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Mathey
Einführung in die theor. Physik 1
Einführung in die theoretische Physik 1
Prof. Dr. L. Mathey
Dienstag 15:45 – 16:45 und Donnerstag 10:45 – 12:00
Beginn: 23.10.12 Jungius 9, Hörs 2
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Einführung in die theor. Physik 1
Trajektorien
Die Bewegung eines Massepunktes wird

durch eine Abbildung
t  x(t)

beschrieben. 
dx (t )

Geschwindigkeit:
v(t) ≡ dt
O
2

d
x
(t
)
Beschleunigung: a(t) ≡
dt 2
Die Zeitableitung erfolgt komponentenweise:
~v
=
⇣ dx dy dz ⌘
d~r
=
, ,
dt
dt dt dt

a(t)

x(t)

v(t)
⇣ d 2x d 2y d 2z ⌘
d 2~r
~a = 2 =
,
,
dt
dt 2 dt 2 dt 2
Beispiele:
Geradlinige Bewegung: ~r (t) = ~r0 + f (t)~s
0
Geschwindigkeit: ~v (t) = f (t)~s
00
Beschleunigung: ~a(t) = f (t)~s
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Einführung in die theor. Physik 1
Beispiele für Trajektorien
Gleichförmige, geradlinige Bewegung: ~r (t) = ~r0 + ~v0 t
Geschwindigkeit: ~v (t) = ~v0
Beschleunigung: ~a(t) = 0
Gleichförmig beschleunigte Bewegung: ~r (t) = ~r0 + ~v0 t + 12~a0 t 2
Geschwindigkeit: ~v (t) = ~v0 + ~a0 t
Beschleunigung: ~a(t) = ~a0
Gleichförmige Kreisbewegung, mit Winkelgeschwindigkeit !:
~r (t) = R(cos(!t), sin(!t), 0)
Geschwindigkeit: ~v (t) = d~rdt(t) = R!( sin(!t), cos(!t), 0)
Beschleunigung:
d 2~r (t)
~a(t) = dt 2 = R! 2 ( cos(!t), sin(!t), 0) = ! 2~r (t) Es gilt:
|~r (t)| = R,
| d~rdt(t) |
= R!,
d 2~r (t)
| dt 2 |
= R! 2
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Einführung in die theor. Physik 1
Beschleunigung einer Kreistrajektorie
Wir nehmen an, dass |~r (t)| = r und |~v (t)| = v . Kreistrajektorie
mit konstanter Geschwindigkeit.
d
Daher: dt
(~r · ~r ) = 2(~r · ~v ) = 0
Also ist die Geschwindigkeit orthogonal zum Ortsvektor. Die
d
zweite Ableitung gibt: dt
(~r · ~v ) = ~r · ~a + ~v · ~v = 0
d
Insbesondere ~r · ~a < 0. Ausserdem: dt
(~v · ~v ) = 2(~v · ~a) = 0
Also ist ~a anti-parallel zu ~r , also ~r · ~a = ra.
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Daraus folgt: a = vr

v

r

a
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Einführung in die theor. Physik 1
Bogenlänge
Definition der Bogenlänge einer Trajektorie ~r (t):
R t d~r (t 0 ) 0
s(t) ⌘ t0 | dt |dt
s(t) is monoton wachsend, invertierbar. t(s) existiert. Die
geometrisch natürliche Parametrisierung einer Kurve ist
~r (s) = ~r (t(s)).
Beispiel: Kreistrajektorie
R t d~r (t 0 ) 0
d~r (t 0 )
| dt | = R!, also s(t) ⌘ t0 | dt |dt = R!(t t0 ). Setze
s
t0 = 0. Also s(t) = R!t, daher t(s) = R!
.
Daher erhält man ~r (s) = R(cos(s/R), sin(s/R), 0)
für die Kreistrajektorie, wenn sie durch die Bogenlänge
parameterisiert wird. Für s = 2⇡R gilt
~r (s = 2⇡R) = R(1, 0, 0) = ~r (0).
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Einführung in die theor. Physik 1
Begleitendes Dreibein
Tangenteneinheitsvektor: ~eT ⌘
Es gilt: ~eT =
d~r (t)/dt
|d~r (t)/dt|
=
d~r (t)/dt
|d~r (t)/dt|
d~r (t)/dt
ds/dt
=
d~r (s)
ds
Wegen ~eT · ~eT = 1, gilt ~eT · d~eT /dt = 0.
~eT und d~eT /dt spannen die sog. Schmiegungsebene auf, die
Ebene, in der die Bewegung zu dem Zeitpunkt verläuft.
d~eT /dt
Normaleneinheitsvektor: ~eN ⌘ |d~
eT /dt|
Krümmung:  ⌘ |d~eT /ds|
Krümmungsradius: ⇢ ⌘ 1/
Es gilt: ~eN =
d~eT /dt
|d~eT /dt|
=
d~eT /ds
|d~eT /ds|
=
1 d~eT
 ds
eT
= ⇢ d~
ds
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Torsion
Beispiel: ~r (s) = R(cos(s/R), sin(s/R), 0)
~eT = d~rds(s) = ( sin(s/R), cos(s/R), 0)
Nach Konstruktion ist ~eT normiert!
 = |d~eT /ds| = |( cos(s/R)/R, sin(s/R)/R, 0)| = 1/R
also: ⇢ = R
Binormaleneinheitsvektor: ~eB ⌘ ~eT ⇥ ~eN
Also formen {~eT ,~eN ,~eB } eine Orthonormalbasis.
eB
Es gilt: d~
eN
ds = ⌧~
⌧ ist die Torsion der Kurve.
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Einführung in die theor. Physik 1
Frenetsche Formeln
Es gilt:
d~eT
ds
= ~eN
d~eB
ds
=
⌧~eN
d~eN
ds
= ⌧~eB
~eT
Formel 1: Definition von  und ~eN
Beweis von Formel 2:
d~eB
d~eT ⇥~eN
d~eT
d~eN
~
~
=
=
⇥
e
+
e
⇥
N
T
ds
ds
ds
ds
eT
Der erste Term verschwindet, weil d~
eN . Es folgt, dass
ds = ~
d~eB
d~eB
2 = 1.
~
~
?
e
.
Ausserdem
gilt
?
e
,
weil
|~
e
|
T
B
B
ds
ds
d~eB
Daraus folgt, dass ds k ~eN . qed.
Beweis von Formel 3:
eN
Weil |~eN |2 = 1, kann man schreiben d~
eT + ~eB . Die
ds = ↵~
Koeffizienten ↵ und sind:
eN
d~eT
2 = 
~
~
↵ = ~eT · d~
=
d(~
e
·
e
)/ds
e
·
=
|~
e
|
T
N
N
N
ds
ds
d~eB
d~eN
= ~eB · ds = d(~eB · ~eN )/ds ~eN · ds = ⌧ |~eN |2 = ⌧
Dies ergibt die 3. Frenet Formel.
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Geschwindigkeit und Beschleunigung
Es gilt d~r (t)/dt = |d~r (t)/dt|~eT oder ~v (t) = v~eT
Daher: d 2~r (t)/dt 2 = v̇~eT + vd~eT /dt
Für die Zeitableitung des Tangenteneinheitsvektors gilt:
d~eT
ds d~eT
1
=
=
v
eN
dt
dt ds
⇢~
Daher folgt für die Beschleunigung:
v2
~a = v̇~eT + ⇢ ~eN
Der erste Term ist die Tangentialbeschleunigung, der zweite die
Normal- oder Zentripetalbeschleunigung.
Wir bemerken, dass die Beschleunigung ~a stets in der
Schmiegungsebene liegt, die ja durch ~eT und ~eN aufgespannt wird.
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