Das Maschinenmodell – Datenrepräsentation 0 1 0 0 1 1 1 0 Most
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Technische Universität München Das Maschinenmodell – Datenrepräsentation • Darstellung von Zahlen/Zeichen in der Maschine – Bit (0/1) ist die kleinste Informationseinheit – Größere Einheiten durch Zusammenfassen mehrerer Bits, z.B. 8 Bit = 1 Byte, 4 Byte = 1 Wort 1 Byte = 8 Bit 0 1 0 0 Most Significant Bit 1 1 1 0 Least Significant Bit – In einem Byte können 256 unterschiedliche Zustände repräsentiert werden: 000000 11111111 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Maschinenmodell – Datenrepräsentation • Gängige Größen 210 Byte = 1 KiloByte 220 Byte = 1 MegaByte 230 Byte = 1 GigaByte 240 Byte = 1 TeraByte 250 Byte = 1 PetaByte 260 Byte = 1 ExaByte Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Maschinenmodell – Datenrepräsentation • Zeichen werden durch eindeutige Byte-Codes kodiert • Der ASCII Zeichensatz ist der "Urvater" aller Zeichensätze – – – – Er enthält 27 = 128 Zeichen Die lateinischen Grundbuchstaben, Zahlen und einige spezielle Zeichen Er ist sozusagen der kleinste gemeinsame Nenner aller anderen Zeichensätze Der erweiterte ASCII Zeichensatz enthält 28 = 256 Zeichen • In der ersten Hälfte identisch mit dem 7 Bit ASCII Zeichensatz • In der zweiten Hälfte enthält er je nach Sprache und Computersystem verschiedene weitere Zeichen, z.B. Umlaute Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Datenrepräsentation American Standard Code of Information Interchange Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Datenrepräsentation • Erweiterung des 7-Bit ASCII-Codes – Verfügbares MSB-Bit als Paritätsbit zur Erkennung von Übertragungsfehlern • Setze MSB-Bit so, dass die Summe aller Bits gerade/ungerade • Wenn nicht erfüllt, dann Übertragungsfehler – Verfügbares MSB-Bit zur Erweiterung des Zeichensatzes • z.B. länderspezifische Erweiterungen - ä ö ü ß etc. Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Datenrepräsentation • Ein/Ausgabemedien müssen entsprechende Zeichen-Codes senden/empfangen und darstellen – z.B. Tastaturtreiber müssen ASCII Zeichen-Codes generieren – Das Aussehen der Zeichen wird durch die Schriftart oder den Font festgelegt • Können beliebig gewählt werden • Geben vor, wie ein Zeichen auf dem Ausgabemedium erscheint Byte-Wert (interne Repräsentation) 252 Zeichensatz, z.B. ASCII, 252 = ü Schriftart (Font), realisiert Zeichen Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Zahlensysteme: – – – – – – Repräsentation einer Zahl Z in einer Zahlenbasis Z = i XiYi , (i , 0 X Y) Y: Basis des Zahlensystems X: Ziffernvorrat Negative Exponenten beschreiben Nachkommastellen Beispiel Dezimalsystem: Y =10, 0 X 10 Z = 3240.4 = 3·103 + 2·102 + 4·101 + 0·100 + 4·10-1 • Prinzipiell kann die Basis beliebig gewählt werden – Gängige Basen sind Y = 2 (Binär), Y = 10 (Dezimal), Y = 16 (Hexadezimal) Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Dual- oder Binärzahlen – Basis Y=2, Ziffernvorrat = 0,1 (repräsentiert durch 1 Bit) – Bsp.: 01101100 = 0·27+1·26+1·25+0·24+1·23+1·22+0·21+0·20 • Hexadezimalsystem – Basis Y=16, Ziffernvorrat 0-9, A-F – Bsp.: 6A = 6·161 + 10·160 = 106 • Zur Umrechnung von Dualdarstellung in Hexadezimaldarstellung splittet man 1 Byte in 2 Halbbytes – 106 = 0110 1010 = 6A Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Umrechnung von Dezimalzahlen in Dualzahlen mit der Restwertmethode (basierend auf dem Horner-Schema) 37 : 2 = 18 18 : 2 = 9 9:2= 4 4:2= 2 2:2= 1 1:2= 0 Rest 1 +------> 100101 Rest 0 Rest 1 Rest 0 Rest 0 Rest 1 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Umrechnung von gebrochenen Zahlen durch Zerlegung in den ganzzahligen und gebrochenen Teil – Umrechnung des ganzzahligen Teils der Dezimalzahl – Umrechnung des gebrochenen Anteils der Dezimalzahl mittels fortgesetzter Multiplikation 0,2 · 2 = 0,4 --> 0 0,4 · 2 = 0,8 --> 0 0,8 · 2 = 1,6 --> 1 _________| | 0,6 · 2 = 1,2 --> 1 _________| | 0,2 · 2 = 0,4 --> 0 37.2 = 100101.00110 +------> 00110... Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Zahlenkonvertierung dezimal binär hex 0 1 2 3 4 5 6 7 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 0 1 2 3 4 5 6 7 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 dezimal binär hex 8 9 10 11 12 13 14 15 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111 8 9 A B C D E F Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Natürliche Zahlen (positive ganze Zahlen) – Anzahl von darstellbaren Zahlen hängt ab von der Anzahl von Bytes, die zur Repräsentation zur Verfügung stehen – 1 Byte: Wertebereich von 0-255 • Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ byte – 2 Byte: Wertebereich von 0-65535 • Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ ushort – 4 Byte: Wertebereich von 0-(232 -1) • Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ ulong Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Ganze Zahlen (Integer-Zahlen) – Signed (vorzeichenbehaftet) – Alternative 1: Reservierung eines Bits für das Vorzeichen und Kodierung wie gehabt • Zahlenbereich bei 8 Bit: -127 bis +127 • Es gibt +0 und -0 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Ganze Zahlen (Integer-Zahlen) – Signed (vorzeichenbehaftet) – Alternative 2: Darstellung negativer Zahlen im Zweier-Komplement ( X=Bn+1-X ) • Negation aller Bits der positiven Zahl und anschließende Addition von 1 • 106 = 0110 1010, -106 = 10010101+00000001 = 10010110 • Zahlenbereich bei (n+1) Bits: -2n bis 2n-1 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Reelle Zahlen (Gleitkomma-Darstellung) – Genauigkeit der internen Repräsentation hängt ab von der Anzahl von Bytes, die zur Repräsentation zur Verfügung stehen – 4 Byte: • Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ float – 8 Byte: • Entspricht in einigen Programmiersprachen dem Typ double Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • IEEE-Norm 754 (Institute of Electrical and Electronics Engineers) – Gleitkommazahl p (4 Bytes) wird dargestellt als • p = (-1)s · 1.m · Be • s = sign(m): Vorzeichenbit • m: Mantisse • B: Basis (wird nicht kodiert, da B = 2) • e: Exponent Bits 31 30 s exp 1Bit Vorzeichen 23 22 m 8Bit 23Bit exp = e+127 Mantisse Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 0 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Gleitkommadarstellung – In der Mantisse werden Werte von 0.0 bis 0.11...1 (Dual) repräsentiert • Bsp.: 0.12 = 1/2 = 0.5; 0.012 = 1/4 = 0.25 • Kleinste Zahl ist: 0.00..012 (1 in Position 2-23) • Da das höchstwertige Bit immer 1 ist, wird es nicht kodiert (Hidden-Bit) – Den Wert des Exponenten erhält man durch Subtraktion von 127 (Hälfte des Wertebereichs) von dem in den 8 Bit dargestellten ganzzahligen Wert • Werte von –127 bis 128 sind somit möglich • -127 und 128 jedoch für Spezialfälle reserviert • -127: 0, 128 (m=0): Infinity, 128 (m0): NaN: ungültiger Wert Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Gleitkommadarstellung in double – Bei 8 Byte Darstellung: • s: 1 Bit • m: 52 Bit • e: 11 Bit • Höhere Genauigkeit, da Wertebereich 32-Bit-Genauigkeit: -3.402824·1038 bis 3.402824·1038 64-Bit-Genauigkeit: -1.797693·10 308 bis 1.797693·10308 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Zahlenrepräsentation • Normalisieren einer 64-Bit-genauen Gleitkommazahl: p = (0.0001101002)·21 – Interne Darstellung: s = 0; exp = (e = 1) + 1023; m = 000110100...0 – p: 0 10000000000 000110100...0 – Normalisierung (`schieben´ der Mantisse nach [1,10[ ): • Verschieben der Mantisse um 4 Stellen nach links und … • … gleichzeitiges Verringern des Exponenten um 4 • Ergebnis: 0 01111111100 1.10100...0 • p = +(1·20 + 1·2-1 + 0·2-2 + 1·2-3 + 0·2-4) · 21020-1023 = 0.203125 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik – Addition (mit 4 Bit Darstellung): 3 0011 + 2 + 0010 -------5 0101 7 0111 + 9 + 1001 -------16 (1) 0000 Overflow – Subtraktion durch Addition negativer Zahlen (Y – X = Y + X) • Y – X = Y – (X – 2n+1 + 2n+1) = Y + 2n+1 – X – 2n+1 = Y + X – 2n+1 • Negative Zahl wird hier im 2er-Komplement dargestellt Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik 12 01100 –5 – 00101 = 11010+1 = 11011 ----- -------------7 100111 – Übertrag nur dann Overflow, wenn das Vorzeichen beider Zahlen gleich ist und das Ergebnis ein anderes Vorzeichen hat – Bsp: +(–12) + (–12) = 10100 + 10100 = 101000 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik 5 00101 – 12 – 01100 = 10100 ----- ----------–7 11001 Betrag von 11001 = (durch Bildung des 2er-Komplement) 00111 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik – Algorithmus zur Multiplikation • Nach denselben Regeln, nach denen Dezimalzahlen multipliziert werden • Stellenweises multiplizieren des Multiplikanten mit dem Multiplikator und addieren der Teilergebnisse 10111 * 01100 00000 00000 10111 10111 00000 100010100 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik – Optimierung der Multiplikation durch Bitverschiebung • Verschieben um 1 Position nach rechts entspricht Division durch 2 • Verschieben um 1 Position nach links entspricht Multiplikation mit 2 – Algorithmus (X · Y): 1) Ergebnis = 0 2) wenn letztes Bit von Y = 1, dann addiere X zum Ergebnis 3) Verschiebe Y um eine Stelle nach rechts 4) Verschiebe X um eine Stelle nach links 5) wenn Y ungleich 0, dann wiederhole beginnend mit Schritt 2 6) Ende Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik – Multiplikation durch Bitverschiebung – 1001 x 1101 Wiederholung 1 2 3 4 Shift rechts 1101 110 11 1 Shift links 1001 10010 100100 1001000 1001 + 00000 + 100100 + 1001000 Ergebnis: 1110101 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Integer-Arithmetik – Division – mittels Addition, Subtraktion und Bitverschiebung – Algorithmus (X / Y): 1) Quotient Q = 0, Rest = X, T = Y 2) Verschiebe T bis T > Rest (wie oft geht Y in X) 3) Wenn T = Y: Ende 4) Verdopple Q (<<1) und halbiere T (>>1) 5) Wenn T <= Rest: Rest = Rest – T und Q = Q+1 6) Wiederhole beginnend mit Schritt 3 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Gleitkomma-Arithmetik – Addition/Subtraktion: • Exponenten angleichen (Verschieben der Mantisse des Operanden mit kleineren Exponenten • Mantissen addieren/subtrahieren • Ergebnis normalisieren • Beispiel: 12 + 20 = (1.10 · 23) + (1.01 · 24) = (0.110 · 24) + (1.010 · 24) = 10,000 · 24 = 1 · 25 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11 Technische Universität München Das Rechnermodell – Operationen auf Zahlen • Gleitkomma-Arithmetik – Multiplikation/Division: • Multiplikation/Division der Mantissen • Exponenten addieren/subtrahieren • Ergebnis normalisieren • Beispiel: 12 · 20 = (1.10 · 23) · (1.01 · 24) = 1.10 · 1.01 · 27 = 1.1110 · 27 = 240 Fakultät für Informatik, Einführung in die Informatik, WS 2010/11
