Klasse 9

Klasse 10
Kapitel 1: Potenzen
1. Potenzen mit natürlichen Zahlen im Exponenten
Potenzen mit natürlichen Zahlen im Exponenten sind den Schülern in der Regel bereits in unterschiedlichen
Zusammenhängen begegnet. Ihre Motivation (vgl. Lerntext in Abschnitt 1.1.1) kann über die Darstellung
großer Zahlen erfolgen. Weniger vertraut sind wohl die Rechengesetze, die Beweise sind allerdings sehr
einfach. Wichtig ist mit Blick auf das Weitere der „Schönheitsfehler“, der bei der Division von Potenzen mit
gleichen Basen auftritt: Die ausschließliche Verfügbarkeit natürlicher Zahlen im Exponenten zwingt zu einer
Fallunterscheidung. Diese kann (vgl. Abschnitt 1.2) herangezogen werden, die Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten zu definieren.
2. Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Grundsätzlich bieten sich zwei Wege an, Potenzen mit negativen ganzzahligen Exponenten zu definieren:
1. Definition dem Permanenzprinzip folgend
2. Definition auf dem Hintergrund einer adäquaten Realitätsbeschreibung
Grundlage des ersten Weges ist der Gedanke, Potenzen so zu definieren, dass eine einheitliche Fassung aller
Rechengesetze möglich ist. Es handelt sich wohl um den naheliegendsten Weg. Eine logische Schwierigkeit
darf jedoch nicht übersehen werden: Das Permanenzprinzip erzwingt die Definition a-n = 1/an. Dass alle Gesetze
nach dieser Definition tatsächlich gültig bleiben, bedarf streng genommen eines zusätzlichen Beweises.
In seiner Sequentierung folgt das Programm dem 1. Weg, es lässt sich jedoch auch problemlos der zweite Weg
wählen. Konkret bedeutet dies: Man kann durchaus mit dem Beispiel in Übung 4, Abschnitt 1.2.3 einsteigen
oder das analoge Beispiel auf der Lernseite wählen. Es liefert eine naheliegende Definition von Potenzen mit
negativen Exponenten. Anschließend kann dann die Frage nach der Gültigkeit der Rechengesetze beantwortet
werden.
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Abschnitt 1.2 Übung 4
3. Potenzen mit rationalen Zahlen im Exponenten
Der Zugang ist hier schwieriger als bei ganzzahligen Exponenten, da zunächst n. Wurzeln zusammen mit ihren
Rechengesetzen eingeführt werden müssen.
Nachdem dieser Teil bearbeitet ist stellt sich wie bei Potenzen mit ganzzahligen Exponenten die Frage, ob die
Definition einem algebraischen Permanenzprinzip folgend oder durch eine geeignete Anwendungsaufgabe
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motiviert werden soll. Das Programm folgt dem (wohl üblicheren) ersten Weg, ist jedoch auch mit der Wahl
des zweiten Weges verträglich. Man wird dann entweder das Beispiel in Abschnitt 1.3.6 oder die
entsprechende Übung 7 bearbeiten. Um mit nicht zu komplizierten Situationen zu beginnen, wird man dann
jedoch zunächst m(t) für einfache t-Werte untersuchen (evtl. weiterklicken).
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Abschnitt 1.3 Übung 7
Eine Anmerkung zur Physik
Die Übungen 4 in Abschnitt 1.2.3 und 7 in Abschnitt 1.3.6 sprechen von einer radioaktiven Substanz. Das
Gesetz über den exponentiellen Zerfall gilt aber eigentlich nur für ein festes Radioisotop. In vielen Fällen ist
wegen der entstehenden Tochtersubstanzen die Situation komplizierter.
Anmerkung zur Definition n. Wurzeln und Potenzen
Soll man 3  8 definieren oder nicht?
Leider ist diesbezüglich die Handhabung nicht einheitlich, wie beispielsweise viele Taschenrechner zeigen. Die
Definition n. Wurzeln für ungerades n und für negativen Radikanden kann dadurch begründet werden, dass die
Funktionen x  xn für ungerades n bijektive Funktionen von R auf R sind.
Wenn man n a für negatives a und ungerades n definiert, wie es in der Software geschieht, muss man sich
darüber im Klaren sein, dass die üblichen Wurzelgesetze nicht mehr gelten:
Die Regel n a  nm a ist beispielsweise falsch, wie sich durch Einsetzen von n = 3, m = 2 und a = -8 zeigt.
Abschnitt 1.3.3 setzt daher ausdrücklich voraus, dass die Wurzelradikanden nicht negativ sein dürfen, auch mit
Blick auf die Potenzdefinition und den Beweis der zugehörigen Gesetze.
Die allgemeine Potenzdefinition, wie sie häufig in der Hochschulmathematik abgefasst wird (vgl.
Integralrechnung, Abschnitt 2.3.3), lautet ax = exp(x·ln a). Aus dieser Definition lassen sich leicht alle
Potenzgesetze beweisen, allerdings auch nur unter der Einschränkung a > 0. 0x ist nach dieser Festlegung
zunächst nicht definiert.
Unter einem etwas anderen Aspekt sieht man die hier diskutierten Schwierigkeiten, wenn man die
Potenzdefinition ins Komplexe fortsetzt:
Für z, a  C kann man az := exp(z·ln a) definieren, sofern man den Realteil von a positiv voraussetzt. Sobald
man die Funktion ln in der komplexen Ebene in verschiedenen Richtungen über die negative Achse hinaus
analytisch fortsetzt, gelangt man zu unterschiedlichen Funktionen. Der „natürliche Definitionsbereich“ von ln
ist eine der z-Ebene überlagerte unendlichblättrige riemannsche Fläche mit einem 0 überlagerten
Verzweigungspunkt.
m
Kapitel 2: Exponential- und Logarithmusfunktionen
Bei der Behandlung der Exponentialfunktionen liegt ein wesentlicher Akzent auf dem speziellen
Wachstumsverhalten: Für gleiche Intervalle ergibt sich stets der gleiche Wachstumsfaktor. Dieser
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wesentliche Aspekt wurde bereits in Kapitel 1 vorbereitet. Um die Besonderheit des exponentiellen Wachsens
gegen das lineare Wachsen Abzugrenzen, wird es eigens in einer Übungsaufgabe thematisiert.
Typische Anwendungsaufgaben zu Exponentialfunktionen sind die Übungen 4 und 5 in Abschnitt 2.1.3. Sie
liefern zugleich einen weiteren Beitrag zum kompetenten Umgang mit Funktionen.
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Abschnitt 2.1 Übung 4
Abschnitt 2.1 Übung 5
Die Einführung von Logarithmen kann im Unterschied zur Sequentierung in Abschnitt 2.2 auch durch einen
anwendungsorientierten Einstieg (Abschnitt 2.2.3, Übung 3) motiviert werden. Ein häufig in der Physik
gebräuchliches Hilfsmittel ist die halblogarithmische Darstellung. Sie wird vor allem herangezogen um zu
entscheiden, ob ein exponentieller Zusammenhang vorliegt. Mit dem „Auge“ ist es nämlich schwierig, zu einer
Entscheidung zu gelangen.
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Abschnitt 2.2 Übung 3
Abschnitt 2.1 Übung 8
Wegen der besonderen Bedeutung von Exponentialfunktionen bietet sich insbesondere die Bearbeitung der
Tests in Abschnitt 2.3 an.
Übung 8 in Abschnitt 2.1.6 zeigt an einigen relevanten Beispielen, wie man zur Aufstellung von
Exponentialgesetzen gelangen kann.
Kapitel 3: Geometrie
1. Zur Bedeutung
Die Bedeutung dieses Kapitels konzentriert sich vor allem auf zwei Punkte:
1. Es gibt zahlreiche wichtige Anwendungen unterschiedlichen Schwierigkeitsgrades.
2. Es ergeben sich an mehreren Stellen Möglichkeiten, den Grenzwertbegriff (für Folgen) vorzubereiten
(Propädeutik des Grenzwertbegriffs).
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Es würde wohl wegen der Schwierigkeit des Grenzwertbegriffs die Schüler überfordern, beide Aspekte
gleichzeitig abzuhandeln. Man wird daher die Entwicklung der Berechnungsvorschriften von den
Anwendungen trennen.
2. Zur Entwicklung der Berechnungsvorschriften
Die Kreislehre beginnt mit der Herleitung einer Berechnungsvorschrift für die Kreisfläche. Das Verfahren lehnt
sich an die Grundidee der Integration an und stellt insofern eine doppelte Propädeutik dar. Das Programm ist
mit seiner Dynamik besonders darauf ausgerichtet, den Grenzprozess optisch zu festigen. Die Herleitung der
Formel für den Kreisumfang wird in Abschnitt 3.2.1, Übung 1 mithilfe der Flächenformel gewonnen, es wird
jedoch an späterer Stelle auch das archimedische Verfahren (Approximation durch regelmäßige Vielecke) als
eigenständige Methode angeboten ( Abschnitte 3.2.6 und 3.2.7 mit den zugehörigen Übungen).
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Abschnitt 3.2 Übung 1
3. Anwendungsorientierte Einstiege
Wenn die Berechnungsvorschriften für Kreisfläche und Kreisumfang entwickelt sind, bieten sich mehrere
problemorientierte Unterrichtseinstiege an.
Das Schätzproblem (Abschnitt 3.2.2, Übung 3)
Das Beispiel überrascht immer wieder durch sein zunächst nicht erwartetes Ergebnis. Es ist sinnvoll, sich dies
nachträglich plausibel zu machen (vgl. die diesbezüglichen Bemerkungen auf der Lernseite)
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Abschnitt 3.2 Übung 3
Abschnitt 3.2 Übung 6
Berechnung des Erdumfangs nach Eratosthenes (Abschnitt 3.2.4, Übung 6)
Da die Entwicklung einer Formel für die Länge eines Kreisbogens relativ einfach ist, kann dies Problem auch in
das historisch interessante Problem integriert werden. Wichtig sind für das Verständnis die geometrischphysikalischen Grundlagen, auf denen die Umfangsbestimmung beruht. Sie sind auf der Lernseite dargestellt.
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Ein Extremalproblem (Abschnitt 3.2.5, Übung 7)
Das Problem stellt eine Verbindung zu Klasse 9 (Scheitelbestimmungen bei quadratischen Funktionen) dar.
Bahnlängenberechnungen auf dem Sportplatz (Abschnitt 3.2.8, Übung 11)
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Abschnitt 3.2 Übung 7
Abschnitt 3.2 Übung 11
4. Körpervolumina
Während die Berechnungsvorschriften für Prismen- und Zylindervolumina sich relativ problemlos ergeben,
kann es vielleicht überzogen wirken, die Berechnungsvorschriften für das Kegel- und Kugelvolumen zu
entwickeln. Andererseits ist es vielleicht doch schade, es hier einfach bei einer Mitteilung zu belassen. Eine
genaue Sichtung von Übung 2 in Abschnitt 3.3.2 und Übung 4 in Abschnitt 3.3.3 zeigt, dass die Nutzung der
Software Zwischenlösungen anbietet, welche wiederum einen wichtigen Beitrag zum Grenzwertverständnis
liefern.
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Abschnitt 3.3 Übung 2
Abschnitt 3.3 Übung 4
Eine interessante den Grenzprozess weniger betonende (vielleicht dadurch etwas einfachre) Alternative zur
Ermittlung der Berechnungsvorschriften für Pyramide, Kreiskegel und Kugel findet sich in den Übungen 7, 8
und 9 von Abschnitt 3.3.
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Abschnitt 3.3 Übung 7
Abschnitt 3.3 Übung 8
Der Abschnitt Körpervolumina liefert besonders viele Übungsaufgaben differenzierten Schwierigkeitsgrades.
Kapitel 4: Winkelfunktionen
1. Definition und Motivation
Grundsätzlich bieten sich zwei Wege zur Behandlung der Funktionen sin und cos an.
1. Definition am Einheitskreis
2. Definition durch Streckenverhältnisse an rechtwinkligen Dreiecken
Der Nachteil des zweiten Weges liegt in der recht mühsamen später fälligen unverzichtbaren
Definitionserweiterung. Ferner ist zu befürchten, dass der vor allem in der Physik wichtige funktionale
Charakter zu sehr in den Hintergrund gedrängt wird.
Bei Wahl des ersten Weges stellt sich insbesondere die Frage nach einer geeigneten Motivation.
Das vorliegende Programm ist nach dem 1. Weg aufgebaut, obwohl eine Benutzung bei einer Entscheidung für
den zweiten Weg mit einigen Umdispositionen ebenfalls möglich ist.
Die Motivation für die Einführung der Funktionen sin und cos bildet das Problem der Umrechnung von
ebenen Polarkoordinaten in kartesische Koordinaten. Dazu wird als Einstiegsproblem die Frage nach der
Distanzberechnung von Himmelskörpern gewählt: Die natürlichen Koordinaten zur Beschreibung einer
Kreisbewegung sind Winkel und Radius, die Distanzberechnung erfordert die Kenntnis der kartesischen
Koordinaten.
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Abschnitt 4.1 Übung 1
Abschnitt 4.1 Übung 3
Die Einstiegsaufgabe (Übung 1 in Abschnitt 4.1.1)ist geeignet, das Kernproblem sogleich in den Blick zu
bekommen: Es reicht zur Lösung die Kenntnis der kartesischen Koordinaten zu einem Winkel auf dem
Einheitskreis, denn die Koordinaten in einem Kreis von Radius r ergeben sich daraus durch Multiplikation mit
r. In Übung 3 von Abschnitt 4.1 wird dies erarbeitet. Die endgültige Lösung des Einstiegsproblems findet
sich in den Übungen 4 und 5 von Abschnitt 4.2, wobei Übung 5 stärker kontextbezogen aufbereitet ist.
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Abschnitt 4.2 Übung 4
Abschnitt 4.2 Übung 5
Es ist aber durchaus denkbar, den Weg zu den Anwendungen zügiger zurückzulegen, indem insbesondere die
Übungen 1 bis 3 in Abschnitt 4.2 zunächst übergangen werden.
2. Die Additionstheoreme
Die Additionstheoreme werden trotz ihrer großen Bedeutung aus zeitlichen Gründen häufig übergangen. Der in
dem Programm angebotene Beweis schließt in natürlicher Weise an die Definition der Winkelfunktionen an
und lässt sich mit einer überschaubaren Strategie zielorientiert erarbeiten.
Die Additionstheoreme liefern nichttriviale Erkenntnisse zur Überlagerung von Sinusschwingungen (Abschnitt
4.5.3, Übung 3) und ein elementares Verfahren zur rechnerischen Bestimmung von Sinuswerten (Abschnitt
4.5.4, Übung 4)
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Abschnitt 4.5 Übung 3
Abschnitt 4.5 Übung 4
Kapitel 5: Trigonometrie
1. Berechnung an rechtwinkligen Dreiecken
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Nach der Einführung der Winkelfunktionen am Einheitskreis liegt der Gedanke, diese zu Berechnungen in
rechtwinkligen Dreiecken zu nutzen, sehr nahe: Man muss nur das rechtwinklige Dreieck gemäß den Bildern in
Übung 1 von Abschnitt 5.1 geeignet in ein Koordinatensystem legen. Eventuell kann der Unterricht sofort mit
Textaufgaben beginnen, wie sie in Übung 3 in Abschnitt 5.1.3 gestellt sind.
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Abschnitt 5.1 Übung 1
Abschnitt 5.1 Übung 3
Ein interessantes, aber nicht ganz einfaches Problem stellt Übung 5 in Abschnitt 5.1.4 dar. Die Übung zeigt
insbesondere, wie die spezifischen Veranschaulichungsmöglichkeiten des Computers sinnvoll eingesetzt
werden können. Auch die Übungen 6, 7 und 8 stellen etwas höhere Ansprüche.
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Abschnitt 5.1 Übung 5
Abschnitt 5.1 Übung 6
2. Berechnung in beliebigen Dreiecken
Zentral sind in diesem Kapitel der Sinussatz und der Kosinussatz. Beide Beweise können gemäß dem
Programm naheliegend problemorientiert erarbeitet werden: Ausgehend von konkreten Vermessungsproblemen
wird jeweils eine Lösungsstrategie (geeignetes Zerschneiden in rechtwinklige Teildreiecke) entdeckt, die eine
Übertragung auf Variable nahe legt.
Die Trigonometrie besaß und besitzt eine große Bedeutung
in der
Entfernungsbestimmungen. Ihnen wurde daher ein eigener Abschnitt 5.3 gewidmet.
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Astronomie
bei
Abschnitt 5.3 Übung 2
Abschnitt 5.3 Übung 3
Die Mondentfernung wurde bereits im alten Griechenland mit akzeptabler Genauigkeit bestimmt (Abschnitt
5.3, Übung 2). Eine Idee der Bestimmung der Sonnenentfernung geht auf Aristarch zurück (Abschnitt 5.5,
Übung 3). Es beruht auf der Beobachtung, dass bei Halbmond die Sehstrahlen zu Mondmitte und zur
Sonnenmitte fast einen rechten Winkel einschließen (der Winkel ist größer als 89°). Es ist klar, dass das
Verfahren eine außerordentlich genaue Winkelbestimmung voraussetzt. Schon geringe Messfehler verfälschen
die Entfernungsbestimmung erheblich. Dass im alten Griechenland die Sonnenentfernung um den Faktor 20 zu
klein berechnet wurde, ist aus diesem Grunde nicht verwunderlich. Aber unabhängig davon macht die
Beobachtung der angenäherten Rechtwinkligkeit klar, dass die Sonne eine erheblich größere Entfernung von
der Erde besitzt als der Mond. Das wiederum ist eine der Grundlagen, auf denen die Bestimmung des
Erdumfangs nach Eratosthenes (Abschnitt 3.2.4, Übung 6) beruht (siehe die Erläuterungen auf der Lernseite).
Ein Problem, welches bei trigonometrischen Entfernungsbestimmungen in der Astronomie noch zu beachten
ist, ist die Berücksichtigung des Refraktionswinkels: Beim Eintritt in die Erdatmosphäre wird ein Lichtstrahl
(ähnlich wie beim Eintritt in eine planparallele Platte) durch die Lufthülle ein wenig gebrochen, so dass der
Winkel, unter dem man beobachtet, ein wenig verfälscht wird. Solange man etwa bei der Bestimmung der
Mondentfernung nicht zu nahe an den Horizont begibt, ist der Effekt allerdings nicht sehr bedeutsam. Näheres
zum Refraktionswinkel, der von der Höhe über dem Erdboden und auch von der Beschaffung der Atmosphäre
abhängt, findet man z.B. im Internet.
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