v - AIA RWTH

verschiedene Formen von Propellern
1.) scharfkantiger Einlass
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Bernoulli
Ablösung
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000000000000000000
111111111111111111
P
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
111111111111111111
000000000000000000
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000000000000000000 Impuls
111111111111111111
2.) gut gerundeter Einlass
Bernoulli
11111
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000000000
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11111
000000000
111111111
P
1
Impuls
verschiedene Formen von Propellern
3.) Rohr mit Düse
Impuls
Ablösung
11111111111111111111
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00000000000
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00000000000
11111111111
Bernoulli
2
Zusammenfassung
• gut gerundeter Einlass−→ Bernoulli
• scharfkantiger Einlass−→ Impuls
• scharfkantiger Austritt −→ Bernoulli (bis zum Austritt)
• Verluste (Ablösung, Mischung, ...) −→ Impuls
• Leistung −→ Impuls
• äußere Kräfte −→ Impuls
Aber:
• Für spezielle Probleme sind beide Gleichungen erforderlich.
• Wenn Bernoulli gilt, gilt auch die Impulsgleichung.
• Nicht die Konti-Gleichung vergessen.
3
7.8
Zwei Gebläse, die Luft aus der Umgebung ansaugen, unterscheiden
sich in der Form des Einlaufs.
Gegeben: ρ, A, ∆p
Bestimmen Sie
a) den Volumenstrom,
b) die Gebläseleistung,
c) die Haltekraft.
4
7.8
Bernoulli 2 → 3:
0
1
2
p2 + ρ2 v22 = p3 + ρ2 v32
3
→ p2 = p3 = pa
p
Bernoulli −∞ → 1:
p0
pa
ρ/2 v2
p3 = pa
∆ p = ∆ p0
ρ/2 v2
ps
pa + 0 = p1 + ρ2 v12
8
(∆p = p2 − p1)
−→ v1 =
0
q
1
2 ∆p
ρ
2
−→
3
V̇ = v1A =
5
r
2
∆pA
ρ
7.8
Fsx
A
8
v
8
v
8
1. Hauptsatz für stationäre Fließprozesse: P = V̇ ∆p0
ρ 2
ρ 2
hier: ∆p0 = p02 − p01 = p2 + v2 − p1 − v1 = p2 − p1 = ∆p
2
2
r
2
−→ P = ∆pA
∆p
ρ
6
7.8
Annahme: Strömungsfeld entsteht durch eine punktförmige Senke
→ keine gerichtete Strömung im Unendlichen
→ die Geschwindigkeit ist konstant
→ A∞v∞ = Av
Av
→ v∞ =
A∞
7
7.8
Impulsstrom für A∞
v
u
dI~ u dI 2 dI 2 I
t
<
dA
+
= ρ |{z}
~v (~
v
·
~
n
)
=
dt dt x
dt y A∞ v∞ | {z } ≤v∞
<
I
A∞
|ρ~v (~v · ~n) dA| ≤
I
A∞
2 dA = ρv 2 A∞
ρv∞
∞
dI~ ρv 2A2
ṁ2
Av
→ <
=
→ 0 für A∞ → ∞
v∞ =
dt A∞
A∞
ρA∞
8
7.8
am Austritt nicht möglich
−→ gerichtete Strömung
Impulsgleichung
I
dI
~ndA + Fsx
| |x = ρv 2A = −pa
dt
A∞
−→ Fsx = ρv 2A = 2∆p·A
9
7.8
Ablösung
0
1
2
3
∆ pv
ρ /2 v2
pa
∆p
0
1
10
2
3
v
8
v
8
7.8
A
8
Fsx
Impulsgleichung
ρv 2A = paA∞ − (pa(A∞ − A) + p1A)
= (pa − p1)A = ∆pA
s
q
∆p
−→ V̇ = ∆p
v1 = v =
A
ρ
ρ
11
7.8
Leistung:
P = ∆p0V̇ = ∆pA
q
∆p
ρ
Fsx
ρv(−v)A + ρvvA = (p1 − p3)A + Fsx −→ Fsx = ∆pA
12
Rankine‘s Strahltheorie
Propeller, Windräder, Schiffschrauben, ...
• 1-dimensionale Strömung
• kein Einfluß der Rotation
• Kraftverteilung ist über dem Querschnitt konstant
• Beschleunigung oder Verzögerung
13
Rankine‘s Strahltheorie
1’
2’
v2
A1
1
0
0
1
0
1
0
1
p1’
p2’
v1
v
v1
p
pa p
1
v1
∆m
v’
v2
p1’
p2’
p2
x
14
A2
Rankine‘s Strahltheorie
Kontinuität:
Bernoulli:
ρv1A1 = ρv1′ A′ = ρv2′ A′ = ρv2A2
ρ ′2
ρ 2
′
′
1 −→ 1 : pa + v1 = p1 + v1
2
2
ρ ′2
ρ 2
′
2‘ −→ 2 : p2 + v2 = pa + v2
2
2
Impuls:
−ρv ′2A′ + ρv ′2A′ = (p′1 − p′2)A′ + F
−→ F = −(p′1 − p′2)A
Kontinuität:
∆ṁ = ρA2(v1 − v2)
15
Rankine‘s Strahltheorie
Impuls:
−ρv12A∞ + ρv22A2 + ρv12(A∞ − A2) + ∆ṁv1 = F
−→ F = ρv2A2(v2 − v1) = ρv ′A′(v2 − v1)
..
1
′
Froude’sches Theorem: v = (v1 + v2)
2
v22
ρ ′ 3
v2
Leistung: P = V̇ ∆p0 = − A v1 (1 + )(1 − 2 ) ∼ v13
4
v1
v1
8 3
∂P
Pmax
= ρv1
maximale Leistung: v2 = 0 −→
′
A
27
∂( v )
1
4 2
F
Schub bei maximaler Leistung: ′ = − ρv1 ∼ v12
A
9
16