Induktionsgesetz

Induktionsgesetz
1. Die nebenstehende Abbildung
(Blick von vorn) zeigt eine Spua = 4,0 cm
le mit 50 Windungen von qua~ (t)
⊗B
dratischem Querschnitt mit SeiB = 0,25 Ts · t
B=0
tenlänge a = 4,0 cm zum ZeitP
v = 2,0 cm
~v
punkt 0.
s
Die Spule bewegt sich mit der GeQ
schwindigkeit ~v vom Betrag v =
R = 1,2 Ω
2,0 cm
nach rechts. Ihre rechte Bes
grenzung befindet sich zum Zeitm = 50 g
punkt 0 vom Rand eines scharf
begrenzten Magnetfeldes 2,0 cm
entfernt.
~ (t) wächst linear mit der Zeit t und ist bei Eintritt
Die magnetische Flussdichte B
der Spule gerade 0.
bC
bC
(a) Bestimme die Polarität der zwischen P und Q induzierten Spannung, während
die Spule in das Magnetfeld eintritt (Begründung!).
(b) Berechne den Betrag der zwischen P und Q induzierten Spannung |Uind | und
zeichne den Verlauf dieser Spannung in ein t–Uind –Diagramm für t ∈ [0; 4,0 s]
(2 cm entsprechen 1 s).
(c) Zum Zeitpunkt t = 4,0 s werden die Enden der Spule kurzgeschlossen. Berechne
den Betrag der Beschleunigung, die die Spule zu diesem Zeitpunkt erfährt. In
welche Richtung ist diese Beschleunigung gerichtet? Mit welcher physikalischen
Regel kann man dies begründen?
Lösung: (a) Q negativ, P positiv. Begründung mit Lorentzkraft.
(b) Magnetischer Fluss:


falls
0,
T
|Φ(t)| = a (v t − 0,020 m) · 0,25 s · t, falls

 2
a · 0,25 Ts · t,
falls
0 ≦ t < 1s
1s ≦ t < 3s
3s ≦ t
Induzierte Spannung:

falls
0,

T
T
|Uind (t)| = N Φ̇(t) = N 2 a v · 0,25 s · t − a · 0,020 m · 0,25 s , falls


N a2 · 0,25 Ts ,
falls
t–Uind –Diagramm:


falls
0,
= 20 mV · t − 10mV, falls


20 mV,
falls
1
0 ≦ t < 1s
1s ≦ t < 3s
3s ≦ t
0 ≦ t < 1s
1s ≦ t < 3s
3s ≦ t
Uind in mV
50
40
30
20
10
0
t in s
0
(c) 50 · 4 B
1
Uind
a = m ẍ
R
⇒
2
ẍ =
3
4
m
50 · 4 a B (4,0 s) Uind (4,0 s)
= 2,7 · 10−2 2
Rm
s
2. Ein rechteckiger Leiterrahmen der Breite b =
20,0 cm wird mit der konstanten Geschwinaus einem scharf begrenzdigkeit v = 2,00 cm
s
~
ten Magnetfeld B mit dem Betrag
B(t) = αt2
und α = 5,00 · 10−3
v
~
B
b
t=0
T
s2
P
Q
a
gezogen, die Eintauchtiefe zur Zeit t = 0 ist
a = 30,0 cm. Das Vorzeichen des magnetischen Flusses Φ(t) durch den Leiterrahmen
ist positiv, die Induktionsspanung U(t) = UPQ ist positiv, wenn P positiv ist.
(a) Berechne Φ(t) im Zeitintervall [0; 20 s] und zeichne den Grafen dieser Funktion.
Berechne dazu auch ihre Extremwerte (Maximum bei t1 ).
(b) Bestimme anhand des Grafen von Φ das Vorzeichen von U(t) im Intervall [0; t1 ]
und berechne dann U(t). Zeichne den Grafen von U(t) im Intervall [0; 20 s].
Lösung: (a) Für t ≧ t2 = 15 s ist der Leiterrahmen nicht mehr im Magnetfeld und
daher Φ(t) = 0. Für t < t2 gilt:
Φ
Vs
0,009
0,008
0,007
0,006
0,005
0,004
0,003
0,002
0,001
0
0
A(t) = b(a − vt)
Φ(t) = B(t)A(t) = αbt2 (a − vt)
Φ(t) = αb(at2 − vt3 )
Φ̇(t) = αbt(2a − 3vt)
Φ̇(t) = 0 =⇒ t0 = 0 (Minimum)
oder t1 =
2a
= 10 s (Maximum)
3v
2
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
t
s
−2 V
Φ(t) = 10
s
·t
2
1
3 − 0,2 t
s
t
s
0
2
4
6
8
10
12
14
15
Φ
mT
0
1,04
3,52
6,48
8,96
10
8,64
3,92
0
(b) Für t ∈ [0; 10 s] ist Φ(t) steigend, das
vom Induktionsstrom erzeugte Feld
~ i muss entgegengesetzt zu B
~ orienB
tiert sein (Lenzsche Regel). Der Induktionsstrom würde (wenn P und
Q leitend verbunden wären) entgegen dem Uhrzeigersinn fließen, d.h.
P ist negativ. Für t ∈ [0; 10 s] ist also
U (t) < 0, d.h.
U
V
0,004
0,003
0,002
0,001
0
2
4
6
8
10 12 14 16 18 20
-0,001
U (t) = −Φ̇(t) = −αbt(2a − 3vt)

6 · 10−4 V · t 0,1 1 t − 1
sm
s
U (t) =

0
3. In einem Magnetfeld dreht sich
eine Spule mit 50 Windungen
und der Spulenfläche 30 cm2 .
Dabei steht die Rotationsachse senkrecht zur Magnetfeldrichtung. Nebenstehend ist der zeitliche Verlauf der induzierten Spannung mit einem Oszilloskop sichtbar gemacht. Berechne den Betrag der Flussdichte des Magnetfeldes.
für t < t2
t
s
0
5
10
15
für t > t2
U
mV
0
-1,5
0
4,5
timeDiv : Channel A :
5ms/div
2 V/div
OffsetA
0
Lösung: B =
U0 · T
4,8 V · 0,020 s
=
= 0,10 T.
2π N A
2 π · 50 · 30 · 10−4 m
3
Channel B :
1 V/div
OffsetB
10
XY
OFF
OffsetC
0
t
s
4. Eine quadratische Leiterschleife (b = 50,0 cm) befindet sich zur Zeit t0 = 0 mit der unteren Seite direkt
am Rand eines scharf begrenzten, homogenen Ma~ und
gnetfeldes mit der Kraftflussdichte B

B0 für t ≦ t1 = 0,100 s
~
B(t) = |B| = B0

für t > t1
αt
mit
B0 = 1,00 T und α = 10,0
Q
P
t0 = 0
b
b
1
s
~
B
~ steht senkrecht auf der Ebene, in der
B
die Leiterschleife liegt und ist nach unten unbeschränkt. Die an den Enden P
und Q der Leiterschleife induzierte Spannung U ist positiv, wenn P positiv ist. Zur Zeit t = 0 beginnt die Leiterschleife mit
der Beschleunigung g = 9,00 sm2 nach unten zu fallen.
(a) Zeige, dass die Leiterschleife zur Zeit t2 = 0,333 s ganz in das Magnetfeld
eintaucht.
(b) Berechne den magnetischen Fluss Φ(t) durch die Leiterschleife und zeichne den
Grafen von Φ im Intervall t0 ≦ t ≦ 1 s. Fallunterscheidung!
(c) Berechne U(t) und zeichne den Grafen von U im Intervall t0 ≦ t ≦ 1 s.
(d) Bei einer Wiederholung des Versuchs wird P mit Q leitend verbunden. Die
Leiterschleife taucht zur Zeit t′2 ganz in das Magnetfeld ein. Untersuche, ob t′2
kleiner, gleich oder größer als t2 ist.
g
Lösung: (a) t22 = b
2
=⇒
(b)
A(t) =
t2 =
(
1
2
2 bgt
2
b
s
2b
=
g
r
1 · s2
= 0,333 s
9
Φ
Vs
für 0 ≦ t ≦ t2
für t > t2

B0 bgt2
V


= 2,25 · t2


2
s


 B bgt
0
Φ(t) =
= 0,225 V · t

2α



2
2


 B0 b = 0,025 Vs
αt
t
0,06
für 0 ≦ t ≦ t1
0,04
für t1 < t < t2 0,02
für t > t2
4
0
0,2
0,4
0,6
0,8
t
s
(c) Für 0 < t < t1 zeigt die Lorentzkraft auf U
die Elektronen des unteren Leiters nach V0,4
links, d.h. Strom nach rechts, P positiv,
U > 0.
0,2

V


für 0 ≦ t ≦ t1
B0 bgt = 4,5 s · t



 B bg
0
0
= 0,225 V
für t1 < t < t2
Φ̇(t) =
2α




2
2

−0,2

− B0 b = − 0,025 Vs
für
t
>
t
2
αt2
t2
0,2
0,4
0,6
0,8
t
s
Vorzeichen von U =⇒ U (t) = Φ̇(t)
(d) Strom im unteren Leiter nach rechts, Lorentzkraft auf den Leiter nach oben (also
bremsend) =⇒ t′2 > t2 .
5