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12.1 Sinusförmige Wechselspannung
Die elektromagnetische Induktion ist eine der Grundlagen unserer technischen
Zivilisation. Der Strom, der aus der Steckdose kommt, ist bekanntlich ein Wechselstrom. Die ihn verursachende Wechselspannung wird in dem Generator eines
Kraftwerks durch einen Induktionsvorgang hervorgerufen. Im Folgenden wollen
wir das Prinzip der Erzeugung von Wechselspannung näher betrachten.
12.1.1 Erzeugung mit einer rotierenden flachen Spule
Auf dem rechten Bild sieht man, wie sich
eine flache Spule in dem Magnetfeld eines
Helmholtzspulenpaares mit konstanter
Winkelgeschwindigkeit ω um eine Achse
dreht, die senkrecht zu den Feldlinien
steht.
Wird eine Spule also mit
konstanter Winkelgeschwindigkeit (ω) gedreht, so ändert sich
der magnetische Fluss (Φ) durch
die Spule periodisch und es
entsteht
eine
periodisch
veränderliche
Spannung
zwischen
den,
mit
den
Spulenenden
verbundenen
Schleifringen.
Greift man die induzierte Spannung an den beiden
Schleifringen ab und lässt sie von einem t-y-Schreiber
aufzeichnen, so erhält man eine Sinuskurve. Jeweils
nach einer halben Drehung der Spule wechselt die
Spannung ihrer Polung.
12.1.2 Deduktive Herleitung
Betrachtung des magnetischen Flusses (Φ
Φ) durch die flache Spule:
Wie in 12.1.1 festgestellt, ändert sich der magnetische Fluss Φ durch die Spule
periodisch. Der maximale magnetische Fluss Φm wird erreicht, wenn die Spulenebene zu den Feldlinien senkrecht steht, was man in Bild a) sehen kann.
Gleich null ist der magnetische Fluss, wenn die Spulenebenen parallel zur Feldlinienebene ist (siehe Bild b)).
In Bild c) schließt die Spulenebene den Winkel ϕ mit der Ebene ein.
Die blauen Pfeile (→) markieren die magnetischen Feldlinien.
Projiziert man die Querschnittsfläche der flachen Spule auf eine Ebene senkrecht zu den Feldlinien, dann ist diese projizierte Fläche A, die zur Berechnung
des magnetischen Flusses Φ wirksame Fläche:
Φ = B⋅ A
Falls die Querschnittsfläche ein Rechteck ist, mit der Breite b0, die parallel zur
Achse liegt, dann wird nur die Länge l0 bei der Projektion verkürzt:
l = l 0 ⋅ cos ϕ
Damit ist die projizierte Querschnittsfläche:
A = l 0 ⋅ b0 ⋅ cos ϕ
A = A0 ⋅ cos ϕ
(Dieses Ergebnis gilt auch für beliebige Querschnittsflächen, da man die Flächen immer durch Rechtecke annähern kann.)
Für den magnetischen Fluss ergibt sich dann:
Φ(ϕ ) = B ⋅ A0 ⋅ cos ϕ
Φ(ϕ ) = Φ max ⋅ cos ϕ
(Φmax ist der maximale Wert für den magnetischen Fluss der Spule, der unter
anderem für ϕ = 0 ist.)
Wird die Spule mit der konstanten Geschwindigkeit ω gedreht, so ist ϕ = ω ⋅ t.
Für den magnetischen Fluss als Funktion der Zeit folgt:
Φ(t ) = Φ max ⋅ cos ω ⋅ t
Wenden wir das Induktionsgesetz U (t ) = − N i ⋅ Φ& an, so erhalten wir die Spannung
U an den Enden der Spule als Funktion der Zeit:
U (t ) = N i ⋅ Φ max ⋅ ω ⋅ sin ω ⋅ t
U (t ) = U max ⋅ sin ω ⋅ t
Sinusförmige Wechselspannung
Den Maximalwert U max = N i ⋅ Φ max ⋅ ω bezeichnet man als Scheitelspannung; er
wird jeweils erreicht, wenn sin ω ⋅ t = 1 ist.
Grafische Betrachtung des magnetischen Flusses Φ(t)
und der Wechselspannung U(t):
Die Spulenstellungen
ist im zeitlichen Abstand von T/4 und die magnetische
r
Flussdichte B in ihrer Richtung angegeben.
Aus der Grafik kann man entnehmen, dass:
- bei den Spulenstellungen 1, 3 und 5:
⋅der Betrag von der magnetischen Flussdichte maximal ist
⋅die Ableitung der magnetischen Flussdichte und die Spannung null sind
•
→ Φ = maximal; Φ und U gleich null
- bei den Spulenstellungen 2, 4 und 6:
⋅die magnetische Flussdichte null ist
⋅der Betrag der Ableitung der magnetischen Flussdichte und der Betrag
der Spannung maximal sind
→ Φ = 0;
•
Φ und U maximal
Damit haben wir das Prinzip eines Wechselstromgenerators erkannt, dessen
technische Realisierung Werner von Siemens gelang (s. Physikalisches aus der
Technik).
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1. Gegeben:
N = 500
l = 80 cm = 0,80 m
I = 2,5 A
Ni = 75
A0 = 12 cm² = 12 ⋅ 10 −4 m²
1
ƒ = 10 Hz = 10 ⋅
s
Ui = 11 mV = 0,011 V
Gesucht: µ0 (die magnetische Feldkonstante)
Herleitung:
•
•
U i = − N i ⋅ Φ = − N i ⋅ B ⋅ A = − N i ⋅ B ⋅ (− A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin⋅ (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )) =
= N i ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
Für die Flussdichte B setzen wir: B = µ 0 ⋅
→
U i = Ni ⋅ µ0 ⋅
I⋅N
l
I⋅N
⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
l
Auflösen nach µ 0 :
µ0 =
Ui ⋅l
N i ⋅ I ⋅ N ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
mit: sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ) = 1 (Scheitelspannung)
µ0 =
0,011V ⋅ 0,80m
1
75 ⋅ 2,5 A ⋅ 500 ⋅ 12 ⋅ 10 − 4 m 2 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 10 ⋅ ⋅ 1
s
≈ 1,2 ⋅ 10 −6 ⋅
V ⋅s
A⋅m
Die magnetische Feldkonstante beträgt 1,2·10-6 V·s·A-1·m-1.
2. Gegeben:
A0 = 10 cm²= 10 ⋅ 10 −4 m²
B = 20 mT = 0,020 T
1
ƒ = 50 HZ = 50 ⋅
s
a)
•
•
U i = − N i ⋅ Φ = − N i ⋅ B ⋅ A = − N i ⋅ B ⋅ (− A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin⋅ (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ))
U i = N i ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
konstant
Umlaufdauer T:
1
1
T= =
= 0,02s
1
f
50 ⋅
s
b)
•
•
U i = − N i ⋅ Φ = − N i ⋅ B ⋅ A = − N i ⋅ B ⋅ (− A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin⋅ (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ))
mit: sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ) = 1
(Den Maximalwert Umax bezeichnet man als Scheitelspannung; er
wird erreicht, wenn sin w ⋅ t = 1 , also sin( 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ) = 1 ist.)
U max = N i ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f = 1 ⋅ 0,020T ⋅ 10 ⋅ 10 − 4 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 50 ⋅
1
≈ 0,0063V = 6,3mV
s
c)
Der zeitliche Verlauf der induzierten Spannung bleibt genauso
wie oben, da Ni-neu auch zu den Größen gehört, die konstant
bleiben.
N i − neu = 50 ⋅ N i
U max − neu = N i − neu ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f = 50 ⋅ N i ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f
U max − neu = 50 ⋅ U max
3. Gegeben:
Ni = 200
A0 = 5,0 cm² = 5 ⋅ 10 −4 m²
1
ƒ = 5 Hz = 5 ⋅
s
Umax = 0,30 V
Gesucht: B (die Flussdichte)
•
•
U i = − N i ⋅ Φ = − N i ⋅ B ⋅ A = − N i ⋅ B ⋅ (− A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin⋅ (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )) =
= N i ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f ⋅ sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t )
Umax bei sin (2 ⋅ π ⋅ f ⋅ t ) = 1 (Scheitelspannung)
→
U max = N i ⋅ B ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f
Auflösen nach B:
B=
U max
=
N i ⋅ A0 ⋅ 2 ⋅ π ⋅ f
0,30V
1
200 ⋅ 5 ⋅ 10 m² ⋅ 2 ⋅ π ⋅ 5 ⋅
s
−4
Die Flussdichte B beträgt 95mT.
≈ 0,095T = 95mT