Einführung in die Spieltheorie und experimentelle Ökonomie

Einführung in die Spieltheorie
und experimentelle Ökonomie
Aufgabe 1
Übung Kap. 7&8 - 03.11.2010
Aufgabe 1a
Aufgabe 1b
• Nash-Gleichgewichte in reinen
Strategien:
2
A
B
A
0, 0
–1, 1
B
1, -1
-2, -2
• Zur Erinnerung:
Eine gemischte Strategie für einen
Spieler legt fest, mit welchen
Wahrscheinlichkeiten der Spieler jede
seiner reinen Strategien spielt.
1
• {A, B} und {B, A}.
Aufgabe 1b
Aufgabe 1b
Nash-GG in gemischten Strategien: Spieler 1 wählt p so,
dass Spieler 2 gerade indifferent ist zwischen A und B:
2
A (q)
B (1-q)
A (p)
0, 0
–1, 1
B (1-p)
1, -1
-2, -2
1
0 p + ( −1)(1 − p ) = 1 p + ( −2 )(1 − p )
0 p + ( −1)(1 − p ) = 1 p + ( −2 )(1 − p )
p −1 = 3 p − 2
2p =1
p = 0.5, 1 − p = 0.5.
Aufgabe 1b
Aufgabe 1c
• Spieler 2 wählt q so, dass Spieler 1
gerade indifferent ist zwischen A und B:
• Reaktionskurve von Spieler 2:
0q + ( −1)(1 − q ) = 1q + ( −2 )(1 − q )
q = 0.5, 1 − q = 0.5.
• Nash-GG in gemischten Strategien:
{(0.5, 0.5), (0.5, 0.5)}
Wenn p < 0.5 ist,
wird Spieler 2
Strategie A wählen,
d.h. q = 1.
p
1
Solange p > 0.5 ist,
0.5
wird Spieler 2
Strategie B wählen,
d.h. q = 0.
Aufgabe 1c
q
1
0.5
Aufgabe 1d
• Reaktionskurve von Spieler 1:
p
Nash-GGe in reinen
Strategien
1
p
Wenn q > 0.5 ist,
wird Spieler 1
Strategie B wählen,
d.h. p = 0.
1
Solange q < 0.5 ist,
wird Spieler 1
Strategie A wählen,
d.h. p = 1.
0.5
1
q
0.5
Nash-GG in
gemischten
Strategien
1
0.5
q
Aufgabe 2a
2
Aufgabe 2
q
1
L
1-q
R
p
O
1, 16
4, 6
1-p
U
2, 20
3, 40
16p + 20(1 – p) = 6p + 40(1 – p) ⇒ p = 2/3, (1 – p) = 1/3
q + 4(1 – q) = 2q + 3(1 – q) ⇒ q =1/2, (1 – q) = 1/2
Nash-GG in gemischten Strategien: {(2/3, 1/3), (0.5, 0.5)}
Aufgabe 2b
Aufgabe 2b
2
q
1
2
1-q
L
q
R
p
O
1, 16
4, 6
1-p
U
2, 20
3, 40
1
L
1-q
R
p
O
1, 16
4, 6
1-p
U
2, 20
3, 40
Erwartete Auszahlung von Spieler 1:
Erwartete Auszahlung von Spieler 2:
16 pq + 6 p (1 − q ) + 20 (1 − p ) q + 40 (1 − p )(1 − q ) ,
p = 2 3, q = 1 2.
= 52 3.
1 pq + 4 p (1 − q ) + 2 (1 − p ) q + 3 (1 − p )(1 − q ) ,
p = 2 3, q = 1 2.
= 5 2.
Aufgabe 2c
Aufgabe 2c
2
q
1
L
1-q
R
p
O
1, 16
4, 6
1-p
U
2, 20
3, 40
Die gemeinsamen Auszahlungen sind grösser wenn
Spieler 1 U spielt.
Aber seine höchst mögliche Auszahlung erhält er, wenn
er O spielt.
• Um eine Chance zu haben die Auszahlung 4
zu erreichen, muss Spieler 1 gelegentlich O
spielen.
• Wenn die Spieler sich absprechen könnten
immer U und R zu spielen, hätten beide eine
höhere erwartete Auszahlung als im
gemischten Gleichgewicht (3 > 5/2,40 >
52/3).
• Wäre z.B. möglich wenn das Spiel wiederholt
gespielt wird.
Aufgabe 3 - Spielbaum
AIRBUS, BOEING
Frieden
$300m, $300m
Krieg
-$100m, -$100m
Boeing
Aufgabe 3
Eintritt
AIRBUS
Kein Eintritt
0, $1000m
Aufgabe 3a
Es existieren zwei NashGleichgewichte in reinen
Strategien.
{(Eintritt), (Frieden)}.
{(Kein Eintritt), (Krieg)}
Aufgabe 3b
Boeing 1-q
Frieden
Krieg
q
Boeing
p
Frieden
Krieg
Eintritt
AIRBUS
1-p Kein Eintritt
Eintritt
AIRBUS
300, 300
300, 300
-100, -100
0, 1000
0, 1000
-100, -100
300p + 1000(1-p) = -100p + 1000(1-p) ; p = 0 ,
Kein
Eintritt
0, 1000
0, 1000
300q + -100(1-q) = 0q + 0(1-q)
(1-p) = 1
; q = 1/4, (1-q) = 3/4
Nash-GG in gemischten Strategien: {(0, 1), (1/4, 3/4)}