Achtung - hknoll

Workshop Mathematik 15.2.2006 / Lösungen
TET1
1
A1) a) nicht surjektiv und nicht injektiv
b) Neuer Cobereich z.B. {x | x = k2  k  N0}, dann ist die Funktion surjektiv.
injektiv ist die gegebene Funktion bereits.
A2) a) keine Funktion
b) Gegeben sind die Funktionen f und g:
gf: Z \ {0} -> R
gf: x -> z = x 2
c) Gegeben ist die Funktion f.
f-1: {x  R | x ≤ -1} -> {y R | y ≤ 2}
f-1: x ->

y  2  2  2x
A3) Gegeben ist die Funktion f:
f-1: {x  R | x ≤ 1}  {y  r | y ≤ 2}
f-1
: x  y = f(x) =
2
1y
2
A4) a) nicht surjektiv aber injektiv
 0 
 6 
 

b) x   , x 2   k 
2
 
k 
'
1
c)
B
surjektiv, aber nicht injektiv

B1) Die Kurve mit der Gleichung y = -x2 + x soll zunächst an der x-Achse gespiegelt und das
erhaltene Bild anschliessend bez. der y-Achse mit dem Streckfaktor k = 3 axial gestreckt
werden. Bestimmen Sie die Gleichung der letzten Bildkurve analytisch.
B2) a) Gegeben ist die Kurve mit der Gleichung y = 2x – 1.
Bestimmen Sie die Kurvengleichung jener Kurve, die entsteht, wenn man die gegebene
zunächst axial bezüglich der y-Achse mit dem Faktor 0.6 streckt und anschliessend das
erhaltene Bild an der x-Achse spiegelt.
b) Gegeben ist die Kurve mit der Gleichung y = –2x + 3.
Bestimmen Sie die Kurvengleichung jener Kurve, die entsteht, wenn man die gegebene
zunächst um -90° dreht und anschliessend das erhaltene Bild um 2 nach oben verschiebt.
C
C1) a) Scheitel bei x = 2/3. Neuer Definitionsbereich z.B. A = {x  R | x ≥ 2/3},
Der Cobereich dazu ist B = {y  R | y ≤ 6}
b) Umkehrfunktion:
f 1 :{y  R | y  6}  {x  R | x  23}
f 1 : y  x  f 1(y) 
22 193y
6
C2) a) A = {x  R | x ≤ -2  x ≥ 2}

y  2  2
x  3
2
4
b) Definitionslücke bei x = 1. Kürzen führt zu y = 2x + 3.
stetig fortsetzen nach x = 1: Zusatzdefinition y = 5

D
D1)
3
z1  5cos 53.1  i sin 53.1; z2  2cos 3
4  i sin 4 
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4/7/2017
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TET1
2
a)
z1  z2  3.03cos 58.5  i sin 58.5
b) 128(cos 225° + i sin 225°)

c)
2 e
3
i
8
11
i
8
;
2 e
D2) a) r = 5,  = 233.1°
Wurzeln:

E
b)
r1  5 5,   46,6; 118.6; 190.6; 262.6; 334.6
z2  5.64cos 73.7  i sin 73.7

E1) a) (1) arithmetisch
(2) Potenzreihe
(3) geometrische Reihe, Potenzreihe
b) (1) nur für x = 0
(2) für -1 < x < 1
(3) für -1 < x < 1
E2)
an  1
n
2n 1
, Schranken z.B. K = 1 und k = -1
3n 1
E3) Jahresrate der Rente = 2000

1.04 20 11.0415 
11.04 20
E4) 28 Reihen

E5) Gesamtlänge = 4   a1 2 

2

25n 2  975n  K
11.1n
500
K
11.1
E6) 1. Variante: 13 Tage
2. Variante: 15 Tage


E8) P(0.8/0.4)
E7) a1 = 4, a21 = 64, d = 3

F
2n  1
F1) ZF1: an 
; konvergent, g = 2; K = 3
n
6n  4
ZF2: an 
; konvergent, g = 2; streng monoton steigend,
3n 1
n

neue Folge ist konvergent, g = 2
2n  3
;g=2
n 1
4n  3
TF2: an 
;g=2
2n
F2) TF1:


an 
Gesamtfolge: konvergent, g = 2; beschränkt, weil konvergent, K = 5, k = 0

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TET1
3
G
1
G1) Gegeben ist eine Zahlenfolge durch die rekursive Definition: a1 = 1, an+1 = 2 an - 2.
a) Suchen Sie eine Formel für das allgemeine Glied.
b) Beweisen Sie die Formel für das allgemeine Glied mittels vollständiger Induktion.
c) Welchen Grenzwert hat die Zahlenfolge, sofern sie konvergent ist?
Falls Sie in a) keine Formel finden, können Sie b) und c) mit folgender Angabe lösen:
1
Rekursionsformel: a1 = 2, an+1 = 3 a1 + 2 und Formel für das allgemeine Glied an =
3n - 1
3n–1
(Für die Teilaufgaben a), b) und c) können je 2 Punkte erworben werden.)
G2) Gegeben ist eine Zahlenfolge durch: a1 = 2, an+1 = an + 2n + 1
a) Suchen Sie eine Formel für das allgemeine Glied an.
b) Beweisen Sie die gefundene Formel mit vollständiger Induktion (Achtung: Schreiben Sie
die beweiskräftigen Argumente auf!)
Falls Sie keine Formel in a) gefunden haben, führen Sie den Induktionsbeweis für folgende
Angaben aus:
a1 = 3, an+1 = an + 2n
Zu beweisende Formel: an = n2 - n + 3
G3) Gegeben ist eine n-gliedrige Summe durch: sn = 1•1! + 2•2! + 3•3! + …
Suchen Sie eine Summenformel und beweisen Sie die vermutete Formel mittels vollständiger
Induktion.
Falls Sie keine Summenformel finden, fürhren Sie den Induktionsbeweis mit folgender Angabe
1
aus: sn = 12 + 32 + 52 + … + (2n – 1)2 = 3 n(4n2 – 1)
G4) Gegeben ist die n-gliedrige Summe sn durch folgende Definition:
0
1
2
n–1
sn =
+
+
+…+
1! 2! 3!
n!
n! - 1
Beweisen Sie, dass sich diese Summe mit der Formel sn =
berec hnen lässt.
n!
G5) Gegeben ist eine rekursiv definierte Zahlenfolge durch:
a 0  2, a n 1 
an  1
2
a) Bweisen Sie durch vollständige Induktion, dass das allgemeine Glied der Zahlenfolge gleich

an 
2 n1  1
ist.
2 n1
b) Berechnen Sie den Grenzwert dieser Zahlenfolge.
c) Zeigen Sie, dass diese Zahlenfolge streng monoton abnehmend ist.
1
G6) Gegeben ist eine Zahlenfolge durch die rekursive Definition: a1 = 1, an+1 = 2 an - 2.
a) Suchen Sie eine Formel für das allgemeine Glied.
b) Beweisen sie die Formel für das allgemeine Glied mittels vollständiger Induktion.
c) Welchen Grenzwert hat die Zahlenfolge, sofern sie konvergent ist?
Falls Sie in a) keine Formel finden, können Sie b) und c) mit folgender Reihe lösen:
1
Rekursionsformel: a1 = 2, an+1 = 3 a1 + 2 und Formel für das allgemeine Glied an =
3n - 1
3n–1
(Für die Teilaufgaben a), b) und c) können je 2 Punkte erworben werden.)
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TET1
4
H
H1) Definitionsbereich A = R \ {0; 2}
Kürzen führt zu: y 
x 2  2x  2
x 2
stetig fortsetzen für x = 0 mit der Zusatzdefinition: f(0) = -1
für x = 2 kann die Funktion nicht stetig fortgesetzt werden (Polstelle)
H2) Definitionsbereich A = R \ {1/2; -3}

Kürzen führt zu
y
x3
x3
stetig fortsetzen für x = 1/2 mit der Zusatzdefinition: f(1/2) = -5/7
für x = -3 kann die Funktion nicht stetig fortgesetzt werden (Polstelle)

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