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2007 A III
1.1
Für alle Körper, die sich antriebslos auf einer Kreisbahn mit dem Radius R und der
Umlaufdauer T um ein Zentralgestirn bewegen, gilt das dritte keplersche Gesetz
T2  C  R 3 , wobei C eine Konstante ist.
Zeigen Sie mit Hilfe des Gravitationsgesetzes, dass die Konstante C nur von der
Masse m Z des Zentralgestirns abhängig ist.
FGr  FZ
m m
G  Z 2  m  2  R
R
m
4 2
G  3Z  2
R
T
4 2
T2 
 R3
G  mZ
C
4 2
Somit gilt: C 
G  mZ
Die (Kepler-) Konstante C hängt nur von der Masse m Z des Zentralgestirns ab.
1.2.0 Der Planet Venus hat die Masse mV  4,87 1024 kg und den Radius rV  6,05 106 m .
1.2.1 Berechnen Sie die Konstante CV des dritten keplerschen Gesetzes für Körper, die sich
antriebslos um die Venus bewegen.
CV 
Ergebnis : CV  1, 2110 13 s 3 
m 

2
4 2
4 2
2

 1, 211013 ms 3
11 m3
24
G  m Z 6, 673 10 kgs2  4,87 10 kg
1.2.2 Berechnen Sie den Betrag g V der Gravitationsbeschleunigung g V , die ein Körper an
der Venusoberfläche erfährt.
FG  FGr
m  gV  G 
gV  G 
mV  m
rV2
mV
rV2
g V  6, 673 1011 kgms2 
3
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
www.extremstark.de
4,87 1024 kg
 6, 05 10 m 
6
2
 8,88 sm2
1
1.3.0 Eine Sonde mit der Masse mS bewegt sich antriebslos auf einer elliptischen Bahn um
die Venus.
Im Punkt A der Ellipsenbahn ist der Abstand der Sonde zur Venusoberfläche am
geringsten und beträgt h A  250 km . Den Punkt A passiert die Sonde mit einer
Geschwindigkeit vom Betrag vA  8, 48 km
s .
1.3.1 Die Umlaufdauer der Sonde auf der elliptischen Bahn beträgt T  3,16 h .
Im Punkt B erreicht die Sonde die größte Höhe h B über der Venusoberfläche.
Berechnen Sie mit Hilfe der Konstanten CV die Höhe h B .
Ergebnis : h B  8,10 106 m
Zunächst benötigt man die große Bahnhalbachse a für die elliptische Bahn der Sonde
um die Venus. Diese erhält man aus dem dritten Keplerschen Gesetz (siehe 1.1)
TS2  CV  a S3  a S3 
aS
Nun gilt:
2a S  h A  2rV  h B
 3,16  3600s 
3
1, 21 1013
s2
m3
TS2
T2
 aS  3 S
CV
CV
2
 1, 023 107 m
hA
rV rV
h B  2a S  2rV  h A
hB
aS
h B  2 1, 023 107 m  2  6, 05 106 m  250 103 m  8,11 106 m
1.3.2
v B ist der Betrag der Geschwindigkeit v B , mit der die Sonde den Punkt B erreicht.
Zeigen Sie mithilfe des 2. keplerschen Gesetzes, dass gilt:
(rV  h A )  vA  (rv  h B )  vB .
Berechnen Sie v B .
Nach dem zweiten Kepler´schen Gesetz
überstreicht der Fahrstrahl in gleichen Zeiten P1
A2
Q2
F1
A1
gleiche Flächen. Somit gilt:
Q1
P2
A1  A2
Wir wollen nun Zeiten betrachten, die relativ
klein sind. Dann können die Beträge der
Geschwindigkeiten im Punkt A bzw. im Punkt B als konstant angesehen werden.
Ferner kann dann das Bogenstück P1P2 bzw. Q1Q2 durch das Geradenstück P1P2 bzw.
Q1Q2 angenähert werden.
Nun gilt für die Flächen:
A1  12  g1  h1  12  P1P2   rV  h A   12  vA  Δt   rV  h A 
A 2  12  g 2  h 2  12  Q1Q2   rV  h B   12  v B  Δt   rV  h B 
W. Stark; Berufliche Oberschule Freising
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2
Durch gleichsetzen erhält man dann:
1
1
2  v A  Δt   rV  h A   2  v B  Δt   rV  h B 
| 2 | : Δt
vA   rV  h A   vB   rV  h B 
Für die Geschwindigkeit v B folgt dann:
vB 
rV  h A
6, 05 106 m  250 103 m
km
 vA 
 8, 48 km
s  3, 77 s
rV  h B
6, 05 106 m  8,11106 m
1.3.3 Die Sonde wird durch ein geeignetes Steuermanöver im Punkt A von der elliptischen
Bahn auf eine Kreisbahn in der Höhe h A  250 km über der Venusoberfläche gelenkt.
Auf dieser Kreisbahn umrundet die Sonde dann die Venus ohne Antrieb. Bei diesem
Steuermanöver wird der Betrag v der Geschwindigkeit der Sonde um v verändert.
Berechnen Sie v .
Für die Geschwindigkeit v K der Kreisbahn mit dem Radius rK  h A  rV gilt:
FZ  FGr
mK 
m m
v
 G V K2
h A  rV
 h A  rV 
2
K
v 2K 
vK 
6, 673 1011 kgms2  4,87 1024 kg
G  mV
h A  rV
G  mV
h A  rV
3
vK 
 7,18 kms
250 10 m  6, 05 10 m
Somit folgt für die Geschwindigkeitsänderung Δv :
km
km
Δv  vK  vA  7,18 km
s  8, 48 s  1,30 s
1.4
3
6
Geben Sie an, welche der drei
nebenstehend skizzierten Kreisbahnen
eine Sonde nicht ohne Antrieb
durchlaufen kann.
Begründen Sie Ihre Antwort.
c
b
.
a
M
Venus
Achse für die
Eigenrotation
der Venus
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