Übungsblatt 1

Grundzüge der mikroökonomischen Theorie, Teil II
Prof. Dr. Till Requate, SS 2008
Übungsblatt 1
1. Weisen die folgenden Produktionsfunktionen konstante, steigende oder fallende Skalenerträge auf? Bestimmen Sie außerdem die Grenzproduktivitäten
der Faktoren und die technische Rate der Substitution von Faktor 2 durch
Faktor 1 (soweit möglich).
f (x1 , x2 ) = x1 + 2x2
√
f (x1 , x2 ) =
x1 + 2x2
f (x1 , x2 ) = 4x1 x32
1/3
1/3
f (x1 , x2 ) = (x1 + x2 )3
f (x1 , x2 ) = min{x1 , 2x2 }
p
f (x1 , x2 ) =
min{x1 , 2x2 }
2. Ein Unternehmen produziere Output mit Hilfe von Arbeit und Maschinen. Die
Produktionsfunktion ist gegeben durch F (L, M) = 4L1/2 M 1/2 , wobei L die
Zahl der Arbeitsstunden und M die Anzahl der Maschinenstunden darstellt.
Der Stundenlohn betrage 40 und die Maschinennutzung koste 10 pro Stunde.
(a) Stellen Sie in einer Grafik (mit L auf der horizontalen und M auf der
vertikalen Achse) die Isokostenkurve des Unternehmens dar, wenn die
Kosten 400 betragen. Zeichnen Sie eine weitere Isokostenkurve für Kosten
von 200 . Welche Steigung haben diese Kurven?
(b) Bestimmen Sie die bedingten Faktornachfragefunktionen für L und M.
Zeichnen Sie eine Kurve in der Grafik ein, welche die optimale Anzahl an
Maschinenstunden pro Arbeitsstunde darstellt.
(c) Bestimmen Sie die langfristige Kostenfunktion.
(d) Zeigen Sie grafisch und mathematisch, wieviel Arbeits- und Maschinenstunden das Unternehmen optimalerweise einsetzt, wenn die Kosten 400
nicht überschreiten dürfen. Wieviel Output würde das Unternehmen
mit diesem Faktoreinsatz produzieren? In der Grafik zeichnen Sie die
entsprechende Isoquante ein.
(e) Wie würden sich Ihre Antworten in d) verändern, wenn die Kosten nur
noch 200 betragen dürften? Inwieweit hängt Ihre Antwort davon ab, ob
die Produktionsfunktion konstante, steigende oder fallende Skalenerträge
aufweist?
3. Betrachten wir nun das Unternehmen aus Aufgabe 2 bei seiner kurzfristigen
Kostenminimierung. Die Anzahl der Maschinenstunden sei fixiert bei M =
100, die Faktorpreise sind die gleichen wie in Aufgabe 2.
(a) Berechnen Sie die kurzfristige Kostenfunktion.
(b) Wie hoch sind die Grenzkosten, die Durchschnittskosten, und die variablen Durschnittskosten? Skizzieren Sie diese Kostenfunktionen in einer
Grafik.
(c) Bei welchem Output erreichen die Durchschnittskosten ihr Minimum?
4. Die Mensa produziert allerlei leckere Gerichte mit einer einzigen (geheimen)
Zutat. Die Produktionsfunktion ist f(x) = x2 .
(a) Weist diese Funktion konstante, steigende oder fallende Skalenerträge
auf?
(b) Wenn der Faktorpreis w = 10 ist, leiten Sie die Kostenfunktion her, sowie
die Grenzkosten- und die Durchschnittskostenfunktionen.
5. Ein Unternehmen produziere mit zwei Produktionsfaktoren K und L. Die
maximale Produktion lasse sich durch die Produktionsfunktion f (K, L) =
2K 1/2 L1/4 beschreiben. Das Unternehmen verhalte sich wie ein Mengenanpasser. Der Preis des produzierten Gutes sei 1, die Faktorpreise seien r = 2
und w = 0, 25.
(a) Bestimmen Sie die bedingte Faktornachfrage nach Kapital, die Faktornachfrage sowie das Angebot sowie den maximierten Gewinn, wenn der
Arbeitseinsatz nicht variierbar ist, sondern auf L̄ = 16 fixiert ist.
(b) Bestimmen Sie die bedingte Faktornachfrage, Faktornachfragen, Angebot
und den maximierten Gewinn, wenn beide Produktionsfaktoren variierbar
sind.
6. Ein Unternehmen produziere ein Gut q√mit nur einem Produktionsfaktor, x.
Die Produktionsfunktion sei f (x) = 4 x. Der Marktpreis für das Gut sei
p = 100, der Inputpreis w = 50.
(a) Bestimmen Sie den optimalen Faktoreinsatz, den optimalen Output und
den Gewinn.
(b) Wie verändern sich die Lösungen in (a), wenn der Staat das Gut mit
20 pro Einheit Output besteuert und gleichzeitig den Input mit 10 pro
Einheit subventioniert? Nehmen Sie an, dass die Nachfrage unendlich
elastisch ist.
7. Betrachten Sie die Produktionsfunktionen:
f (K, L) = aK + bL
g(K, L) = min{aK, bL}
Bestimmen Sie die bedingte Faktornachfrage, die Faktornachfrage, und das
Angebot.