3. Die Divergenz und die Quellen des elektrischen Feldes

3. Die Divergenz und die Quellen des
elektrischen Feldes
Das Gauß’sche Gesetz
I
∂V
~ · d~f = 1 Qin = 1
E
0
0
Z
ρel dV
V
stellte eine beachtliche Verbindung her zwischen dem elektrischen
~ und seinen Quellen, den elektrischen Ladungen.
Feld E
In den bisherigen Anwendungen haben Sie das Gauß’sche Gesetz
als Alternative zum Coulomb-Gesetz verwendet, um aus einer
vorgegebenen Ladungsverteilung das elektrische Feld zu berechnen.
Betrachten wir dazu ein weiteres
Beispiel:
Ein unendlich langer, gerader Draht mit Radius R sei
homogen geladen. Seine Ladung pro Längeneinheit L
betrage
Q
= λ.
L
Wir können nun das elektrsche Feld dieses Drahtes
auf zwei verschiedene Weisen berechnen:
Mit Hilfe des Coulomb-Gesetzes und des Superpositionsprinzips berechnen wir
Z
1
ρ(~r 0 )
0
~
E (~r ) =
dV
,
4π0 Drahtvolumen |~r − ~r 0 |2
wobei die Ladungsdichte

 πRQ2 L
ρ(~r ) =

0
r ≤R
.
r >R
Hierbei bezeichnet r den senkrechten Abstand zur Zylinderachse.
Die Berechnung dieses Coulomb-Integrals ist relativ aufwendig und
soll hier nicht vorgeführt werden.
Die Berechnung des elektrischen Feldes mit Hilfe des Gauß’schen
Gesetzes und mit Symmetrieargumenten ist wesentlich einfacher.
Beachte aber, dass das Gauß’sche Gesetz eine direkte Folge des
Coulomb-Gesetzes ist.
Folgende Symmetrieüberlegung führt uns auf die Form des
elektrischen Feldes:
Da die Ladungsverteilung in jeder Ebene senkrecht zum Draht
kreissymmetrisch ist, muss dies auch für das elektrische Feld
gelten. In Zylinderkoordinaten erhalten wir daher
~ (r , ϕ, z) = E
~ (r , z).
E
Da die Ladungsverteilung in jeder Ebene senkrecht zum Draht
gleich aussieht (Translationsinvarianz entlang der
Zylinderachse) folgt
~ (r , z) = E
~ (r ).
E
Aber welche Richtung hat das Feld?
Zunächst
~ (r ) = Er (r )êr + Eϕ (r )êϕ + Ez (r )êz .
E
Hier wird es mit den Symmetrieargumenten etwas schwieriger:
Angenommen das Feld hätte eine z-Komponente. Tauscht man
jedoch z gegen −z aus, so sieht der Draht genauso aus wie vorher,
das Feld dreht jedoch seine Richtung um
Ez (r ) → −Ez (r ).
Da sich an der Ladungsverteilung jedoch nichts geändert hat, muss
gelten
Ez (r ) = −Ez (r ) ⇒ Ez (r ) = 0.
Analoges gilt für eine Koordinatentransformation bei der ϕ → −ϕ
ausgetauscht wird (genau genommen muss man z → −z
gleichzeitig mit ϕ → −ϕ ausführen, damit das neue
Koordinatensystem wieder rechtshändig ist.)
⇒ Eϕ (r ) = 0.
Daher bleibt nur noch die radiale Feldkomponente, d.h.
~ (~r ) = Er (r )êr .
E
Die radiale Feldkomponente können wir nun mit Hilfe des
Gauß’schen Gesetzes berechnen:
Wir unterscheiden zwei Fälle:
r ≤R
und
r > R.
In beiden Fällen betrachten wir als Gauß’sches Volumen einen
konzentrischen Zylinder mit Radius r . Die beiden Fälle
unterscheiden sich durch die im Zylinder eingeschlossene Ladung.
Für r < R ist
Z L Z 2π
Z r
Z
Qin
1
Q
dz
dϕ
dr 0 r 0 ,
=
ρdV =
2
2
L
L endl. Zylinder
πR L 0
0
0
wobei wir das Volumenelement in Zylinderkoordinaten
dV = dr r dϕ dz
benutzt haben.
r2
Qin
Q
r2
L 2π
= λ 2.
⇒ 2 =
L
πR 2 L2
2
R
Der Fluss des elektrischen Feldes ergibt sich zu
Z
Z
~ · d~f +
E
Zylindermantel
Z
Deckelflächen
~ · d~f
E
~ · d~f .
E
oberer + unterer Deckel
Z
=
untere Deckelfläche
~ · d~f +
E
|{z}
Z
obere Deckelfläche
(−êz )df
Z
Z
Ez (r )df −
Ez (r )df = 0
Die Deckelflächen tragen also nicht zum elektrischen Fluss bei.
Dieser wird allein durch den Fluss durch die Mantelfläche
~ · d~f
E
|{z}
êz df
bestimmt:
Z
Mantelfläche
~ · d~f =
E
|{z}
Z
Er (r )df
Mantelfläche
df ~er
Z
=
L
Z
2π
dz
0
r dϕEr (r ) = Er (r ) 2π r L
0
Mit Hilfe des Gauß’schen Gesetzes ergibt sich damit
r2
Qin = λ 2 L = ε0 Er (r ) 2πrL
R
oder
Er (r ) =
λ r
2πε0 R 2
für r ≤ R.
Im Aussenraum des Drahtes gilt hingegen
Qin = λL
⇒ λL = ε0 Er (r )2πrL,
woraus wir das Feld im Aussenraum zu
λ 1
für r > R.
Er (r ) =
2πε0 r
erhalten.
E(x)
Er(r) [λ /(2 π ε0 R2)]
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0
1
2
3
4
5
r/R
Abbildung: Radialkomponente des elektrischen Feldes eines homogen
geladenen Drahtes.
Bisher haben wir aus einer vorgegebenen Ladungsverteilung das
elektrische Feld berechnet. Können wir das Verfahren auch
umdrehen? (Jetzt wird die Sache spannend!) Können wir bei
bekanntem elektrischen Feld auf die Ladungsverteilung schließen?
Das Gauß’sche Gesetz sagt:
Betrachte ein vorgegebenes Volumen V und miss den Fluss des
elektrischen Feldes durch die Oberfläche des Volumens, dann
weisst Du, wie groß die eingeschlossene Ladung ist!
Betrachten wir dazu wieder das Feld einer Punktladung und ein
Volumenelement, welches die Ladung nicht einschließt:
Skizze!
Der Fluss durch das Volumenelement beträgt
I
~ · d~f =
E
∂V
I
Er (r )êr · d~f
Z∂V
=
inneres
Kugelflächenelement
Er (r )(−df (r ))
Z
+
äusseres
Kugelflächenelement
Er (r + dr )df (r + dr )
q 1
2
−r
sin
ϑ
∆ϑ
∆ϕ)
4πε0 r 2
1
q
2
(r
+
∆r
)
sin
ϑ
∆ϑ
∆ϕ)
+
4πε0 (r + ∆r )2
= 0.
=
Erwartungsgemäß finden wir also keine Ladung in dem
betrachteten Volumen.
Was geschieht nun, wenn wir dies Verfahren verallgemeinern,
indem wir das betrachtete Volumen infinitesimal klein wählen?
Betrachten wir zunächst die eingeschlossene Ladung; genauer:
betrachten wir folgenden Grenzwert:
Qin (~r )
= ρ(~r ).
∆V →0 ∆V
lim
Die Ortsangabe im Argument von Qin (~r ) soll hier verdeutlichen,
dass sich die eingeschlossene Ladung im Volumen ∆V befindet,
das den Ort ~r enthält. Das zweite Gleichheitszeichen beinhaltet die
Definition der elektrischen Ladungsdichte.
Führen wir diese Prozedur mit der “anderen Seite” des Gauß’schen
Gesetzes durch, so erhalten wir
I
~ · d~f .
lim
E
∆V →0
Oberfläche
von ∆V
Den Grenzwert können wir leicht berechnen, wenn wir als
Volumenelement ein infinitesimales kartesisches Volumen
betrachten, d.h. ∆V = ∆x ∆y ∆z.
Skizze!
Wir betrachten nun gegenüberliegende Würfelseiten und berechnen
den Fluss durch diese. Fangen wir mit den Flächen senkrecht zur
x-Achse an:
Z
Z
Z
~ · d~f = − Ex (x, y , z) dy dz = − Ex (x, y , z) ∆y ∆z.
E
vordere
Fläche
(Zur Erinnerung: Das Minuszeichen tritt auf, da die
Flächennormale des Flächenelements in die negative x-Richtung
zeigt.)
Analog ergibt sich für die hintere Fläche:
Z
Z
Z
~ ·d~f = − Ex (x+∆x, y , z) dy dz = − Ex (x+∆x, y , z) ∆y ∆z.
E
hintere
Fläche
Der Gesamtfluss durch beide Flächen beträgt dann
Φx = [Ex (x + ∆x, y , z) − Ex (x, y , z)] ∆y ∆z
und im Grenzfall
1
∆y ∆z
∂Ex
lim
Φx = lim
[Ex (x + ∆x, y , z) − Ex (x, y , z)] =
.
∆V →0 ∆V
∆V →0 ∆x ∆y ∆z
∂x
Analoges ergibt sich für die anderen Flächen. Der Gesamtfluss
durch die infinitesimale Würfeloberfläche beträgt also
I
1
~ · d~f = ∂E + ∂Ey + ∂Ez .
lim
E
∆V →0 ∆V ∂(∆V )
∂x
∂y
∂z
In der Mathematik bezeichnet man den Grenzwert
I
1
~ · ~v (~r )
~v · d~f = div ~v (~r ) = ∇
lim
∆V →0 ∆V ∂(∆V )
als die Divergenz des Vektorfeldes ~v .
In karthesischen Koordinaten haben wir gesehen, dass
~ · ~v = ∂vx + ∂vy + ∂vz .
∇
∂x
∂y
∂z
Wir fassen nun die obigen Ergebnisse im Gauß’schen Gesetz für das
infinitesimal kleine Volumen zusammen und erhalten
I
1
Qin (~r )
1
1
~ ·d~f = div E
~ = ∇·
~.
~ E
lim
= ρ(~r ) = lim
E
∆V →0 ∆V ∂(∆V )
ε0 ∆V →0 ∆V
ε0
Wir haben damit das erste Maxwell’sche Gesetz in
differentieller Form erhalten,
~ = 1ρ .
div E
ε0
Es erlaubt uns, bei bekanntem elektrischen Feld die
Ladungsverteilung zu berechnen, die dieses Feld erzeugt hat.
In Anlehnung an dieses Gesetz bezeichnet man die Divergenz auch
als die Quellenstärke eines Vektorfeldes. Die Divergenz ist ein
Skalarfeld, das an jedem Punkt angibt, ob das Feld dort eine
Quelle/Senke besitzt und wie ergiebig diese ist.
Beispiele für die Divergenz von Vektorfeldern:
•
•
•
•
~va = ~r = xêx + y êy + zêz
∂
∂
∂
⇒ div ~va = ∂x
x + ∂y
y + ∂z
z = 3.
~vb = êz
∂0
∂0
∂1
⇒ div ~vb = ∂x
+ ∂y
+ ∂z
=0
~vc = zêz
∂
z =1
⇒ div ~vc = ∂z
~vd = f (|~r |)êr = 1r f (r )~r
~ ) · ~r + g div ~v
Produktregel für die Divergenz: div (g~r ) = (∇g
~ f ) · ~r + f div ~v
⇒ div ~vd = (∇(
r
r
f0
f
= ( r − r 2 )êr · ~r + 3 fr = f 0 + 2 fr
Skizzen!!