Schlupfgerade)
Die Parametergerade/ Schlupfgerade kann an einer beliebig geeigneten Stelle in der Ortskurve
parallel zur Tangente in P∞ bzw. senkrecht auf der Geraden vom Mittelpunkt zum Punkt P∞ ,
platziert werden. Die Parametergerade hat dann eine lineare Einteilung für den Schlupf s. Auf
ihr kann der Parameter Schlupf s für jeden Arbeitspunkt abgelesen werden.
Bei Bedarf werden mehrere parallele Schlupfgeraden eingezeichnet, um unterschiedliche Bereiche für den Schlupf ablesen zu können.
6.17.3 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten
Ersatzschaltbildelementen aus 3 Betriebspunkten
Mit folgenden Schritten kann die Stromortskurve aus 3 Betriebspunkten gezeichnet werden:
Berechnen der Strangströme für 3 Betriebspunkte, z.B.
• Leerlaufpunkt P0 : I 0 für s = 0,
RK
s
→∞
• Kipppunkt Pkipp : I kipp für s = skipp ,
RK
skipp
= 2π fS LK
• ideller Kurzschlusspunkt P∞ : I ∞ für s → ∞,
RK
s
→0
Wählen eines Maßstabs KI für das Koordinatensystem, so dass sich die Ströme zu den 3
Betriebspunkten einzeichnen lassen
Einzeichnen der 3 Ströme
Zeichnen eines Kreises durch die 3 Punkte
Gerade durch Leerlaufpunkt P0 und ideellen Kurzschlusspunkt P∞ einzeichnen
Gerade durch Kipppunkt Pkipp und ideellen Kurzschlusspunkt P∞ einzeichnen
Tangente im Punkt s → ∞ einzeichnen
Parametergerade/Schlupfgerade als Parallele zur Tangente im Punkt s → ∞ einzeichnen,
so dass sich vernünftige Schnittpunkte der Parallelen mit den Geraden durch Leerlaufpunkt und Kipppunkt ergeben
Schlupfwerte der beiden Betriebspunkte auf der Parametergeraden eintragen, lineare
Skalierung der Parametergeraden/Schlupfgeraden vornehmen
ggf. weitere Parametergerade/Schlupfgerade als Parallele zur ersten einzeichnen, um
einen anderen Schlupfbereich eintragen zu können
Abhängig von den bekannten Größen müssen ggf. Alternativen gewählt werden, z.B. eintragen
des Bemessungspunktes, Anlaufpunktes oder Ermittlung der Betriebspunkte aus Drehmoment
oder Leistung.
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6
ASYNCHRONMASCHINE
6.17.4 Zeichnen der Stromortskurve allgemein mit konstanten
Ersatzschaltbildelementen aus Mittelpunkt und Radius
Mit folgenden Schritten kann die Stromortskurve aus Mittelpunkt und Radius gezeichnet
werden [3].
Hinweis: Der Kreis hat noch keine Parametrierung.
Mittelpunkt M berechnen
RS
RS
α=
=
2π fS LS XS
LK
XK
σ=
=
LS + LK XS + XK
Ust
Ust
Istµ =
=
2π fS LS
XS
α
xm = Istµ 2
α +σ
Istµ 1 + σ
ym = −
2 α2 + σ
M = xm + jym
Radius r berechnen
s
2 2
α
α
1
1 1+σ
r = Istµ
−
−
+
α2 + σ 1 + α2
2 α2 + σ 1 + α2
(416)
(417)
(418)
(419)
(420)
(421)
(422)
Einzeichnen des Mittelpunkts M und Kreis mit dem Radius r um M zeichnen.
Zur Parametrierung ggf. Betriebspunkte berechnen und auf dem Kreis eintragen, Parametergerade zeichnen.
6.17.5 Zeichnen der Stromortskurve bei vernachlässigbarem Statorwiderstand
und konstanten Ersatzschaltbildelementen
Zeichnen der Stromortskurve bei RS = 0:
Bei RS = 0 liegen der Leerlaufpunkt P0 , der Mittelpunkt und der Punkt P∞ auf der imaginären
Achse. Die Konstruktion vereinfacht sich zu folgenden Schritten:
Einzeichnen des Leerlaufstrangstroms I0 für s = 0
Einzeichnen des ideellen Kurzschlussstrangstroms I∞ für s → ∞
Zeichnen des Kreises durch die 2 Punkte mit Mittelpunkt auf der imaginären Achse
Parametergerade als Senkrechte auf der imaginären Achse einzeichnen, s = 0 ist Schnittpunkt mit imaginären Achse
Parametrieren der Parametergeraden durch einen weiteren Schlupfwert z.B. für Bemessungspunkt oder Kipppunkt
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ASYNCHRONMASCHINE
6.18 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und
Dreieckschaltung
Sternschaltung – -Schaltung
√
U = Ul = US = 3 ·USst
1
1
1
USst = √ ·U = √ ·Ul = √ ·US
3
3
3
I = IS = Il = Ist
(423)
(424)
(425)
Dreieckschaltung – 4-Schaltung
U = Ul = US = Ust
√
I = Il = IS = 3 · ISst
1
1
1
ISst = √ · I = √ · Il = √ · IS
3
3
3
(426)
(427)
(428)
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7
EINSCHALTEN ELEKTRISCHER ANTRIEBE
7 Einschalten elektrischer Antriebe
7.1 Stern-Dreieck-Anlauf Asynchronmaschine
asynchroner Anlauf aus dem Stillstand in -Schaltung
Nach erfolgtem Hochlauf oder nach festgelegter Zeit während des Laufs Umschaltung in
4-Schaltung
MStern =
IStern =
1
· MDreieck
3
1
· IDreieck
3
,
,
M =
I =
1
· M4
3
1
· I4
3
(429)
(430)
Gegebenenfalls muss bei der Berechnung des Drehmoments eine gegenüber der Bemessungsspannung verringerte Netzspannung berücksichtigt werden.
7.2 Anlauf mit verminderter Spannung, Sanftanlaufgeräte
asynchroner Anlauf aus dem Stillstand mit verminderter Spannung U = k ·UN ,
k<1
Nach erfolgtem Hochlauf oder nach festgelegter Zeit während des Laufs Anhebung der
Spannung auf UN
Mk = k2 · M
(431)
Ik = k · I
(432)
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ANTRIEBSAUSLEGUNG
8 Antriebsauslegung
Tabelle 10: Größen und Formelzeichen Antriebsauslegung
Formelzeichen
Pdauer
Einheit
W
Erklärung
Dauerleistung
T,t
s, min
Zykluszeit, Einschaltdauer
τ
s, min
kürzeste thermische Zeitkonstante des Motors
S1 . . . S10
Betriebsart
kSx
1
Faktor für Betriebsart Sx
kS2
1
Faktor Kurzzeitbetrieb
tE
s, min
Einschaltdauer, Belastungsdauer
tA
s, min
Ausschaltdauer, Leerlaufdauer
t E,rel
1
relative Einschaltdauer
PSx
W
zulässige Leistung in der Betriebsart Sx
PN
W
Bemessungsleistung
M eff
Nm
Effektivmoment
M Dauer
Nm
Dauerdrehmoment
ni
1 1
min s
1
1
min , s
Mi
Nm
nmittel
mittlere Drehzahl
Drehzahl beim Belastungsintervall i
Drehmoment beim Belastungsintervall i
ti , ∆ti
s
Zeitdauer Belastungsintervall i
h
m
Aufstellungshöhe
kh
1
Faktor zur Berücksichtigung der Aufstellungshöhe
ϑ
◦ C,
K
Umgebungstemperatur, Kühlmitteltemperatur
kϑ
1
Faktor zur Berücksichtigung der Umgebungstemperatur,
Kühlmitteltemperatur
ks
1
Sicherheitsfaktor bei der thermischen Auslegung
8.1 Berücksichtigung der Umgebungstemperatur und
Aufstellungshöhe, Spannung und Frequenz
Die zulässige Dauerleistung bzw. das Dauerdrehmoment ist bei ϑ > 40◦ C oder bei h > 1000 m
gegenüber der Bemessungsleistung vermindert. Dies wird durch Faktoren kϑ und kh und ggf.
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ANTRIEBSAUSLEGUNG
durch den Faktor kSx berücksichtigt:
Pdauer = kϑ · kh · PN
Dauerleistung
Mdauer = kϑ · kh · MN
(433)
Dauerdrehmoment
PSx = kϑ · kh · kSx · PN
(434)
Leistung bei der Betriebsart Sx
MSx = kϑ · kh · kSx · MN
(435)
Drehmoment bei der Betriebsart Sx
(436)
Die Faktoren kϑ und kh können aus Tabellen oder Kennlinien der Hersteller entnommen werden.
Der Faktor kSx (siehe Abschnitt 8.2) kann in der Regel beim Hersteller erfragt werden.
Folgende Tabellen geben Anhaltswerte für kϑ und kh wieder:
Tabelle 11: ungefähre Werte für die Faktoren Kühlmitteltemperatur, Umgebungstemperatur,
Aufstellungshöhe
Kühlmitteltemperatur,
40 ◦ C
45 ◦ C
50 ◦ C
55 ◦ C
60 ◦ C
Umgebungstemperatur ϑ
Faktor kϑ
Aufstellungshöhe h
Faktor kh
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
1000 m
2000 m
3000 m
4000 m
5000 m
1,00
0,95
0,90
0,85
0,80
n
nN
Drehmoment
Berücksichtigung Spannung , Frequenz
Frequenz fsup
Spannung
U
UN
Leistung
P
PN
Drehzahl
in Hz
in %
in %
in %
in %
50
100
100
100
100
60
100
100
120
83
60
120
120
120
100
M
MN
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ANTRIEBSAUSLEGUNG
8.2 Betriebsarten nach IEC 60034
Für häufig vorkommende Anwendungsfälle sind Betriebsarten S1 ... S10 genormt:
Tabelle 13: Betriebsarten
Betriebsart
Beschreibung
S1
Dauerbetrieb mit konstanter Belastung
S2
Kurzzeitbetrieb
S3
periodischer Aussetzbetrieb
S4
periodischer Aussetzbetrieb mit Einfluss des Anlaufvorgangs
S5
periodischer Aussetzbetrieb mit Einfluss des Anlaufvorganges und elektrischer Bremsung
S6
ununterbrochener periodischer Betrieb
S7
ununterbrochener periodischer Betrieb mit elektrischer Bremsung
S8
ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und Drehzahländerungen
S9
Betrieb mit nichtperiodischen Last- und Drehzahländerungen
S10
Betrieb mit einzelnen konstanten Belastungen
PSx = PS1 · kSx
Leistung bei der jeweiligen Betriebsart Sx
(437)
Die Faktoren kSx gibt der Hersteller an. Für Standardfälle gibt es Anhaltswerte in Tabellen.
Dabei wird häufig die relative Einschaltdauer benötigt:
tE,rel =
tE
tE
=
tE + tA T
relative Einschaltdauer
(438)
8.3 Betriebsarten S2, S3, S6
Ein Betrieb ist thermisch in Ordnung, wenn gilt
ks · PSx ≤ kSx · kh · kϑ · Pdauer 40◦ C 1000 m
(439)
ks · MSx ≤ kSx · kh · kϑ · Mdauer 40◦ C 1000 m
(440)
Tabelle 14: ungefähre Werte für die Faktoren Betriebsarten
Betriebsart S2
Einschaltdauer
min
Betriebsart S3
kS2
relative
Einschaltdauer
kS3
Betriebsart S6
relative
kS6
Belastungsdauer
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ANTRIEBSAUSLEGUNG
10
1, 4...1, 5
15%
1, 4...1, 5
15%
1, 5...1, 6
30
1, 15...1, 2
25%
1, 4...1, 4
25%
1, 4...1, 5
60
1, 07...1, 1
40%
1, 15...1, 2
40%
1, 3...1, 4
8.3.1 Kurzzeitbetrieb S2
Für den Kurzzeitbetrieb S2 kann der Faktor kS2 nach folgender Gleichung näherungsweise
bestimmt werden:
s
1
PS2 MS2
1
q
≈
≈
kS2 ≈
Kurzzeitbetriebsfaktor
(441)
T =
PS1 MS1
1 − e− τ
− Tτ
1−e
8.3.2 Ununterbrochener periodischer Aussetzbetrieb S3
Für den Aussetzbetrieb S3 kann der Faktor kS3 nach folgender Gleichung näherungsweise
bestimmt werden:
v
T
T
u
− τA
− E
A · e τE
1
−
e
PS3 MS3 u
Faktor Aussetzbetrieb
(442)
kS3 ≈
≈
≈t
T
PS1 MS1
− τE
E
1−e
mit thermischer Zeitkonstante τE während der Einschaltdauer,
thermischer Zeitkonstante τA während der Ausschaltdauer
8.3.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Aussetzbelastung S6
Für den Betrieb mit Aussetzbelastung S6 kann der Faktor kS6 nach folgender Gleichung
näherungsweise bestimmt werden:
v
u
T
PS6 MS6 u
1 − e− τ
t
Faktor Betrieb mit Aussetzbelastung
(443)
kS6 ≈
≈
≈
TE
PS1 MS1
1 − e− τ
mit T = TA + TE
(444)
8.4 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und
Drehzahländerungen S8 - Effektivmoment und mittlere
Drehzahl bei linearer Dauerkennlinie
Für drehzahlveränderliche Antriebe aus Motor (Asynchronmotor, Synchronmotor, Gleichstrommotor) und Leistungselektronik (Umrichter, Gleichstromrichter) kann die Auslegung mit
dem Effektivmoment und der mittleren Drehzahl erfolgen.
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8
ANTRIEBSAUSLEGUNG
8.4.1 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und
Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1 min , T ≤ 60 s
bei linearer Dauerbetriebskennlinie
Bei Zykluszeiten/ Periodendauern T ≤ 1 min , T ≤ 60 s gilt:
Der Betrieb ist thermisch in Ordnung, wenn der äquivalente Dauerbetriebspunkt (nmittel ; Meff )
innerhalb des Dauerbetriebsbereichs mit dem Sicherheitsfaktor ks unter der Dauerbetriebskurve
liegt. Die folgende Grafik 18 gibt dies wieder:
Abbildung 18: Dauerbetriebskurve, äquivalenter Dauerbetriebspunkt, Effektivmoment und
mittlere Drehzahl
Zykluszeit, Periodendauer T ≤ 1 min ,
T = ∑ ti
T ≤ 60 s
(445)
i
s
Meff =
nmittel =
1
T
1
T
∑ Mi2 · ti
Effektivmoment
(446)
i
∑(|ni| · ∆ti)
mittlere Drehzahl
(447)
i
Zwischen Stillstanddrehmoment/Haltedrehmoment und Bemessungspunkt kann häufig linear
interpoliert werden (bei nichtlinearem Zusammenhang z.B. bei Eigenlüftern s. Abschnitt 8.4.2).
Daraus ergibt sich die folgende Gleichung für das zulässige Dauerdrehmoment:
Mdauer (n) = M0 − (M0 − MN )
n
nN
(448)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 77 von 136
8
ANTRIEBSAUSLEGUNG
Ggf. Korrektur bei Temperaturen ϑ > 40 ◦ C oder Aufstellungshöhe h > 1000m mit den Faktoren kϑ und kh (s. Abschnitt 8.1 S. 73).
Berücksichtigung über das zulässige Dauerdrehmoment:
Mdauerϑ h = kϑ · kh · Mdauer40◦ C 1000m
ks · Meff ≤ Mdauerϑ h
zulässiges Dauerdrehmoment
Forderung
(450)
Berücksichtigung über das Effektivdrehmoment:
s
1
1
·
Mi2 · ti Effektivmoment
Meff =
kϑ · kh
T∑
i
ks · Meff ≤ Mdauer 40◦ C 1000m
(449)
Forderung
(451)
(452)
8.4.2 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und
Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T ≤ 1 min , T ≤ 60 s
bei nichtlinearer Dauerbetriebskennlinie
Aus der nichtlinearen Dauerdrehmomentkennlinie Mdauer (n) ergeben sich für jeden Betriebspunkt die relative Belastung bi und die effektive Belastung beff :
bi =
Mi
Mdauer (ni )
s
1
1
beff =
kh kϑ T
ks · beff ≤ 1
(453)
∑ b2i ti
effektive Belastung
(454)
i
Forderung
(455)
8.4.3 Ununterbrochener periodischer Betrieb mit Last- und
Drehzahländerungen bei Zykluszeiten/Periodendauern T > 1 min , T > 60 s
Bei Zykluszeiten T > 1 min ist zusätzlich ein Faktor kτ zur Berücksichtigung der Temperaturänderungen während der Zykluszeit erforderlich:
v
u
u 1 − e− Tτ T1
kτ = t
Faktor Zykluszeit
(456)
T1 ·
1 − e− τ T
T1 = ∑ ti Belastung
Summe der Zeiten, in denen nennenswerte Belastung auftritt
Berücksichtigung über reduziertes zulässiges Dauerdrehmomoment:
Mdauerϑ hτ = kϑ · kh · kτ · Mdauer40◦ C 1000m
ks · Meff ≤ Mdauerϑ hτ
Forderung
zulässiges Dauerdrehmoment
(457)
(458)
(459)
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ANTRIEBSAUSLEGUNG
Berücksichtigung über das Effektivdrehmoment:
s
1
1
·
Mi2 · ti Effektivmoment
Meff =
kϑ · kh · kτ
T∑
i
ks · Meff ≤ Mdauer 40◦ C 1000m
Forderung
(460)
(461)
8.4.4 Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahländerungen – S2 + S8
Bei Kurzzeitbetrieb mit Last- und Drehzahländerungen kann die zulässige Belastung durch
Kombination des Kurzzeitfaktors mit dem Effektivmoment bzw. der effektiven Belastung
ermittelt werden.
Berücksichtigung über Faktoren für zulässiges Dauerdrehmomoment:
Mdauerϑ hτS2 = kS2 · kϑ · kh · kτ · Mdauer 40◦ C 1000m
ks · Meff ≤ Mdauerϑ hτS2
zulässiges Dauerdrehmoment
(462)
Forderung
Berücksichtigung über das Effektivdrehmoment:
s
1
1
Meff =
Mi2 · ti Effektivmoment
·
∑
kS2 · kϑ · kh · kτ
T i
ks · Meff ≤ Mdauer 40◦ C 1000m
Forderung
(463)
(464)
(465)
Berücksichtigung über effektive Belastung
bi =
Mi
(466)
Mdauer (ni )
1
beff =
kS2 · kh · kϑ
ks · beff ≤ 1
s
1
T
∑ b2i ti
effektive Belastung
(467)
i
Forderung
(468)
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8
ANTRIEBSAUSLEGUNG
8.5 Schutzklassen
IP X Y
Schutz gegen Wasser
Schutz gegen feste Fremdkörper und Berühren
Abbildung 19: Schutzklassenbezeichnung IP
Tabelle 15: Schutzarten nach IEC 60034
IP Schutzart
Kurzbeschreibung
Erste Kennziffer
Zweite Kennziffer
Schutz gegen
Schutz gegen
feste Fremdkörper
Wasser
und Berühren
X
Nicht geschützt
0
Gegen Zugang fester Fremdkörper > 50 mm
1
Gegen Zugang fester Fremdkörper > 12, 5 mm
2
Gegen Zugang fester Fremdkörper > 2, 5 mm
3
Gegen Zugang fester Fremdkörper > 1 mm
4
Staubgeschützt
5
Staubdicht
6
Y
Nicht geschützt
0
Tropfwasserschutz, senkrecht fallend
1
Tropfwasserschutz ±15◦ um die Senkrechte
2
±60◦
3
Sprühwasserschutz
um die Senkrechte
Spritzwasserschutz
4
Wasserstrahlschutz
5
Gegen starken Wasserstrahl geschützt
6
Schutz beim kurzzeitigen Untertauchen in Wasser
7
Schutz beim dauernden Untertauchen in Wasser
8
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GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
9 Gleichungen der Gleich- und Wechselstromtechnik
9.1 Gleichstrom
Tabelle 16: Größen, Symbole und Einheiten Gleichstromtechnik
Größe
Symbol
Einheit
Name
Bemerkungen
elektrischer Widerstand
R
Ω
Ohm
kΩ, MΩ, mΩ
elektrischer Leitwert
G
S
Siemens
Leistung
P
W
Watt
kW, MW, mW
elektrische Spannung
U
V
Volt
kV, mV
elektrische Stromstärke
I
A
Ampere
mA, kA
Stromdichte
J
A
m2
A
mm2
Wirkungsgrad
η
1
Angabe häufig in %
9.2 Elektrischer Widerstand
R=
ρ ·l
q
R=
ρ ·l
4ρ · l
π 2 =
πd 2
4d
Widerstand eines Leiters mit dem Querschnitt q
(469)
Widerstand eines Leiters mit dem Durchmesser d
Temperaturturabhängigkeit des WiderRϑ = R20 · 1 + α20 · (ϑ − 20◦ C)
stands, Temperaturkoeffizient α20
Rϑ2 = Rϑ1 ·
ϑ0 + ϑ2
ϑ0 + ϑ1
Temperaturturabhängigkeit des Widerstands,
Werktstoffkonstante ϑ0
1
α20 =
ϑ0 + 20◦ C
ϑ0 =
1
− 20◦ C ,
α20
ϑ2 =
Rϑ2 − Rϑ1
Rϑ
Rϑ − Rϑ1
ϑ0 + 2 ϑ1 = 2
(ϑ0 + ϑ1 ) + ϑ1
Rϑ1
Rϑ1
Rϑ1
∆ϑ = ϑ2 − ϑ1 =
Temperatur
aus
Widerständen
Rϑ2 − Rϑ1
(ϑ0 + ϑ1 ) Temperaturänderung aus Widerständen
Rϑ1
(470)
(471)
(472)
(473)
(474)
(475)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 81 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Tabelle 17: Eigenschaften Leitermaterialien Metalle und Legierungen
Material
spezifischer
Widerstand
spezifischer
Leitwert
ρ20
10−6
Temperaturkoeffizient
Widerstand
α20
κ20
Ωm =
Ωmm2
m
S
106 m
=
m
Ωmm2
Kenntemperatur
1
K
ϑ0
◦C
Silber (Ag)
0,016
62,5
0,0038
243
Kupfer (Cu)
0,01786
56
0,00392
235
Gold (Au)
0,0224
44,6
0,004
230
Aluminium (Al)
0,02857
35
0,0038
245
Wolfram (W)
0,055
18
0,0041
224
Eisendraht (Fe)
0,12
7,7
0,0025
380
Stahldraht (St)
0,13
7,7
0,005
180
Messing (CuZn5)
0,030
33
0,0023
415
Messing (CuZn30)
0,062
16
0,0012...0,0015
831...647
Messing (CuZn37)
0,066
15
0,0017
568
Konstantan
0,49
2
0,00001
10 000
(Cu55Ni44Mn1)
Tabelle 18: Tabelle der charakteristischen Abmessungen lackisolierter Spulendrähte
Kupferlackdraht
Leiter
(Gesamtdurchmesser)
Widerstand bei 20 C
Grad 1
Grad 2
W/m
D max.
D max.
nominal
mm
mm
0,00196
8,706
0,060
0,066
0,056
0,00246
6,940
0,067
0,074
0,063
0,00311
5,484
0,076
0,083
0,071
0,00502
4,318
0,084
0,091
0,080
0,00502
3,401
0,094
0,101
0,090
0,00636
2,687
0,105
0,113
0,100
0,00785
2,176
0,117
0,125
0,106
0,00882
1,937
0,123
0,132
d
Querschnitt
mm
mm2
0,050
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 82 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Kupferlackdraht – Fortsetzung
Kupferlackdraht
Leiter
(Gesamtdurchmesser)
Widerstand bei 20 C
Grad 1
Grad 2
W/m
D max.
D max.
nominal
mm
mm
0,00985
1,735
0,130
0,139
0,118
0,01094
1,563
0,136
0,145
0,125
0,01227
1,393
0,144
0,154
0,132
0,01368
1,249
0,152
0,162
0,140
0,01593
1,110
0,160
0,171
0,150
0,01767
0,9673
0,171
0,182
0,160
0,02011
0,8502
0,182
0,194
0,170
0,02370
0,7531
0,194
0,205
0,180
0,02545
0,6718
0,204
0,217
0,190
0,02835
0,6029
0,216
0,228
0,200
0,03142
0,5441
0,226
0,239
0,212
0,03530
0,4843
0,240
0,254
0,224
0,03941
0,4338
0,252
0,266
0,236
0,04374
0,3908
0,267
0,283
0,250
0,04909
0,3482
0,281
0,297
0,265
0,05515
0,3099
0,297
0,314
0,280
0,06158
0,2776
0,312
0,329
0,300
0,07069
0,2418
0,334
0,352
0,315
0,07793
0,2193
0,349
0,367
0,335
0,08814
0,1939
0,372
0,391
0,355
0,09898
0,1727
0,392
0,411
0,375
0,11040
0,1548
0,414
0,434
0,400
0,12570
0,1360
0,439
0,459
0,425
0,14190
0,1205
0,466
0,488
0,450
0,15900
0,1075
0,491
0,513
0,475
0,17720
0,09646
0,519
0,541
0,500
0,1963
0,08706
0,544
0,566
0,530
0,2206
0,07748
0,576
0,600
0,560
0,2463
0,06940
0,606
0,630
d
Querschnitt
mm
mm2
0,112
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 83 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Kupferlackdraht – Fortsetzung
Kupferlackdraht
Leiter
(Gesamtdurchmesser)
Widerstand bei 20 C
Grad 1
Grad 2
W/m
D max.
D max.
nominal
mm
mm
0,2827
0,06046
0,649
0,674
0,630
0,3117
0,05484
0,679
0,704
0,670
0,3526
0,04848
0,722
0,749
0,710
0,3959
0,04318
0,762
0,789
0,750
0,4418
0,03869
0,805
0,834
0,800
0,5027
0,03401
0,855
0,884
0,850
0,5675
0,03012
0,909
0,939
0,900
0,6362
0,02687
0,959
0,989
0,950
0,7088
0,02412
1,012
1,044
1,000
0,7854
0,02176
1,062
1,094
1,060
0,8825
0,01937
1,124
1,157
1,120
0,9852
0,01735
1,184
1,217
1,180
1,094
0,01563
1,246
1,279
1,250
1,227
0,01393
1,316
1,349
1,320
1,368
0,01249
1,388
1,422
1,400
1,539
0,01110
1,468
1,502
1,500
1,767
0,009373
1,570
1,606
1,600
2,011
0,008502
1,670
1,706
1,700
2,270
0,007531
1,772
1,809
1,800
2,545
0,006718
1,872
1,909
1,900
2,835
0,006029
1,974
2,012
2,000
3,142
0,005441
2,074
2,112
2,120
3,530
0,004843
2,196
2,235
2,240
3,941
0,004338
2,316
2,355
2,360
4,374
0,003908
2,438
2,478
2,500
4,909
0,003482
2,578
2,618
2,650
5,515
0,003099
2,730
2,772
2,800
6,158
0,002776
2,880
2,922
3,000
7,069
0,002418
3,083
3,126
d
Querschnitt
mm
mm2
0,600
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 84 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Kupferlackdraht – Fortsetzung
Kupferlackdraht
Leiter
(Gesamtdurchmesser)
Widerstand bei 20 C
Grad 1
Grad 2
W/m
D max.
D max.
nominal
mm
mm
7,793
0,002212
3,233
3,276
3,350
8,814
0,001956
3,435
3,479
3,550
9,898
0,001742
3,635
3,679
3,750
11,04
0,001561
3,838
3,883
4,000
12,57
0,001372
4,088
4,133
4,250
14,19
0,001205
4,341
4,387
4,500
15,90
0,001075
4,591
4,637
4,750
17,72
0,000964
4,843
4,891
5,000
19,63
0,000870
5,093
5,741
d
Querschnitt
mm
mm2
3,150
9.3 Ohm’sches Gesetz, Gleichungen Widerstand
U = R·I
Ohm’sches Gesetz
RE = ∑ Ri
Ersatzwiderstand der Reihenschaltung
1
1
=∑
RE
Ri
Ersatzwiderstand der Parallelschaltung
(476)
(477)
(478)
P =U ·I
Leistung ohmscher Widerstand
(479)
P = R · I2
Leistung ohmscher Widerstand
(480)
P=
U2
R
Leistung ohmscher Widerstand
(481)
9.4 Grundgleichung zur Berechnung von Gleichstromkreisen/
-Netzwerken
U = R·I
Ohm’sches Gesetz
∑ Umit = ∑ Ugegen
∑ Izu = ∑ Iab
Maschensatz
Knotensatz
(482)
(483)
(484)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 85 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
9.5 Wechselstromtechnik
Tabelle 19: Größen, Symbole und Einheiten Wechselstrom/Drehstrom
Größe
Symbol
Kreisfrequenz
ω
Einheit
rad
s
,
Frequenz
f
Hz
Periodendauer
T
s
1
s
Name
Bemerkungen
Hertz
1
s,
mHz, kHz, MHz, GHz
Sekunde
min
◦
-
-
Nullphasenwinkel
Spannung
ϕu
rad,
Nullphasenwinkel
Strom
ϕi
rad, ◦
-
Phasenverschiebungswinkel
ϕ
rad, ◦
-
Resonanzfrequenz
f0
Hz
Hertz
1
s
induktiver Blindwiderstand
XL
Ω
Ohm
kΩ, mΩ
kapazitiver Blindwiderstand
XC
Ω
Ohm
kΩ, mΩ
Scheinwiderstand
Z
Ω
Ohm
kΩ, mΩ
Komplexer Scheinwiderstand
Z
Ω
Ohm
kΩ, mΩ
Blindleistung
Q
var
Volt-Ampere-reaktiv
1 var = 1 VA
Scheinleistung
S
VA
Volt-Ampere
-
I, Ieff
Iˆ
A
Ampere
kA, mA
A
Ampere
kA, mA
i, i(t)
A
Ampere
kA, mA
I
A
Ampere
kA, mA
Effektivwert Spannung
U, Ueff
V
Volt
kV, mV
Scheitelwert Spannung
Û
V
Volt
kV, mV
u, u(t)
V
Volt
kV, mV
Effektivwert Strom
Scheitelwert Strom
Augenblickswert
Strom
Stromzeiger,
plexer Strom
kom-
Augenblickswert
Spannung
ϕ = ϕu − ϕi , Winkel
vom Strom zur Spannung
Fortsetzung nächste Seite
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 86 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Einheiten – Fortsetzung
Größe
Symbol
Einheit
Name
Bemerkungen
Spannungszeiger,
komplexe Spannung
U
V
Volt
kV, mV
imaginäre Einheit
j
j
√
j2 = −1 , j = −1
In der Mathematik i,
wegen der Verwechselungsgefahr mit Strom i
in der Technik j
9.5.1 Allgemeines
u(t)
i(t)
u(t)
i(t)
ϕ
Û
ϕ
ϕu
Iˆ
ϕ
ϕi
π, 180◦
2π, 360◦
T = 1f
π, 180◦
t, ϕ = ωt = 2π f t
Abbildung 20: Sinusförmige Wechselspannung und -strom
i(t) = Iˆ sin(ωt + ϕi ) = Iˆ sin(2π f t + ϕi ) Sinusförmiger Zeitverlauf Strom:
(485)
u(t) = Û sin(ωt + ϕu ) = Û sin(2π f t + ϕu ) Sinusförmiger Zeitverlauf Spannung (486)
ϕ = ϕu − ϕi
mit den Nullphasenwinkeln ϕu , ϕi
Phasenverschiebungswinkel (487)
f=
1
T
Frequenz:
(488)
T=
1
f
Periodendauer
(489)
ω = 2π f =
2π
T
Kreisfrequenz
(490)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 87 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
9.5.2 Effektivwert und Gleichrichtwert bei beliebigem periodischem Zeitverlauf
v
u
u ZT
u1
u2 (t) dt
U = Ueff = t
T
Effektivwert Spannung
(491)
t=0
v
u
u ZT
u1
I = Ieff = t
i2 (t) dt
T
Effektivwert Strom
(492)
t=0
1
Ugr = |u(t)| =
T
ZT
|u(t)| dt
Gleichrichtwert Spannung
(493)
t=0
9.5.3 Effektivwert und Gleichrichtwert bei Sinusgrößen
1
U = Ueff = √ Û,
2
1 ˆ
I = Ieff = √ I,
2
Ugr =
Û =
Iˆ =
√
2U
√
2I
2
Û ≈ 1, 11 ·Ueff
π
Spannung
Strom
Gleichrichtwert
(494)
(495)
(496)
9.5.4 Spannungsabfall, Impedanz, Reaktanz
U = R·I
Spannung am ohmschen Widerstand
U = j·2·π· f ·L·I = j·ω ·L·I
ZL = j · 2 · π · f · L = j · ω · L
U=
Spannung an einer Induktivität
(498)
induktiver Blindwiderstand, Reaktanz
(499)
1
1
·I =
·I
j · 2 · π · f ·C
j · ω ·C
ZC =
1
1
=
j · 2 · π · f ·C j · ω ·C
(497)
Spannung an einem Kondensator
kapazitiver Blindwiderstand
(500)
(501)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 88 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Grundgleichungen zur Berechnung von Wechseltromkreisen und -netzwerken
U = Z ·I
Spannung an einem Scheinwiderstand
∑ U mit = ∑ U gegen
∑ I zu = ∑ I ab
ZE = ∑ Zi
Maschensatz
(503)
Knotensatz
(504)
Ersatzscheinwiderstand der Reihenschaltung
1
1
=∑
ZE
Zi
(502)
Ersatzwiderstand der Parallelschaltung
(505)
(506)
Wirkleistung, Scheinleistung, Blindleistung, Leistungsfaktor
S =U ·I
Scheinleistung
(507)
P = U · I · cos ϕ
Wirkleistung
(508)
Q = U · I · sin ϕ
Blindleistung
(509)
ϕ = ](I , U)
Phasenwinkel vom Strom zur Spannung
(510)
positiver Winkel: Spannung eilt vor, Strom eilt nach
negativer Winkel: Spannung eilt nach, Strom eilt vor
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
(511)
S = U · I∗
(512)
komplexe Scheinleistung
S = P + jQ
(513)
S = |S|
(514)
P = Re (S)
Wirkleistung
(515)
Q = Im (S)
Blindleistung
(516)
P
Leistungsfaktor
S (
p
1 − cos2 ϕ induktiv
Q
p
sin ϕ = =
S
− 1 − cos2 ϕ kapazitiv
cos ϕ =
sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1
(517)
Blindleistungsfaktor
(518)
(519)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 89 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
Tabelle 20: Strom und Leistung in Widerstand, Kapazität, Induktivität, allg. Impedanz
Kenngröße
Widerstand
Kapazität
Induktivität
allgemeine Impedanz
Leistung
PR = UR IR
PC = 0
PL = 0
PZ = UZ IZ cosϕz
Blindleistung
QR = 0
QC = −UC IC
QL = UL IL
QZ = UZ IZ sinϕz
Scheinleistung
SR = UR IR
SC = UC IC
SL = UL IL
SZ = UZ IZ
q
= PZ2 + Q2Z
Phasenverschiebungswinkel
vom Strom zur
Spannung
ϕ = 0◦
ϕ = −90◦
ϕ = 90◦
ϕ = ϕz
Leistungsfaktor
cosϕ = 1
cosϕ = 0
cosϕ = 0
cosϕ =
Arbeit
WR = U I t
WC = 0
WL = 0
WZ = PZ t
IWC = 0
IWL = 0
IWZ = UZZ cosϕz
Wirkstrom
IWR =
UR
R
PZ
SZ
= I cos ϕz
Blindstrom
IBR = 0
IBC = −ω CUC
IBL =
UL
ωL
IBZ = UZZ sinϕz
= IZ sin ϕz
Strom
UR
R
IR =
XC =
Blindwiderstand
komplexe
ZR = R
Impedanz
R=
U
I
komplexe Span- U R = R I R
nung
UR
R
komplexer
Strom
IR =
komplexe
SR = UR IR
Scheinleistung
IC = ω CUC
ZC =
1
ωC
1
jωC
IL =
UL
ωL
IZ = UZZ
XL = ωL
ZL = j ω L
Z = Z (cos ϕ + j sin ϕ)
Z C = −jXC
Z L = jXL
1
= UI
XC = ωC
U C = j ωI CC
XL = ωL = UI
Z = UI
U L = j ω L IL
U Z = Z IZ
I C = j ω CU C
IL =
SC = −jUC IC
SL = jUL IL
UL
jω L
IZ =
UZ
Z
SZ = UZ IZ
· (cos ϕ + j sin ϕ)
9.6 Drehstrom – symmetrisches Drehstromnetz, symmetrischer
Drehstromverbraucher
Bei Drehstrom wird zwischen Leitergrößen, Stranggrößen und der Sternpunktspannung unterschieden. Wenn kein Index angegeben wird, handelt es sich stets um Leitergrößen.
Die Berechnung erfolgt in der Regel für die Größen eines Strangs. Die anderen Stränge haben
bei symmetrischen Drehstromnetzen und -verbrauchern die gleichen Ströme, Spannungen und
Leistungen, wobei die Stranggrößen 120◦ phasenverschoben sind. Bezug ist überlicherweise
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 90 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
der Strang U.
L1
L2
L3
N
PE
Ul
Ul
UU
Ul
UV
UW
U U U
Ul Il
Ist
Ust
-Schaltung
Ul Il
Ist
Ust
4-Schaltung
Abbildung 21: Drehstromnetz mit Verbrauchern in Stern- und Dreieck-Schaltung, Leitergrößen,
Stranggrößen
Tabelle 21: Drehstromgrößen
Größe
Leiterspannung
Symbol
U , Ul
Bemerkung
Spannung zwischen zwei Außenleitern
Leiterstrom
I , Il
Strom in der Zuleitung zu einem Verbraucher, Strom in einem Leiter des Versorgungsnetzes, Strom in einem Leiter des
Erzeugers
Sternpunktspannung
U
Spannung zwischen einem Außenleiter
und dem Sternpunkt
Strangspannung
Ust
Spannung an einem Strang des Verbrauchers oder Erzeugers
Strangstrom
Ist
Strom in einem Strang des Verbrauchers
oder Erzeugers
9.6.1 Zeitverläufe und komplexe Spannungen und Ströme
Bezug ist der Strang U.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 91 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
uU (t)
u(t)
T 2π
3, 3
2π
◦
3 , 120
uV (t)
T 2π
3, 3
2π
◦
3 , 120
uW (t)
T 2π
3, 3
2π
◦
3 , 120
t, ϕ = ωt = 2π f t
1
◦
f , 2π, 360
Abbildung 22: Zeitverläufe Drehspannungssystem
Drehspannungssystem Strangspannungen:
uU (t) = Ûst sin(ωt + ϕu ) = Ûst sin(2π f t + ϕu )
2π
= Ûst sin(2π f t + ϕu − 120◦ )
uV (t) = Ûst sin ωt + ϕu −
3
4π
uW (t) = Ûst sin ωt + ϕu −
= Ûst sin(2π f t + ϕu − 240◦ )
3
2π
= Ûst sin ωt + ϕu +
= Ûst sin(2π f t + ϕu + 120◦ )
3
(520)
(521)
(522)
(523)
Drehstromsystem Strangströme:
iU (t) = Iˆst sin(ωt + ϕi ) = Ûst sin(2π f t + ϕi )
2π
ˆ
= Iˆst sin(2π f t + ϕi − 120◦ )
iV (t) = Ist sin ωt + ϕi −
3
4π
iW (t) = Iˆst sin ωt + ϕi −
= Iˆst sin(2π f t + ϕi − 240◦ )
3
2π
= Iˆst sin ωt + ϕi +
= Iˆst sin(2π f t + ϕi + 120◦ )
3
(524)
(525)
(526)
(527)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 92 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
IU
2π
◦
3 , 120
UU
ϕ
UV
ϕ
IW
IV
ϕ
2π
◦
3 , 120
UW
Abbildung 23: Drehspannungs- und Drehstromsystem, nacheilender Strom
9.6.2 Komplexe Drehströme und -spannungen, Zeigerdarstellung
Drehspannungssystem Strangspannungen (ϕu : Nullphasenwinkel der Spannung Strang U):
U U = Ust e jϕu
Strang U
(528)
2π
2π
U V = U U e −j 3 = Ust e j(ϕu − 3 )
UV = UU e
−j 4π
3
= UU e
+j 2π
3
Strang V
= Ust e
j(ϕu + 2π
3 )
(529)
Strang W
(530)
Drehstromsystem Strangströme (ϕi : Nullphasenwinkel des Stroms Strang U):
I U = Ist e jϕi
Strang U
2π
(531)
2π
I V = I U e −j 3 = Ist e j(ϕi − 3 )
IW = IU e
−j 4π
3
= IU e
+j 2π
3
Strang V
= Ist e
j(ϕi + 2π
3 )
(532)
Strang W
(533)
Spannungen und Ströme mit Bezug Strangspannung Strang U:
ϕ = ϕu − ϕi
U U = Ust
Strang U
U V = Ust e
I V = Ist e
(534)
(535)
−j 2π
3
Strang V
(536)
+j 2π
3
Strang W
(537)
U W = Ust e
I U = Ist e
Phasenwinkel Strom - Spannung, s. Abb 23
−jϕ
Strang U
(538)
−jϕ−j 2π
3
Strang V
(539)
−jϕ+j 2π
3
Strang W
(540)
I W = Ist e
9.6.3 Strangspannung – Leiterspannung in Stern- und Dreieckschaltung
-Schaltung – Sternschaltung
U = Uleiter =
√
3 ·Ust
(541)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 93 von 136
9
GLEICHUNGEN DER GLEICH- UND WECHSELSTROMTECHNIK
1
1
Ust = √ ·Uleiter = √ ·U
3
3
(542)
I = Ileiter = Ist
(543)
4-Schaltung – Dreieckschaltung
U = Uleiter = Ust
I = Ileiter =
(544)
√
3 · Ist
(545)
1
1
Ist = √ · Ileiter = √ · I
3
3
(546)
9.6.4 Leistung im Drehstromsystem
Leitergrößen: U, I oder Uleiter , Ileiter
Stranggrößen: Ust , Ist
S = 3 ·Ust · Ist =
√
3 ·U · I
Scheinleistung
(547)
P = 3 ·Ust · Ist · cos ϕ =
√
3 ·U · I · cos ϕ
Wirkleistung
(548)
Q = 3 ·Ust · Ist · sin ϕ =
√
3 ·U · I · sin ϕ
Blindleistung
(549)
ϕ = ] (I st , U st )
Phasenwinkel vom Strom zur Spannung, s. Abb. 23
(550)
9.6.5 Widerstand zwischen zwei Klemmen eines Drehstromverbrauchers/
Drehstromgenerators
bei -Schaltung: Rmess = 2 Rst
2
bei 4-Schaltung: Rmess = Rst
3
(551)
(552)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 94 von 136
10
KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN
10 Kinematische Grundgleichungen
Tabelle 22: Größen und Formelzeichen Kinematik und Dynamik
Größe
Formelzeichen
Einheit
Energie
E
Ws = J
Zeit
t
s
Erdbeschleunigung 9, 81 sm2
g
m
s2
Höhe
h
m
Beschleunigung
a
Geschwindigkeit
v
Anfangsgeschwindigkeit
v0
m
s2
m
s
m
s
Länge
l
m
Weg
x
m
Anfangsweg
x0
m
Masse
m
kg
Impuls
P
kg m
s
Kraft
F
N
Winkelbeschleunigung
α
Winkelgeschwindigkeit
ω
Anfangswinkelgeschwindigkeit
ω0
rad
s2
rad
s
rad
s
Winkel
ϕ
rad
Anfangswinkel
ϕ0
rad
Radius
r
m
Umfang
u
m
Trägheitsmoment
J
kgm2
Drehimpuls
L
kg m2 rad
s
Drehmoment
M
Nm
Dichte
ρ
kg
m3
10.1 Kinetische Grundgleichungen für translatorische
Bewegungen mit konstanter Beschleunigung
x=
•
1
· a · t 2 + v0 · t + x0
2
x = v = a · t + v0
Weg
Geschwindigkeit
(553)
(554)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 95 von 136
10
••
•
x = v = a = konst.
KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN
Beschleunigung
(555)
10.2 Kinetische Grundgleichungen für translatorische
Bewegungen mit konstanter Geschwindigkeit
x = v · t + x0
Weg
•
x = v = konst.
••
•
x =v=a=0
(556)
Geschwindigkeit
(557)
Beschleunigung
(558)
10.3 Kinetische Grundgleichungen für rotatorische Bewegungen
mit konstanter Winkelbeschleunigung
ϕ=
1
· α · t 2 + ω0 · t + ϕ0
2
•
ϕ = ω = α · t + ω0
••
Winkel
Winkelgeschwindigkeit
•
ϕ = ω = α = konst.
Winkelbeschleunigung
(559)
(560)
(561)
10.4 Kinetische Grundgleichungen für rotatorische Bewegungen
mit konstanter Winkelgeschwindigkeit
ϕ = ω · t + ϕ0
•
ϕ = ω = konst.
••
•
ϕ =ω =α =0
u = rϕ
Winkel
(562)
Winkelgeschwindigkeit
(563)
Winkelbeschleunigung
(564)
Umfangsweg
(565)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 96 von 136
10
KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN
10.5 Kinetische Energie
Elin =
1
· m · v2
2
Erot. =
1
· J · ω2
2
kinetische Energie linear bewegter Massen
Rotationsenergie, kinetische Energie rotierender Massen
(566)
(567)
10.6 Kraft und Drehmoment
M = F ·r
Kraft und Hebelarm
(568)
10.7 Impuls und beschleunigte Masse
P = m · v Impuls
•
•
F = P = mv
F = m·a
Kraft und Impulsänderung
Kraft und Beschleunigung bei konstanter Masse
(569)
(570)
(571)
Durch nichtlineare Hebelgetriebe oder Kurvengetriebe kann sich die wirksame Masse zeitabhängig ändern. Über die Betrachtung mit dem Impuls lassen sich solche Vorgänge sinnvoll
behandeln.
Gleiches gilt beim Kuppeln von Massen bei Bewegung.
10.8 Drehimpuls und beschleunigte Massenträgheit
L = J ·ω
•
Drehimpuls
•
M = L = Jω
M = J ·α
(572)
Drehmoment und Drehimpulsänderung
Drehmoment und Beschleunigung bei konstanter Massenträgheit
(573)
(574)
Durch nichtlineare Hebelgetriebe oder Kurvengetriebe kann sich die wirksame Massenträgheit
zeitabhängig ändern. Über die Betrachtung mit dem Drehimpuls lassen sich solche Vorgänge
sinnvoll behandeln.
Gleiches gilt beim Kuppeln von Massengträgheiten bei Bewegung.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 97 von 136
10
KINEMATISCHE GRUNDGLEICHUNGEN
10.9 Berechnung von Trägheitsmomenten für Zylinder, Kugel und
Quader
l
r
J = 12 ρ · l · πr4
ω
ω
r
J=
b
a
8
5
15 ρ · πr
c
ω
J=
1
2
2
12 ρ · a · b · c · (a + b )
10.10 Umrechung von Massen und Massenträgheiten auf eine
Bezugswelle
Mechanisch gekoppelte Massen mi bei der Geschwindigkeit vi und Massenträgheiten J j bei der
Drehzahl n j lassen sich auf eine Bezugswelle mit der Drehzahl n∗ zu einer Ersatzmassenträgheit
J ∗ umrechnen:
n 2
1
i
∗
J = ∑ ∗ · Ji = ∗ 2 ∑ n2i · Ji Umrechnung Massenträgheiten
(575)
n
n i
i
ni
(576)
= ∑ ü2i · Ji mit üi = ∗
n
i
1
J∗ =
· ∑ v2 · mi Umrechnung Massen
(577)
2
4 · π · n∗ 2 i i
1
1
Umrechnung von Massen und
2
2
J∗ =
·
v
·
m
+
n
·
J
(578)
i
i
∑
∑
i
i
2
2
Massenträgheiten
4 · π2 · n ∗
n∗ i
i
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 98 von 136
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
11 Einheiten und Vorsatzzeichen für Einheiten
11.1 SI-Einheiten, Vorsatzzeichen
Die folgenden Tabellen geben die Formelzeichen, Einheiten und Vorsatzzeichen für Einheiten
wieder, die häufig bei elektrischen Maschinen und Antrieben benutzt werden.
Dabei werden Variablen grundsätzlich kursiv gedruckt. Konstante Größen werden gerade
gedruckt, wie z.B. Einheiten, Naturkonstanten, mathematische Konstanten und Vorsatzzeichen.
Größe
Zeit
Tabelle 24: SI Einheiten und Formelzeichen
SI-Basiseinheit
Formeloder
ko- weitere gebräuchliche Einheiten
zeichen
härente
SI-Einheit
t, T
s
ms, µs, min, h
min und h nur ohne Vorsatzzeichen
Länge
l, s, x
m
mm, µm, km
bei zusammengestzten Einheiten
steht m immer am Ende, z.B. Nm
r
m
mm, µm, km
Geschwindigkeit
v
m
s
m km
min , h
Drehmoment
M
Nm
kNm
Drehzahl
n
1
min
Winkelgeschwindigkeit
ω
1
s
rad
s
ϕ, α, β
rad
◦
ϕ
rad
◦
Wirkleistung
P
W
kW, MW, GW, mW, µW
Scheinleistung
S
VA
kVA, MVA, GVA
Blindleistung
Q
var
kvar, Mvar, Gvar
Energie
E
Ws, J
mWs, mJ, kWs, kJ, MWs, MJ,
Radius
Winkel
Phasenwinkel,
zeigt vom Strom
zur Spannung
kWh, MWh, TWh
Arbeit
W
Ws, J
mWs, mJ, kWs, kJ, MWs, MJ,
kWh, MWh, TWh
Spannung
U
V
kV, mV, µV
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule Hannover Seite 99 von 136
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
Strom
I
A
kA, mA, µA
Frequenz
f
Hz
mHz, kHz, MHz, GHz
Kreisfrequenz
ω
rad
s
Widerstand
R
Ω
kΩ, MΩ, mΩ
Induktivität
L
H
mH, µH
Kapazität
C
F
mF, µF, nF, pF
magnetische Feldstärke
H
A
m
kA
m
magnetische Flussdichte
B
T
mT
magnetischer Fluss
Φ
Vs
mVs, µVs
Permeabilität
µ
Vs
Am
magnetische Spannung
V
A
kA
magnetische Durchflutung
Θ
A
kA
Temperatur
ϑ
◦C
absolute Temperatur
T
K
11.2 Umrechnung zwischen verschiedenen Einheitensystemen
Die folgenden Tabellen geben Umrechnungsfaktoren zwischen Längen, Flächen ... Massen ... in
verschiedenen Einheitensystemen wieder. Die SI-Basiseinheiten oder kohärente Einheiten sind
jeweils hervorgehoben.
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 100 von 136
1, 60934 · 106 160 934 1 609, 34
1mile
1000
8361, 27
1 yd2
1 acre
4 046, 86
1 mile2 2, 58999 · 1010 2, 58999 · 106
4, 04686 · 107
9, 2903 · 10−6
6, 4516 · 10−8
100
9, 2903 · 10−8
6, 4516 · 10−10
1
144
1
1, 55000 · 109
1 550, 00
40, 4686
25 899, 9
2, 58999
4, 04685 · 10−3
258, 999
4, 04685 · 10−1
6, 27264 · 106
4, 01449 · 109
8, 36127 · 10−1 8, 36127 · 10−3 8, 36127 · 10−5 8, 36127 · 10−7 1 296
9, 2903 · 10−4
9, 2903 · 10−2
929, 030
1 ft2
6, 4516 · 10−6
6, 45160
10 000
6, 45160 · 10−4
1 in2
1, 55000 · 10−7 107 639
100
1
10−2
1010
1 km2
106
10 000
108
1 ha
155 000
10−4
1
10−2
100
106
1a
10−5
43 560, 0
2, 78784 · 107
9
1
6, 94444 · 10−3
1, 07639 · 107
1 076, 39
10, 7639
1, 07639 · 10−3
10−4
10 000
1 m2
1, 55000 · 10−1
10−2
1
1
10−10
ft2
Square Foot
10−8
in2
Sqare Inch
1, 15078
1
4 840
3, 0976 · 106
1
1, 5625 · 10−3
1
3, 22831 · 10−7
1
640
2, 06612 · 10−4
2, 29568 · 10−5
1, 59423 · 10−7
247, 105
2, 49098 · 10−10
2, 47105
3, 86102 · 10−1
2, 47105 · 10−2
2, 47105 · 10−4
2, 47105 · 10−8
acre
3, 86102 · 10−3
3, 86102 · 10−5
3, 86102 · 10−7
3, 86102 · 10−11
mile2
Square Mile
1, 11111 · 10−1 3, 58701 · 10−8
7, 71605 · 10−4
1, 19599 · 106
11 959, 9
119, 599
1, 19599
1, 19599 · 10−4
yd2
Square Yard
1
8, 68976 · 10−1
6, 21388 · 10−1 5, 39957 · 10−1
10−6
km2
1, 852
1, 60934
1
10−4
ha
2 025, 37
1 760
1 093, 61
Tabelle 26: Fläche
6 076, 12
5 280
3 280, 84
1, 89394 · 10−4 1, 64579 · 10−4
1, 57828 · 10−5 1, 37149 · 10−5
5, 39957 · 10−7
nat mile∗
9, 144 · 10−4 5, 68182 · 10−4 4, 93737 · 10−4
3, 048 · 10−4
A
Hektar
72 913, 4
63 360
39 370, 1
1
3, 33333 · 10−1
m2
1 cm2
cm2
Ar
185 200 1852
105
* In UK gilt: 1 imp nat mile = 1853 m.
1natmile∗ 1, 852 · 106
106
3
1km
91, 44
9, 144 · 10−1 36
914, 4
1
1yd
30, 48
12
304, 8
1, 09361
8, 33333 · 10−2 2, 77778 · 10−2 2, 54 · 10−5
1
3, 048 · 10−1
1ft
2, 54
2, 54 · 10−2
25, 4
1in
3, 28084
39, 3701
6, 21388 · 10−7
6, 21388 · 10−4 5, 39957 · 10−4
mile
10−3
100
1
1000
1m
10−6
6, 21388 · 10−6 5, 39957 · 10−6
km
3, 93701 · 10−1 3, 28084 · 10−2 1, 09361 · 10−2 10−5
1, 09361 · 10−3
yd
10−2
10
1cm
1
1
3, 28084 · 10−3
ft
3, 93701 · 10−2
in
10−3
(Seemeile)
NauticalMile
m
Yard
10−1
Foot(Fuß)
cm
1mm
mm
Inch(Zoll)
Tabelle 25: Länge
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 101 von 136
2, 95735 · 10−2 1, 80469
2, 84131 · 10−2 1, 73387
16, 3871
1, 63871 · 10−5
0, 0283168
0, 764555
2, 95735 · 10−5 29, 5735
1 ft3
1 yd3
1 US fl oz
1 Imp fl oz 2, 84131 · 10−5 28, 4131
5, 68261 · 10−1
5, 68261 · 10−4
1 imp pint
1
1 000
28, 3495
453, 592
907 185
1g
1 kg
1 oz
1 lb = 1 lbm
1 US ton
g
4, 54609
4, 54609 · 10−3 4 546, 09
1 imp gal
33 814
Fluid Ounce
US fl oz
35 195, 1
Fluid Ounce
imp fl oz
1
16
2, 83495 · 10−2
4, 53592 · 10−1
32 000
35, 2740
1, 04084
26 908, 6
996, 614
5, 76744 · 10−1
35, 1951
2 000
1
6, 25 · 10−2
2, 20462
2, 20462 · 10−3
lb = lbm
Pound
7, 43258 · 10−4
19, 2152
1
5 · 10−4
3, 125 · 10−5
1, 10231 · 10−3
1, 10231 · 10−6
US ton
Tabelle 28: Masse
2, 00680 · 10−2
1, 60544 · 10−1 5, 94606 · 10−3 153, 722
1, 33681 · 10−1 4, 95113 · 10−3 128
20
160
133, 228
1, 00340 · 10−3 3, 71629 · 10−5 9, 60760 · 10−1 1
3, 52740 · 10−2
1
25 852, 7
957, 506
3, 70370 · 10−2
1
5, 54113 · 10−1
2, 14335 · 10−5
1, 04438 · 10−3 3, 86807 · 10−5 1
27
1
5, 78704 · 10−4
oz
907, 185
1, 30795
Cubic Yard
yd3
3, 53147 · 10−2 1, 30795 · 10−3 33, 8140
10−3
Ounce
34, 6774
277, 419
231
46 656
1 728
1
61, 0237
kg
568, 261
3, 78541
3, 78541 · 10−3 3 785, 41
764, 555
28, 3168
1, 63871 · 10−2
1
1 US gal
764 555
28 316, 8
1 000
10−3
1 in3
35, 3147
Cubic Foot
ft3
264, 172
Gallon
US gal
219, 969
Gallon
imp gal
1759, 75
Pint
imp pint
1, 50119 · 10−1
1, 20095
1
1 345, 43
49, 8307
1, 25 · 10−1
1
1
8
8, 32674 · 10−1 6, 66139
5 · 10−2
6, 50527 · 10−3 5, 20421 · 10−2
168, 179
6, 22884
7, 50594 · 10−3 6, 25 · 10−3
7, 8125 · 10−3
201, 974
7, 48052
4, 32900 · 10−3 3, 60465 · 10−3 2, 88372 · 10−2
2, 64172 · 10−1 2, 19969 · 10−1 1, 75975
6, 10237 · 10−2 3, 53147 · 10−5 1, 30795 · 10−6 3, 38140 · 10−2 3, 51951 · 10−2 2, 64172 · 10−4 2, 19969 · 10−4 1, 75975 · 10−3
61 023, 7
1 dm3
10−3
1
10−6
1000
106
1
Cubic Inch
in3
1 cm3
Liter
cm3 = ml dm3 = l
1 m3
m3
Tabelle 27: Volumen
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 102 von 136
10−4
1, 01972 · 10−3
1, 01972 · 10−5
kp m s2
1, 82900 · 10−5
7, 06155 · 10−3 7, 20078 · 10−4 386, 089 1
2, 92639 · 10−4 2, 98410 · 10−5 16
kp cm
1, 01972 · 10−1
100
1, 836506 · 10−4
7, 20078 · 10−2
2, 98410 · 10−3
13, 8255
Nm
10−2
98 066, 1
1, 82900 · 10−1
1 ozf in s2 70, 6155
2, 92639
1 129, 85
421, 402
13 558, 5
N cm
1 oz in2
1 lb in2
1 lbf in s2
1 lb ft2
1 lbf ft s2
7, 20175 · 10−2
1, 5228
9, 80665
9, 80665 · 10−5
7, 06155 · 10−3
1, 12985 · 10−1
980, 665
9, 80665 · 10−3
7, 06155 · 10−1
11, 2985
135, 582
1 kp m
1 p cm
1 ozf in
1 lbf in
1 lbf ft
135 582
13, 8274
10−3
100
1
9, 80665 · 10−2
9, 80665
1 kp cm
10, 1972
100
1Nm
1
1
1 N cm
1 152, 12
13 827, 4
1, 38274 · 10−1
72, 0175
1
192
16
1
12
12
1
6, 25 · 10−2
8, 67845 · 10−4
86, 7845
2, 68117
1
8, 33333 · 10−2
5, 20833 · 10−3
7, 23204 · 10−5
7, 23204
7, 23204 · 10−2
7, 37562 · 10−1
7, 37562 · 10−3
lbf ft
32, 1740
3, 72971 · 10−1 1
1
1, 34900 · 10−5
7, 23301
7, 37565 · 10−1
7, 23301 · 10−2
7, 37564 · 10−5
lbf ft s2
1
3, 10810 · 10−2
8, 3333 · 10−2
2, 15839 · 10−4
1, 67573 · 10−1 5, 20835 · 10−3
4, 34027 · 10−4
232, 714
23, 7304
2, 59008 · 10−3 6, 9444 · 10−3
6, 25 · 10−2
1, 61880 · 10−4
86, 7959
8, 85075
8, 67845 · 10−1
8, 85075
2, 37303 · 10−3
lb ft2
8, 67959 · 10−1 2, 32714
8, 85075 · 10−4
lbf in s2
8, 85075 · 10−2
lbf in
4 633, 06
144
386, 089
1, 3885 · 10−2
1 388, 55
105
1, 5228 · 10−2
7, 20175 · 10−4
10−5
1
13, 8855
141, 612
1, 41612
ozf in s2
1 000
10 197, 2
1, 01972 · 10−1
100−2
101, 972
p cm
1, 01972 · 10−3
kp m
Tabelle 30: Drehmoment
1, 38255 · 10−1 7 4128, 8 192
4, 21401 · 10−2 4, 29712 · 10−3 2 304, 00 5, 96756
4, 29712 · 10−1
1, 35582
24, 1305
6, 25 · 10−2
33 511, 09
4, 14412 · 10−2 1
2, 59008 · 10−3
1 388, 73
6 177, 42 16
1
536 176
1, 15213
1, 15213 · 10−2
1, 86506 · 10−6
1
1, 12985 · 10−1
9, 80661
3 417, 17
1, 01972 · 10−1 5 4674, 8 141, 612
1 kp m s2
1
335, 1109
3, 41717 · 10−1
lb in2
5 361, 76 13, 8873
10, 1972
1, 41612 · 10−2
ozf in s2
104
5, 46748
oz in2
1 kg m2
9, 80661 · 10−2 10−2
kg m2
kp cm s2
1
1
kg cm2
1 kp cm s2 980, 661
1 kg cm2
Tabelle 29: Massenträgheitsmoment
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 103 von 136
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
Tabelle 31: Kraft
Kilopond
Pond
Ounce − Force
Pound − Force
N
kp
P
ozf
lbf
1N
1
1, 01972 · 10−1
101, 972
3, 59694
2, 24809 · 10−1
1 kp
9, 80665
1
1 000
35, 2740
2, 20462
1p
9, 80665 · 10−3
10−3
1
3, 52740 · 10−2
2, 20462 · 10−3
1 ozf
2, 78014 · 10−1
2, 83496 · 10−2
28, 3496
1
6, 25 · 10−2
1 lbf
4, 44822
4, 53594 · 10−1
453, 594
16
1
Tabelle 32: Druck
Pa
N/mm2
bar
kp/cm2
Torr
Pa
1
10−6
10−5
1, 02 · 105
0, 0075
N/mm2
106
1
10
10, 2
7, 5 · 103
bar
105
0, 1
1
1, 02
750
kp/cm2
98 100
9, 81 · 10−2
0, 981
1
736
Torr
133
0, 133 · 10−3
1, 33 · 10−3
1, 36 · 10−3
1
Tabelle 33: Leistung
W
kW
PS
Horsepower
kp m/s
kcal/s
1, 34102 · 10−3
0, 101972
2, 38846 · 10−4
hp
1W
1
0, 001
1, 35962 · 10−3
1 kW
1000
1
1, 35962
1, 34102
101, 972
2, 38846 · 10−1
1 PS
735, 499
7, 35499 · 10−1
1
9, 86320 · 10−1
75
1, 75671 · 10−1
1 hp
745, 7
7, 45700 · 10−1
1, 01387
16
76, 0402
1, 78107 · 10−1
1 kp m/s
9, 80655
9, 80655 · 10−3
1, 33333 · 10−2
1, 31509 · 10−2
1
2, 34228 · 10−3
1 kcal/s
4186, 8
4, 1868
5, 69246
5, 61459
426, 935
1
Tabelle 34: Energie/Arbeit
Kilokalorie
British
Termal Unit
BTU
Tonne Stein−
kohleeinheit
t SKE
J = Ws
Wh
1J
1
2, 77778 · 10−4 2, 77778 · 10−7 1, 01972 · 10−1 2, 38846 · 10−4 9, 47817 · 10−4 34, 12 · 10−12
1 Wh
3 600
1
0, 001
367, 098
8, 59845 · 10−1 3, 41214
0, 1228 · 10−6
1 kWh
3, 6 · 106
1000
1
367 098
859, 845
0, 1228 · 10−3
1 kp m
9, 8066
2, 72407 · 10−3 2, 72407 · 10−6 1
1 kcal
4 186, 8
1, 163
1, 163 · 10−3
426, 935
1
3, 93832
0, 1429 · 10−6
1 BTU
1 055, 06
2, 93071 · 10−1
2, 93071 · 10−4
107, 586
2, 51996 · 10−1
1
36, 00 · 10−9
1 t SKE
9, 308 · 109
8, 141 · 106
8, 141 · 103
2, 989 · 109
7 · 106
27, 78 · 106
1
kWh
kp m
kcal
3 412, 14
2, 34228 · 10−3 9, 29491 · 10−3 0, 3346 · 10−9
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 104 von 136
11
EINHEITEN UND VORSATZZEICHEN FÜR EINHEITEN
Tabelle 35: Vorsatzzeichen für Einheiten – SI-Präfix
Vorsatzzeichen
Bedeutung
Aussprache
Y
(103 )8
= 1024
Yotta
Z
(103 )7
= 1021
Zetta
E
(103 )6 = 1018
Exa
P
(103 )5
= 1015
Peta
T
(103 )4 = 1012
Tera
G
(103 )3
= 109
Giga
M
(103 )2 = 106
Mega
k
1000 = 103
Kilo
m
0, 001 = 10−3
Milli
µ
0, 000001 = 10−6
Mikro oder Mü
n
(10−3 )3
= 10−9
Nano
p
(10−3 )4 = 10−12
Piko
f
(10−3 )5
a
(10−3 )6 = 10−18
Atto
z
(10−3 )7
= 10−21
Zepto
y
(10−3 )8 = 10−24
Yokto
= 10−15
Femto
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 105 von 136
12
KONSTANTEN
12 Konstanten
Die folgende Tabelle gibt die Werte einiger für die Technik wichtige Konstanten wieder.
Tabelle 36: Konstanten
mathematische Konstanten
π = 3, 1415926535 . . .
Kreiszahl
e = 2, 718281828459045235 . . .
eulersche Zahl, Basis des natürlichen Logarithmus
Naturkonstanten
As
0 = 8, 8541 . . . · 10−12 Vm
Vs
µ0 = 4 · π · 10−7 Am
Vs
= 1, 256637 . . . · 10−6 Am
gn = 9, 80665 sm2
Permittivität des Vakuums
Permeabilität des Vakuums
Erdbeschleunigung, Normwert
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 106 von 136
13
SCHALTZEICHEN ELEKTRISCHER MASCHINEN
13 Schaltzeichen elektrischer Maschinen
Schaltzeichen
Beschreibung
Schaltzeichen
Beschreibung
Motor allgemein
GleichstromReihenschlussmotor
Generator allgemein
Gleichstrommotor
fremderregt
Wicklung allgemein
Gleichstrommotor
permanenterregt
Dreieckschaltung
4-Schaltung
Sternschaltung
-Schaltung
DrehstromSynchrongenerator,
elektrische Erregung
Drehstromsynchron- generator, permanenterregt
DrehstromAsynchronmotor
mit Käfigläufer
Asynchronmotor,
mit Käfigläufer,
Sternschaltung
DrehstromAsynchronmotor
mit Schleifringläufer
Wechselrichter
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 107 von 136
13
SCHALTZEICHEN ELEKTRISCHER MASCHINEN
Gleichrichter
Synchronmotor,
einsträngig,
permanenterregt
Diode
BipolarTransistor
und pnp
MOS-FET
IsolierschichtFeldeffektTransistor
IGBT
IsolierschichtBipolarTransistor
Thyristor
GTO Abschaltthyristor
npn
Triac Zweirichtungsthyristor
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 108 von 136
14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14 Grundlagen Magnetfeld
Tabelle 38: Größen, Symbole und Einheiten magnetisches Feld
Größe
Symbol
~
H, H
Feldstärke
Einheit
Name
Bemerkungen
A
m
-
A kA
cm , m
Tesla
µT, mT
Vs
m2
magnetische Flussdichte
B, ~B
Magnetischer Fluss
Φ
Wb= Vs
Weber
-
Flussverkettung,
Spulenfluss
Ψ
Wb= Vs
Weber
-
Durchflutung
Θ
A
Ampere
mA, kA
magnetische Spannung
V
A
Ampere
kA
Permeabilität
µ
-
-
Permeabilitätszahl,
relative Permeabilität
µr
-
-
magnetische
konstante
µ0
Feld-
Energie des Magnetfeldes
Wmag
Energiedichte
Magnetfeldes
wmag
des
T=
Vs
Am
=
H
m
1
N
A2
Vs
Am
=
J = Ws
J
m3
L
H=
Gegeninduktivität
M
H=
Streuung
σ
Vs
µ0 = 4π · 10−7 Am
Vs
≈ 1, 256637 · 10−6 Am
Joule
µJ, mJ, kJ
Henry
nH, µH, mH
Henry
nH, µH, mH
Ws
m3
=
Induktivität
-
Vs
A
Vs
A
1
-
-
=
Vs
A
-
-
=
A
Vs
-
-
1
-
-
l
m
Meter
mm, cm
Fläche
A
m2
Quadratmeter
mm2 , cm2
Volumen
V
m3
Kubikmeter
dm3 = l
Λ
Wb
A
magnetischer Widerstand
Rmag
A
Wb
Windungszahl
N, w
magnetischer
wert
Länge
Leit-
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 109 von 136
14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.1 Grundlegende Zusammenhänge im Magnetfeld
Permeabilität:
µ = µr µ0
relative Permeabilität:
Durchflutung:
(579)
µr =
µ
µ0
(580)
Θ = N I = wI
Magnetischer Fluss:
Φ=
x
(581)
~
~BdA
Quellenfreiheit des Magnetfeldes:
(582)
{
~Bd~A = 0
(583)
A
Feldstärke:
~
~ = B,
H
µ
~B = µ H
~ = µr µ0 H
~
(584)
14.2 Magnetischer Fluss und Flussverkettung
Größen des Magnetfeldes s. Abb. 24
Magnetischer Fluss allgemein:
Φ=
x
~B d~A
(585)
A
Magnetischer Fluss für Induktion parallel zum Flächenvektor:
Φ=
x
B dA
(586)
A
Magnetischer Fluss für homogenes Feld, Flussdichte/Induktion
senkrecht zur Fläche:
Φ = BA
Magnetische Flussdichte/Induktion für homogenes Feld, Feld
senkrecht zur Fläche:
B=
Flussverkettung/Spulenfluss:
Ψ = N Φ = wΦ
Φ
A
(587)
(588)
(589)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 110 von 136
C1
C2
C3
Cges
14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
A3
B3
N
I
Φ
B4
Φ
Φ
A4
x
A2
B2
B5
Φ
B1
Φ
A5
A1
Abbildung 24: Magnetkreis mit magnetischem Fluss Φ, Wicklung, Luftspalt
14.3 Durchflutungssatz
I
Durchflutungssatz allgemein:
Θ=
c
~ d~s =
H
x
J~ d~A +
A
x ∂
~D d~A
∂t
(590)
A
Durchflutungssatz bei vernachlässigbarer Verschiebungsstromdichte:
I
x
∂~
~
Θ = H d~s =
J~ d~A für
D=0
∂t
(591)
A
c
Durchflutungssatz für diskrete Ströme mit zugeordneten Windungszahlen:
I
Θ = ∑ Nk Ik =
k
~ d~s
H
(592)
c
14.3.1 Durchflutungssatz beim unverzweigten Magnetkreis mit abschnittweise
konstanten Größen
Durchflutungssatz für diskrete Ströme mit zugeordneten Windungszahlen und Feldstärke parallel zu Integrationsweg beim unverzweigten Magnetkreis, abschnittweise konstante Feldstärke:
Θ = ∑ Nk Ik = ∑ Hn ln = ∑
k
n
n
Bn ln
Φ ln
=∑
=Φ
µr n µ0
n An µr n µ0
ln
∑ An µr n µ0
(593)
n
Durchflutungssatz für den unverzweigten Magnetkreis mit magnetischen Widerständen (Magnetische Widerstände siehe Abschnitt 14.4):
Θ = ∑ Vk = Φ ∑ Rmag k
k
(594)
k
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 111 von 136
14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.3.2 Durchflutungssatz beim verzweigten Magnetkreis mit abschnittsweise
konstanten Größen
Die Berechnung verzweigter Magnetkreise erfolgt sinngemäß wie beim Gleichstromkreis mit
Maschen- und Knotengleichungen:
Knotengleichung des Magnetkreises:
(595)
Maschengleichung des Magnetkreises:
(596)
magnetische Spannungen:
(597)
∑ Φzu = ∑ Φab
∑ Vmit = ∑ Vgegen
V = Rmag Φ
V =NI
für magnetische Widerstände
für in der Masche eingeschlossene Durchflutungen
(598)
Magnetische Widerstände siehe Abschnitt 14.4
14.4 Magnetische Spannung, magnetischer Widerstand,
magnetischer Leitwert
Teile des magnetischen Kreise können durch magnetische Spannungen und Widerstände beschrieben werden.
Magnetische Spannung entlang eines Abschnitts des Magnetkreises:
Φl
Bl
=
= Rmag Φ
V =Hl =
µr µ0 A µr µ0
Magnetische Spannung einer Durchflutung:
V =Θ = w·I
(600)
Magnetischer Widerstand für einen Teil des magnetischen Kreises:
1
V
Hl
l
Rmag = = =
=
Λ
Φ
Φ
A µr µ0
Magnetischer Widerstand für den magnetischen Kreis:
Θ
ln
Rmag = = ∑
Φ
n An µr n µ0
Magnetischer Leitwert für einen Teil des magnetischen Kreises:
1
An µr n µ0
Λn =
=
Rmag n
ln
Magnetischer Leitwert für den magnetischen Kreis:
Φ
1
Λ= =
l
Θ
∑ A µn µ
n
(599)
(601)
(602)
(603)
(604)
n rn 0
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 112 von 136
14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.5 Spannungsinduktion im Magnetfeld
Integrationsweg c
~B
UiL
Ui
d~A
Φ
d~s
Weg c umgibt
rechtswendig
die Fläche A
I
Windungszahl N
magnetischer Fluss Φ
Abbildung 25: Spannungsinduktion in Leiterschleife
Induktionsgesetz:
I
Ui = N
x
•
~B d~A
~E d~s = −N dΦ = −N Φ = −N d
dt
dt
,
A
C
bei Geschwinv c0
digkeiten
Das Vorzeichen hängt von der gewählten Richtung des Spannungspfeils ab:
•
dΦ
dx~ ~
UiL = −Ui = N
=NΦ =N
B dA
dt
dt
(605)
A
Spannungsinduktion durch Änderung der homogenen Flussdichte:
UiL = −Ui = N A
•
dB
= N AB
dt
(606)
Bewegter Leiter der Länge l im Magnetfeld mit B = konst:
wenn B ⊥ v ⊥ l
Ui = N B l v
,
v c0
(607)
14.6 Selbstinduktivität
Die Selbstinduktivität beschreibt die Spannungsinduktion in einem Leiter/einer Spule durch die
Stromänderung in dem Leiter/der Spule.
•
Induzierte Spannung:
Strom:
i(t) =
1
L
ui (t) = L i(t) = L
di(t)
dt
bei L = konst
(608)
Z
u(t)dt
(609)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 113 von 136
14
Induktivität:
Ψ
NΦ
N2
Φ
=
= N2 =
I
I
Θ
Rmag
(610)
Ψ = Li
(611)
L=
Flussverkettung:
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
•
•
•
•
ui (t) = Ψ = L i = L(t) i(t) + L(t)i(t) bei L 6= konst (612)
Induzierte Spannung:
14.6.1 Selbstinduktivität einer Spule mit ferromagnetischem Kern und
Luftspalt/nicht ferromagnetischem Material
s = s1 + s1
N = N1 + N2
A
Φ
A
s1
s = 2 · sl
A
1
2A
s2
A
s
N
N1
1
2A
N2
N
sl
Abbildung 26: Spulen mit Eisenkern und Luftspalt oder nichtmagnetischem Material
Induktivität mit der Luftspaltlänge s:
L ≈ µ0
N2 A
s
gilt in der Regel, wenn:
(613)
lfe
s
µr fe
oder bei
Hfe ≈ 0
(614)
Induktivität mit nichtferromagnetischem Material µr µr fe der Länge s:
L ≈ µr µ0
N2 A
s
gilt in der Regel, wenn:
(615)
lfe
s
µr fe
µr
oder bei
Hfe ≈ 0
(616)
Induktivität mit ferromagnetischem Kern, wenn Feldstärke im ferromagnetischen Material nicht
vernachlässigt werden kann und der magnetische Kreis überall den gleichen Querschnitt A hat.
L = µ0 µr
N2 A
lfe + µr s
(617)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 114 von 136
14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.6.2 Selbstinduktivität einer Spule mit Eisenkern/ ferromagnetischem Material
ohne Luftspalt
Induktivität mit magnetischem Material mit der Permeabilität µr und überall gleichem Querschnitt des Magnetkreises:
L = µr µ0
N2 A
l
(618)
Hinweis: häufig ist µr 6= konst
14.6.3 Selbstinduktivität einer Spule mit magnetischem Kreis
Induktivität für den magnetischen Kreis mit abschnittweise homogenem Magnetfeld und konstanten Querschnitten:
L=
N2
N2
N2
=
=
Rmag ∑ Rmag n ∑ A µln µ
n rn 0
n
(619)
n
14.7 Gegeninduktivität und Transformator
Ein Strom in einer Leiterschleife/Spule erzeugt ein Magnetfeld in der eigenen Leiterschleife
und in anderen Leiterschleifen/Spulen. Dadurch werden eine Selbstinduktionsspannung in der
Leiterschleife des Stromes und eine Gegeninduktionsspannung in der anderen Leiterschleife
induziert. Die Beschreibung erfolgt durch Selbstinduktivitäten L und Gegeninduktivitäten M.
I1
R1
R2
I2
_
M
U1
L1
L2
U2
Abbildung 27: Ersatzschaltbild Transformator, gekoppelte Induktivitäten, magnetisch gekoppelte Leiter
Spannungsgleichungen bei zwei Spulen und vernachlässigbarem Widerstand:
•
Spannung in Spule 1:
•
u1 = L1 i 1 + M i 2 = L1
d
d
i1 + M i2
dt
dt
(620)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 115 von 136
14
•
Spannung in Spule 2:
•
u2 = L2 i 2 + M i 1 = L2
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
d
d
i2 + M i1
dt
dt
(621)
Spannungsgleichungen bei zwei Spulen mit Widerstand:
•
•
Spannung in Spule 1:
u1 = R1 i1 + L1 i 1 + M i 2 = R1 i1 + L1
Spannung in Spule 2:
u2 = R2 i2 + L2 i 2 + M i 1 = R2 i2 + L2
•
•
d
d
i1 + M i2
dt
dt
(622)
d
d
i2 + M i1
dt
dt
(623)
Berechnung der Induktivitäten bei streungsloser Kopplung in einem unverzweigten magnetischen Kreis:
Selbstinduktivität Spule 1:
L1 = Λ N12 =
Selbstinduktivität Spule 2:
L2 = Λ N22 =
1
Rmag
1
Rmag
N12
(624)
N22
(625)
Gegeninduktivität zwischen Spule 1 und Spule 2:
M12 = M21 = Λ N1 N2 =
1
Rmag
(626)
N1 N2
14.7.1 Realer Transformator
Bei realen Transformatoren sind die beiden Spulen nicht vollständig magnetisch gekoppelt.
Dies wird z.B. durch Streuinduktivitäten Lσ berücksichtigt.
Die Wicklungen haben ohmsche Widerstände R1 und R2 .
Im Magnetkreis treten Wirbelstrom- und Hystereseverluste Pfe auf.
Selbstinduktivität Spule 1 mit Streuinduktivität:
L1 = Λ N12 + Lσ1 =
1
Rmag
N12 + Lσ1
(627)
Selbstinduktivität Spule 2 mit Streuinduktivität:
L2 = Λ N22 + Lσ2 =
1
Rmag
N22 + Lσ2
(628)
Gegeninduktivität zwischen Spule 1 und Spule 2:
M12 = M21 = Λ N1 N2 =
1
Rmag
N1 N2
(629)
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14
Streuziffer:
σ = 1−
2
M12
,
L1 L2
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
σ = 0...1
(630)
Übersetzungsverhältnisse:
U1 N1
≈
= ü
U2 N2
Spannungsübersetzung im Leerlauf:
Stromübersetzung im Kurzschluss:
(631)
I1 N2 1
≈
=
I2 N1 ü
(632)
14.8 Energie des Magnetfeldes
ZB
Energiedichte: wmag =
H(Be ) dBe
(633)
0
Energie im Volumen V : Wmag =
y
wmag dV
(634)
V
ZB
Energie bei homogenem Feld im Volumen V : Wmag = V wmag = V
H(Be ) dBe (635)
0
Energiedichte und Energie bei homogenem Magnetfeld in magnetisch linearen Stoffen, z.B.
Vakuum, Luft:
1 2 µ 2
1
HB=
B = H
2
2µ
2
1
V 2 µV 2
Wmag = V H B =
B =
H
2
2µ
2
wmag =
Energie einer Induktivität:
W=
1 2
LI
2
(636)
(637)
(638)
14.9 Kräfte im Magnetfeld
14.9.1 Reluktanzkraft, Oberflächenkraft auf magnetisierbare Körper, z.B. Joch
oder Anker aus Eisen oder Stahl
Auf die Oberflächen magnetisierbarer Körper wirkt eine Kraft in Richtung der umgebenden Luft
oder unmagnetisierbarer Körper. Die Kraft entsteht aus der Energieänderung des Magnetfeldes
bei Bewegung der Teile:
F=
dWmag
dx
(639)
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1
A1
14
+
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
-
Joch
Φ
Φ
F
A
Anker
A
N
S
Φ
S
s
N
Abbildung 28: Oberflächenkraft im Magnetfeld, Kraft F setzt sich hier aus den beiden Kräften
am linken und rechten Luftspalt zusammen
Die Kraft ergibt sich nach folgenden Gleichungen, wenn gilt
µrfe 1
µfe µ
(640)
Zuspannung auf magnetische Oberflächen gegenüber Luft:
Kraft auf magnetische Oberflächen gegenüber Luft:
σmech =
F = Aσmech =
B2
2µ
(641)
A B2
2µ
(642)
Hinweise:
Kraft wirkt senkrecht auf die Oberfläche in Richtung der Luft. Eisenteile ziehen sich an.
Die Fläche A besteht ggf. aus mehreren Teilflächen, z.B. in Abb. 28 aus den zwei Flächen
rechts und links.
Wenn an den Teilflächen unterschiedliche Flussdichten B wirken, muss die Gesamtkraft
aus den Teilkräften aufaddiert werden.
14.9.2 Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld, Lorentzkraft
Lorentzkraft, Kraft auf stromdurchflossenen Leiter:
~F = Q ·~v × ~B
(643)
~F = I ·~l × ~B
(644)
Kraft, wenn Leiter und Flussdichte senkrecht aufeinander stehen:
F = Bl I
(645)
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14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
B
I
N
B
F
F
S
I
Magnetfeldrichtung
techn.
Stromrichtung
l
Kraftrichtung
Abbildung 29: Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, Rechte-Hand-Regel
Kraft auf stromdurchflossenes Leiterbündel/Spulenseite im Magnetfeld, N Windungen, Leiter
stehen senkrecht auf B:
F = N Bl I
(646)
Richtung gemäß rechter Hand-Regel s. Abb. 29
Kraft, wenn der Winkel ϕ zwischen l und B ungleich 90◦ :
F = N B l I sin ϕ
Richtung gemäß rechter Hand-Regel Abb. 29
(647)
14.9.3 Kraft zwischen zwei stromdurchflossenen Leitern
I1
~1
B
I2
~1
F
~2
F
d1
d2
a
Abbildung 30: Kraft zwischen parallelen Leitern
Kraft auf zwei parallele Leiter im Abstand a mit der Länge l, wenn die Durchmesser d1 und d2
der Leiter klein gegenüber dem Abstand a sind.
F=
µ0 l
I1 I2
2π a
(648)
Bei gleicher Stromrichtung werden die Leiter zusammengedrückt, bei entgegengesetzter Stromrichtung werden die Leiter auseinandergezogen.
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14
GRUNDLAGEN MAGNETFELD
14.10 Energiewandlung mit dem Magnetfeld
Bei Bewegung eines Leiters im Magnetfeld wird eine Spannung induziert (Gl. (607)). Bei
Stromfluss im Leiter im Magnetfeld entsteht eine Kraft (Gl. (645)). So erfolgt eine elektromagnetische Energieumwandlung bzw Leistungsumwandlung
Wmech ↔ Wel
,
Pmech ↔ Pel
(649)
Induzierte Spannung aus Linearbewegung/Rotation wenn B ⊥ v ⊥ l:
Ui = N B l v
(650)
Ui = N B l 2 π r n
(651)
Kraft/Drehmoment auf N stromdurchflossene Leiter:
F = N Bl I
(652)
M = N Bl I r
(653)
Leistungen für
Translation/lineare Bewegung:
Rotation/Drehung:
Pmech = F v = Ui I = Pel
Pmech = 2 π M n = Ui I = Pel
(654)
(655)
Hinweise:
Die Gleichungen gelten für Gleichspannung/Gleichstrom.
Bei Wechselgrößen muss die Phasenlage zwischen den Größen beachtet werden.
Reale Motoren/Generatoren haben die Leiter in Nuten im Blechpaket. Dadurch wirkt
nicht die Kraft auf stromdurchflossene Leiter im Magnetfeld sondern die Oberflächenkraft auf magnetisierbare Körper. Die Gleichungen für die Oberflächenkraft liefern aber
im Resultat identische Gleichungen wie für die Kraft auf Leiter im Magnetfeld.
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15
MATHEMATIK
15 Mathematik
Im folgenden finden sich einige häufig in der Elektrotechnik, Regelungstechnik, Antriebstechnik und Mechatronik vorkommende mathematische Zusammenhänge.
15.1 Sinus, Cosinus, Tangens
π = 3, 1415926535... Kreiszahl
tan ϕ =
sin ϕ
cos ϕ
cot ϕ =
cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1
,
cos ϕ
1
=
sin ϕ
tan ϕ
q
sin ϕ = ± 1 − cos2 ϕ
(656)
(657)
,
q
cos ϕ = ± 1 − sin2 ϕ
(658)
sin(−ϕ) = − sin ϕ
(659)
cos(−ϕ) = cos ϕ
π
sin ϕ +
= cos ϕ
2
sin(ϕ + π) = − sin ϕ
(660)
sin(ϕ + 2π) = sin ϕ
π
= − sin ϕ
cos ϕ +
2
cos(ϕ + π) = − cos ϕ
(663)
cos(ϕ + 2π) = cos ϕ
(666)
(661)
(662)
(664)
(665)
(667)
d
sin(aϕ) = a cos(aϕ)
dϕ
d
cos(aϕ) = −a sin(aϕ)
dϕ
Z
1
sin(aϕ) dϕ = − cos(aϕ) +C
a
Z
1
cos(aϕ) dϕ = sin(aϕ) +C
a
(668)
(669)
(670)
(671)
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15
MATHEMATIK
15.2 Additionstheoreme für Sinus und Cosinus
α +β
α −β
· cos
2
2
α −β
α +β
· sin
sin α − sin β = 2 cos
2
2
α +β
α −β
cos α + cos β = 2 cos
· cos
2
2
α +β
α −β
cos α − cos β = 2 sin
· sin
2
2
sin α + sin β = 2 sin
(672)
(673)
(674)
(675)
sin(α ± β ) = sin α · cos β ± cos α · sin β
(676)
cos(α ± β ) = cos α · cos β ∓ sin α · sin β
(677)
1
cos(α − β ) − cos(α + β )
2
1
cos α cos β = cos(α − β ) + cos(α + β )
2
1
sin α cos β = sin(α − β ) + sin(α + β )
2
sin α sin β =
(678)
(679)
(680)
1
(1 − cos 2α)
2
1
cos2 α = (1 + cos 2α)
2
sin2 α =
(681)
(682)
sin 2α = 2 sin α cos α
2
(683)
2
2
2
cos 2α = cos α − sin α = 1 − sin α = 2 cos α − 1
r
α
1 − cos α
sin = ±
2
2
r
α
1 + cos α
cos = ±
2
2
(684)
(685)
(686)
(687)
15.3 Geometrie Dreieck
Länge Seitenhalbierende:
p
2(b2 + c2 ) − a2
ma =
2
(688)
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15
MATHEMATIK
α
c
m
a
c
la
b
b
r
a
a
Abbildung 31: Seitenhalbierende
Abbildung 32: Winkelhalbierende, Radius r
des Inkreises
Länge der Winkelhalbierenden des Winkels α:
p
bc[(b + c)2 − a2 ]
la =
b+c
R
(689)
90◦
.
.
b
c
ha
.
⁄2
a
a
γ
m
a
.
n
Abbildung 34: Rechtwinkliges Dreieck
Abbildung 33: Radius R des Umkreises eines
Dreiecks
Flächeninhalt des Dreiecks:
a · ha a · b sin γ
r(a + b + c) a · b · c p
=
=
=
= s(s − a)(s − b)(s − c)
2
2
2
4R
a+b+c
mit s =
2
S=
(690)
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15
MATHEMATIK
Radius des Dreiecks:
abc
a
b
c
=
=
=
Radius Umkreis
4S
2 sin α
2 sin β
2 sin γ
r
(s − a)(s − b)(s − c)
2S
=
Radius Inkreis
r=
a+b+c
s
a+b+c
mit s =
2
a
b
c
=
r=
=
γ
α
cot 2 + cot 2
cot β2 + cot 2γ
cot α2 + cot β2
R=
(691)
(692)
Radius Inkreis (693)
Rechtwinkliges Dreieck:
a2 + b2 = c2
h2 = m · n,
(Satz des Pythagoras)
a2 = m · c,
b2 = n · c
c2 sin 2β
ab a2 tan β
=
=
Flächeneinhalt
2
2
4
α + β = 90◦
b
a
sin α = cos β = , cos α = sin β =
c
c
a
b
tan α = cot β = , cot α = tan β =
b
a
S=
(694)
(695)
(696)
(697)
(698)
(699)
(700)
Schiefwinkliges Dreieck:
α + β + γ = 180◦
a
b
c
Sinussatz:
=
=
= 2R
sin α
sin β
sin γ
Kosinussatz: c2 = a2 + b2 − 2ab · cos γ
α−β
α−β
tan 2
a − b tan 2
=
Tangenssatz:
=
a + b tan α+β
cot 2γ
(701)
Halbwinkelsätze:
s
γ
(s − a)(s − b)
tan =
2
s(s − c)
r
γ
(s − a)(s − b)
sin =
2 r
ab
γ
s(s − c)
cos =
2
ab
(705)
(702)
(703)
(704)
2
(706)
(707)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 124 von 136
15
MATHEMATIK
Mollweidesche Formeln:
α−β
α−β
cos
cos
2
2
a+b
=
=
γ
c
sin 2
cos α+β
2
α−β
α−β
sin 2
a − b sin 2
=
=
c
cos 2γ
cos α+β
(708)
(709)
2
Kosinusformel (Projektionssatz):
c = a · cos β + b · cos α
Tangensformel:
tan γ =
(710)
c sin β
c sin α
=
b − c cos α
a − c cos β
(711)
(712)
15.4 Differentialgleichungen
15.4.1 Differentialgleichungen 1. Ordnung
•
•
a1 y(t) + a0 y(t) = c0 u(t) + c1 u(t) allgemeine Form
d
d
a1 y(t) + a0 y(t) = c0 u(t) + c1 u(t) allgemeine Form
dt
dt
(713)
(714)
(715)
In der Regelungstechnik häufig Normierung“ der Differentialgleichungen, so dass y(t) ohne
”
Faktor in der Gleichung steht:
•
•
T1 y(t) + y(t) = b0 u(t) + b1 u(t) normierte Form
d
d
T1 y(t) + y(t) = b0 u(t) + b1 u(t) normierte Form
dt
dt
a1
T1 =
a0
c0
b0 =
a0
c1
b1 =
a0
(716)
(717)
(718)
(719)
(720)
15.4.2 Differentialgleichungen 2. Ordnung
••
•
•
••
a2 y(t) + a1 y(t) + a0 y(t) = c0 u(t) + c1 u(t) + c2 u(t) allgemeine Form
a2
d
d
d2
d2
y(t)
+
a
y(t)
+
a
y(t)
=
c
u(t)
+
c
u(t)
+
c
u(t) allgemeine Form
1
0
0
1
2
dt 2
dt
dt
dt 2
(721)
(722)
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15
MATHEMATIK
In der Regelungstechnik häufig Normierung“ der Differentialgleichungen:
”
••
•
•
••
T2 y(t) + T1 y(t) + y(t) = b0 u(t) + b1 u(t) + b2 u(t) normierte Form
d2
d
d
d2
y(t)
+
T
y(t)
+
y(t)
=
b
u(t)
+
b
u(t)
+
b
u(t) normierte Form
1
0
1
2
dt 2
dt
dt
dt 2
a1
T1 =
a0
a2
T2 =
a0
c0
b0 =
a0
c1
b1 =
a0
c2
b2 =
a0
T2
(723)
(724)
(725)
(726)
(727)
(728)
(729)
15.4.3 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung
Allgemeine Form mit der Schreibweise
dn y
dt n
= y(n) ,
dm y
dt m
= u(m)
•
an y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + ... + a1 y(t) + a0 y(t)
•
= cm u(m) (t) + cm−1 u(m−1) (t) + ... + c1 u(t) + c0 u(t)
(730)
Normierte Form
•
Tn y(n) (t) + Tn−1 y(n−1) (t) + ... + T1 y(t) + y(t)
•
= bm u(m) (t) + bm−1 u(m−1) (t) + ... + b1 u(t) + b0 u(t)
ai
Ti =
, i = 1...n
a0
ci
bi =
, i = 1...m
a0
(731)
(732)
(733)
15.4.4 Lösung linearer Differentialgleichungen höherer Ordnung
Lösung: homogene Lösung + partikuläre Lösung
y(t) = yhom (t) + ypart (t)
(734)
homogene Lösung: rechte Seite gleich 0, Eigenbewegung
u(t) = 0
•
an y(n) (t) + an−1 y(n−1) (t) + ... + a1 y(t) + a0 y(t) = 0
(735)
Lösungsansatz
y(t) = ceλt ,
•
y(t) = λ y(t) ,
y(i) (t) = λ i y(t)
(736)
eingesetzt:
•
an λ n y(t) + an−1 λ n−1 y(t) + ... + a1 λ y(t) + a0 y(t) = 0
(737)
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15
MATHEMATIK
15.4.5 Charakteristische Gleichung der Differentialgleichung
an λ n + an−1 λ n−1 + ... + a1 λ + a0 = 0
charakteristische Gleichung
(738)
Lösung der charakteristischen Gleichung führt auf die n Eigenwerte λi . Aus den Eigenwerten
lässt sich die homogene Lösung der Differentialgleichung angeben:
yi (t) = ci eλit
Anteile der homogenen Lösung (einfache, reele Nullstelle)
n
(739)
n
yhom = ∑ yi (t) = ∑ ci eλit
i=1
homogene Lösung
(740)
i=1
15.5 Differentiationsregeln
d f (z) dg(x)
d
f (g(x)) =
·
= f 0 (z) · g0 (x) mit z = g(x) Kettenregel
dx
dz
dx
1
( f −1 )0 (y0 ) = 0
f (x0 )
( f1 · f2 )0 = f1 f20 + f10 f2 Produktregel
(741)
(742)
(743)
15.6 Integrationsregeln
Z
Z
( f (x) + g(x))dx =
Z
Z
( f x)dx +
g(x)dx
(744)
Z
k f (x)dx = k
( f x)dx
(745)
1
f (ax + b)dx = F(ax + b) +C
a
Z 0
f (x)
dx = ln| f (x)| +C
f (x)
Z
Z
Z
0
u(x)v (x)dx = u(x)v(x) −
f (g(x))g0 (x)dx =
Z
u0 (x)v(x)dx
(746)
(747)
(748)
Z
f (z)dz
mit Substitution z = g(x)
(749)
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 127 von 136
15
MATHEMATIK
15.7 e-Funktion
y = ex
,
e = 2, 718281828...
(750)
ex · ey = e(x+y)
(751)
ejx = cos x + j sin x
(752)
ey+jx = ey (cos x + j sin x)
d x
e = ex
dx
d ax
e = aeax
Zdx
(753)
ex dx = ex +C
Z
,
1
eax dx = eax +C
a
(754)
(755)
C : Integrationskonstante
(756)
,
(757)
C : Integrationskonstante
15.8 Komplexe Zahlen
Z = A+j·B
komplexe Zahl in Komponentendarstellung
(758)
Z = Re (Z) + j Im (Z)
(759)
Re (Z) = A
(760)
Realteil
Im (Z) = B Imaginärteil
√
j = −1 , j2 = −1 ,
(761)
−j =
1
j
Imaginärzahl
(762)
Z = Z · ej·α = Z · (cos α + j · sin α) komplexe Zahl in Exponentialform
(763)
Im (Z)
B
α = ] (Z) = arg(Z) = arctan
= arctan
A
Re (Z)
(764)
tan α =
B Im (Z)
=
A Re (Z)
q
p
2
2
Z = |Z| = A + B = Re (Z)2 + Im (Z)2
Z ∗ = A − j · B = Re (Z) − j · Im (Z) = Z · e− jα
(765)
Betrag
konjugiert komplexe Zahl
(766)
(767)
Umwandlung in komplexe Zahl mit reellem Nenner:
A + jB (A + jB)(C − jD) (AC + BD) + j(BC − AD)
=
=
C + jD
C 2 + D2
C2 + D2
(768)
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MATHEMATIK
Umrechnung von Exponentialform in Komponentenform:
Z = Z e jα
→
Z = Z cos α + jZ sin α
(769)
Umrechnung von Komponentenform in Exponentialform:
Z = Z eα
p
mit Z = A2 + B2
→
Z = A+jB
(770)
(
,
α=
arctan
B
für A ≥ 0
A
π + arctan
B
A
für A < 0
(771)
15.9 Fouriertransformation / Frequenzanalyse
Mit der Fouriertransformation wird eine periodische Funktion aus dem Zeitbereich in den
Frequenzbereich transformiert. Eine häufige technische Anwendung ist die Frequenzanalyse
von periodischen Signalen.
Ebenso ist eine Rücktransformation aus dem Frequenzbereich in den Zeitbereich möglich. Dies
wird in der Technik häufig zur Synthese von periodischen Signalen genutzt.
15.9.1 Kontinuierliche Fouriertransformation
Reihenentwicklung einer periodischen Funktion f (t) mit Periodendauer T f (t + T ) = f (t)
als Reihe von Cos- und Sin-Funktionen:
∞
a0
f (t) = + ∑ (ak cos(ωkt) + bk sin(ωkt))
2 k=1
ωk =
2π
k
T
(772)
Die Koeffizienten beschreiben eindeutig die Funktion. Aus den Koeffizienten kann die periodische Funktion f (t) eindeutig angegeben werden, meistens benötigt man aber nur die Transformation vom Zeitbereich in die Koeffizienten des Frequenzbereichs.
2
ak =
T
t+T
Z
f (t) · cos(ωkt) · dt
(773)
t
t+T
Z
2
f (t) · sin(ωkt) · dt
T
t
q
ck = a2k + b2k
bk =
k = 0, 1, 2, ...
2π
ωk =
k
T
(774)
(775)
(776)
(777)
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MATHEMATIK
15.9.2 Diskrete Fouriertransformation
Häufig liegt die Zeitfunktion als zeitdiskrete Folge von Werten xi für i = 1. . . N für die
periodische Funktion mit der Periodendauer T vor. Die Werte haben in der Regel einen
äquidistanten Zeitabstand T0 = NT .
Solche Folgen lassen sich mit der diskreten Fourieranalyse behandeln:
Die N diskreten Werte der Originalfunktion werden durch N Koeffizienten aus der Transformation repräsentiert, N2 Cosinuskoeffizienten, N2 Sinuskoeffizienten.
N 2
2π
a0
2π
k · i + bk sin
k·i
(778)
xi = + ∑ ak cos
2 k=1
N
N
2π
T
ωk =
k , ti = i · T0 , T0 =
(779)
T
N
2 N
2π
ak = ∑ xi · cos
i·k
(780)
N i=1
N
2π
2 N
i·k
(781)
bk = ∑ xi · sin
N i=1
N
q
ck = a2k + b2k
(782)
k = 0, 1, 2, ...
N
2
(783)
2π
k
T
ti = i · T0
T
T0 =
N
ωk =
(784)
(785)
(786)
Hinweise:
Alternative Schreibweise mit komplexen Koeffizienten und Analyse mit e jx = cos(x) + j ·
sin(x)
Die Koeffizienten sind periodisch mit N ak+N = ak
Die Koeffizienten sind an
N
2
gespiegelt aN−k = ak
15.10 Taylor-Entwicklung, Linearisierung
Eine Funktion f (x) kann als Reihe dargestellt werden. Die Entwicklung erfolgt an einem
Arbeitspunkt x0 :
∞
f (x) =
∑
k=0
f (k) (x0 )
(x − x0 )k
k!
,
k! = 1 · 2 · . . . k
(787)
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15
MATHEMATIK
Häufig werden zur Annäherung einer Funktion nur der konstante und der lineare Teil genommen. Linearisierung um den Arbeitspunkt x0 :
f (x) ≈ f (x0 ) + f (1) (x0 ) · (x − x0 )
(788)
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16
GRIECHISCHE BUCHSTABEN
16 Griechische Buchstaben
In vielen Gleichungen werden griechische Buchstaben verwendet. Die folgende Tabelle gibt
die Schreibweise der Buchstaben in Groß- und Kleinschrift sowie gerade und kursiv für die
Schriftart Times wieder. Ferner werden die Namen der Buchstaben in lateinischer Schrift
angegeben.
Tabelle 39: Griechische Buchstaben
Großbuchstaben Kleinbuchstaben Name
gerade
kursiv
gerade
kursiv
A
A
α
α
alpha
B
B
β
β
beta
Γ
Γ
γ
γ
gamma
∆
∆
δ
δ
delta
E
E
ε
ε
epsilon
Z
Z
ζ
ζ
zeta
H
H
η
η
eta
Θ
Θ
ϑ
ϑ
theta
I
I
ι
ι
iota
K
K
κ
κ
kappa
Λ
Λ
λ
λ
lambda
M
M
µ
µ
my
N
N
ν
ν
ny
Ξ
Ξ
ξ
ξ
xi
O
O
o
o
omikron
Π
Π
π
π
pi
P
P
ρ
ρ
rho
Σ
Σ
σ
σ
sigma
T
T
τ
τ
tau
ϒ
ϒ
υ
υ
upsilon
Φ
Φ
ϕ
ϕ
phi
X
X
χ
χ
chi
Ψ
Ψ
ψ
ψ
psi
Ω
Ω
ω
ω
omega
Hinweise:
In verschiedenen Schriftarten haben die Buchstaben anderes Aussehen.
Teilweise haben die griechischen Buchstaben die gleiche Schreibweise wie lateinische
Buchstaben. Diese Buchstaben werden daher nicht in Gleichungen o.ä. verwendet. Z.B.:
Großbuchstaben alpha, my, ny, tau, Buchstabe omikron
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Tabellenverzeichnis
Tabellenverzeichnis
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16
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20
21
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28
29
30
31
32
33
34
35
36
38
39
Bezeichnungen bei elektrischen Maschinen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,12 kW bis zu 0,74 kW (IEC
60034-30) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Interpolationskoeffizienten im Bereich von 0,75 kW bis zu 200 kW (IEC 6003430) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen und Formelzeichen Gleichstrommaschine . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannungen von Kohlebürsten, Graphitbürsten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen und Formelzeichen Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . .
Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhängig von der
Polpaarzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen und Formelzeichen Asynchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . .
Synchrone Drehzahlen bei Netzfrequenzen 50 Hz und 60 Hz abhängig von der
Polpaarzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen und Formelzeichen Antriebsauslegung . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ungefähre Werte für die Faktoren Kühlmitteltemperatur, Umgebungstemperatur, Aufstellungshöhe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ungefähre Werte für die Faktoren Betriebsarten . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schutzarten nach IEC 60034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen, Symbole und Einheiten Gleichstromtechnik . . . . . . . . . . . . . .
Eigenschaften Leitermaterialien Metalle und Legierungen . . . . . . . . . . . .
Tabelle der charakteristischen Abmessungen lackisolierter Spulendrähte . . . .
Größen, Symbole und Einheiten Wechselstrom/Drehstrom . . . . . . . . . . .
Strom und Leistung in Widerstand, Kapazität, Induktivität, allg. Impedanz . . .
Drehstromgrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen und Formelzeichen Kinematik und Dynamik . . . . . . . . . . . . . .
SI Einheiten und Formelzeichen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Länge . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Fläche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Volumen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Massenträgheitsmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehmoment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Druck . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Leistung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Energie/Arbeit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vorsatzzeichen für Einheiten – SI-Präfix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Konstanten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Größen, Symbole und Einheiten magnetisches Feld . . . . . . . . . . . . . . .
Griechische Buchstaben . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
10
11
13
22
28
31
52
54
73
74
75
75
80
81
82
82
86
90
91
95
99
101
101
102
102
103
103
104
104
104
104
105
106
109
132
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Abbildungsverzeichnis
Abbildungsverzeichnis
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
Wirkungsgrad für die Wirkungsgradklassen IE 1 ... IE 4 nach IEC 60034-30,
beispielhafter Verlauf für 4-polige Asynchronmaschinen für 50 Hz . . . . . . .
Blechschnitt eines Wechselstromreihenschlussmotors . . . . . . . . . . . . . .
prinzipieller Aufbau einer Synchronmaschine mit Polradwicklung und StatorWicklungsbild. (N = 18, p = 3, 2p = 6, q = 1) . . . . . . . . . . . . . . . .
Ersatzschaltbild Vollpol-Synchronmaschine . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit verschiedenen Erregerströmen
bei vernachlässigbarem Ständerwicklungswiderstand RS ≈ 0 . . . . . . . . . .
Stromortskurve Vollpol-Synchronmaschine mit Polradspannung UP und Lastwinkel β bei vernachlässigbarem Ständerwicklungswiderstand RS ≈ 0 . . . . .
V-Kurven für eine Vollpolsynchronmaschine, Verluste vernachlässigt . . . . . .
Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd > Xq . . . . . . . . . . .
Stromortskurve Schenkelpolsynchronmaschine mit Xd < Xq . . . . . . . . . . .
Maschinenquerschnitt einer Asynchronmaschine mit Kurzschlussläufer; IEC100,
NS = 36, NR = 28, 2p = 4, oben konzentrische Spulen, unten Spulen gleicher
Weite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehzahl-Drehmoment-Kennlinien Asynchronmaschinen mit Kurzschlussläufer,
links: prinzipieller Verlauf, rechts: Verlauf mit Oberwellendrehmomenten . . .
K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine ohne Statorwiderstand . . . . . . . . .
K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand . . . . . . . . . .
K-Ersatzschaltbild Asynchronmaschine mit Statorwiderstand und Eisenverlustwiderstand . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromortskurve des Ständerstroms mit Leistungsgerade und Drehmomentgerade
Stromortskurve des Ständerstroms mit Drehmoment und Leistungen . . . . . .
Stromortskurve mit Parametergeraden als Parallele zur Tangente im Punkt P∞ .
Dauerbetriebskurve, äquivalenter Dauerbetriebspunkt, Effektivmoment und mittlere Drehzahl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schutzklassenbezeichnung IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Sinusförmige Wechselspannung und -strom . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehstromnetz mit Verbrauchern in Stern- und Dreieck-Schaltung, Leitergrößen, Stranggrößen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zeitverläufe Drehspannungssystem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Drehspannungs- und Drehstromsystem, nacheilender Strom . . . . . . . . . . .
Magnetkreis mit magnetischem Fluss Φ, Wicklung, Luftspalt . . . . . . . . . .
Spannungsinduktion in Leiterschleife . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spulen mit Eisenkern und Luftspalt oder nichtmagnetischem Material . . . . .
Ersatzschaltbild Transformator, gekoppelte Induktivitäten, magnetisch gekoppelte Leiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Oberflächenkraft im Magnetfeld, Kraft F setzt sich hier aus den beiden Kräften
am linken und rechten Luftspalt zusammen . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Kraft auf stromdurchflossenen Leiter im Magnetfeld, Rechte-Hand-Regel . . .
9
24
26
38
42
42
44
47
48
51
56
64
64
65
66
67
68
77
80
87
91
92
93
111
113
114
115
118
119
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Abbildungsverzeichnis
30
31
32
33
34
Kraft zwischen parallelen Leitern . . . . .
Seitenhalbierende . . . . . . . . . . . . .
Winkelhalbierende, Radius r des Inkreises
Radius R des Umkreises eines Dreiecks .
Rechtwinkliges Dreieck . . . . . . . . . .
.
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119
123
123
123
123
2017-01-05a – Prof. Dr.-Ing. Carsten Fräger – Hochschule HannoverSeite 135 von 136
Literatur
Literatur
[1] Binder: Elektrische Maschinen und Antriebe. Grundlagen, Betriebsverhalten. Springer
(2012)
[2] IEC 60034: International standard of the International Electrotechnical Commission for
rotating electrical machinery. Teil 1: Bemessung und Betriebsverhalten, Teil 2: Standardverfahren zur Bestimmung der Verluste und des Wirkungsgrades aus Prüfungen, Teil 4:
Prüfmethoden Synchronmaschinen, Teil 5: Schutzarten, Teil 6: Kühlarten, Teil 7: Bauarten und Aufstellungsarten, Teil 9: Geräuschgrenzwerte, Teil 11: thermischer Schutz,
Teil 18: Isoliersysteme, Teil 28: Prüfverfahren zur Bestimmung der Ersatzschaltbildgrößen
Käfigläufer-Asynchronmotore, Teil 30: Wirkungsgrad-Klassifizierung
[3] Jordan, Klima, Kovacs: Asynchronmaschinen. Vieweg Braunschweig (1975)
[4] Kolbe: Analytische Nachbildung der numerisch ermittelten Feldverteilungen von mehrsträngigen Wicklungen in Asynchronmaschinen. AfE 65 (1982) S. 107 – 116
[5] Müller, Vogt, Ponick: Grundlagen elektrischer Maschinen. Wiley-VCH (2006)
[6] Müller, Vogt, Ponick: Berechnung elektrischer Maschinen. Wiley-VCH (2008)
[7] Müller, Vogt, Ponick: Theorie elektrischer Maschinen. Wiley-VCH
[8] Hagmann: Aufgabensammlung zu den Grundlagen der Elektrotechnik. AULA-Verlag
(1997)
[9] Fischer, Linse: Elektrotechnik für Maschinenbauer. Vieweg+Teubner (2009)
[10] Bronstein, Semendjaev: Taschenbuch der Mathematik. Verlag Harri Deutsch. Thun und
Frankfurt/Main (2000)
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Zugehörige Unterlagen

2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn

Formelsammlung elektrische Antriebe

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