Thema: „Der Satz des Thales: Anschauliches Experimentieren und
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Martin Schleisiek Anwendungsorientierte Mathematik 31.05.2005 Thema: „Der Satz des Thales: Anschauliches Experimentieren und Beweisen“ Lernziele: (1) Die SchülerInnen sollen ihre feinmotorischen Fähigkeiten schulen. (2) Die SchülerInnen sollen den Satz des Thales entdecken und verstehen. (3) Die SchülerInnen sollen sich im Formulieren eines mathematischen Satzes schulen. (4) Die SchülerInnen sollen die Notwendigkeit eines Beweises einsehen. Medien: - Tafel, Kreide Schulbuch LS 11 Thaleskreiszirkel (jeweils eins für zwei SchülerInnen) Overheadprojektor + Thaleskreiszirkel aus Plexiglas Der Thaleskreiszirkel wurde von mir selbst entwickelt. Da er nur aus wenigen, preiswerten Materialien besteht und von den SchülerInnen in kürzester Zeit selbst hergestellt werden kann, ist es vom Aufwand her nicht übertrieben, ein Modell an je zwei SchülerInnen zu verteilen, didaktisch ist es sogar angemessen. Indem man mit dem Bleistift „hin und her fährt“, lässt sich die ganze Vielfalt der „Dreiecke im Halbkreis“ entdecken. Dabei braucht man allerdings eine ruhige Hand, um dem Zug des Gummirings auszugleichen. Einordnung in den Bildungsplan: Die Lehrplaneinheit „Geometrische Grundkonstruktionen“ ist die mit Abstand umfangreichste in der Klasse 7. Im Bildungsplan heißt es im Globalziel: „Durch die Beschäftigung mit Figuren werden geometrische Begriffe wiederholt und gefestigt und neue Zusammenhänge erschlossen. Die Einsicht in die Notwendigkeit von Beweisen wird allmählich geweckt.“ Da wir uns am Ende der Lehrplaneinheit befinden, sind die geometrischen Begriffe bereits wiederholt worden. Heute wird ein neuer Zusammenhang erschlossen und bewiesen. Analyse der erwarteten fachlichen Schwierigkeiten: Alle Bezeichnungen beziehen sich auf die nebenstehende Skizze. Beim Bau des Thaleskreiszirkel werden höchstens die zarten SchülerInnenhände eine kleine Schwierigkeit darstellen: Die Pinwandnadeln gehen nicht so leicht ins Holz. 1 Martin Schleisiek Anwendungsorientierte Mathematik 31.05.2005 Weitere Probleme beim Bauen wird es nicht geben, zumal parallel zu den mündlich vorgetragenen Bauanweisungen des Lehrers ein Thaleskreiszirkel aus Plexiglas auf dem Overheadprojektor gebaut wird. Beim Beweisen ergibt sich naturgemäß die Schwierigkeit, die richtigen Gedanken in für alle verständliche (mathematische) Worte zu fassen. Durch die Benennung der Punkte wird hier ein Stück weit vorgebeugt. Des Weiteren ist die „Richtung“ des Beweises dadurch vorgegeben, dass die Strecke CM im Thaleskreiszirkel bereits vorkommt und somit die Unterteilung des Dreiecks ABC nahe legt. Methodisch-didaktische Überlegungen: Holz motiviert. Anfassen motiviert. Für die SchülerInnen, die in der Schule zumeist mit Büchern und Schreibzeug arbeiten, gilt dies besonders. Eigenhändiges Herstellen motiviert zum eigenen Forschen: „Was kann ich mit meinem Modell tun?“ Insofern werden die SchülerInnen begeistert den Thaleskreiszirkel nutzen, indem sie immer wieder den Halbkreis mit dem Bleistift abfahren und dabei das Gummiband dehnen und beobachten. Die SchülerInnen sollen nun die Besonderheit des Dreiecks ABC herausfinden. Sie werden schnell darauf kommen, dass es bei C immer rechtwinklig ist. Der Satz des Thales soll nun in einer SchülerInnenversion an der Tafel notiert werden. Damit sollen die Fähigkeiten der SchülerInnen im mathematischen Formulieren geschult und ihre Mühen dabei gewürdigt werden. Beim anschließenden Beweis bleibt der Thaleskreiszirkel ein wichtiges Hilfsmittel: Die SchülerInnen nutzen ihr Modell im ersten Beweisschritt und das Plexiglasmodell wird fixiert (Dreieck ABC nicht mehr variabel) und als Beweisskizze genutzt. Mit Folienstiften werden die Bezeichnungen und die Winkel eingetragen. An der Tafel werden die einzelnen Beweisschritte notiert. Auch wenn der Satz des Thales und seine Gültigkeit durch den Thaleskreiszirkel recht einsichtig ist, sollen die SchülerInnen von der Notwendigkeit eines Beweises überzeugt werden: „Ist es wirklich immer ein rechter Winkel? Vielleicht ist der Winkel bei C auch mal 90,1° groß. Was ist wenn der Kreis größer ist?“ Und zum Lachen zwischendurch: „Was ist, wenn der Kreis nicht so rund ist und anders gekrümmt ist?“ Der Beweis soll in mehreren Schritten erfolgen: Zunächst weist der Lehrer darauf hin, dass sich das Dreieck ABC in zwei Teildreiecke AMC und MBC zerlegen lässt. Die SchülerInnen sollen nun Eigenschaften dieser Dreiecke herausfinden und am Thaleskreiszirkel prüfen, ob diese für jede beliebige Lage von C auf dem Kreisbogen gelten. Das Ergebnis wird als erster Beweisschritt notiert (s.u. Tafelbild). Die weiteren Beweisschritte sollen ebenfalls mit den SchülerInnen gemeinsam erarbeitet werden. Um eine zu große Divergenz in den Überlegungen zu vermeiden, werden für die zwei übrigen Beweisschritte zwei Vorgaben gemacht: a) Wir haben bereits alle wichtigen Informationen an der Tafel. Was könnt ihr über die Größen der verschiedenen Winkel sagen? 2 Martin Schleisiek Anwendungsorientierte Mathematik 31.05.2005 b) Ab jetzt wollen wir im Beweis nur noch Winkelgleichungen anschreiben. Um die „Winkelgleichungen“ zu sammeln und richtige SchülerInnenäußerungen unabhängig von deren Verwertbarkeit im Beweis zu würdigen, wird auf der rechten Tafelseite eine Gleichungssammelstelle eingerichtet, bei der man sich bei Bedarf bedienen kann. Das Tafelbild: Thales von Milet lebte vor 2500 Jahren in Griechenland Der Satz des Thales Warum ist das so? Wenn die Ecke C eines Dreiecks ABC auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB liegt, dann hat das Dreieck bei C einen rechten Winkel. (1) Das Dreieck ABC lässt sich in zwei gleichschenklige Dreiecke AMC und MBC zerlegen. (2) α = δ und β = γ (AMC und MBC gleichschenklig); α+δ+β+γ=180° (3) 180°= α+δ+β+γ = δ+δ+ + Wir wissen: C liegt auf dem Kreis it d h Gleichungssammelstelle: ……… ……… ……… ……… ……… Der Unterrichtsverlauf Phasen und Ziele (Wann und Wozu?) Besprechung der HA Motivation Produktion Lernziel: (1) & (2) Erarbeitung I Lernziele: (1) & (2) & (3) Sicherung I Lernziele: (2) & (3) Inhalte (Was?) Methoden und Medien (Wie und Womit?) Besprechung auf vorbereiteter Folie Bild von Thales wird an die Wand projiziert. Dazu eine Kurzinfo an der Tafel (→Eratosthenes) Die SchülerInnen bauen jeweils in Zweierteams unter Anleitung des Lehrers einen Thaleskreiszirkel (=TZ). Um bei dem Bau kein (zeitliches) Risiko einzugehen, wird zeitgleich auf dem OP ein TZ aus Plexiglas konstruiert. So, seid ihr alle fertig? Dann fahrt jetzt ein paar Mal mit dem Bleistift hin und her. Schwer, oder? Der Thales hat etwas über das Dreieck gesagt, welches durch das Gummiband dargestellt wird. Wie könnte sein Satz lauten? Die SchülerInnen arbeiten nun in Partnerarbeit mit den TZs. Vergesst nicht, den Satz mathematisch zu formulieren. Es werden einige Formulierungen vorgelesen. Gemeinsam wird nach einer geeigneten Formulierung des „Satz des Thales“ gesucht und diese wird ins Heft übernommen. L-SchülerInnen-G, OP, Folie OP, Folie Tafel, Kreide Lehreranweisungen Baumaterial, Plexiglasmodellmaterial, OP Motivation Partnerarbeit am TZ Tafelanschrieb Kreide, Tafel Hefteintrag Zeit 5 3 5 6 8 3 Martin Schleisiek Vertiefung Lernziel: (1) & (2) & (4) Übungen Anwendungsorientierte Mathematik 31.05.2005 Wir wollen uns nun überlegen, „warum das so ist.“ (→ ungenau gemessen, größerer Kreis, „andere Kreiskrümmung“?) Zeichnet dazu zunächst einmal eine Skizze ins Heft. Geht dabei wie bei der Konstruktion des TZs vor. Benennt die „Pinwandstecker“. Um die einheitliche Benennung der Punkte zu gewährleisten, werden sie auch auf dem Plexiglasmodell markiert. Wir wissen: C liegt auf dem Kreis mit dem Durchmesser AB. (1) Das Dreieck ABC lässt sich in zwei Dreiecke zerlegen (Betrachtet einmal die zwei Dreiecke) Fällt euch etwas auf? (2) Die Basiswinkel sind jeweils gleich groß! Die Summe der Basiswinkel der beiden gl. Dreiecke ist genauso groß wie die der Innenwinkel des Dreiecks ABC (3) Jetzt wird etwas umgeformt, fertig! Bearbeitet bitte auf S.113 die Aufgaben 2a)3)4). Rest HA. 15 Hefteintrag, TZ Plexiglasmodell, OP Tafelanschrieb L-SchülerInnen-G Partner-/Einzelarbeit 3 Martin Schleisiek, Richard-Wagner-Str.29, 69221 Dossenheim, Tel. 06221/867798, mail: [email protected], Studienreferendar am Seminar Heidelberg, Gymnasium Bammental 4
