Aufgaben zur DISKRETEN MATHEMATIK – Blatt 3

Fabian Wleklinski
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07.04.2017
Aufgaben zur DISKRETEN MATHEMATIK – Blatt 3
Aufgabe 13
Grundlagen
Die Grundlage für Aufgabe 13 ist der Algorithmus zur Bestimmung von Näherungsbrüchen
für reelle Zahlen, der im Abschnitt 2.2 des Skriptes von Götz Kersting beschrieben wird.
Dieser Algorithmus kann nicht in wenigen Worten erklärt werden, aber die wichtigsten
Eigenschaften sind:

Der Algorithmus liegt in einer arithmetischen und in einer geometrischen Variante vor, die
sich entsprechen. Im folgenden wird für die Beweisführung die arithmetische, und für die
Veranschaulichung die geometrische Variante verwendet.

Bei der geometrischen Variante arbeitet man in einer Zahlenebene. Jeder Punkt in der
Zahlenebene repräsentiert eine rationale Zahl, wobei die Ordinate (/Y-Achse) dem Zähler
entspricht, und die Abszisse (/X-Achse) dem Nenner. Die Eingabe  (reell oder rational)
wird dabei als eine Gerade eingezeichnet, die im Ursprung beginnt.

Der Algorithmus arbeitet iterativ, und hält genau dann, wenn die Eingabe  eine rationale
Zahl ist. (Er hält also nicht/nie, wenn  irrational ist.)

Pro Iterationsstufe wird ein Hilfswert erzeugt, den wir mit „zi“ bezeichnen. Dieses zi ist
eine Annäherung an , die mit fortschreitender Ausführungszeit immer besser wird. Weil
der Algorithmus für irrationale Zahlen  nicht hält, produziert er in diesem Fall eine
unendliche Menge von zi’s.

In der geometrischen Darstellung nähern sich die zi’s von beiden Seiten abwechselnd an
die Gerade  an. Liegt zi oberhalb von , so liegt zi+1 unterhalb von .
Man denkt sich nun alle zi’s oberhalb der Geraden  miteinander zu einer Kurve ko, und alle
zi’s unterhalb der Geraden  zu einer Kurve ku verbunden. D.h.:
   0,1 ,  b2 , a2  ,  b4 , a4  , 
  1, 0  ,  b1 , a1  ,  b3 , a3  , 
k o   z0 , z 2 , z 4 ,
ku   z1 , z1 , z3 ,
(1.1)
Teilaufgabe i)
Achtung: Bei der Teilaufgabe i) hat sich auf dem Aufgabenblatt ein Fehlerteufel
eingeschlichen. Die Aufgabenstellung muß lauten:
Zeigen Sie: ko ist konkav, ku ist konvex.
Die erste Frage ist nun, was bedeutet eigentlich „Konkavität“ („Konvexität“)? Hier gibt es
vielfältige Definitionen; für eine Funktion bedeutet Konkavität (Konvexität) aber lediglich,
dass die zweite Ableitung größer oder gleich Null (kleiner oder gleich Null) ist:
ko konkav

ku konvex
ko  0

ku  0
ko 

ku 
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(1.2)
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Die beiden Kurven, die betrachtet werden, sind nur einmal differenzierbar. Der Grund ist,
dass die erste Ableitung nicht stetig ist, und daher kein zweites Mal abgeleitet werden kann1.
Die zweite Ableitung kann also nicht für den Beweis herangezogen werden.
Die zweite Ableitung ist aber auch gar nicht nötig; es reicht aus, das Verhalten der ersten
Ableitung zu beobachten. Es ist nun also zu zeigen, dass die erste Ableitung der Kurve ko
immer größer wird, und die der Kurve ku immer kleiner wird.
Ansatz 1: Ein erster Ansatz ist es, die Differenz zwischen den Steigungen zu betrachten, die
zwei aufeinanderfolgende Kurvenstücke besitzen. Diese Differenz wird im Folgenden i
bezeichnet:
 i  Steigung  zi , zi  2  -Steigung  zi  2 , zi 
i 
ai  2  ai ai  ai  2

bi  2  bi bi  bi  2
ai  2  ai  mi  2 ai 1 bi  2  bi  mi  2bi 1
i 
ai  mi  2 ai 1  ai ai  ai  2

bi  mi  2bi 1  bi bi  bi  2
ai  ai  2  mi ai 1
i 
(siehe Skript)
ai  mi  2 ai 1 ai
bi  mi  2bi 1 bi
bi  bi  2  mi bi 1

ai  2  mi ai 1 ai  2
bi  2  mi bi 1 bi  2
mi  2 , mi  0
i 
mi  2 ai 1
i 
ai 1 ai 1

bi 1 bi 1
mi  2 bi 1

mi ai 1
mi bi 1
(1.3)
 i  zi 1  zi 1
(1.3) formuliert einen Zusammenhang zwischen der Differenz der Steigungen zweier
aufeinanderfolgender Geradenstücke ((zi-2,zi) und (zi,zi+2)), und der Differenz der Steigungen
der Ortsvektoren der „zugehörigen“ Punkte aus der jeweils anderen Kurve (zi-1 und zi+1).
Dieser überraschende Zusammenhang wird verständlich, wenn man sich klar macht, dass
die Steigung zwischen den beiden Zahlen/Punkten zi und zi+2 geometrisch ausschließlich
durch den Ortsvektor der Zahl zi+1 bestimmt wird, und die der Punkte zi-2 und zi durch den der
Zahl zi-1.
1
Die erste Ableitung der Kurven ko und ku „springt“ an den zi’s, und ist ansonsten konstant
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Ansatz 2: Es verbleibt jetzt noch zu zeigen, dass für alle zi’s aus der Kurve ko i größer oder
gleich Null, und für alle zi’s aus der Kurve ku i kleiner oder gleich Null ist. Dazu betrachten
wir zunächst eine weitere Herleitung:
ai 1 mi 1ai  ai 1

bi 1 mi 1bi  bi 1
ai 1  mi 1bi  bi 1   bi 1  mi 1ai  ai 1 
mi 1ai 1bi  ai 1bi 1  mi 1ai bi 1  ai 1bi 1
mi 1ai 1bi  mi 1ai bi 1  ai 1bi 1  ai 1bi 1
ai 1bi  ai bi 1 
ai 1bi 1  ai 1bi 1
mi 1
ai 1bi  ai bi 1  1(i 1)
mi 1  0
1(i 1) mi 1  ai 1bi 1  ai 1bi 1
ai 1bi 1  ai 1bi 1  0   i  1 gerade
ai 1 ai 1

 0   i  1 gerade
bi 1 bi 1
  -1
(1.4)
ai 1 ai 1

 0   i  1 gerade
bi 1 bi 1
zi+1  zi 1  0   i  1 gerade
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Damit ist das Handwerkzeug gesammelt, das benötigt wird. Aus (1.1), (1.3) und (1.4) folgt:
 i  zi 1  zi 1 

z
i+1
 zi 1  0   i  1 gerade 

 i  0   i  1 gerade

Steigung  zi , zi  2  -Steigung  zi  2 , zi   0  i  1,3,5,
Steigung  zi , zi  2  -Steigung  zi  2 , zi   0  i  2, 4, 6,




(1.5)
ku  
ko 

ku ist konvex 
ko ist konkav

Teilaufgabe ii)
Es ist zu zeigen, dass in der Fläche, die durch die Kurven ko und ku begrenzt wird, keine
Punkte mit ganzzahligen Koordinaten enthalten sind (abgesehen von (0,0)).
Achtung: Es werden keine Punkte betrachtet, die auf (!) den Kurven liegen. Insbesondere
die zi’s besitzen immer (!) ganzzahlige Koordinaten, daher werden sie in der weiteren
Betrachtung übergangen.
Ansatz 1: Die Fläche zwischen den beiden Kurven lässt sich in disjunkte Dreiecke di
zerlegen, die wie folgt definiert sind:
di : Dreieck  zi 1 , zi , zi 1 
(1.6)
Ein Dreieck di sieht dann wie folgt aus:
zi+1=(bi+1,ai+1), f(zi+1)=1
g1
g0
zi-1=(bi-1,ai-1), f(zi-1)=1
zi =(bi ,ai ), f(zi )=0
Abbildung 1
Es ist zu zeigen, dass in keinem der Dreiecke ein Punkt mit ganzzahligen Koordinaten
vorhanden ist. Dabei werden aber für jedes Dreieck die drei Eckpunkte und die Grade
zwischen zi-1 und zi+1 ignoriert. Die Eckpunkte dürfen nicht betrachtet werden, weil sie immer
ganzzahlige Koordinaten besitzen (das ist eine der Eigenschaften des Algorithmus). Die
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Gerade zwischen zi-1 und zi+1 darf nicht betrachtet werden, weil sie ein Teil der Kurve ku
oder ko ist, und hier ganzzahlige Koordinaten auftreten können.
Ansatz 2: Die Funktion f() sei
f  z   xai  ybi
(1.7)
mit den Eigenschaften
f ( zi )  bi ai  aibi  0
(1.8)
f  zi 1   bi 1ai  ai 1bi  1
(1.9)
f  zi 1   bi 1ai  ai 1bi  1
(1.10)
b, a   f
  b, a   
(1.11)
  b, a        b, a 
 f

Bei näherer Betrachtung erinnert die Funktion f() an eine Geradengleichung in der Ebene.
Und tatsächlich, es handelt sich um eine. Das Beweis dafür ist hier nicht von Interesse, und
gehört zum Bereich der Linearen Algebra.
In der Ebene ist eine Gerade durch zwei Punkte eindeutig definiert. Die Gerade, die durch
die zwei Punkte zi-1 und zi+1 definiert wird, sei g1. Es gilt:
z  g1 : f  z   1
(1.12)
Weiterhin sei g0 die Gerade, welche durch zi geht, und zu g1 parallel ist. In Abbildung 1 ist g0
gestrichelt eingezeichnet. Es gilt:
z  g0 : f  z   0
(1.13)
Da f() eine lineare Funktion ist, müssen die unendlich vielen Linien, die man sich
„zwischen“ g0 und g1 denken kann, Funktionsergebnisse größer als Null, und kleiner als eins
bewirken. Daraus folgt direkt, dass die Funktion f() für jeden Punkt innerhalb des
Dreieckes di einen Wert zwischen 0 und 1 liefert.
Da zwischen 0 und 1 keine ganze Zahl liegt, folgt aus (1.11) unmittelbar, dass innerhalb des
Dreieckes di kein z mit ganzzahligen Koordinaten liegt.

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