2.2.3.6 Supraleiter 2. Art Betrachten wir zunächst die Flußfäden

2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 60
2.2.3.6 Supraleiter 2. Art
Betrachten wir zunächst die Flußfäden genauer. Je mehr Grenzflächen vorhanden
sind, um so stärker kann die Energie abgesenkt werden. Dies bedeutet, daß sich der
Fluß im 2-Dimensionalen möglichst fein verteilen muß. Die untere Grenze wird
durch die Flußquantisierung gegeben.
Solche Flußbündel laufen wegen der Quellenfreiheit des Feldes (divB=0) entweder
von Oberfläche zu Oberfläche, oder sie sind ringförmig geschlossen. Nach dem
Ampereschen Gesetz fließen Abschirmströme um das Flußbündel (s. Fig. 2.47).
Bisweilen werden die Flußfäden auch als Flußschläuche (engl. flux line bzw. vortex)
bezeichnet.
Fig. 2.47: Fluß durch einen Flußfaden mit Abschirmströme
In Figur 2.48 ist der Verlauf des Magnetfelds und der suprafluiden Dichte für einen
Flußfaden gezeigt. In der Mitte des Flußfadens ist ns=0. Da es sich um einen
Supraleiter 2. Art handelt ist die Kohärenzlänge kleiner als die Eindringtiefe.
Fig. 2.48:
Verlauf der Kohärenzlänge bzw. der Eindringtiefe innerhalb eines Flußfadens.
In Figur 2.48 ist das Ergebnis der Rechnung für ? = ns und B gezeigt.
Fig. 2.49:
Verlauf der makroskopischen Wellenfunktion und des Magnetfeldes für einen Flußfaden.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 61
Nun wollen wir die Freie Energie einer Grenzfläche für ein allgemeines Feld B ≠ Bcth
betrachten:
Fgr
B2
B2
= − λGL
+ ξGL cth
A
2µ 0
2µ 0
Der erste Term beschreibt wieder die Feldverdrängungsenergie, die auf Grund des
eindringen Magnetfeldes eingespart werden kann. Der zweite Term beschreibt den
dadurch entstehenden Verlust an Kondensationsenergie. Flußfäden entstehen
spontan, wenn die Feldverdrängungsenergie die Kondensationsenergie übersteigt. Da
die Feldverdrängungsenergie von B abhängt, überwiegt für genügend kleine Felder
stets der zweite Term und es liegt die Meissnerphase vor. Das Feld, bei dem beide
Terme gleich groß sind, ist das untere kritische Feld Bc1. Für große Felder dringen
Flußfäden ein und es bildet sich die Gemischte Phase (=Shubnikov Phase).
Das untere kritische Feld Bc1 ist um so kleiner, je größer κ ist. Nach Abrikosov gilt
der Zusammenhang (Ginzburg-Landau Theorie):
B ln ? + 0,08
Bc1 = cth
für κ > > 1
?
2
Figur 2.50 zeigt eine Berechnung des gemischten Zustandes (B>Bc1) mit Linien
konstanter Feldstärke. Die Kerne der Flußfäden ordnen sich zu einem energetisch
günstigen Dreiecks-Gitter an.
Fig. 2.50:
Mikroskopische Anordnung der Flußfäden zu einem Dreicks-Gitter. Die Linien
entsprechen Orte konstanter Feldstärke. (Hübener)
In Fig. 2.51 – Fig 2.53 zeigen wir Beispiele für experimentelle Beobachtungen des
Flußfaden-Gitters. In Fig. 2.51 wurde die Probe (Pb + 6,3 % In) in einem Magnetfeld
auf 1,2 K abgekühlt und mit Eisen Clustern (=kleine Magnete) bedampft. Diese
häufen sich dort, wo Fluß aus der Probe dringt. Das Bild zeigt eine anschließende
Raster-Elektronen-Mikroskop (REM) Aufnahme (schwarzer Punkt ≡ Ort eines
Flußfadens).
Das regelmäßige Gitter der Flußfäden läßt sich auch mit Hilfe spinabhängiger
Neutronenstreuung darstellen. Figur 2.52 a) zeigt die Flußfäden mit großem Abstand
bei kleinem Magnetfeld. In Teilbild b) ist das Feld höher, so daß die Flußfäden
bereits stark überlappen.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 62
Fig. 2.51: REM-Aufnahme einer mit Eisencluster dekorierten Pb/In Probe. (Träuble, Essmann)
Fig. 2.52: Über Neutronenstreuung beobachtetes regelmäßiges Gitter der Flußfäden. (Schelten,
Ullmaier, Schmatz)
Eine neue Methode ist die direkte Bestimmung der Verteilung der suprafluiden
Dichte ψ mit Hilfe der Tunnelmikroskopie (Hess et al 1989). Das erhaltenen
Flußfaden-Gitter ist in Figur 2.53 gezeigt.
Fig. 2.53 Flußfaden-Gitter einer NbSe2 Probe bei 1,8 K in einem 1 T Magnetfeld (Hess).
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 63
Jeder Flußfaden trägt ein Flußquant Φ 0. Alle zusammen erzeugen das innere Feld Bi.
Im Mittel gilt für das innere Feld:
F NF 0
N
Bi = =
= nF 0
A : Probenquerschnitt
n = : Flußfadendichte
A
A
A
Dieses Feld bestimmt makroskopisch die Magnetisierungskurve. Seine Abhängigkeit
vom äußeren Feld ist in Fig. 2.54 gezeigt. Bei Bc1 könnte ein Sprung in der Kurve
erklärt werden, da sofort viele Flußquanten eindringen können. Da sich die
Flußfäden aber gegenseitig abstoßen, kommt es nur zu einer senkrechten Tangente.
Fig. 2.54: Verlauf des inneren Feldes für einen Typ 2 SL.
Die Abstoßung der Flußfäden soll anhand Figur 2.55 erklärt werden.
Fig. 2.55: Überlappung zweier Flußfäden
Ist der Abstand der beiden Flußfäden in der Größenordnung von λ, überlappen sich
die Magnetfelder der einzelnen Fäden (grau markierter Bereich). In diesem
Überlappungsgebiet ist die Einsparung an Feldverdrängungsenergie eines Flußfadens
geringer als in einem Bereich ohne Überlappung. Je größer der Überlappungsbereich
wird, desto stärker wird dieser Effekt. Dies wirkt wie eine Energiebarriere.
Um die Flußfäden entgegen dieser Barriere zusammenzudrängen muß mehr
Feldverdrängungsenergie (∝ B) verfügbar sein, d.h. ein stärkeres äußeres Feld
angelegt werden. Dies erklärt das Abbiegen der Kurve (Fig. 2.54). Die größte Dichte
der Fäden wird erreicht, wenn sich auch die normalleitenden Kerne überlappen, so
daß die suprafluide Dichte zwischen den Fäden verschwindet. Dies entspricht dem
oberen kritischen Feld Bc2. Für jedes Flußquant steht dann nur noch eine Fläche
2
≈ξGL
zur Verfügung. Daher ist:
F
Bc 2 ≈ 0
2
ξGL
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 64
Genauer gilt nach Abrikosov:
Bc 2 =
Φ0
= 2κBcth
2
2πξGL
Ist κ groß, folgt damit auch ein hohes kritisches Feld Bc2. In dieser großen
Magnetfeldverträglichkeit liegt die Bedeutung der SL 2. Art für technische
Anwendungen.
Der Einfluß des Ginzburg-Landau Parameters κ auf die Magnetisierungskurve ist in
Figur 2.56 gezeigt. Bcth, und damit die Fläche der Kurve, ist hier für verschiedene
Werte von κ konstant gehalten. Dies bedeutet, daß Bc1 gleichzeitig mit steigendem κ
abnimmt.
Fig. 2.56: kritische Felder in Abhängigkeit vom Ginzburg-Landau Parameter κ.
Um ein möglichst großes κ zu erzielen, müssen so viele Defekte (Verunreinigungen)
in die Probe gebracht werden, daß die mittlere freie Weglänge l der Probe kleiner als
die Ginzburg-Landau Kohärenzlänge ξGL ist (=schmutziger Grenzfall od. dirty limit).
Für Niedertemperatur-SL liegt ξGL in der Größenordnung von einigen 10 nm, für
Hochtemperatur-SL (HTSL) bei 1-2 nm.
Die mittlere freie Weglänge l ist damit eine weitere charakteristische Länge, wobei
im schmutzigen Grenzfall gilt:
1
κ∝
für l < ξGL
l
Ein Beispiel hierfür ist Blei. Reines Blei mit κ < 1 2 ist ein Typ I SL. Dagegen ist
die Legierung Blei / Indium mit κ > 1 2 ein Typ II SL.
Technisch wichtig für Magnetspulen ist die Verbindung Nb3Sn. Bei dieser ist
κ ≈30. Obwohl Bcth mit 0,1 T nicht besonders hoch ist, wird trotzdem Bc2≈5T. Beim
HTSL YBa2Cu3O7-δ ist aufgrund der sehr kleinen Kohärenzlänge κ ≈ 100. Mit
Bcth≈1T wird hier Bc2≈60T bei 0 K. Dieser Wert ist nicht direkt meßbar, ergibt sich
aber aus einer Extrapolation der Meßergebnisse
Von besonderer Bedeutung ist das sog. Pinning, das im nächsten Kapitel besprochen
werden soll.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 65
2.2.3.7 Pinning in Supraleitern 2. Art
Dieses ist von besonderer Bedeutung bei Magnetspulen, Trafos, Motoren usw., bei
denen der Supraleiter im Magnetfeld noch zusätzlich von einem Transportstrom
durchflossen wird. Wir wollen den Einfluß des Transportstromes untersuchen und
betrachten dazu Fig. 2.57.
An die Probe sei ein Magnetfeld B angelegt. Außerdem wird sie von einem
Transportstrom jtrans durchflossen. Dadurch wird eine Kraft auf die Flußschläuche
ausgeübt, auf die wir im folgenden näher eingehen.
Fig. 2.57 Der Transportstrom durch die Probe bewirkt eine Kraft F auf die Flußfäden.
Zunächst betrachten wir einen einzelnen Flußschlauch (Fig. 2.58).
Fig. 2.58: Wirkung eines Transportstromes auf einen Flußfaden
Die Situation ist ähnlich wie beim Hall-Effekt. Durch das Magnetfeld in der λ-Zone
des Fadens erfährt der Transportstorm eine Lorentzkraft FL.
Für einen Ladungsträger gilt:
r
r r
FL = qv ×B
r
r
r r r
Mit der Ladungsdichte ρ und der Kraftdichte f=F/V folgt: f = ρv ×B = jtrans ×B
Die Richtung von f ist senkrecht zum Magnetfeld und senkrecht zum Strom.
Wie beim Hall-Effekt ergibt f zunächst eine Ablenkung des Transportstroms.
Dadurch entsteht jedoch eine Hallspannung, die den Strom wieder geradeaus zwingt.
Diese Gegenkraft zur Lorentzkraft wirkt aber auf den Flußfaden, und kann diesen in
Bewegung setzen.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 66
Wir wollen nun die Kraft berechnen. Es gilt:
3r
F=
∫fd r
Fadenvolumen
Da der Flußfaden in B-Richtung translationsinvariant ist ergibt die Integration über z
die Länge L des Fadens (=Probendicke):
r
r
F = L ∫fd 2 r =L ∫jtrams Bd 2 r
Der Transportstrom ist homogen auf der λ-Skala, so daß gilt:
r
F = jtrams L ∫Bd 2 r = jtrams LF 0
⇒
F
= jtramsF 0
L
Dies ist die Lorentzkraft pro Länge auf einen Flußfaden.
Wenn sich der Flußfaden unter der Wirkung dieser Kraft mit der Geschwindigkeit v
bewegt, so wird Arbeit geleistet. Für die Leistung gilt:
P = Fv FF
wobei vFF die Geschwindigkeit des Flußfadens ist.
Diese Leistung ist gleich der elektrisch zugeführten Leistung, weshalb für N
Flußfäden gilt:
P = NFv FF = UI
Für vorgegebenen Strom tritt also ein Spannungsabfall U=P/I auf. Durch leichte
Umrechnung findet man:
U = Blv FF
wobei l die Länge der Probe ist.
Trotz der Supraleitung hat der Typ 2. SL also einen „Flußbewegungs-Widerstand“
oder „flux flow resistance“.
Die am Flußfaden geleistete Arbeit wird dissipiert, d.h. letztlich in Wärme
umgewandelt. Dafür gibt es zwei Mechanismen:
a) durch Paarbrechung und Rekombination:
Dazu betrachten wir die Bewegung eines Flußfaden zu zwei verschiedenen
Zeitpunkten. Zum Zeitpunkt t1 befinde sich die Nullstelle der Wellenfunktion am
Ort x1 entsprechend zu t2 bei x2 (s. Fig. 2.59). Am Ort x1 wird ψ und damit die
Dichte ns mit der Zeit größer. Einzelne Elektronen rekombinieren hier zu Paaren.
Am Ort x2 müssen mit der Zeit Paare aufgebrochen werden. Diese Paarbrechung
und Rekombination erfolgt gegenüber der Wanderung von ψ zeitlich verzögert,
weshalb netto Phononen (=Wärme) erzeugt werden und wir einen irreversiblen
Prozeß erhalten.
Fig. 2.59: Ort des Flußfadens zu zwei unterschiedlichen Zeitpunkten. Aufgrund der Wanderung ist es
erforderlich die einzelnen Cooper-Paare aufzubrechen und anschließend zu rekombinieren.
Dies ist ein irreversibler Prozeß.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 67
Anmerkung:
Da die Cooper Paare zeitlich verzögert aufbrechen ist die Zahl der Cooper
Paare an diesem Ort höher als sie ihm eigentlich entspricht. Dadurch „sehen“
die Cooper Paare beim Aufbrechen eine zu niedrige Energielücke, weshalb die
beim Aufbrechen emittierten Phononen von geringerer Energie sind.
Umgekehrt verhält es sich bei der Rekombination. Hier ist die Energielücke zu
höheren Energien hin verschoben. Dies bedeutet in der Bilanz einen
Energieverlust.
b) durch Ohmsche Verluste im Wirbelkern:
Bei höheren Temperaturen können wir uns den Kern als normalleitenden
Bereich vorstellen. Läuft der Wirbelkern über den Ort x1 (s. Fig. 2.60), so ist
dort ein zeitlich veränderliches Magnetfeld festzustellen.
Fig. 2.60:
Aufgrund der Wanderung des Flußfadens ist am Ort xi ein veränderliches
Magnetfeld zu verzeichnen.
Ein zeitlich veränderliches Magnetfeld bedeutet nach dem Induktionsgesetz ein
elektrisches Feld. Das lokal induzierte elektrische Feld ist gegeben durch:
∂B ∂B
=
v FF
∂t ∂x
Dieses elektr. Feld beschleunigt einzelne Elektronen im normalleitenden Kern
und führt so zu Ohmschen Verlusten.
− ∇ ×E =
Beide Verlustmechanismen sind proportional zur Geschwindigkeit vFF der
Flußfäden. Damit sind auch die Kräfte - äquivalent zu Reibungskräften - proportional
zu vFF. Experimentell sind sie nicht voneinander trennbar.
Die Geschwindigkeit vFF wird stationär wenn gilt:
FL = FRe ibung ; wobei : FL ∝ jTrans und FRe ibung ∝ v FF ∝ U
Der Transportstrom ist also proportional zur Spannung. Damit ist ein Ohmscher
Widerstand zu erwarten.
Im Vergleich dazu zeigt Figur 2.61 gemessene Strom-Spannungskennlinien. Die
Ohmsche Gerade würde durch den Nullpunkt gehen. Dagegen bleibt bei realen
Proben die Spannung zunächst klein und nimmt erst bei größeren Strömen einen zur
Ohmschen Geraden parallelen Verlauf. Wir definieren den Strom, bei dem die
Spannung meßbar von Null verschieden ist, als den kritischen Strom. Der kritische
Strom ist materialabhängig und wächst mit der Defektdichte.
Meist verwendet man folgende Konvention:
Der technische kritische Strom Ic ist dann erreicht, wenn am SL eine Spannung von
1µV/cm Probenlänge abfällt.
2.2 Supraflüssigkeit
2.2.3. Ginzburg-Landau-Theorie 68
Fig. 2.61: Strom-Spannungskennlinie für eine Probe mit weniger oder mehr Defekte.
Defekte erhöhen also nicht nur κ, sondern auch die kritische Stromdichte. Die
Inhomogenitäten halten offenbar die Flußfäden fest, weshalb man hier von
Flußverankerung (flux pinning) spricht. Dieses erzwingt eine Geschwindigkeit v=0
weshalb keine Arbeit verrichtet wird und somit kein Widerstand meßbar ist. Ab einer
bestimmten Stromstärke reißen sich die Flußfäden von ihren Pinningzentren los und
dissipieren dann Energie.
Warum werden Flußfäden gepinnt? Dies sei anhand Figur 2.62 verdeutlicht.
Fig. 2.62: Flußpinning an Inhomogenitäten in
der Probe. Gezeigt sind Verunreinigungen
(schraffiert) und Flußfäden (parallele
Linien) (Buckel)
Im Material befinden sich normalleitende Ausscheidungen mit geringer
Kondensationsenergie (z.B. tempern von Nb3Sn => Sn Partikel fallen aus mit
Tc,Sn<Tc,Nb3Sn). Die Flußfäden durchlaufen diese NL-Bereiche, da so weniger
Kondensationsenergie aufgebracht werden muß (es ist keine Paarbrechung
erforderlich). Um die Flußfäden von diesen Pinningzentren weg zu bewegen muß
diese gesparte Kondensationsenergie aufgebracht werden.
Ein weiteres Beispiel ist in Figur 2.63 dargestellt. Hier ist ein dünner Film mit einer
rauhen Oberfläche gezeigt, weshalb man Flußfäden in unterschiedlicher Länge
erhält. Die Täler der Oberfläche können wir uns als normalleitende Einschlüsse
vorstellen, weshalb diese als Pinningzentren wirken.
Fig. 2.63: Oberflächenpinning an einer rauhen Oberfläche