Kapitel 10 Kostenfunktionen Ökonomische Kosten Ökonomische

Kostenfunktionen
• Kosten der Produktion für eine gegebene Outputmenge.
– Lösung des Kostenminimierungsproblems
Kapitel 10
• Gesamt-, Grenz- und Durchschnittskosten.
Kostenfunktionen
• Kurzfristige und langfristige Kostenkurven.
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Ökonomische Kosten
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Ökonomische Kosten
Die Opportunitätskosten
• Beim Messen der Kosten für den Gebrauch eines Inputs
bedienen
sich
Ökonomen
des
Konzepts
der
Opportunitätskosten: Der Wert des Inputs beim Einsatz in
der besten Alternative.
• Buchhalterische Kosten: Der tatsächliche Buchwert der
Ausgaben für Anlagegüter.
Beispiel: Die Kosten von Arbeit. Wenn Arbeit auf einem
vollkommenen Wettbewerbsmarkt zum Preis w angeboten
und nachgefragt wird, dann ist w auch gleich den
Opportunitätskosten, also dem Preis, den der Arbeiter bei
einem anderen Arbeitgeber bekommen hätte. In diesem Fall
stimmen ökonomische und buchhalterische Kosten überein.
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Kosten der Kapitalausgaben: Die Opportunitätskosten
der Maschine, die sich aus ihrer besten alternativen
Verwendungsmöglichkeit in der Produktion ergibt.
Der Mietzins von Kapital (rental rate of capital): Der „Preis“,
den eine andere Partei bereit ist, für die Maschine (in
einer Periode) zu zahlen.
Buchhalterische Kapitalausgaben: Die tatsächlichen
Ausgaben werden als Aktivposten gebucht, dann wird
der Buchwert des Kapitals über die Zeit abgeschrieben.
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Versunkene Kosten
Kostenminimierung
• Versunkenen Kosten (Sunk Costs) sind die Ausgaben,
die getätigt worden sind und nicht mehr rückgängig
gemacht werden können.
Kostenminimierung:
• Ziel: Finde die minimalen Kosten, die zur Produktion einer
vorgegebenen Menge des Gutes notwendig sind.
• Wenn wir die Preise/Schattenpreise für jedes Input kennen, können
wir die Gesamtausgaben angeben mit w, dem Preis für Arbeit (wage
rate) und v, dem Mietpreis für Kapital (Zins). Dann:
• Derartige Kosten sollten die Entscheidung
Unternehmens nicht beeinflussen.
eines
C  wL  vK
•
Um die Produktionskosten zu finden, formulieren wir das
Optimierungsproblem mit Nebenbedingung: Minimiere die Ausgaben
unter der Bedingung, dass mindestens eine bestimmte Outputmenge
Q produziert wird.
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Kostenminimierung
Kostenminimierung
Graphische Darstellung:
RTS K , L 
•
•
Kostenminimierung:
minwL  vK  u.d .N . Q  F ( K , L)
FK ( K , L) v

FL ( K , L) w
L( K , L,  )  wL  vK   (Q  F ( K , L))
Lagrange:
Grenzrate der technischen
Substitution ist gleich dem
Preisverhältnis der Inputs.
BoOs: L( K , L,  )  w  F ( K , L)  0
L
L
L( K , L,  )
 v  FK ( K , L)  0
K
L( K , L,  )
 Q  F ( K , L)  0

Das Grenzprodukt eines Euros
ist für jeden Faktor gleich.
Finde:
FK ( K , L) FL ( K , L)

v
w
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RTS K , L 
FK ( K , L) v

FL ( K , L) w
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Kostenminimierung
Beispiel:
• Angenommen Toyota‘s Produktionstechnologie für Autos ist
Kostenfunktionen
Lösung des Kostenminimierungsproblems:
Q  K L
•
Falls w=20 und v=5, was sind die minimalen Kosten um 10 Autos zu produzieren?
•
Lagrange:
•
BeOs:
•
Inputnachfragen als Funktion der Outputproduktion:
K (v, w, Q) und L(v, w, Q)
•
C (v, w, Q)  vK (v, w, Q)  wL(v, w, Q)
•
•
Gesamtkostenfunktion:
Die Gesamtkosten zur Produktion von Q Einheiten Output ist eine
Funktion von Q und den Inputpreisen.
Lösung bei diesen Werten:
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Kostenfunktionen
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Kostenfunktionen
• Gesamtkosten C(Q) (manchmal TC(Q)), gegeben aus der
Kostenminimierung. Die monetären Kosten, einen gegebenen
Output Q zu produzieren.
Beispiel:
Im Toyota Beispiel ist die Gesamtkostenfunktion:
• Eigenschaften der Gesamtkostenfunktion:
Die Grenzkosten:
– Homogen vom Grad 1 in den Inputpreisen.
– Nicht-fallend in Q,v,w.
– Konkav in den Inputpreisen.
Die Durchschnittskosten:
• Grenzkosten MC(Q)=dC/dq, die Ableitung von C(Q) nach Q
misst die Grenzkosten einer zusätzlichen Outputeinheit.
• Durchschnittskosten AC(Q)=C(Q)/Q, Kosten pro Outputeinheit.
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Kostenfunktionen
Kostenfunktionen
Skalenerträge und die Kostenfunktion:
• Wenn F(K,L) konstante Skalenerträge hat,
Gesamtkostenfunktion linear in Q.
• Wenn F(K,L) steigende Skalenerträge hat,
Gesamtkostenfunktion steigend und konkav
Grenzkostenfunktion fallend.
• Wenn F(K,L) fallende Skalenerträge hat,
Gesamtkostenfunktion steigend und konvex
Grenzkostenfunktion steigend.
Beispiel: Allgemeine Cobb-Douglas Technologie F(K,L)=KαLβ
ist die
BeO‘s der Kostenminimierung:
ist die
und die
ist die
und die
Lösung der BeO‘s:
• Beispiel: Die Gesamtkosten bei Toyota sind linear in Q,
also hat die Produktionstechnologie konstante
Skalenerträge.
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Kostenfunktionen
Kurz- und langfristige Kosten
Die Cobb-Douglas Gesamtkostenfunktion:
Fixe vs. variable Inputs:
•
Langfristig sind alle Inputs variabel.
•
Kurzfristig sind einige Inputs fix.
–
–
MC:
AC:
•
RTS hängt von den Exponenten ab. Diese bestimmen
ebenfalls die Form der marginalen Kosten.
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Maschinen
Arbeiter, wenn zusätzliche Arbeiter und Überstunden
unverhältnismäßig teuer sind.
Kurzfristige Kostenminimierung nimmt die fixen Inputs
als gegeben an und maximiert bezüglich der variablen
Faktoren.
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Kurz- und langfristige Kosten
Kurz- und langfristige Kosten
Beispiel:
Angenommen, Toyota‘s Kapitalstock is kurzfristig bei K* fixiert.
• Die kurzfristigen Gesamtkosten werden durch flexibles L
bestimmt, um Q zu produzieren.
• Die notwendige Arbeit, um Q zu produzieren, ist:
Beispiel:
• Variable Kosten:
Die kurzfristigen Durchschnittskosten: SRAC  SRTC 
• Fixkosten von Kapital:
In der kurzen Frist sind die Durchschnittskosten U-förmig. Grenzkosten
steigen stärker als in der langen Frist.
Die kurzfristigen Gesamtkosten: SRTC (v, w, Q ) 
Die kurzfristigen Grenzkosten: SRMC 
SRTC

Q
Q
• Gesamtkosten: SRTC(v,w,Q)=
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Kapitel 10 Konzepte
Kurz- und langfristige Kosten
• Opportunitätskosten
• Versunkene Kosten
• Gesamt-, Grenz- und
Durchschnittskosten
• Cobb-Douglas Kostenfunktion
• Kurzfristige Gesamt-, Grenzund Durchschnittskosten
Für das Toyota Beispiel:
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