Tangente und Normale - klaus

R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 1
07.04.2017
Tangente und Normale
Tangentensteigung
Die Steigung eines Funktionsgraphen in einem Punkt P  x0 | f  x0  
ist gleichbedeutend mit der Steigung der Tangente in diesem Punkt.
Wir betrachten die Funktion f  x  und deren Ableitungsfunktion etwas genauer.
f x 
1 2 1
x  x  1 (quadratische Funktion)
4
2
f ' x 
1
1
x  (Ableitungsfunktion)
2
2
Wertetabelle:
x
5
4
f x
f ' x
3
2
1
0
1
2
3
4
5
4,75
3 1,75
1
0, 75 1 1,75 3 4,75 7 9,75
2 1,5 1 0,5
0
0,5
1 1, 5
2
2, 5
3
Aus der Wertetabelle kann der Scheitelpunkt der quadratischen Funktion f(x)
abgelesen werden: S  1| 0,75  .
Für den Wert x  1 ist der Wert der Steigungsfunktion f '( 1)  0
Das bedeutet, im Scheitelpunkt S ist die Steigung von f(x) Null.
Die Tangente in S hat ebenfalls die Steigung Null, sie verläuft dort waagerecht.
Die Graphen:
f ( x) 
1 2 1
x  x 1
4
2
f´ ( x) 
1
1
x
2
2
10
9
8
7
6
5
4
3
2
1
f ( x)
f´ ( x)
5
4
3
2
1 0 1
1
2
2
3
4
5
x
Erstellt von R. Brinkmann 481346220
06.09.2005 13:50:00
1 von 6
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 2
07.04.2017
1 2 1
1
1
x  x 1 f 'x  x 
4
2
2
2
Wir betrachten nun für den Wert x 0  2 die Werte für f  x 0  und f '  x 0 
f x 
1 2 1
 2   2  1  1  1  1  3  P  2 | 3  liegt auf dem Graphen von f  x 
4
2
1
1
1 3
f '  x 0   f '  2    2   1   bedeutet,
2
2
2 2
3
im Punkt P  2 | 3  hat der Graph von f  x  die Steigung
oder
2
3
die Tangente an dem Graphen von f  x  im Punkt P  2 | 3  hat die Steigung
2
f  x0   f  2 
Merke:
Einsetzen eines x  Wertes in f  x  ergibt die y  Koordinate von P  x | y 
Einsetzen eines x  Wertes in f '  x  ergibt die Steigung des Graphen
oder die Steigung der Tangente von f(x) im Punkt P  x | y 
Tangentengleichung, Normalengleichung
Gegeben ist die Funktion f  x    x 2  x  2
Die Gleichungen von Tangente und Normale sollen für den Punkt
P  2 | f  2   bestimmt werden.
Vorüberlegung:
Die Tangente ist eine Gerade mit der Gleichung t  x   mt x  bt
Die Normale ist eine dazu senkrechte Gerade
1
1
mit mn  
also mit der Gleichung n  x   
x  bn
mt
mt
Die Steigung der Tangente entspricht der Steigung des Graphen
von f  x  im Punkt P.
Erstellt von R. Brinkmann 481346220
06.09.2005 13:50:00
2 von 6
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 3
07.04.2017
Rechnung:
f  x    x 2  x  2  f '  x   2x  1
Koordinaten des Punktes P  2 | f(2)  :
f  2   22  2  2  4  2  2  4  P  2 | 4 
Steigung in P  2 | 4  :
f '  2   2  2  1  5  mt  5  Tangentensteigung 
Tangentengleichung:
t  x   mt x  b t  5x  b t Die Tangente verläuft durch de n Punkt
P  2 | 4   t  2   4  5  2  b t  4  b t  6
 t  x   5x  6 ist die Gleichung der Tangente durch P  2 | 4 
Normalengleichung:
1
1
1
1
mn  


 n  x   x  bn Die Normale verläuft durch den Punkt
mt
5 5
5
P  2 | 4   n  2   4 
 nx 
1
22
 2  bn  4  bn  
5
5
1
22
x
ist die Gleichung der Normalen durch P  2 | 4 
5
5
Graphen:
2
f ( x)  x  x  2
t ( x)  5x  6
n( x) 
1
22
x
5
5
6
5
4
3
2
f ( x)
1
t ( x)
5
4
3
n ( x)
2
1
0
1
2
3
4
5
1
2
3
4
5
6
x
Erstellt von R. Brinkmann 481346220
06.09.2005 13:50:00
3 von 6
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 4
07.04.2017
Allgemeine Herleitung der Tangenten – und Normalengleichung
Damit man nicht in jedem einzelnen Fall obige Rechnung erneut durchführen muss,
leiten wir nun eine allgemeine Formel her.
Die Tangente soll den Graphen von f  x  im Punkt P  x 0 | f  x 0   berühren.
Die Normale soll den Graphen von f  x  im Punkt P  x 0 | f  x 0   senkrecht schneiden.
Tangentengleichung: t  x   m t  x  b t
mit mt  f '  x 0  wird t  x   f '  x 0   x  bt 1
da P  x 0 | f  x 0   ein Punkt der Tangente ist, folgt:
t  x0   f  x0   f '  x0   x0  bt  f  x 0 
 bt  f  x 0   f '  x 0   x 0 eingesetzt in 1 ergibt:
t  x   f '  x0   x  f  x0   f '  x0   x0  f '  x0   x  f '  x0   x0  f  x 0 
 f '  x0    x  x0   f  x0 
Die Normale verläuft senkrecht durch den gleichen Punkt wie die Tangente.
1
1
Steigung der Normalen: mn  

mt
f '(x 0 )
 nx  
1
  x  x0   f  x0 
f '(x 0 )
Anwendungsbeispiel:
Eine Leiter soll so an einen Heuhaufen
gelehnt werden, dass sie den Haufen in
einer Höhe von 3 m vom Boden aus
berührt.
Der Heuhaufen hat die Form einer
umgestülpten Parabel, ist 4 m hoch
und hat an der Basis einen
Durchmesser von ebenfalls 4 m.
Leiter
1m
Berührungspunkt
P0
3m
Heuhaufen
Unter welchem Winkel muss die Leiter
angelegt werden?
Wie weit vom Fuß des Heuhaufens
muss die Leiter auf dem Boden
aufgesetzt werden?
Erstellt von R. Brinkmann 481346220

x
06.09.2005 13:50:00
4m
4 von 6
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 5
07.04.2017
Wir legen die y – Achse durch den
Scheitelpunkt des Graphen
y
Die Parabel hat die Funktionsgleichung:
P0( x0 | 3 )
f  x   a2 x  4
2
f  2   0  4a2  4  0  a2  1
3
2
 f  x   x2  4
1
Wir bestimmen den Wert für x 0 :

f  x 0   3   x 02  4  3
-2
x0
0
2
x
 x 02  1  x 01/ 2  1
Für die weitere Rechnung ist der Wert x 0  1 zu verwenden.
Die Leiter berührt den Heuhaufen im Punkt P0  1| 3 
Wir bestimmen die Gleichung der Tangente im Punkt P0
f  x    x 2  4 P0  1| 3   x 0  1; f(x 0 )  3
t  x   f '(x 0 )  x  x 0   f(x 0 )
mit f '(x)  2x wird f '(x 0 )  f '  1  2   1  2
 t(x)  2  x   1   3  2x  5
Anstellwinkel: tan   2    63, 40
Der Abstand vom Heuhaufen, wo die Leiter aufgesetzt werden muss, ist der Abstand
zwischen der Nullstelle von f(x) und der Nullstelle von t(x).
Nullstellen:
f  x    x 2  4  0  x 2  4  x1/ 2  2
t  x   2x  5  0  x  2,5
Der Abstand zwischen den x  Werten  2,5 und  2 beträgt 0,5
Die Leiter muss 0,5 m vom Fuß des Heuhaufens entfernt auf den Boden aufgesetzt
werden.
Aus dieser Aufgabenstellung haben wir gelernt, wie man die Gleichung einer
Tangente bestimmt, die den Graphen in einem definierten Punkt berührt.
Beispiel:
Die Gleichung der Tangente soll ermittelt werden, die den Graphen von f(x) im Punkt
P berührt.
f  x   2x3  7x 2  x  7  f '  x   6x 2  14x  1 P  2 | f( 2)   x 0  2
t  x   f '  x 0  x  x 0   f  x 0 
f '  x 0   f '  2   24  28  1  3
f  x0   f  2   16  28  2  7  3
 t  x   3  x  2   3  3x  6  3  3x  3
Erstellt von R. Brinkmann 481346220
06.09.2005 13:50:00
5 von 6
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de
Seite 6
07.04.2017
Zusammenfassung:
Tangente und Normale an den Graphen von f  x  durch den Punkt P  x 0 | f  x 0  
Gleichung der Tangente
t  x   f '  x0   x  x0   f  x0 
Gleichung der Normalen
nx  
Steigung
1
 x  x0   f  x0  ; f '  x0   0
f '  x0 
Steigung
Erstellt von R. Brinkmann 481346220
06.09.2005 13:50:00
6 von 6